乘法原理与排列组合

排列组合常见的九种方法

复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在n 1m 第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不2m n n m 同的方法，那么完成这件事共有：12nN m m m =+++L 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做n 1m 第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那2m n n m 么完成这件事共有：12nN m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同522522480A A A =的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：1、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 302、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种47A 方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。

乘法原理排列组合

乘法原理排列组合
乘法原理是组合数学中的基本原理之一，用于计算具有多个步骤或阶段的事件的总数。

根据乘法原理，如果一个事件需要依次经过多个步骤，每个步骤都有若干选项可选，则该事件的总数等于每个步骤的选项数的乘积。

例如，假设有一个有三个颜色的衣柜，一个有两个样式的鞋柜，一个有四个款式的帽子。

如果我们要从这些柜子中选择一件衣服、一双鞋子和一顶帽子，那么根据乘法原理，总的选择数等于3（衣柜中的选项数）乘以2（鞋柜中的选项数）乘以4
（帽子款式的选项数），即3×2×4=24。

乘法原理还可以用于计算排列和组合。

排列是从给定元素中选择若干个元素并按一定顺序进行排列的方式，而组合是从给定元素中选择若干个元素，不考虑顺序的方式。

例如，假设我们有5个人要从中选出3个人组成一个小组，那么按照乘法原理，总的组合数等于5（第一个人的选择数）乘
以4（第二个人的选择数）乘以3（第三个人的选择数），即
5×4×3=60。

这个计算结果表示了从5个人中选出3个人进行
排列的总数。

总之，乘法原理是一个非常有用且广泛应用于排列组合问题中的原理，可以帮助我们计算多个步骤的事件的总数。

在计算过程中，我们需要根据给定的问题情境确定每个步骤的选项数，并使用乘法运算求得最终结果。

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。

在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。

+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。

做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。

×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。

若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。

若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。

乘法原理和排列组合

乘法原理和排列组合
乘法原理是概率论中一种常用的计数方法。

它是指如果事件 A 可以发生的方式数为 m 种，事件 B 可以发生的方式数为 n 种，那么事件 A 和 B 同时发生的方式数为 m × n 种。

排列是从给定的对象中取出几个，按照一定的顺序排列起来；而组合是从给定的对象中取出几个，不考虑顺序。

举例来说，假设有 3 个任务，每个任务可以由 A、B、C 三个
人中的任何一个完成。

那么根据乘法原理，完成这 3 个任务的方式数为 3 × 3 × 3 = 27 种。

即每个任务有 3 种选择，总的方
式数为 3 的 3 次方。

再举一个例子，假设有 5 个人排队，他们的身高依次是A、B、C、D、E。

那么根据排列的定义，他们可以排列成的不同队形数为 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 种。

即第一个位置有 5 种选择，第
二个位置有 4 种选择，以此类推。

再来看一个组合的例子，假设有 7 个球员要从中选出 3 个进行比赛。

那么根据组合的定义，不考虑选出球员的顺序，选出的不同组合数为 C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 35 种。

即从 7 个球
员中选出 3 个的方式数为 35 种。

乘法原理和排列组合在概率论和统计学中都有广泛的应用。

它们是辅助计算事件发生方式数和计算概率的重要方法，可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的规律。

排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理

排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。

3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。

4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。

规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。

组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。

b=屋=题…---掰+。

_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。

它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。

排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。

排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。

排列组合知识点

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n nn n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合

练习5
8.用20个不同颜色的念珠穿成一条项链,能做多少个不同的项链 9.在单词MISSISSIPPI 中字母的排列数是 10求取自1,2,...k的长为r的非减序列的个数为
• (20!/20)
(11!/(1!*4!*4!*2!) (c(r+k-1,r))
排列与组合的产生算法
1．排列的产生方法１：（递归，深度优先产生）程序如下： program pailei; const m=4; var a:array[1..m] of integer ; b:array[1..m] of boolean; /////////////////////////////////////////////////// procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; /////////////////////////////////////////////////// procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=1 to m do if b[i] then begin a[dep]:=i; b[i]:=false; if dep=m then print else try(dep+1); b[i]:=true; end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////
排列与组合的概念与计算公式
３．其他排列与组合公式 • 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝ p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. • n个元素被分成k类，每类的个数分别是 n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 =n!/(n1!*n2!*...*nk!). • k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列组合问题2：加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理导言：加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。

