滨州市北镇中学届高三3月模拟考试数学试题及答案(文)
山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1.已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．2. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）A．B．C．D．3.设集合，都是实数集的子集，且，则（ ）A．B．C．D．4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点不在一条直线上的概率为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)6. 在天文学中，常用星等，光照度等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等为，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据）（ ）A ．2B ．1.05C ．0.05D．7.已知点是椭圆的左焦点，，直线交于，两点，若，均是线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 设，随机变量的分布列分别如下，则( )12P12P A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则9. 如图，长方体中，底面是边长为的正方形，，动点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ）内蒙古包头市2023届高三下学期一模文科数学试题(1)内蒙古包头市2023届高三下学期一模文科数学试题(1)三、填空题四、解答题A．三棱锥的体积为定值B ．当为中点时，最短C．三棱锥外接球表面积的最小值为D ．与所成角的范围是10. 对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（ ）A ．“”是“”的充要条件B ．“”是“”的充分条件C ．“”是“”的必要条件D ．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件11.已知，下列选项中正确的为（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则12. 正四棱锥中，高为3，底面是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（ ）A．到平面的距离为B ．向量在向量上的投影向量为C ．棱锥的内切球的半径为D．侧面所在平面与侧面所成锐二面角的余弦值为13.已知数列的前项和为，若，则的值为__________________．14.已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B ，若，则__________．15. 自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A 、E 、F 、B 拐过直角（线段EF 过O 点，点E ，O ，F 在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m 、8m ，如图所示，设EF 与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF 得长______m ，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF 长度不能低于______m16. 已知函数其中.（1）若函数的最小正周期为，求的值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.17. 如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且，.（1）求证：平面；（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值.18. 《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶，”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF为矩形，，且.(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；(2)若，且，求三棱锥的体积.19. 已知函数，其中．(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性．20. 设，为实数，且，函数（），直线．(1)若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；(2)当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．21. 在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，__________，若三角形唯一，求此时的周长，若不唯一，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。
2024学年山东省北镇中学高三考前全真模拟密卷数学试题试卷(4)
2024学年山东省北镇中学高三考前全真模拟密卷数学试题试卷（4）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．233D ．4332．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 34．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=5．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到π⎛⎫A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π6．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-7．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA +的最小值为（ ） A ．132B ．4102-C ．3D ．58．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>10．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22 B ．2C ．4D ．311．函数()256f x x x =-+的定义域为（ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-12．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省滨州市2021届高三数学三模考试试题(含解析)
山东省滨州市2021届高三数学三模考试试题（含解析）本试卷共6页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}41,M x x n n Z ==+∈，{}21,N x x n n Z ==+∈，则（ ） A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N ∈D.N M ∈【答案】A 【解析】 【分析】将集合M 改写为{}221,M x x n n Z ==⨯+∈，由2n 是偶数可得出集合M 与N 的包含关系. 【详解】{}{}41,221,M x x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈，当n 为整数时，2n 为偶数， 又{}21,N x x n n Z ==+∈，因此，M N ⊆.故选：A.【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 2.函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为（ ） A. 10x ey e +-+= B. 10x ey e -+-= C. 0x ey +=D. 0x ey -=【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数在x e =处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程； 【详解】解：因为ln y x =，所以1y x '=，所以1|x e y e='= 又当x e =时，ln 1y e == 所以切线方程为()11y x e e-=-整理得0x ey -= 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.3.已知x ∈R ，当复数()3z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）B. 2C. 2-D. 2i -【答案】C 【解析】 【分析】求得复数z 的模的表达式，结合二次函数的性质求得x 为何值时模最小，进而求得z 的虚部.【详解】依题意z ===.故当1x =时，z 取得最小值.此时2z i =-，所以z 的虚部为2-.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的模的运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可. 【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ， 因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂； 同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线， 因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤=（ ） A. 0.3413 B. 0.6826 C. 0.1587 D. 0.0794【答案】A 【解析】依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872100.34132P ξ-⨯-<≤==．故选A ．6.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（ ）A.916B.419C.2764D.827【答案】C 【解析】 【分析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积.【详解】由于图1阴影部分的面积为1，图2的阴影部分的面积为33144⨯=， 图3的阴影部分面积为3344⨯，所以图4的阴影部分的面积为3332744464⨯⨯=.故选：C.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.7.已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A. (3，5) B. (5，7)C. (6，8)D. (6，8]【答案】C 【解析】 【分析】求得,A B 两点的坐标，根据抛物线的定义转换MNE 周长的表达式，由此求得MNE 的周长的取值范围.【详解】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查圆的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8.已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4【答案】D 【解析】【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=-，可设3mOC OD-=，且,,A B D共线；由AOBABCOSSDCD∆∆=和,OC OD反向共线，可构造关于m的方程，求解得到结果.【详解】由2OA OB mOC+=-得：12333mOA OB OC+=-设3mOC OD-=，则1233OA OB OD+=,,A B D∴三点共线如下图所示：OC与OD反向共线，0m>,3OD mOC∴=3313mOD mm mCD∴==++734AOBABC DS ODmSmC∆∆∴+===4m⇒=故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得3分，有选错的得0分．9.2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2021年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是（）【年底贫困人口的线性回归方程为1609.915768y x=-+(其中x=年份-2021)，贫困发生率的线性回归方程为 1.672916.348y x=-+(其中x=年份-2009)】A. 2010年～2021年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降B 2012年~2021年连续八年每年减贫超过1000万，且2021年贫困发生率最低C. 2010年～2021年十年间超过1.65亿人脱贫，其中202X年贫困发生率低于6％D. 根据图中趋势线可以预测，到2021年底我国将实现全面脱贫【答案】BD【解析】【分析】根据统计表计算出每年脱贫的人口，由此判断出正确选项.