第一讲 排列组合(加法与乘法原理)
排列组合问题之—加法原理和乘法原理
排列组合问题之—加法原理和乘法原理华图教育梁维维加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。
1.加法原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。
例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。
加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。
【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。
在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。
例如如下的两道题：【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A.7种B.12种C.15种D.21种【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。
所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。
对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。
总的情况数等于每类的情况数加和。
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= (21)种不同的方法。
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。
（3）特点：分成几类，就有几项相加。
2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。
（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。
（3）特点：分成几步，就有几项相乘。
二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。
（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。
（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。
（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。
（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n mn尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
排列组合第一讲分类加法与分步乘法计数基本知识
两个计数原理【知识网络】【典型例题】题型一、分类加法计数原理例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.2例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【变式练习】1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个．2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）A．21种B．315种C．143种D．153种例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )．A．4种B．10种C．18种D．20种方法总结分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【变式练习】1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．120 B．98 C．63 D．562．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.83．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )．A．238个B．232个C．174个D．168个例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A．10 B.11 C.12 D.15【变式练习】1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。
加法原理和乘法原理PPT课件
小结：完成一件工作有以下两种不同的方式；
第一种方式：用不同类的办法去完成一件工作，每类 办法中的任意一种方法都可以从头至尾把这件工作做 完。 第二种方式：分成几个步骤去完成一件工作，每个步骤中 的任意一种方法只能完成这件工作的一部份，这几个步骤 都完成 了，这件工作才能做完。 （二）加法原理和乘法原理： 完成一件工作的不同方法的总数怎样计算？ 加法原理：做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办 法中有m1种方法 第二类中有m2种方法· · · · · · · ，第n类办法中 有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+· · · · · · · · +mn种 不同的方法。 问题1第一类办法是走旱路有3种不同的走法 第二类办法是走水路有2种不同的走法 由加法原理共有3+2=5种不同的走法。
解：（1）组成允许有重复数字的三位数这件事可分三个步 百 十 个 骤完成； 第一步确定百位上的数字；有5种不同的方法 位 位 位 第二步确定十位上和数字；有5种不同的方法， 第三步确定个位数字；有5种不同方法 ， 由乘法原理：5×5×5=125 答：可组成允许重复数字的三位数125个 由同学完成第（2）题 5×4×3=60种 项 例3：求（a+b+c+d）· （e+f+g）展开式中的项数。 解：第一步在前一个因式中取一项，有4种取法， 第二步在后一个因式中取一项，有3种取法， 由乘法原理：3×4=12 答：展开式中共有12项。 ·
甲 地
乙 地
解：完成由甲地到乙地这件事有三类办法： 第一类办法坐火车，一天中有2种不同走法， 第二类办法坐汽车，一天中有3种不同走法 第三类办法坐轮船，一天中有4种不同走法。 由加法原理得：2+3+4=9 答：有9种不同走法。
排列组合
练习5
8.用20个不同颜色的念珠穿成一条项链,能做 多少个不同的项链 9.在单词MISSISSIPPI 中字母的排列数是 10求取自1,2,...k的长为r的非减序列的个数为
• (20!/20)
(11!/(1!*4!*4!*2!) (c(r+k-1,r))
排列与组合的产生算法
1．排列的产生 方法１：（递归，深度优先产生） 程序如下： program pailei; const m=4; var a:array[1..m] of integer ; b:array[1..m] of boolean; /////////////////////////////////////////////////// procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; /////////////////////////////////////////////////// procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=1 to m do if b[i] then begin a[dep]:=i; b[i]:=false; if dep=m then print else try(dep+1); b[i]:=true; end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////
排列与组合的概念与计算公式
３．其他排列与组合公式 • 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝ p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. • n个元素被分成k类，每类的个数分别是 n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 =n!/(n1!*n2!*...*nk!). • k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素 的组合数为c(m+k-1,m).