把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。

一、概念（一）加法原理如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。

例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。

要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。

而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。

所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法（二）乘法原理如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。

例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。

选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。

从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。

奥林匹克数学题型乘法原理与排列组合

奥林匹克数学题型乘法原理与排列组合奥林匹克数学题型：乘法原理与排列组合在奥林匹克数学竞赛中，乘法原理与排列组合是常见且重要的题型。

它们通过将问题抽象为组合和排列的方式来解决，可以帮助学生培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

本文将详细讨论乘法原理和排列组合的概念，以及如何运用它们解决奥林匹克数学竞赛中的题目。

一、乘法原理乘法原理是指在多个独立事件的情况下，这些事件同时发生的可能性等于各个事件发生的可能性的乘积。

在解决问题时，我们可以将问题转化为多个独立事件的组合，并利用乘法原理求解。

例如，假设小明有 3 件外套和 4 条裤子，他想选择一件外套和一条裤子进行搭配。

按照乘法原理，他的选择可能性为 3 乘以 4，即 12 种搭配方式。

在奥林匹克数学竞赛中，乘法原理常常被用于解决涉及多个独立事件的排列组合问题。

学生需要找到问题中多个事件的发生方式，并利用乘法原理计算可能的结果数量。

二、排列组合排列组合是奥林匹克数学竞赛中的另一个重要概念。

它主要用于解决不同元素的排列和组合问题。

1. 排列在数学中，排列指的是从一组元素中，选择若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。

排列可以分为有放回和无放回两种情况。

有放回的排列指元素被选中后又放回到原来的组合中，不改变元素的个数。

无放回的排列指元素在选择后不放回，所以每次选择的元素个数会减少。

例如，小明有 3 个球员，他要选择其中 2 个球员组成一支队伍。

如果考虑排列，即按照一定的顺序进行选择，那么小明有 3 乘以 2，即 6 种不同的组队方式。

2. 组合组合是指从一组元素中，选择若干个元素进行组合，不考虑其顺序。

组合也可以分为有放回和无放回两种情况。

有放回的组合指元素被选中后又放回到原来的组合中，不改变元素的个数。

无放回的组合指元素在选择后不放回，所以每次选择的元素个数会减少。

继续以上面的例子，如果小明只需要选择 2 个球员组成球队，不考虑顺序，那么他有 3 种不同的组队方式。

高中数学排列组合总结及例题解析

高中数学排列组合总结及例题解析内容总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

排列组合(加法与乘法原理)

第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法，在第二类方法中有m2种不同地方法，……，在第N类方法中有mn种不同地方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法.运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务地任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点，不同地问题，分类地标准往往不同，需要积累一定地解题经验.2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数，关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤，各个步骤之间是相互联系地，任何一步地一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1：（1）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中取一本，共有多少种不同地取法？（2）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中各取一本，共有多少种不同地取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同地走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤.他要各买一样，共有多少种不同地买法？例2：用1角、2角和5角地三种人民币（每种地张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g地砝码各一个，能称出多少种不同地重量？例3：各数位地数字之和是24地三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数；（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同地走法？练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近地道路有几条？（2）如果沿图中地线段，以最短地路程，从A点出发到B点，共有多少种不同地走法？巩固练习：1、学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种.2：学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种.3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法.4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6：小红有不同地上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同地穿着方法？7.数字和是4地三位数有个.8：小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同地选择方法？9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色地小旗各取一款，有（）不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。

排列组合与概率原理及解题技巧

排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。

4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。

5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n nm n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。

排列组合(加法与乘法原理)