【详解】每年脱贫的人口如下表所示：期初期末脱贫人口2009年底至2010年年底165662010年底至2011年年底16566 12238 43282011年底至2012年年底12238 9899 23392012年底至2013年年底9899 8249 16502013年底至202X年年底8249 7017 1232202X年底至202X年年底7017 5575 1442202X年底至202X年年底5575 4335 1240202X年底至2021年年底4335 3046 12892021年底至2021年年底3046 1660 13862021年底至2021年年底1660 551 1109由于缺少2009年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC 选项错误. 根据上表可知：2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低，故B 选项正确.根据上表可知，2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，2019年年底，贫困人口551万，故预计到2020年底我国将实现全面脱贫，故D 选项正确.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD【点睛】本小题主要考查统计表分析和数据处理，属于中档题. 10.已知曲线12:3sin ,:3sin 24C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移4π个单位长度，得到曲线2C C. 把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C D. 把1C 向左平移8π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线2C 【答案】AC 【解析】 【分析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项.【详解】由1:3sin C y x =变换到2:3sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若先伸缩后平移，则把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2C . 若先平移后伸缩，则把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C . 所以正确的选项为AC 故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11.已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据点()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----满足曲线方程，判断出ABC 选项正确.画出曲线C 在第一象限内的图形，并计算出其面积.根据对称性，计算出曲线C 所围成图形的面积. 【详解】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确.当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12.已知函数()xxf x e ex -=++．则下面结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在[)0,+∞上为增函数C. 若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D. 若()()11f x f -<-，则02x <<【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数可判断函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，可判断B 选项的正误；求得当0x >时，1f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围，结合偶函数的性质可判断C 选项的正误；利用偶函数和单调性解不等式()()11f x f -<-，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，函数()xxf x e ex -=++的定义域为R ，()()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，则函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，当0x ≥时，()xxf x e ex -=++，则()11x x f x e e -'=-+≥，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，B 选项正确；对于C 选项，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=， 由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，此时()2221222f x f e e e x -⎛⎫+≥=++>+ ⎪⎝⎭，由于函数1y x x =+为奇函数，当0x <时，12x x --≥=，2112f x f x e x x ⎛⎫⎛⎫+=-->+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，当0x ≠时，212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，由于函数()y f x =为偶函数，由()()11f x f -<-得()()11fx f -<，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则11x -<，解得02x <<，D 选项正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数为__________． 【答案】30- 【解析】 【分析】先求得101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得6x 的系数. 【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()10110210101r r r r rr C x x C x ---⋅⋅-=-⋅⋅.10243r r -=⇒=，10262r r -=⇒=，根据乘法分配律可知，()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项为()()()32234266610101211209030x C x C x x x ⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-+⋅=-.所以6x 的系数为30-. 故答案为：30-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题. 14.已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2，παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭则()cos αβ-=________，αβ-=________．【答案】 (1). 12 (2). 3π- 【解析】 【分析】将条件变形sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，然后两式平方相加即可得到()cos αβ-，再通过条件推出αβ-所以在范围，即可得αβ-.【详解】解：由已知得sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-， 将上述两式两边同时平方后相加可得222222sin cos sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos γγββααααββ+=-++-+，整理得()()122sin sin cos cos 22cos βααβαβ=-+=--， 即()1cos 2αβ-=， 又由已知0,,,022ππαβ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 又sin sin sin sin βαγα=+>，，则,02παβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 3παβ∴-=-.故答案为：12；3π-. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.15.已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，PA ⊥平面,26,ABC PA BC ==AB AC ⊥，则球O 的表面积为__________． 【答案】45π 【解析】 【分析】画出图象，利用补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，故可将P ABC -补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P ABC -的外接球，也即球O . 由于26,3PA BC BC ===，设,AB a AC b ==，则2229a b BC +==，所以长方体的对==设球O 的半径为R ，则2R =所以球O 的表面积为2445R ππ=. 故答案为：45π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16.已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞，使得()()12f x h x =，则实数a 的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系求实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--，3x ≥()112222422x x x x =-++≥-⨯=--， 等号成立的条件是122x x -=-，即3x =，成立，即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞ ()()41x h x a a =->，是增函数，当[)3,x ∈+∞时，函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：12a <≤， 所以实数a 的最大值是2. 故答案为：2【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于基础题型.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD ，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数； （2）求四边形ACDP 面积的最大值．【答案】（1）298cos PC θ=- 02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）5【解析】 【分析】（1）根据图形，解三角形，利用余弦定理，将线段PC 的长表示为θ的函数； （2）将四边形ACDP 面积表示为角θ的函数,再利用三角函数求最值. 【详解】解：（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形， 又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.在3,△中，PAC AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅ 2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-.所以298cos PC θ=- 定义域为02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）四边形ACDP 面积为S ， 则211=sin 22△△APC PCD S S S AP AC PC θ+=⋅⋅+ ()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⋅⋅⋅+⋅-()31sin 254cos 222θθ=+⋅- 35sin 22cos 222θθ=-+()954242θϕ=+-+ ()55sin 2,22θϕ=-+ 其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角. 因为43sin 52ϕ=<所以03πϕ<<. 又因为02πθ<<，所以23πθϕπ-<-<，所以当2=2πθϕ-时，S 取得最大值55=522+. 所以四边形ACDP 面积的最大值为5 .【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角θ的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18.在下面数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，(),n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,12,23,31,4,12a a a ===．