排列组合问题2：加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理导言：加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。
把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。
一、概念（一）加法原理如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。
要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。
而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。
所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法（二）乘法原理如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。
选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。
从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
排列组合
排列组合【知识要点】加法原理和乘法原理是计数的基本原理，它是组合数学的主要课题之一，也是各种数学竞赛命题的热门专题。
当然我们的生活中更是有不少运用加法原理和乘法原理来计数的问题。
1．第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法，……，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n m m m m ++++ 种不同的方法。
1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n m m m m ⨯⨯⨯⨯ 种不同的方法。
2．解题思路: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是"分类"还是"分步"完成,对于元素之间的关系,还要考虑"是有序"的还是"无序的",也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理,排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:①特殊优先法： 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些 特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法. 如：用0、1、2、3、4、5可以组成几个没有重复数字的三位偶数？②科学分类法： 对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生。
例如: 从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有____种答案:（350）③插空法： 解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决。
例如:7 人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是 ______.(答案:3600)解答:分步计算: 第一步:先排其它 5 人,一共有 A(5,5)=120 种方法, 第二步:5 个人一共有 6 个空隙,从这 6 个空隙中任选 2 个进行排列,一共有 A(6,2)=30 种方法. 所以一共有 120×30=3600 种方法.④捆绑法：相邻元素的排列,可以采用"整体到局部"的排法,即将相邻的元素当成"一个"元素进行排列,然后再局部排列。
加法原理和乘法原理
5*5*5=125
5*4*3=60
（2）用1，2，3，4，5五个数可以组成多少个无
重复数字的三位数？三位奇数？3*4*3=36
3*4*4=48
（3）用0，1，2，3可以组成多少个三位数？
（4）用0，1，2，3可以组成多少个无重复数字的
三位数？
3*3*2=18
例6：540的不同正约数共多少个？正偶约数呢？
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C
村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少
种不同的走法? 北
提问1：完成生产试验这件事，需要多少步骤？ 提问2：完成这件事，能否一步完成？若不能，具体分 哪些步？画出树图。
例3：已知M={1，2，3，4，5}，z=a+bi,a、 b∈M，求满足条件的复数z的个数。
解: 完成这件事, 需分2步完成, 第一步, 实部a有 m1 = 5 种方法; 第二步, 虚部b有 m2 = 5 种方法;
所以, 根据乘法原理, 共有N=5×5=25个复数z.
例4：问(a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 b4 )(c1 c2 ) 展开后共有多少项？
分析：多项式展开后的项数是计数问题，展开后的 多项式的项可看作是从第一个括号内取一个数，从 第二个括号内取一个数，再从第三个括号内取一个 数相乘而得。 树图： 解：确定多项式的每一项需要分三个步骤完成：
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 乘法原理 做一件事情，完成它需要分成n个步骤， 做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同 的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么 完成这件事有
第一讲 排列组合(加法与乘法原理)
第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
例1：（1）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中取一本，共有多少种不同的取法？（2）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中各取一本，共有多少种不同的取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g的砝码各一个，能称出多少种不同的重量？例3：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种。
加乘原理和排列组合
加乘原理和排列组合排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．(一)两个基本原理是排列和组合的基础(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．(二)排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！(三)组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
排列组合(加法与乘法原理)
第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法，在第二类方法中有m2种不同地方法，……，在第N类方法中有mn种不同地方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法.运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务地任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点，不同地问题，分类地标准往往不同，需要积累一定地解题经验.2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数，关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤，各个步骤之间是相互联系地，任何一步地一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1：（1）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中取一本，共有多少种不同地取法？（2）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中各取一本，共有多少种不同地取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同地走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤.