初中数学定点问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题(含解析)

初中数学定点问题知识点与常考难题和培优提高练习压轴题

(含解析)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)

定点题型

定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.

解题思路：

这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值。

一、直线过定点问题：

解法1：取特殊值法

给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。

例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。

解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得：

（m+1）· 1+（m-1）（-1）-2＝0 成立，所以该定点P为（1，-1）。

解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。

例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。

证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，∴（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。

解法3：方程思想

若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。

例3：若 2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线 ax＋by=5必过定点。

解：由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-10）+b（y-15）=0 无论a，b为何值上式均成立，所以a，b的系数同时为0，所以过定点（10，15）。

解法4：直线系观点

过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y ＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。

例4：求证对任意的实数m，直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。

解：原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝0

1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点．

2．直线y=mx+2m+14过定点．

3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点．

4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点．

5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点．

6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点．

7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是．

8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．

9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点．

10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点．

11．不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1﹣k）y+7﹣k=0恒经过的定点坐标是．

二、抛物线过定点问题：

第一步：对含有变系数的项集中；

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；

第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；

第五步：验算回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

1．已知抛物线y=2x2﹣（m2+1）x+2m2﹣1，不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）

A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定

2．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：．

3．已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标．

4．抛物线y=x2+ax+a﹣2过定点A，直线l：y=x+m也过点A，则直线l的函数解析式

为．

5．抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是．

6．已知实数a、b、c满足不等式：|a|≥|b﹣c|，|b|≥|a+c|，|c|≥|a﹣b|，抛物线

y=ax2+bx+c恒过定点M，则定点M的坐标为．

7．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣2k+6经过定点Q．

（1）直接写出点Q的坐标；

（2）点M在第一象限内，∠QOM=45°，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式；

（3）在（2）条件下，过点M作MA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，点E为第一象限内的一动点，∠AEO=45°，点C为OB的中点（如图2），求线段CE长度的最大值．