（1）求数列(){},2n a 的通项公式；（2）设()()2,2,211log ,n n n n n n b a c a b b +==+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）(),22=nn a （2）122.1++=-+n n n S n 【解析】 【分析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()2.21a q d =+，()()23.312a q d =+即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得n b n =，1121n n c n n =+-+，再利用分组求和与裂项相消法求和即可； 【详解】解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >， 则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()()2.2 1.21a qa q d ==+，从而()14q d +=.① ()()()223.3 1.312a q a q d ==+，从而()21212q d +=②联立①②解得，1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）从而()1.22a =， 所以()()11,2 1.2222n n n n a a q--=⋅=⨯=.（2）由（1）知，(),22=nn a . 所以()22,2log log 2nn n b a n ===，所以()1112211nn n c n n n n =+=+-++，所以1231n n n S c c c c c -=+++⋅⋅⋅++23111111111112222212233411n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+⋅⋅⋅++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23111111111222221223341n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122111121n n n n +-⎛⎫+-=+- ⎪+-+⎝⎭ 1112212.11n n n n n +++=--=-++ 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，分组求和法以及裂项相消法求和，属于中档题. 19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）77. 【解析】 【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC . 又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且， 所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE . （2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥. 在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --7. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题. 20.在平面直角坐标系xOy 中，①已知点)3,0Q，直线:3l x =P 满足到点Q的距离与到直线l 2．②已知点()3,0,H G -是圆22:3210E x y x +--=上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P ．③点,S T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足63OP OS OT =+． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程； (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（2）设圆22:2O x y +=上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】（1）不管选条件几，22163x y +=；（2）以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【解析】 【分析】（1）若选①，则可设(),P x y ，根据距离之比可得,x y 满足的方程，化简后可得所求的方程.若选①，根据题设条件可得PH PE +=.若选③，，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程. （2）当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，根据它与圆相切可得()2221m k =+，再设()()1122,,,M x y N x y ，可用,M N 的横坐标表示以·OM ON为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和前述等式化简·OM ON 得到0OM ON =，从而可得以MN 为直径的圆过原点O .注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】解：（1）若选①，设(),P x y2=， 整理得22163x y +=. 所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选②，由22:210E x y +--=得(2224x y +=，由题意得PH PG =，所以PH PE PG PE EG HE +=+==>= 所以点P的轨迹C 是以H ，E为焦点的椭圆，且a c ==b =所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选③，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，故()229,x y ''+=*因为6333OP OS OT=+，所以3,x x y y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'， 将其代入()*得22163x y +=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.（2）当过点A 且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为xx ==当切线方程为x =时，,MN以MN 为直径的圆的方程为(222x y -+=.①当切线方程为x =((,M N， 以MN 为直径的圆的方程为(222x y ++=.②由①②联立，可解得交点为()0,0.当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，=()2221m k =+.联立切线与椭圆C 的方程22,1,63y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并消去y ，得()222124260k xkmx m +++-=.因为()()()2222221641226863k m kmm k ∆=-+-=---()()222822638410k k k =-+--=+>，所以切线与椭圆C 恒有两个交点.设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++， 因为()()1122,,,OM x y ON x y ==，所以()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()2222226411212m kmk km m k k--=+⋅+⋅+++ ()222222321663601212k k m k k k⨯+----===++. 所以OM ON ⊥.所以以MN 为直径的圆过原点()0,0. 综上所述，以MN 为直径的圆过定点()0,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆位置关系中的定点定值问题.前者可利用椭圆的定义（第一定义、圆锥曲线的统一定义）来求标准方程，也可利用动点转移来求标准方程.而直线与椭圆位置关系中的定点定值问题，一般要联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到定点定值.21.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时问x (单位：小时)的测试数据如下表：（1）根据电池放电的特点，剩余电量y 与行驶时间x 之间满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现y 与x 之间具有相关性．设ln y ω=，利用表格中的前8组数据求相关系数r ，并判断是否有99％的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；(当相关系数r 满足0.789r >时，则认为有99％的把握认为两个变量具有线性相关关系)（2）利用x 与ω的相关性及表格中前8组数据求出y 与x 之间的回归方程；(结果保留两位小数)（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望．1.1742 6.4862.45 1.70 1.303.22e ≈≈≈≈，，，． 表格中前8组数据的一些相关量：()()88888221111136,11.68, 2.18,42, 3.61ii i i i i i i i i xy x xy yω========-=-=∑∑∑∑∑，()()()()()88821111.70,11.83,8.35ii iiii i i x xy y x x ωωωω===-=--=---=-∑∑∑，相关公式：对于样本()(),1,2,3,,i i u i n υ=⋅⋅⋅，其回归直线u b a υ=+的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,nii i nii u ub a u b υυυυυ==--==--∑∑，相关系数()()niiu u r υυ--=∑【答案】（1）0.99r ≈-；有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系（2）0.203.22x y e -=（3）见解析，3.2 【解析】 【分析】（1）先求出相关系数0.99r ≈-，即得有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系； （2）先求出0.20 1.17x ω=-+，再求出所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即；（3）由题得X 的所有可能取值为2，3，4，再求出对应的概率，即得X 的分布列及数学期望．.【详解】解：（1）由题意知，()()80.99iix x r ωω--==≈-∑.因为0.990.789r ≈>，所以有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系. （2）对bxy ae =两边取对数得ln ln y a bx =+， 设ln ,=ln =a y bx μωωμ=+又，则，()()()818218.350.2042iii i i x x b x xωω==---==≈--∑∑，易知2.184.5,0.278xω==≈.()0.270.20 4.5 1.17bxμω=-=--⨯=所以0.20 1.17xω=-+.所以所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x xy e y e-+-==，即.（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2，3，4.()()()2635444646468881010102812,3,415153C C C C C CP X P X P XC C C=========.所以X的分布列如下：所以X的数学期望为()28116234 3.2151535E X=⨯+⨯+⨯==.【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查回归方程的求法，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数()()xf x e x a=+，其中e是自然对数的底数，a R∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）设()()2g x f x a x=--，讨论函数()g x零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是()1,a--+∞，减区间是(),1a-∞--.（2）见解析【解析】【分析】（1）求导函数()f x'，分别令()0,()0f x f x''><，解出不等式，即可得到函数()f x的单调区间；（2）由2()(),0g x f x a x=--=得方程()0x ax e x--=，显然0x=为此方程的一个实数解.当0x≠时, 方程可化简为0x ae x--=，设函数(),x ah x e x-=-利用导数得到()h x的最小值, 因为min()()1h x h a a==-，再对a讨论，得到函数()g x的零点个数.【详解】解：（1）因为()()xf x ex a =+，所以()()1x f x e x a '=++.由()0f x '>，得1x a >--；由()0f x '<，得1x a <--. 所以由()f x 的增区间是()1a --+∞,，减区间是(),1a -∞--. （2）因为()()()22x ax a g x f x a x xex x e x --=--=-=-.由()0g x =，得0x =或0x a e x --=. 设()x ah x ex -=-，又()00a h e -=≠，即0x =不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数. 因为()1x ah x e-'=-，所以当(),x a ∈-∞时，()()0,h x h x '<单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增. 所以当x a =时，()h x 取得最小值()1h a a =-. ①当()0h a >，即1a <时，无零点；②当()0h a =，即1a =时， ()()0,h x h x >有唯一零点； ③当()0h a <，即1a >时，因为()00ah e-=>，所以()h x 在()a -∞，上有且只有一个零点. 令2x a =，则()22ah a e a =-.设()()()()22120aaa h a e a a a e ϕϕ'==->=->，则，所以()a ϕ在()1+∞，上单调递增， 所以，()1,a ∀∈+∞，都有()()120a e ϕϕ≥=->. 所以()()2ah a a e a ϕ==-2>0.所以()h x 在(),a +∞上有且只有一个零点. 所以当1a >时，()h x 有两个零点综上所述，当1a <时，()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 有两个零点； 当1a >时，()g x 有三个零点.【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.。