他要各买一样，共有多少种不同地买法？例2：用1角、2角和5角地三种人民币（每种地张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g地砝码各一个，能称出多少种不同地重量？例3：各数位地数字之和是24地三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数；（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同地走法？练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近地道路有几条？（2）如果沿图中地线段，以最短地路程，从A点出发到B点，共有多少种不同地走法？巩固练习：1、学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种.2：学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种.3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法.4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6：小红有不同地上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同地穿着方法？7.数字和是4地三位数有个.8：小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同地选择方法？9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色地小旗各取一款，有（）不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=Cnn=1证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
排列组合与概率初步专题讲义
排列组合与概率初步专题讲义一、排列组合1、两个基本原理（加法原理与乘法原理） 类型一、排数字问题1. 用0、1、2、3、4、5这六个数字（1） 可以组成多少个各位数字不重复的三位数？ （2） 可以组成多少个各位数字允许重复的三位数？ （3） 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数？ （4） 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数？（5） 可以组成多少个大于3000小于5421且各位数字不重复的四位数？2.从1到9这9个自然数中，任取3个数作数组),,(c b a ，且c b a >>，则不同数组共有（ ）个。
A. 21 B. 28 C. 56 D. 84 E. 343类型二、投信问题（分房问题）3、将3封信投入4个不同的信箱，则不同的投信方法种数是（ ） A.43⨯ B. 43 C. 34 D. 7 E. 以上结论均不正确4、有4名学生参加数、理、化三科竞赛，每人限报一科，则不同的报名情况有（ ） A. 43 B. 34 C. 321 D. 432 E. 以上结论均不正确5、6个人分到3个车间，共有不同的分法（ ） A. 63 B. 36 C. 18 D. 747 E. 以上结论均不正确6、6个人分工栽3棵树，每人只栽1棵，则共有不同的分工方法（ ） A. 63 B. 3240 C. 36 D. 120 E. 以上结论均不正确类型三、染色问题7、用5种不同的颜色给图中的A,B,C,D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则共有多少种不同的涂色方法？8、有6种不同的颜色为下列广告牌着色，要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）区域中不用同一种颜色，则不同的着色方法有（）种A. 64B. 46C. 24D. 240E. 480类型四、较复杂的两个原理的综合问题9、现有高一学生8人，高二学生5人，高三学生10人，组成数学课外活动小组，（1）选其中1个为总负责人，有多少种不同的选法？（2）每一个年级选1名组长，有多少种不同的选法？（3）在一次活动中，推选出其中2人作为中心发言人，要求2人来自不同的年级，有多少种不同的选法？10、某赛季足球比赛计分规则是：胜一场，得3分，平一场，得1分，负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该球队胜、负、平的情况共有（）种A. 3B. 4C. 6D. 6E. 711、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A. 25B. 26C. 30D. 36E. 3712、若直线方程0a,可以从这五个数字0，1，2，3，4这五个数字中任取两个ax中的b+by=不同的数字，则方程所表示的不同的直线共有（）种。
排列组合之加法与乘法原理
丙地
丁地
点评
• 解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成”,还是“分步完成”。“分类 完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘 法原理”。
练习
• 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 • (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选 法？ • (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加 座谈会,有多少种不同的选法？
如上图，从A到C分2步： 第一步，由A到B，有2条路； 第二步，由B到C，有3条路。 所以，从A到C共有 2×3=6 条路。
加法原理与乘法原理
• 加法原理和乘法原理是解排列组合题目的最基本 的出发点。 • 要做一件事，完成它有n类办法，是分类问题，每 一类中的每一个方法都是独立的，因此用加法原 理； • 要做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续 的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次 相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。 • 完成一件事的分“类”和分“步”是有本质区别 的，因此也将两个原理区分开来。
例
• 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班，汽车有2班， 轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？ • 分析：从甲地到乙地有3类方法， 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。
回答下面的问题 : 1. 本节课学习了那些主要内容？ 答: 加法原理和乘法原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同, 加 法原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个 方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”, 即这 些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了, 才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
加减乘除学习方法利用排列组合理解运算规律
加减乘除学习方法利用排列组合理解运算规律在学习加减乘除运算的过程中，我们常常遇到一些复杂的计算问题，需要根据一定的规律进行运算。
而排列组合作为一种重要的数学方法，可以帮助我们更好地理解运算规律，从而提高我们的计算能力。
本文将介绍一些利用排列组合来学习加减乘除的方法，帮助我们更好地掌握运算技巧。
一、排列组合的基本概念及应用1.1 排列的概念排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，排列的顺序是重要的。
当从n个不同的元素中选取m个元素进行排列时，排列的总数为P(n,m)，计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
