运筹 第七章图与网络理论

第二节 树 树是一类结构简单而又十分有用的图。 一个不含圈的连通图称为树。 设图T=(V,E)，含有n个顶点，则下列命 题是等价的。 （1）T是树。 （2）T的任意两顶点之间，有唯一的链相连。 （3）T连通且有n－1条边。 （4）T无圈且有n－1条边。 （5）T无圈但添加一条边得唯一一圈。 （6）T连通但去掉一条边则不连通。
Dijkstra算法同样可用于求无向图的最短路。 例4 求图7.22中，v1到其它各点的最短路。
v2 3 4 v1 4 v3 3 5 v5
6 1 v6 9
4
v8
1 2
4 7 5 8
v4
图 7.22
v7
22
解
v2 T(3, v1) 3 4 v1 P(0,0) 4 v3 T(4, v ) 1 3
5
6 1
v8 P(16, T(16, v6)
v7
解
v2 P(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 6 8 7 v4 P(8, v1)
图 7.20
21
8
3 6 4
v5 P(17, v ) 2 10 v6 9
3
v3 P(3, v1)
P(7, v3) 2 7 4
v8 P(16, v6)
v7
P(14, v6)
6
给定图G=( V, E) ，若V ’ V , E’ E， 并且E’中的边的端点都属于V ’ ，则称 G’=( V’ , E’)是G的一个子图。特别地，若V’ = V ，则称G’为G的支撑子图。 设T是图G的一个支撑子图，若T是一树， 则称T是G的一个支撑树。 给定图G=( V, E),对于G的每一条边，可 赋以一个实数w(e)，称为边e的权，图G连同 它边上的权称为赋权图。赋权图在图论的应 用中经常出现。根据实际问题的需要，权可 以有不同的实际含义，它可以表示距离、流 量、时间、费用等。
v8
2 7 4
v7
解
v2 T(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 6 8 7 v4 T(8, v1)
图 7.20
17
8
3 6 4
v5
10 v6 9
3
v3 P(3, T(3, v1)
T(7, v3) 2 7 4
v8
v7
解
v2 T(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 6 8 7 v4 T(8, v1)
P(6, v3) 1 2 5 v4 P(2, v1)
图 7.22
v8 P(11, v5) 8
4 7
v7
P(7, v4)
29
二、逐次逼近法 前面介绍的Dijkstra 算法，只适用于权 为非负的赋权图中求最短路问题。逐次逼近 法可用于存在负权，但无负有向回路的赋权 图的最短路问题。 因为，如果dj是从v1到vj的最短路的长度 ，而这从条最短路的最后一条边为(vk, vj)， 则从v1到vj的最短路中，从v1到vk这一段，必 然也是从v1到vk的最短路。若其长度记为dk， lk j表示边(vk, vj)的权，那么dj，dk和lk j应满足 下列方程： d j min (d k l kj )
7
给定图G=( V, E), 设T =( V, E’)是G的一 个支撑树，定义树T的权为
w(T ) w(e)
eE '
即支撑树T上所有边的权的总和。图G的 最小支撑树就是图G中权最小的支撑树。 求图G的最小支撑树的方法是建立在求 图G的支撑树基础上，只需在求图G的支 撑树的算法再加适当限制。因此，求最小 支撑树方法也有相应的破圈法；避圈法。
v7
25
解
v2 P(3, v1) 3 4 v1 P(0,0) 4 v3 P(3, v ) 4 3
5
6 1
v5 T(8, v ) T(7, 2 6 4 v6 9
P(6, T(6, v3) 1 2 5 v4 P(2, v1)
图 7.22
v8 T(15, v6) 8
4 7
v7
T(7, v4)
26
解
v2 P(3, v1) 3 4 v1 P(0,0) 4 v3 P(3, v ) 4 3
图 7.22
v8
4 7 8 T(7, v4)
v7
24
解
v2 P(3, v1) 3 4 v1 P(0,0) 4 v3 T(3, v ) P(3, 4 3
5
6 1
v5 T(8, v ) 2 4 v6 9
T(6, 3 T(9, v2) 1 2 5 v4 P(2, v1)
图 7.22
v8
4 7 8 T(7, v4)
图7.8是一个有向图。
v1 e3 v2 e4
e1
e2 e6
e5 e7 v4
v3
v5
图7.7
图7.8
3
在一个图中，若e=(u,v) ，则称u,v是边e 的端点．并u,v称相邻．称e是点u（v及点） 的关联边。若边ei,ej有一个公共的端点u，称 边ei,ej相邻。若边e的两个端点是同一顶点， 则称此边为环。若两顶点之间有多于一条的 边，则这些边称为多重边。如图7.7中，e7是 环， e1, e2是多重边。 一个不含环和多重边的图称为简单图。 含有多重边的图称为多重图。我们这里所说 的图，如不特别指明，都是简单图。