第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法，在第二类方法中有m2种不同地方法，……，在第N类方法中有mn种不同地方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法.运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务地任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点，不同地问题，分类地标准往往不同，需要积累一定地解题经验.2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数，关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤，各个步骤之间是相互联系地，任何一步地一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1：（1）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中取一本，共有多少种不同地取法？（2）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中各取一本，共有多少种不同地取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同地走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤.他要各买一样，共有多少种不同地买法？例2：用1角、2角和5角地三种人民币（每种地张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g地砝码各一个，能称出多少种不同地重量？例3：各数位地数字之和是24地三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数；（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同地走法？练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近地道路有几条？（2）如果沿图中地线段，以最短地路程，从A点出发到B点，共有多少种不同地走法？巩固练习：1、学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种.2：学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种.3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法.4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6：小红有不同地上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同地穿着方法？7.数字和是4地三位数有个.8：小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同地选择方法？9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色地小旗各取一款，有（）不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。

排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）

排列组合的⼀些公式及推导（⾮常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做⼀件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的⽅法，在第2类办法中有m2种不同的⽅法，…，在第n类办法中有m n种不同的⽅法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的⽅法。

分步计数原理：完成⼀件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的⽅法，做第2步有m2种不同的⽅法，…，做第n步有m n种不同的⽅法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×m n种不同的⽅法。

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同⼀事件分成若⼲步骤，每个步骤的⽅法数相乘才是总数。

排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，⽤符号A m n表⽰。

排列数公式A m n=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进⾏：取第⼀个：有n种取法；取第⼆个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。

排列数性质A m n=n A m−1n−1可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

A m n=m A m−1n−1+A m n−1可理解为：含特定元素的排列有m A m−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。

组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，⽤符号C m n表⽰。

组合数公式C m n=A m nA m m=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=C n n=1证明：利⽤排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

加法原理和乘法原理及多重集的排列组合

组合
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n）的所有组合的个数，记为C(n,m)或C(n,m)，读作“n选m的组合数”。
示例
排列
从3个人中选择2个人进行排列，有3!/(3-2)! = 6种排列方式。
组合
从3个人中选择2个人进行组合，有C(3,2) = 3种组合方式。
应用场景
密码学
排列和组合在密码学中有着广泛的应用，如加密算法的设计、密钥的管理等。
在实际应用中，加法原理和乘法原理可以帮助我们解决各种计数问题，例如组合数学中的组合问题、概率论中的概率计算等。
展望
随着科学技术的不断发展，计数原理的应用范围越来越广泛，尤其是在计算机科学、统计学等领域。
在未来，我们期待能够进一步深入研究加法原理和乘法原理的内在机制，以及它们在不同领域的应用，从而更好地解决各种计数问题。
定义2
在多重集的排列组合中，加法原理和乘法原理的应用更为广泛。多重集是指具有相同性质的多个元素的集合，这些元素可以重复出现。排列和组合是组合数学中的基本概念，用于描述集合中元素的不同排列和选择方式。
示例
要点一
示例1
考虑一个有3个不同数字（1、2、3）的集合，我们可以使用加法原理和乘法原理来计算这个集合的所有可能排列和组合的数量。根据加法原理，我们可以将问题分解为三个子问题： 1和2和3分别作为第一个数字，然后对剩下的两个数字进行全排列。因此，总共有3!（3的阶乘）种可能的排列方式。
要点二
示例2
考虑一个有3个相同数字（例如3个苹果）的集合，我们可以使用乘法原理来计算这个集合的所有可能排列和组合的数量。根据乘法原理，我们可以将问题分解为三个子问题：第一个苹果有3种选择方式，第二个苹果也有3种选择方式，第三个苹果同样有3种选择方式。因此，总共有3×3×3=27种可能的排列方式。

排列组合二项定理知识点总结

排列组合二项定理知识点总结一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列.从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：n m 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==nn n C C 2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a1，a2,…...an 其中限重复数为n1、n2……nk ，且n = n1+n2+……nk , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmm nm n -=+--== ⑶两个公式：①;mn nm n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有m nC ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 nn nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用mn m n m nC C C11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n nx x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nnC2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m mA 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mmn n A A /. ⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnn n k n kn AC C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CC C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n mn AAA/1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11 (21321)，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C. ⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k rn r r A A --. 1x 2x 3x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内。