2020届山东省滨州市高三三模考试数学试题(解析版)
2020届山东省滨州市高三三模考试数学试题一、单选题1．已知集合{}41,M x x n n Z ==+∈，{}21,N x x n n Z ==+∈，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．M N ∈D ．N M ∈【答案】A【解析】将集合M 改写为{}221,M x x n n Z ==⨯+∈，由2n 是偶数可得出集合M 与N 的包含关系. 【详解】{}{}41,221,M x x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈，当n 为整数时，2n 为偶数，又{}21,N x x n n Z ==+∈，因此，M N ⊆.故选：A. 【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为（ ） A ．10x ey e +-+= B ．10x ey e -+-= C ．0x ey += D ．0x ey -=【答案】D【解析】首先求出函数的导函数，即可求出函数在x e =处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程； 【详解】解：因为ln y x =，所以1y x '=，所以1|x e y e='= 又当x e =时，ln 1y e == 所以切线方程为()11y x e e-=-整理得0x ey -= 故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.3．已知x ∈R ，当复数()3z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）A ．B ．2C ．2-D ．2i -【答案】C【解析】求得复数z 的模的表达式，结合二次函数的性质求得x 为何值时模最小，进而求得z 的虚部. 【详解】依题意z ===故当1x =时，z取得最小值.此时2z i =，所以z 的虚部为2-.故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的模的运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.4．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD ．若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B【解析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可. 【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ， 因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂； 同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线， 因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5．已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤=（ ） A ．0.3413 B ．0.6826C ．0.1587D ．0.0794【答案】A【解析】依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872100.34132P ξ-⨯-<≤==．故选A ．6．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（ ）A ．916B ．419C ．2764D ．827【答案】C【解析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积. 【详解】由于图1阴影部分的面积为1，图2的阴影部分的面积为33144⨯=， 图3的阴影部分面积为3344⨯，所以图4的阴影部分的面积为3332744464⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.7．已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C【解析】求得,A B 两点的坐标，根据抛物线的定义转换MNE 周长的表达式，由此求得MNE 的周长的取值范围. 【详解】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得((,2,A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =，所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查圆的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=-，可设3mOC OD -=，且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S DCD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=-得：12333mOA OB OC +=- 设3mOC OD -=，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线，0m >,3OD m OC ∴= 3313mOD m m m CD ∴==++ 734AOB ABC D S OD m S m C ∆∆∴+=== 4m ⇒= 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、多选题9．2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是（ ）（年底贫困人口的线性回归方程为1609.915768y x =-+(其中x =年份-2019)，贫困发生率的线性回归方程为 1.672916.348y x =-+(其中x =年份-2009)）A ．2010年～2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降B ．2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低C ．2010年～2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6％D ．根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫 【答案】BD【解析】根据统计表计算出每年脱贫的人口，由此判断出正确选项. 【详解】每年脱贫的人口如下表所示：由于缺少2009年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC 选项错误. 根据上表可知：2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低，故B 选项正确.根据上表可知，2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，2019年年底，贫困人口551万，故预计到2020年底我国将实现全面脱贫，故D 选项正确. 综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查统计表分析和数据处理，属于中档题. 10．已知曲线12:3sin ,:3sin 24C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移4π个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C D ．把1C 向左平移8π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线2C 【答案】AC【解析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项. 【详解】由1:3sin C y x =变换到2:3sin 24C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 若先伸缩后平移，则把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2C . 若先平移后伸缩，则把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C . 所以正确的选项为AC 故选：AC 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11．已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD【解析】根据点()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----满足曲线方程，判断出ABC 选项正确.画出曲线C 在第一象限内的图形，并计算出其面积.根据对称性，计算出曲线C 所围成图形的面积.【详解】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确.当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1，半径为2的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为()211222222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12．已知函数()xxf x e ex -=++．则下面结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[)0,+∞上为增函数C ．若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D ．若()()11f x f -<-，则02x <<【答案】BCD【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数可判断函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，可判断B 选项的正误；求得当0x >时，1f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围，结合偶函数的性质可判断C 选项的正误；利用偶函数和单调性解不等式()()11f x f -<-，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，函数()xxf x e ex -=++的定义域为R ，()()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，则函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，当0x ≥时，()xxf x e ex -=++，则()11x x f x e e -'=-+≥，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，B 选项正确；对于C 选项，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=， 由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，此时()2221222f x f e e e x -⎛⎫+≥=++>+ ⎪⎝⎭，由于函数1y x x =+为奇函数，当0x <时，12x x --≥=，2112f x f x e x x ⎛⎫⎛⎫+=-->+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，当0x ≠时，212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，由于函数()y f x =为偶函数，由()()11f x f -<-得()()11fx f -<，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则11x -<，解得02x <<，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13．