1.2 组合的概念组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，组合的顺序是不重要的。
当从n个不同的元素中选取m个元素进行组合时，组合的总数为C(n,m)，计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)1.3 应用举例通过排列组合的方法，我们可以解决一些实际问题。
比如，有5个不同的字母A、B、C、D、E，要求从中选出3个字母，可以有多少种不同的组合方式？根据组合的计算公式，我们可以得到：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)! ) = 5! / (3! * 2!) = 10因此，从5个字母中选出3个字母共有10种不同的组合方式。
二、加减乘除的应用2.1 加法运算的应用在加法运算中，排列组合能够帮助我们理解和运用运算规律。
比如，如果要求解 3 + 4 + 5 + 6 + 7 的和，可以通过排列组合的方法将其变为一个排列问题，即从这5个数字中选取若干个数字进行排列。
假设我们要选取3个数字进行排列，那么排列的总数为P(5,3)，即5!/(5-3)! = 60。
因此，3 + 4 + 5 + 6 + 7 的和等于选取3个数字进行排列的结果的和，即60 × (3 + 4 + 5) = 1260。
加法原理和乘法原理及多重集的排列组合PPT课件
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加法原理应用
• 例：一名学生想选修一门数学课程或者一门生物课程。现有4门数学 课程和3门生物课程作为该生的选课范围，那么该生的选择有几种？
• 解：应用加法法则:4+3=7(种)
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乘法原理
乘法原理（multiplication principle）
•令S是元素的序偶（a,b）的集合，其中第一个元素来自大小为p的一个 集合，而对于a的每个选择，元素b存在着q种选择。于是S的大小为p×q； |S|=p×q •如果某事件能分成连续n步完成，第一步有r1种方式完成，且不管第一 步以何种方式完成，第二步都始终有r2种方式完成，而且无论前两步以 何种方式完成，第三步都始终有r3种方式完成，以此类推，那么完成这 件事共有r1×r2×…×rn种方式 •注意，运用乘法原则，后步结果可随前步结果而变化，但每一步完成方 式的数量却是固定不变，不依赖任何一步。
个子集，该子集由S得n个元素中的r个组成，即S的元素一个r-子集。
•
如果r>n,则
C
r n
=0
•如果r≤n，Crn Nhomakorabean! r!(n r)!
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10
集合组合的应用
• 例：平面上给出25个点，没有3个点共线。这些点确定多少条直线？
确定多少个三角形？
• 解：因为没有3个点处于同一条直线上，每一对点就确定一条直线。
13
多重集组合
•如果S是1个多重集，那么S的r-组合数S中的r个元素的一个无序选择。 因此，S的一个r-组合本身就是一个多重集——S的一个含r个元素的子多
重集。
•令S为具有k种类型元素的一个多重集，每种元素均具有无限的重复数。
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第1讲排列组合（加法与乘法原理）
1、加法原理：
完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m
1
种不同的方法，在第二
类方法中有m
2种不同的方法，……，在第N类方法中有m
n
种不同的方法，那么
完成这件工作共有N＝m
1＋m
2
＋m
3
＋…＋m
n
种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
2、乘法原理：
完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m
1
种方法，完成第二个步
骤有m
2种方法，…，完成第N个步骤有m
n
种方法，那么，完成这件工作共有
m 1×m
2
×…×m
n
种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步
骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
例1：（1）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中取一本，共有多少种不同的取法？
（2）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中各取一本，共有多少种不同的取法？
练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？
（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？
例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？
练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g的砝码各一个，能称出多少种不同的重量？
例3：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
练习：在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种。
例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同的四位数；
（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同的四位数。
练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同的四位数？
（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同的四位偶数？
（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同的四位数？
（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同的四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？
练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？
例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过。
问：这只甲虫最多有几种不同的走法？
练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？
（2）如果沿图中的线段，以最短的路程，从A点出发到B点，共有多少种不同的走法？
巩固练习：
1、学生饭堂有主食3种，副食有6种。
从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种。
2：学生饭堂有主食3种，副食有6种。
从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种。
3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法。
4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法。
5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.
6：小红有不同的上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同的穿着方法？
7.数字和是4的三位数有个.
8：小芳要买数学、语文、外语的参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同的选择方法？
9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.
10.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配的“IMO”.
11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色的小旗各取一款，有（）不同的取法。
12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同的进出路线。