MBA数学排列组合方法总结

排列组合方法总结一、知识点(一)加法原理如果完成一件事有n 类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事，若第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的办法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法.(二）乘法原理如果完成一件事，必须依次连续地完成n 个步骤，这件事才能完成，若完成第一个步骤有1m 种不同的方法，完成第二个步骤有2m 种不同的方法，…，完成第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅⋅ 种不同的方法-(三)排列 1.排列从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.排列数从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的种数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作mn P 或mn A .当m n =时，即从n 个不同元素中取出n 个元素的排列，叫作n 个元素的全排刿，也叫n 的阶乘，用符号!n 表示.3.排列数公式（1）规定101A =.（2）()()()()!121!m n n A n n n n m n m =---+=- .（3）()()12331!mn A n n n n =--⨯⨯= . （4）()m k m nn n n k A A A m k --=⋅≥.(四)组合1.组合从n 个不同元素中，任取()m m n ≤个元素组成一组(不考虑元素的顺序），叫作从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合.2.组合数从n 个不同元素中任取()m m n ≤个元素的所有组合的总数，叫作从n 个不同元素中任取m 个元素的组合数，用符号mn C 表示.3.组合数公式（1）规定01nn n C C ==；（2）()()()11!121mmn nn n n m A C m m m --+==-⨯ ，则m m mn n m A C A =⋅；（3）m n mn n C C -=.(五)二项式定理()01111nn n k n k k n n n n n n n n n a b C a C a C a b C ab C b ----+=++++++ ,其中第1k +项为1kn kk k n T C a b -+=称为通项.若令1a b ==，得0122nn n n n n C C C C ++++= ，01,,,nn n n C C C 称为展开式中的二项式系数，二项式系数具有以下性质：（1）02412n n n n n n C C C C -++++= （n 为偶数）；（2）13512n n n n n n C C C C -++++= （n 为奇数）；（3）n 为偶数时中项的系数最大，n 为奇数时中间两项的系数等值且最大. 二．常见问题及方法1.住店问题n 个不同人(不能重复使用元素），住进m 个店（可以重复使用元素），那么第一，第二，…，第n 个人都有m 种选择，则总共排列种数是n m 个.例1.有5人报名参加3项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有（）.(A)243种 (B)125种 (C)81种(D)60种（E)以上选项均不正确解析：乘法原理，每个人都有3种选择，所以不同的报法有53243=(种).【答案】A练习：3个人争夺4项比赛的冠军，没有并列冠军，则不同的夺冠可能有（）种.(A)34 (B)43 (C)4×3 (D)2×3 (E)以上选项均不正确解析：每个冠军都有3个人可选，故夺冠可能有种. 【答案】B2.简单排列组合问题明确排列与组合的区别：只要求每个组里的元素不同，是组合问题，用mn C ；若对顺序有要求，则是排列问题，用mn A . 注：解决这类问题的关键是准确分类与分步.例2(2012-1)某商店经营15种商品，每次在橱窗内陈列5种，若每两次陈列的商品不完全相同，则最多可陈列（）.(A)3000种(B)3003种(C)4000种(D)4003种(E)4300种【解析】只要求商品不同，是组合问题，故5151514131211300354321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯(种)【答案】B练习： (2015-1)平面上有5条平行直线，与另一组条平行直线垂直，若两组平行线共构成280个矩形，则（）.(A)5(B)6(C)7(D)8(E)9【解析】组合问题从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形，于是225280n C C ⨯=，即()156n n -=，解得8n =.【答案】D3. 排队问题（1）特殊元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；（2）特殊位置优先法. 先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（3）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．（4）相邻问题捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一14n243m +k个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．（5）不相邻问题插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．（6）定序问题消序法.例3甲、乙、丙、丁、戊、己6人排队，则在以下各要求下，各有多少种不同的排队方法？（1）甲不在排头；（2）甲不在排头并且乙不在排尾；（3）甲乙两人相邻；（4）甲乙两人不相邻；（5）甲始终在乙的前面(可相邻也可不相邻). 