第七章图与网络理论
例1 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡城中有一条 河，河上有七座连结着两岸和河中的两个小岛， 如图7.1所示。问题是一个人能否从一点出发， 经过每座桥一次且仅一次，回到原出发点。
A A
C B
D C D
图7.1 B
1
第一节 图的基本概念
所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为 V={v1, v2…, vn }，边的集合记为E ={e1, e2…, em } ， vi称为图的顶点， ej称为图的边，若边ej联结vs和vt ， 则记为(vs,vt )，即ej= (vs,vt ) 。 则图可以表示为： G=(V,E)， 点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系， 因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个 端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无 关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的， 则两个图相同。
3
v3 P(3, v1)
P(7, v3) 2 7 4 T(14, v6)
v8 T(16, v6)
v7
解
v2 P(9, v1) 9 5 v1 P(0,0) 6 8 7 v4 P(8, v1)
图 7.20
20
8
3 6 4
v5 P(17, v ) T(17, 2 10 v6 9
3
v3 P(3, v1)
P(7, v3) 2 7 4 P(14, T(14, v6)
5
6 1
v5 T(7, v ) P(7, 6 4 v6 9
P(6, v3) 1 2 5 v4 P(2, v1)
图 7.22
v8 T(11, 6 T(15, v5) 8
4 7
v7
P(7, v4) T(7,
27
解
v2 P(3, v1) 3 4 v1 P(0,0) 4 v3 P(3, v ) 4 3
5
6 1
v5
4 v6 9
v8
1 2
4 7 5 8
v4 T(2, v1)
图 7.22
v7
23
解
T(3, v2 P(3, v1)
3 4 v1 P(0,0) 4 v3 T(4, v ) T(3, 1 4 3
5
6 1
v5 T(8, v ) 2 4 v6 9
T(9, v2) 1 2 5 v4 T(2, v1) P(2,
图 7.20
18
8
3 6 4
v5
10 v6 9
3
v3 P(3, v1)
P(7, T(7, v3) 2 7 4 T(14, v6)
v8 T(16, v6)
v7
解
P(9, v2 T(9, v1)
9 5 v1 P(0,0) 6 8 7 v4 T(8, v1) P(8,
图 7.20
19
8
3 6 4
v5 T(17, v ) 2 10 v6 9
12
Dijkstra算法的基本思想是基于以下原理： 若vs,vl,…,vj是vs到vj的最短路， vi是此路中某一 点，则vs,vl,…,vi必是从vs到vi的最短路。此算法 的基本步骤是采用标号法，给图G每一个顶点 一个标号。标号分两种：一种是T标号，一种 是P标号。T标号也称临时标号，它表示从vs到 这一点的最短路长度的一个上界，P标号也称 固定标号，它表示从vs到这一点的最短路的长 度（这里最短路长度是指这条路上个边权的 和）。算法每一步都把某点的T标号改变为P标 号。当终点得到P标号，算法结束。若要求某 点到其它各点的最短路，则最多经过n-1步算法 结束。
k
30
逐次逼近法就是用迭代方法解这个 方程。第一次逼近是找点v1到点vj由一条 边所组成的最短路，其长记为dj(1)；第二 次逼近是求从v1到点vj不多于两条边组成 的最短路，其长记为dj(2)；以此类推，第 m次逼近是求从v1到vj不多于m条边组成 的最短路，其长记为dj(m)。因为图中，不 含负有向回路，所以从v1到vj的最短路上 最多有n-1条边。从而可知，最多做n-1 次逼近就可求出从v1到vj的最短路。
8
6
4
3
5
v6
6
v7
4
v8
11
第三节 最短路问题 最短路问题，一般来说就是从给定的赋权 图中，寻找两点之间权最小的链（链的权即链中 所有边的权之和）。许多优化问题都需要求图的 最短路，如选址、管道铺设、设备更新、整数规 划等问题。由于所求问题不同，需要使用不同的 方法。下面我们介绍常用的算法。 一、Dijkstra算法 Dijkstra算法是求赋权有向图中，某两点 之间最短路的算法。实际上，它可以求某一点到 其它各点的最短路。它是Dijkstra于1959年提出。 目前被认为是求非负权最短路的最好的算法。