()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数为__________． 【答案】30-【解析】先求得101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得6x 的系数. 【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()10110210101r r r r r rC x x C x ---⋅⋅-=-⋅⋅. 10243r r -=⇒=，10262r r -=⇒=，根据乘法分配律可知，()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项为()()()32234266610101211209030x C x C x x x ⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-+⋅=-.所以6x 的系数为30-. 故答案为：30- 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题. 14．已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，PA ⊥平面,26,ABC PA BC ==AB AC ⊥，则球O 的表面积为__________．【答案】45π【解析】画出图象，利用补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，故可将P ABC -补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P ABC -的外接球，也即球O . 由于26,3PA BC BC ===，设,AB a AC b ==，则2229a b BC +==，所以长方体=设球O 的半径为R ，则2R =所以球O 的表面积为2445R ππ=. 故答案为：45π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.15．已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞，使得()()12f x h x =，则实数a 的最大值为__________．【答案】2【解析】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系求实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--，3x ≥ ()112222422x x x x =-++≥-⨯=--， 等号成立的条件是122x x -=-，即3x =，成立， 即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞()()41x h x a a =->，是增函数，当[)3,x ∈+∞时，函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：12a <≤， 所以实数a 的最大值是2. 故答案为：2 【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于基础题型.四、双空题16．已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2，παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭则()cos αβ-=________，αβ-=________．【答案】12 3π- 【解析】将条件变形sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，然后两式平方相加即可得到()cos αβ-，再通过条件推出αβ-所以在范围，即可得αβ-. 【详解】解：由已知得sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-， 将上述两式两边同时平方后相加可得222222sin cos sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos γγββααααββ+=-++-+，整理得()()122sin sin cos cos 22cos βααβαβ=-+=--， 即()1cos 2αβ-=， 又由已知0,,,022ππαβ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 又sin sin sin sin βαγα=+>，，则,02παβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 3παβ∴-=-.故答案为：12；3π-. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.五、解答题17．如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD ，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数； （2）求四边形ACDP 面积的最大值． 【答案】（1）298cos PC θ=-， 02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）5【解析】（1）根据图形，解三角形，利用余弦定理，将线段PC 的长表示为θ的函数； （2）将四边形ACDP 面积表示为角θ的函数,再利用三角函数求最值. 【详解】解：（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形， 又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.在3,△中，PAC AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅ 2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-.所以298cos PC θ=-， 定义域为02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）四边形ACDP 面积为S ， 则211=sin 22△△APC PCD S S S AP AC PC θ+=⋅⋅+ ()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⋅⋅⋅+⋅-()31sin 254cos 222θθ=+⋅- 35sin 22cos 222θθ=-+()954sin 242θϕ=+-+ ()55sin 2,22θϕ=-+ 其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角. 因为43sin 52，ϕ=<所以03πϕ<<. 又因为02πθ<<，所以23πθϕπ-<-<，所以当2=2πθϕ-时，S 取得最大值为55=522+.所以四边形ACDP 面积的最大值为5 . 【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角θ的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18．在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，(),n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,12,23,31,4,12a a a ===．（1）求数列(){},2n a 的通项公式；（2）设()()2,2,211log ,n n n n n n b a c a b b +==+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）(),22=nn a （2）122.1++=-+n n n S n 【解析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()2.21a q d =+，()()23.312a q d =+即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得n b n =，1121n n c n n =+-+，再利用分组求和与裂项相消法求和即可； 【详解】解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >， 则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()()2.2 1.21a qa q d ==+，从而()14q d +=.① ()()()223.3 1.312a q a q d ==+，从而()21212q d +=②联立①②解得，1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）从而()1.22a =， 所以()()11,2 1.2222n n n n a a q--=⋅=⨯=.（2）由（1）知，(),22=nn a . 所以()22,2log log 2nn n b a n ===，所以()1112211nn n c n n n n =+=+-++，所以1231n n n S c c c c c -=+++⋅⋅⋅++23111111111112222212233411n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+⋅⋅⋅++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23111111111222221223341n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122111121n n n n +-⎛⎫+-=+- ⎪+-+⎝⎭ 1112212.11n n n n n +++=--=-++ 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，分组求和法以及裂项相消法求和，属于中档题. 19．在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77. 【解析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC . 又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且， 所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE . （2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥. 在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以2214AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --的余弦值为77. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题. 20．在平面直角坐标系xOy 中，①已知点)3,0Q，直线:3l x =P 满足到点Q 的距离与到直线l 的距离之比为22．②已知点()3,0,H G -是圆22:3210E x y x +--=上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P ．③点,S T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足6333OP OS OT =+． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程； (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（2）设圆22:2O x y +=上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】（1）不管选条件几，22163x y +=；（2）以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【解析】（1）若选①，则可设(),P x y ，根据距离之比可得,x y 满足的方程，化简后可得所求的方程.若选①，根据题设条件可得26PH PE +=的曲线方程.若选③，，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程.（2）当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，根据它与圆相切可得()2221m k =+，再设()()1122,,,M x y N x y ，可用,M N 的横坐标表示以·OM ON 为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和前述等式化简·OM ON 得到0OM ON =，从而可得以MN 为直径的圆过原点O .