【解析】假设6人一字排开，排入如下格子：（1）方法一：剔除法. 6个人任意排，有66A 种方法；甲在排头，其他人任意排，有55A 种方法；故甲不在排头的方法有6565600A A -=(种).方法二：特殊元素优先法.第一步：甲有特殊要求，故让甲先排，甲除了排头外有5个格子可以选，即15C ；第二步：余下的5个人，还有5个位置可以选，没有任何要求，故可任意排，即55A .故不同的排队方法有1555600C A =(种).方法三：特殊位置优先法.第一步：排头有特殊要求，先让排头选人，除了甲以外都可以选，故有15C ；第二步：余下的5个位置，还有5个人可以选，没有任何要求，故可任意排55A ,故不同的排队方法有1555600C A =(种).【注意】①虽然以上两种方法在这一道题列出式子来是一样的，但是两种方法的含义不同.②在并非所有元素都参与排列时(如“6个人选4个人排队，甲不在排头”），特殊位置优先法与特殊元素优先法列出的式子并不一样，特殊位置优先法会更简单.（2）方法一：特殊元素优先法.有两个特殊元素：甲和乙.如果我们先让甲挑位置，甲不能在排头，故甲可以选排尾和中间的4个位置.这时，如果甲占了排尾，则乙就变成了没有要求的元素；如果甲占了中间4个位置中的一个，则乙还有特殊要求：不能坐排尾；故按照甲的位置分为两类：第一类：甲在排尾，其他人没有任何要求，即55A ；第二类：甲从中间4个位置中选1个位置，即14C ；再让乙选，不能在排尾，不能在甲占的位置，故还有4个位置可选，即14C ；余下的4个人任意排，即44A ；故应为114444C C A .加法原理，不同排队方法有51145444504A C C A +=(种).方法二：剔除法.6个人任意排66A ,减去甲在排头的55A ，再减去乙在排尾的55A ；甲既在排头乙又在排尾的减了2次，故需要加上1次，即44A ；所以，不同排队方法有65546554504A A A A --+=(种).（3）相邻问题用捆绑法.第一步：甲乙两人必须相邻，故我们将甲乙两人用绳子捆起来，当作一个元素来处理，则此时有5个元素，可以任意排，即55A ；第二步：甲乙两人排一下序，即22A ；根据乘法原理，不同排队方法有5252240A A =(种).（4）不相邻问题用插空法.第一步：除甲乙外的4个人排队，即44A ；第二步：4个人中间形成了5个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不相邻，即25A ；根据乘法原理，不同排队方法有4245480A A=(种).（5）定序问题用消序法.第一步：6个人任意排，即66A；第二步：因为甲始终在乙的前面，所以单看甲乙两人时，两人只有一种顺序，但是6个人任意排时，甲乙两人有22A种排序，故需要消掉两人的顺序，用乘法原理的逆运算，即用除法，则有6622AA.故不同排队方法有6622360AA=种).【注意】若3人定序则除以33A，以此类推.练习：(2012-1)在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有（）.(A)12种(B)10种(C)8种(D)6种(E)4种【解析】要求“每队”队员的不同出场顺序，只需要考虑一队即可.所以，2个女队员排在第二和第四局，即22A；3个男队员排在另外三局，即33A；根据乘法原理，不同的出场顺序为232312A A=(种).【答案】A4.万能元素问题万能元素是指一个元素同时具备多种属性，一般按照选与不选万能元素来分类.例 (2011-10)在8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有1人.现从这些志愿者中选取3人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有（）种.(A)12 (B)18 (C)21 (D)30 (E)51【解析】分为两类：第一类：有人既懂英语又懂法语121721C C=；第二类：没有人既懂英语又懂法语1211434330C C C C+=.根据加法原理，不同的选法有51种.练习：从1、2、3、4、5、6中任取3个数字，其中6能当9用，则能组成无重复数字的3位数的个数是（）个.(A)108 (B)120 (C)160 (D)180 (E)200【解析】分为三类：第一类：无6和9,则其余5个数选3个任意排，即35A；第二类：有6,则1、2、3、4、5中选2个，再与6-起任意排，即2353C A；第三类：有9,则1、2、3、4、5中选2个，再与9一起任意排，即2353C A；故总个数为3232355353180A C A C A++=(种).【答案】D5.均匀与不均匀分组问题（1）均匀分组与不均匀分组.如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组.（2）小组有名称与小组无名称.只是分组即可，则小组无名称；如分为A组、B组、C组，或种子队、非种子队.等等，则小组有名称.（3）如果均匀分组，并且小组无名称，需要消序（若有m组元素个数相等，就要除以mmA）；其佘情况均不需要消序.例：从10个人中选一些人，分成三组，在以下要求下，分别有多少种不同的方法？（1）每组人数分别为2、3、4；（2）每组人数分别为2、2、3；（3）分成A组2人，B组3人，C组4人；（4）分成A组2人，B组2人，C组3人；（5）每组人数分别为2、3、4,：去参加不同的劳动；（6）每组人数分别为2、2、3,去参加不同的劳动.【解析】（1）不均匀分组，不需要考虑消序，即2341085C C C.（2）均匀并且小组无名字，要消序，即234 108522C C CA.（3）小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即2341085C C C . （4）小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即2231086C C C .（5）第一步，不均匀分组，即第二步，安排劳动，即33A ；故有234310853C C C A（6）第一步，均匀且小组无名称分组，即223108622C C C A .