计数原理与排列组合
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数的性质，第（1）题中，3
10097100C C =，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形4413n n n C C C -=+，求和；另一方面，变形4
433C C =，接着453444C C C =+，4
63545C C C =+…，反复使用公式．
解：（1）原式(
)3
101
33
3
1013101
3101
3101
3100
2
100
A A A A
C
A
C
C
÷=÷=÷+=61133=÷=A ． （2）原式4104114546444533C C C C C C C -++-+-+=Λ3304
11==C ．
另一方法是：原式310353444C C C C ++++=Λ3
1036463103545C C C C C C +++=+++=ΛΛ 3304
11310410==+==C C C Λ．
说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：
1121++++=++++m n m n m m m m m m C C C C C Λ．
左边==-++-+-+=+++++++++++++1
111112131112m n m n m n m m m m m m m m m m C C C C C C C C Λ右边．
例7、计算下列各式的值．
(1)3C 83
－2C 52
； (2)C 10098
＋C 200199
； (3)C 73
＋C 74
＋C 85
＋C 96
； (4)C n 5－n
＋C n ＋1
9－n
.
[解题过程] (1)3C 83－2C 52
＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.
(2)C 10098
＋C 200199
＝C 1002
＋C 2001
＝
100×99
2×1
＋200＝5 150. (3)原式＝C 84
＋C 85
＋C 96
＝C 95
＋C 96
＝C 106
＝C 104
＝210. (4)由{ 5－n ≤n
5－n ≥09－n ≤n ＋19－n ≥04≤n ≤5.
∵n ∈N *
，∴n ＝4或5.当n ＝4时，原式＝C 41
＋C 55
＝5. 当n ＝5时，原式＝C 50
＋C 64
＝16.
练习1：计算：(1)C 85
＋C
100
98·C 7
7
；(2)C 5
＋C 5
1
＋C 5
2
＋C 5
3
＋C 5
4
＋C 5
5
；(3)C
n ＋1
n ·C
n
n －1
.
解析： (1)原式＝C 83＋C 1002
×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1
＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C 50＋C 51＋C 52)＝2(C 61＋C 52
)＝2×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫6＋5×42×1＝32. (3)方法一：原式＝C n ＋1n
·C n 1
＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！
·n ＝(n ＋1)n ＝n 2
＋n . 方法二：原式＝(C n n
＋C n
n －1)·C n n －1
＝(1＋C n 1)·C n 1＝(1＋n )n ＝n 2
＋n .
练习2：(1)已知1C 5m －1C 6m ＝710C 7m ，求C 8m . (2)解方程：C x ＋2
x －2＋C x ＋2x －3＝110
A x ＋33
.