注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】解：（1）若选①，设(),P x y2=， 整理得22163x y +=. 所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选②，由22:210E x y +--=得(2224x y +=，由题意得PH PG =，所以PH PE PG PE EG HE +=+==>=所以点P的轨迹C 是以H ，E为焦点的椭圆，且a c ==，故b =所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选③，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，故()229,x y ''+=*因为63OP OS OT =+，所以,x x y y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'， 将其代入()*得22163x y +=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22163xy +=.（2）当过点A 且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x x ==当切线方程为x =,MN以MN 为直径的圆的方程为(222x y -+=.①当切线方程为x =((,M N ， 以MN为直径的圆的方程为(222x y ++=.②由①②联立，可解得交点为()0,0.当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，=，故()2221m k =+.联立切线与椭圆C 的方程22,1,63y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并消去y ，得()222124260k xkmx m +++-=.因为()()()2222221641226863k m kmm k ∆=-+-=---()()222822638410k k k =-+--=+>，所以切线与椭圆C 恒有两个交点.设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++， 因为()()1122,,,OM x y ON x y ==，所以()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++ ()2222226411212m km k km m k k--=+⋅+⋅+++ ()222222321663601212k k m k k k⨯+----===++. 所以OM ON ⊥.所以以MN 为直径的圆过原点()0,0. 综上所述，以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆位置关系中的定点定值问题.前者可利用椭圆的定义（第一定义、圆锥曲线的统一定义）来求标准方程，也可利用动点转移来求标准方程.而直线与椭圆位置关系中的定点定值问题，一般要联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到定点定值.21．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时问x (单位：小时)的测试数据如下表：（1）根据电池放电的特点，剩余电量y 与行驶时间x 之间满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现y 与x 之间具有相关性．设ln y ω=，利用表格中的前8组数据求相关系数r ，并判断是否有99％的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；(当相关系数r 满足0.789r >时，则认为有99％的把握认为两个变量具有线性相关关系) （2）利用x 与ω的相关性及表格中前8组数据求出y 与x 之间的回归方程；(结果保留两位小数)（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望． 1.1742 6.486 2.45 1.70 1.30 3.22e ≈≈≈≈，，，． 表格中前8组数据的一些相关量：()()88888221111136,11.68, 2.18,42, 3.61i i i i i i i i i i x y x xy yω========-=-=∑∑∑∑∑，()()()()()88821111.70,11.83,8.35ii iiii i i x xy y x x ωωωω===-=--=---=-∑∑∑，相关公式：对于样本()(),1,2,3,,i i u i n υ=⋅⋅⋅，其回归直线u b a υ=+的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,nii i nii u ub a u b υυυυυ==--==--∑∑，相关系数()()()()12211niii n niii i u u r u u υυυυ===--=--∑∑∑【答案】（1）0.99r ≈-；有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系（2）0.203.22x y e -=（3）见解析，3.2【解析】（1）先求出相关系数0.99r ≈-，即得有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系；（2）先求出0.20 1.17x ω=-+，再求出所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即；（3）由题得X 的所有可能取值为2，3，4，再求出对应的概率，即得X 的分布列及数学期望．. 【详解】解：（1）由题意知，()()()()818822110.9942 1.70iii iii i x x r x x ωωωω===--==≈-⨯--∑∑∑.因为0.990.789r ≈>，所以有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系.（2）对bxy ae =两边取对数得ln ln y a bx =+，设ln ,=ln =a y bx μωωμ=+又，则，()()()818218.350.2042iii ii x x b x x ωω==---==≈--∑∑， 易知 2.184.5,0.278x ω==≈. ()0.270.20 4.5 1.17bx μω=-=--⨯=所以0.20 1.17x ω=-+.所以所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即.（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X 的所有可能取值为2，3，4.()()()2635444646468881010102812,3,415153C C C C C C P X P X P X C C C =========.所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为()28116234 3.2151535E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查回归方程的求法，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平和分析推理能力. 22．已知函数()()xf x ex a =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()2g x f x a x =--，讨论函数()g x 零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是()1,a --+∞，减区间是(),1a -∞--.（2）见解析【解析】（1）求导函数()f x '，分别令()0,()0f x f x ''><，解出不等式，即可得到函数()f x 的单调区间；（2）由2()(),0g x f x a x =--= 得方程 ()0x ax ex --=，显然 0x = 为此方程的一个实数解.当0x ≠时, 方程可化简为0x a e x --=，设函数(),x ah x ex -=-利用导数得到 ()h x 的最小值, 因为min ()()1h x h a a ==-，再对a 讨论，得到函数()g x 的零点个数. 【详解】解：（1）因为()()xf x ex a =+，所以()()1x f x e x a '=++.由()0f x '>，得1x a >--；由()0f x '<，得1x a <--. 所以由()f x 的增区间是()1a --+∞,，减区间是(),1a -∞--. （2）因为()()()22x ax a g x f x a x xex x e x --=--=-=-.由()0g x =，得0x =或0x a e x --=. 设()x ah x ex -=-，又()00a h e -=≠，即0x =不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数. 因为()1x ah x e-'=-，所以当(),x a ∈-∞时，()()0,h x h x '<单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增. 所以当x a =时，()h x 取得最小值()1h a a =-. ①当()0h a >，即1a <时，无零点；②当()0h a =，即1a =时， ()()0,h x h x >有唯一零点； ③当()0h a <，即1a >时，因为()00ah e-=>，所以()h x 在()a -∞，上有且只有一个零点. 令2x a =，则()22ah a e a =-.设()()()()22120aaa h a e a a a e ϕϕ'==->=->，则，所以()a ϕ在()1+∞，上单调递增， 所以，()1,a ∀∈+∞，都有()()120a e ϕϕ≥=->. 所以()()2ah a a e a ϕ==-2>0.所以()h x 在(),a +∞上有且只有一个零点. 所以当1a >时，()h x 有两个零点综上所述，当1a <时，()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 有两个零点； 当1a >时，()g x 有三个零点. 【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.。
2025届山东省北镇中学高三3月份模拟考试数学试题含解析
2025届山东省北镇中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．252．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．32363π+ B ．836π+C ．3231633π+D ．16833π+3．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．24．将函数f (x )=sin 3x 3 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论：①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④5．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．106．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x =-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=8．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )AB C ．4D ．29．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-11．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.12．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅=A ．32- B ．152 C ．32D ．152-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰．以下4个命题中，假命题的是（ ）A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2.已知集合，，那么的子集个数为（ ）A．B．C．D．3.设函数的定义域为R ，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=（ ）A ．-B ．-C ．-D．4. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）A ．72B ．120C ．216D ．2406. 从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为A．B．C．D．7. 已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．78.函数的大致图象是（ ）A．B．C．D．9.已知函数．下列命题中正确的是（ ）A ．的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B．在上单调递增，在上单调递减C．的最大值为，最小值为0D．的最大值为，最小值为10.