；第二步，安排劳动，即33A ；故有22331086322C C C A A . 6.不同元素的分配问题不同元素的分配问题，采用先分组，再分配(排列）的原则.例：4个不同的小球放人甲、乙、丙、丁4个盒中，恰有一个空盒的放法有（）. (A)1244C C(B)3343C A(C)144C A(D)2344C A(E)3143A C【解析】先取两个球作为一组是24C ，余下2球自然成为2组，把3组球放入4个盒子的三个里，即34A ，所以，不同的放法有2344C A 种.【答案】D练习 (2010-1)某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）.(A)240种（B)144种(C)120种（D)60种（E)24种【解析】其中一所学校分配2人，其余3所学校各分配一人，分两步：第一步：从5名志愿者任选2人作为一组，另外三人各成一组，即25C ；第二步：将4组志愿者任意分配给4所学校，即44A .故不同的分配方案有：2454240C A =.【答案】A7. 相同元素的分配问题（1）挡板法将n 个“相同的”m 个对象，每个对象“至少分一个”的分法如下：把这n 个元素排成一排，中间有1n -个空，挑出1m -个空放上挡板，自然就分成了m 组，所以分法一共有11m n C --种，这种方法称为挡板法.要使用挡板法需要满足以下条件： ①所要分的元素必须完全相同. ②所要分的元素必须完全分完. ③每个对象至少分到1个元素.（2）如果不满足第三个条件，则需要创造条件使用挡板法.①每个对象至少分到0个元素（如可以有空盒子），则采用增加元素法，增加m 个元素(m 为对象的个数，如盒子的个数），此时一共有n m +个元素，中间形成1n m +-个空，选出1m -个空放上挡板即可，共有11m n m C -+-种方法，②每个对象可以分到多个元素，则用减少元素法，使题目满足条件③例 (2009-10)若将10只相同的球随机放人编号为1、2、3、4的四个盒子中，则每个盒子不空的投放方法有（）种.(A)72(B)84(C)96(D)108(E)120【解析】挡板法.10个球排成一列，中间形成9个空，任选3个空放上挡板，自然分为4组，每组放入一个盒子，故不同的分法有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯(种).【答案】B练习：若将15只相同的球随机放人编号为1、2、3、4的四个盒子中，每个盒子中小球的数目，不少于盒子的编号，则不同的投放方法有（）种.(A)56(B)84(C)96(D)108(E)120【解析】减少元素法.相同元素的分配问题，但是不满足使用挡板法的第三个条件（每个盒子至少放一个小球），则需要创造出第三个条件.第一步：先将1、2、3、4四个盒子分别放0、1、2、3个球.因为球是相同的球，故只有一种放法.第二步：余下的9个球放入四个盒子，则每个盒子至少放一个，就满足了题干的要求，也满足挡板法的要求，故3887656321C ⨯⨯==⨯⨯(种).8.不能对号入座问题——错排问题出题方式为：编号为1，2，3,…，n 的小球，放人编号为1，2，3，…，n 的盒子，每个盒子放一个，要求小球与盒子不同号.此类问题不需要自己去做，直接记住下述结论即可：①2n=时，有1种方法.②3n=时，有2种方法.③4n=时，有9种方法.④5n=时，有44种方法.例：(2014-1)某单位决定对4个部门的经理进行轮岗，要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职，则不同的方案有（）.(A)3种（B)6种(C)8种（D)9种（E)10种【解析】4球不对号入座问题，9种.【答案】D练习：有5位老师，分别是5个班的班主任，期末考试时，每个老师监考一个班，且不能监考自己任班主任的班级，则不同的监考方法有（）.(A)6种（B)9种(C)24种（D)36种（E)44种【解析】不能对号入座问题，根据上述结论，直接选44.【答案】E9.成双成对问题出题方式为：从鞋子、手套、夫妻中选出几个，要求成对或者不成对.解题技巧：无论是不是要求成对，第一步都先按成对的来选.若要求不成对，再从不同的几对里面各选一个即可.例：从6双不同的鞋子中任取4只，则其中没有成双鞋子的取法有（）种.(A)96 (B)120 (C)240 (D)480 (E)560【解析】第一步，从6双中选出4双鞋子，有46C；第二步，从4双鞋子中各选1只，有11112222C C C C；故不同的取法有4111162222240C C C C C=.10.涂色问题涂色问题分为以下三种：（1）直线涂色：简单的乘法原理.（2）环形涂色公式.把一个环形区域分为k 块，用s 种颜色去涂，要求相邻两块颜色不同，则不同的涂色方法有()()()111k k N s s =-+--,其中，s 为颜色数(记忆方法：se 色），k 为环形被分成的块数(记忆方法：kuai 块).例： (2000-1)用五种不同的颜色涂在图中的四个区域，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则不同的涂法共有（）.(A)120种 (B)140种(C)160种 (D)180种【解析】A ，B ，C ，D 四个区域分别有5C ，4C ，3C ，3C 种涂法，根据乘法原理，得11115433180C C C C =(种). 【答案】D练习：如图7-7所示，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）种.(A)96 (B)84 (C)60 (D)48 (E)36【解析】环形涂色问题.方法一：分为两类：第一类，A,D 种相同的花14C ；C 不能和A ，D 相同，故有3种选择；B 不能和A,D 相同，故有3种选择；据乘法原理，得143336C ⨯⨯=(种).第二类，A,D 种不同的花24A ；C 不能和A,D 相同，故有2种选择；B 不能和A ，D 相同，故有2种选择；据乘法原理，得242248A ⨯⨯=(种). 据加法原理，得36＋48＝84(种).方法二：公式法.()()()()()()41114141184k k k N s s =-+--=-+--=(种). 【答案】B。