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．作关于y 轴对称图形即可B ．向左平移个单位长度即可C．向左平移个单位长度即可D ．向右平移个单位长度即可11. 如图，点M 是棱长为l 的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题 (2)山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题 (2)三、填空题四、解答题A ．不存在点M 满足平面B ．存在无数个点M满足C ．当点M 满足时，平面截正方体所得截面的面积为D ．满足的点M的轨迹长度是12. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AA 1⊥平面ABC，，点D 为AB 的中点，，则下列结论正确的有（）A ．CD ⊥A 1DB ．平面A 1DC ⊥平面ABB 1A 1C ．平面A 1BC 1D．13.设，且，则m ＝________.14.已知，分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为______．15. 已知抛物线的准线与双曲线相交于，两点，双曲线的一条渐近线方程是，点是抛物线的焦点，且是正三角形，则双曲线的标准方程是__________．16. 已知椭圆的离心率为，且，，成等比数列.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，点为椭圆的下顶点，连接，，分别与轴交于，两点，求证：为定值.17. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，，且等式对任意成立.（1）求数列的通项公式；（2）将数列与的项相间排列构成新数列，，，，，，，，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和.18.如图，是以平行四边形的边为直径的半圆弧上一点，，，，，且为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．19. 已知数列的前n项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．20. 在锐角三角形ABC中，分别为角A，B，C的对边，且.(1)求角C；(2)若，求的周长的取值范围.21. 如图，在等腰三角形中，，，为线段的中点，为线段上一点，且，沿直线将翻折至，使.（I）证明：平面平面；（II）求直线与平面所成的角的正弦值.。
山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题
一、单选题二、多选题1.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点在的一条渐近线上，且（点为坐标原点），直线与轴交于点．若直线过线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2.若集合，，则“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件3. 若，，是正数，且，，，则的值是A ．3B ．4C ．5D ．64. 已知集合，，则下列关系正确的是（ ）A．B．C．D．5. 已知，数列为等比数列，，数列的前n 项和为，若对于恒成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 在中，，记，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．8. 函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知数列，，有，，，则（ ）A ．若存在，，则B．若，则存在大于2的正整数n，使得C ．若，，且，则D ．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列10.已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（ ）A ．为偶函数B ．的图象关于点中心对称C．是奇函数D．11. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题山东省滨州市滨城区北镇中学2022-2023学年高三上学期数学模拟试题三、填空题四、解答题12. 盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（ ）A ．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件B ．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件C ．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则13.已知数列的前n项和为，若，则数列的前n 项和为_______．14.设，，，若，，则的最大值为__________．15. 在等腰梯形ABCD中，，梯形ABCD 的面积为6，E 为AB 的中点，F 为线段AD上的动点（含端点），则的取值范围是______．16. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.17. 故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF 有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD 为矩形，AB ＝2AD ＝2EF ＝8，EF ∥底面ABCD ，EA ＝ED ＝FB ＝FC ，M ，N 分别为AD ，BC的中点．(1)证明：EF ∥AB 且BC ⊥平面EFNM ．(2)若二面角为，求CF 与平面ABF 所成角的正弦值．18.已知正数满足，求的最小值.19.设数列满足.(1)求的通项公式(2)记数列的前n项和为，是否存在实数k ，使得对任意恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数，，.(1)求在区间上的最值.(2)当时，恒有，求实数的取值范围.21. 已知函数，．(1)若对恒成立，求的取值范围；(2)证明：不等式对于正整数恒成立（其中为自然对数的底数）．。
山东省滨州市高三数学下学期3月模拟考试试题 文
高三数学（文史类）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设i 为虚数单位，则复数21i z i-=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、设集合1{1,10,},{|lg ,}10A B y y x x A ===∈，则A B =( ) A ．1{}10B ．{}10C ．{}1D ．φ 3、根据如下样本数据得到的回归方程为1212ˆ55yx =+，则m 的值为（ ） A ．1 B ．32C ．4D ．5 4、若向量(3,6),(4,2),(12,6)u v w =-==--，则下列结论中错误的是（ ）A ．u v ⊥B ．v w ⊥C ．3w u v =-D ．对任意向量AB ，存在实数,a b ，使AB au bv =+5、下列说法中，正确的是（ ）A ．“2000,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”B ．已知,p q 为命题，则“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件C ．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x >或1x <-，则21x >”D ．命题“若2a >，则12a a +-的最次奥之为2”为真命题6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,sin 3sin ,3A B C a π==ABC ∆的面积为（ ）A7、函数()2lg x f x x =的大致图象为（ ）8、若过点(2,0)P 的直线l 被圆22(2)(3)9x y -+-=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为（ ）A．4±．2± C ．1± D．±9、在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上的一个动点，已知点(1,1)Q -，那么PQ 的最大值为（ ）A．2 D．10、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递减，若实数a 满足()212(log )(log )21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．1[,2]2C ．[)2,+∞D ．[)1(0,]2,2+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
山东省滨州市数学高三文数第三次模拟考试试卷
山东省滨州市数学高三文数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·泰安期中) 已知集合 0，，，则等于A .B .C .D . 0，2. （2分） (2017高二上·钦州港月考) 某学校有教师160人,其中有高级职称的32人,中级职称的56人,初级职称的72人.现抽取一个容量为20的样本,用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数应为（）A . 4B . 6C . 7D . 93. （2分） (2018高二下·济宁期中) 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A .B .C .4. （2分）平面直角坐标系中，动点P(x,y),P1(x1,y1)，向量，且=(,),若P,P1在同一条直线上运动，则这样的直线（）A . 不存在B . 存在无数条C . 存在两条D . 存在一条5. （2分）(2019·浙江模拟) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .6. （2分）某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A .B . 8D . 127. （2分） (2018高一上·武邑月考) 已知定义在R上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为（）A .B .C .D .8. （2分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A . 6：5B . 5：4C . 4：3D . 3：29. （2分）(2017·临翔模拟) 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象的一个对称轴是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·嘉兴期末) 已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1 ，且a1+b1=5，a1 ，b1∈N* ，设cn=a ，则数列{cn}的前10项和等于（）B . 70C . 85D . 10011. （2分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)．且点C与点D在函数的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）A .B .C .D .12. （2分）奇函数在区间上是增函数，且，当时，函数对一切恒成立，则实数t的取值范围是（）A .B . 或C . 或D . 或或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·石家庄期中) 已知函数f（x）=x+ +b（x≠0），其中a，b∈R．若对任意的a∈[ ，2]，不等式f（x）≤10在x∈[ ，1]上恒成立，则b的取值范围为明________．14. （1分）(2020·淮南模拟) 若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为________15. （1分） (2016高二上·金华期中) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆C上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b的取值范围是________．16. （1分） (2019高二上·长沙期中) 椭圆短轴的长为，则实数 ________.三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2018高一下·四川期中) 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为，距离为15海里的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以15海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以海里/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.18. （10分） (2018高三上·沧州期末) 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，点在线段上，且 .（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19. （15分） (2019高二上·水富期中) 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机调查了5对父子的身高，统计数据如下表所示．编号A B C D E174176176176178父亲身高175175176177177儿子身高参考公式：，；回归直线：．（1）从这五对父子任意选取两对，用编号表示出所有可能取得的结果，并求随机事件“两对父子中儿子的身高都不低于父亲的身高”发生的概率；（2）由表中数据，利用“最小二乘法”求关于的回归直线的方程．20. （10分） (2018高三上·丰台期末) 已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点在椭圆上，线段与线段交于点，若与的面积之比为，求点的坐标.21. （10分）已知函数f（x）= ﹣alnx（a∈R）．（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间．22. （10分） (2017高二上·衡阳期末) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．23. （10分） (2017高三下·成都期中) 设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣ t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2022年山东省滨州市北镇中学高三数学文测试题含解析