(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识

排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。

那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。

公式：阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅ ，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=- 、m m m n n m P C P =圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!mm n n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===- 、规定01n C =m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++= ）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。

（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；rn C 记为C （n,r ）。

加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图 1A B图 2A B 图 3 A B图 4注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。

排列组合的运算法则

排列组合的运算法则
排列组合的运算法则包括：
1.乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

2.加法原理：当完成一件事情时，如果存在n个互斥的子事件，每
个子事件都有自己的方法数，则完成这件事情的方法数是每个子事件方法数的总和。

3.排列：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数。

用
P(n,m)表示。

4.组合：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数。

用
C(n,m)表示。

5.重复组合：从n个不同元素中取出m个元素，但允许重复使用，
所有可能的组合的个数。

用C(n,m,k)表示。

6.选排列：从n个不同元素中取出m个元素的所有选排列的个数。

用D(n,m)表示。

7.选组合：从n个不同元素中取出m个元素的所有选组合的个数。

用C(n,m,k)表示。

8.混合排列：从n个不同元素中取出m个元素的所有混合排列的个
数。

用M(n,m)表示。

9.混合组合：从n个不同元素中取出m个元素的所有混合组合的个
数。

用M(n,m,k)表示。

这些运算法则可以用于计算排列和组合的数量，以及解决与这些概念相关的问题。

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