2021-2022学年山东省滨州市北镇中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程的四个根组成一个首项为的等比数列，则（）A.1B.C.D.参考答案：B2. 已知等差数列{}的各项均为正数，观察程序框图：若n＝3时，S＝；n＝9时，S＝，则数列的通项公式为A．2n－1 B．2n C．2n＋1 D．2n＋2参考答案：A略3. “”是“成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4. （5分）（2015?陕西一模）设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A． B．（﹣∞，1] C． D．参考答案：【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解：由A中y=lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，解得：x＜，即A=（﹣∞，），由B中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1]．故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5. 在等差数列中，若，则此数列的前13项的和等于（） A．8 B．13 C．16 D．26参考答案：B6. 已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足，当取最小值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．参考答案：C考点：抛物线的性质及双曲线的简单性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其抛物线的定义的应用，双曲线的标准方程及其简单的几何性质、离心率的求解，其中由抛物线的定义，得出，设的倾斜角为，则，当取得最小值时，最小，判定得到此时直线与抛物线相切是解答本题的观念，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．7. 已知函数的三个零点值分别可以作抛物线，椭圆，双曲线离心率，则的取值范围 ( )A. B. C. D.参考答案：D 8. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）参考答案：C略9. 观察下列等式：，，，记.根据上述规律，若，则正整数n的值为（）A. 8B. 7C. 6D. 5参考答案：D【分析】由规律得再解方程即可【详解】由已知等式规律可知，当时，可得.故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10. 下列有关命题的说法错误的是（）A．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．若命题p：?x0∈R，x≥0，则命题￢p：?x∈R，x2＜0D．“sinx=”的必要不充分条件是“x=”参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用；2J：命题的否定．【分析】利用复合命题的真假判断A，充要条件判断B、D，命题的否定判断C的正误即可．【解答】解：若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，满足复合命题的真假关系，正确．“x=1”可能“x≥1”，但是后者不能推出前者，所以“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，正确．命题p：?x0∈R，x≥0，则命题￢p：?x∈R，x2＜0，满足命题的否定形式，正确．“sinx=”的必要不充分条件是“x=”，应该是充分不必要条件．所以，错误．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为参考答案：略12.函数的反函数是________________________参考答案：答案：13. 曲线y=e x 在点(0，1)处的切线方程为_________________参考答案：试题分析：曲线在点处切线的斜率，所以切线方程为即.考点：导数的几何意义.14. 设曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为： .参考答案：315. （07年宁夏、海南卷理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）参考答案：答案：240解析：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，共有种安排方法。
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山东省滨州市北镇中学2015届高三3月模拟考试试题（文）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、设i 为虚数单位，则复数21
i z i
-=
在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、设集合1
{1,10,
},{|lg ,}10
A B y y x x A ===∈，则A B =( ) A ．1
{}10
B ．{}10
C ．{}1
D ．φ
3、根据如下样本数据
得到的回归方程为1212
ˆ55y
x =+，则m 的值为（ ） A ．1 B ．
3
2
C ．4
D ．5
4、若向量(3,6),(4,2),(12,6)u v w =-==--，则下列结论中错误的是（ ） A ．u v ⊥ B ．v w ⊥ C ．3w u v =-
D ．对任意向量AB ，存在实数,a b ，使AB au bv =+ 5、下列说法中，正确的是（ ）
A ．“2
000,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”
B ．已知,p q 为命题，则“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件
C ．命题“若2
1x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x >或1x <-，则2
1x >”
D ．命题“若2a >，则1
2
a a +
-的最次奥之为2”为真命题 6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知,sin 3sin ,3
A B C a π
=
==ABC ∆的面积为（ ）
A
B
C
D
7、函数()2lg x
f x x
=
的大致图象为（ ）
8、若过点(2,0)P 的直线l 被圆22(2)(3)9x y -+-=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为（ ） A
．4±
B
．2± C ．1± D
．±9、在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组220
21020x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，所表示的区域上的一个动点，
已知点(1,1)Q -，那么PQ 的最大值为（ ）
A
．2 D
．10、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递减，若实数a 满足
()212
(log )(log )21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,2
B ．1[,2]2
C ．[)2,+∞
D ．[)1(0,]
2,2
+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
.
11、执行如图程序框图，如果输入1x =-，那么输出的最后一个y 的 值为
12、在某次测量中得到的A 样本数据如下：43,44,47,53,43,51，若B 样本样本数据恰好为A 样本数每个都减3后所得数据，侧A 、B 两样本的 数字下列数字特征对应相同的 （写出所有正确的数字特征的序号）
①平均数 ②标准差 ③众数 ④中位数
13、一个四棱锥的底面是正方形，其正视图和侧视图均为如图所示的 等腰三角形，则该四棱锥的侧面积为
14、已知函数()2210
20
x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若函数()y f x m =-有三个
零点，则实数m 的取值范围是
15、抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(
0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2
21x y a
-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则双曲线的离心率 为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）
在一次抽奖活动中，被记为,,,,,a b c d e f 的6人有获奖机会，抽奖规则如下：主办方先从这6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这余下的4人中随机抽取1人获三等奖，如果在每次抽取中，参与当次抽奖的人被抽到的机会相等。
（1）求a 获一等奖的概率；
（2）若,a b 已获一等奖，求c 能获奖的概率。
17、（本小题满分12分）
已知函数(
)2sin cos 0)2
f x wx wx wx w =+-
>，直线12,x x x x ==是
()y f x =图象在任意两条对称轴，且12x x -的最小值为
4
π。
（1）求w 的值；
（2）将函数()f x 的图象向右平移
8
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原
来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值。
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 是AC 的中点，30,2CAD AB ∠==，点N 在线段PB 上，且
1
3
PN NB =。
（1）求证：BD PC ⊥； （2）求证：//MN 平面PDC 。
19、（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5725,13S a ==，数列{}n b 的前n 项和为
,21n n n T T b =-
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n Q 。
20、（本小题满分13分） 已知函数()1ln (1)a
f x x a x a x
+=+
->- （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在区间[]1,( 2.718e e =为自然数的底数)上存在一点0x ，使得
0()0f x <成立，求实数a 的取值范围。
21、（本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，且2F 的坐标为()1,0，离心
率为
12。
直线:l x my c =+与椭圆C 交于,M N 两点，当m =时，M 是椭圆C 的上顶点，且12MF F ∆的周长为6. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 是椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为4x =，过2F 的直线l '与椭圆C 相交于异于点A 的,P Q 两点。
①求AP AQ ⋅的取值范围；
②若直线,AP AQ 与直线l 分别相交于,M N 两点，求证：两动点,M N 的纵坐标之积为定值，并求此定值。