2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大选修2-2)

1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在 Δy 当自变量的改变量趋于零时的极限，若li Δx→0 m 存在，则 Δx 函数y＝f(x)在点x0处就有导数． 2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率．
[例1]
4 求函数y＝ 2在x＝2处的导数． x
解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 3＋Δx2－9 则割线PQ的斜率为kPQ＝ ＝6＋Δx. Δx 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.
答案：6
2 5．求曲线f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程． 2 解：∵点(－2，－1)在曲线y＝x上，
2．切线的定义：
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于 点A ，割 线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点 A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在 3．导数的几何意义： 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的 切线的斜率 ． 点A 处的切线．
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8则
2 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)， ∵Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx， Δy ∴ ＝2x＋Δx－3. Δx Δy ∴f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x＋Δx－3)＝2x－3. m Δx
3 由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝ ， 2 9 代入曲线方程得y0＝－ . 4
答案：3
1 8．求证：函数f(x)＝x＋x图像上的各点处的斜率小于1.
lim fx＋Δx－fx 证明：∵f′(x)＝Δx→0 Δx
1 1 x＋Δx＋ －x＋x x＋Δx
lim ＝Δx→0
Δx
x2－1 1 ＝ 2 ＝1－ 2<1， x x 1 ∴f(x)＝x＋x图像上的各点处的斜率小于1.
理解教 材新知
第 二 章
知识点 一 知识点 二
考点一
§2
把握热 点考向
考点二
考点三
应用创新演练
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时 间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度． 提示：8米/秒．
问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度．
Δs s3＋Δt－s3 提示： ＝ ＝14＋2Δt， Δt Δt Δs 当Δt→0时， →14， Δt 故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．
由所给函数解析式求Δy＝f(Δx＋x0)－
[思路点拨]
Δy Δy f(x0)；计算 ；求lim . Δx Δx Δx→0
[精解详析]
4 ∵f(x)＝ 2， x
4 ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝ 2－1 2＋Δx －4Δx－Δx2 ＝ ， 2＋Δx2 Δy －4－Δx ∴ ＝ ， Δx 2＋Δx2 －4－Δx Δy ∴lim ＝lim ＝－1，∴f′(2)＝－1. Δx Δx→0 2＋Δx2 Δx→0
[一点通] 的方法：
由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx li → Δy. ③取极限，得导数f′(x0)＝ Δx m 0 Δx
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为 A．2x C．2 B．2＋Δx D．1
Δy ∴ ＝4x0＋2Δx. Δx Δy 当Δx趋于零时， 趋于4x0. Δx 即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45° ， ∴切线的斜率为tan 45° ＝1，
1 9 1 即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝ ，该点为4，8. 4
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
2 2 ∴曲线y＝x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝x 在x＝－2处的导数． ∴k＝f′(－2)＝ lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
lim ＝Δx→0 1 ＝－ ， 2
2 2 － －2＋Δx －2 lim 1 ＝Δx→0 Δx －2＋Δx
2 ∴曲线y＝x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－ 1 (x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0. 2
∴切线的斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．
[一点通]
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或
斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数， 进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程 知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、 垂直等．
6．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的 坐标为________．
3 9 所以点P坐标为2，－4.
3 9 答案：2，－4
7．已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程 1 是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝________. 2
1 解析：由导数的几何意义，易得f′(1)＝ ，由切线方 2 1 5 程得f(1)＝ ×1＋2＝ ，所以f(1)＋f′(1)＝3. 2 2
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值 y关于x的平均变化率．
Δy fx0＋Δx－fx0 提示： ＝ . Δx Δx
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是．
导数的概念 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函 Δy 数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ Δx fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 x1－x0 ＝ ，当x1趋于x0，即Δx趋于0 Δx 时，如果平均变化率趋于一个 固定的值 ，那么这个值就是 函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x0点的导数．
2．记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 fx1－fx0 x1－x0 ＝lim f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝ lim x1→x0 Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx .
问题1：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变 Δy 化率为 ，你能说出它的几何意义吗？ Δx 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，
(
)
解析：y＝x2在x＝1处的导数为： 1＋Δx2－1 lim f′(1)＝Δx→0 ＝2. Δx
答案：C
2．已知函数f(x)＝ax2＋2x在x＝1处的导数为6，求a的值．
f1＋Δx－f1 解：∵f′(1)＝lim Δx Δx→0 a1＋Δx2＋21＋Δx－a＋2 ＝lim Δx Δx→0 a· 2＋2a＋2·Δx Δx ＝lim Δx Δx→0 ＝lim [a· (Δx)＋(2a＋2)]＝2a＋2，
从而f′(1)＝2.
[例2]
已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的
切线斜率及切线方程． [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，
进而求得切线方程．
[精解详析]
因为
2 2 Δy 31＋Δx －1＋Δx－3×1 －1 ＝ ＝5＋3Δx， Δx Δx
当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y－2＝5(x－1)， 即5x－y－3＝0.
Δx→0
又∵f′(1)＝6，∴2a＋2＝6，∴a＝2.
1 3．求函数f(x)＝x－x在x＝1处的导数．
1 1 Δx 1－ ＝Δx＋ 解：Δy＝(1＋Δx)－ － ， 1＋Δx 1 1＋Δx
Δx Δx＋ 1＋Δx Δy 1 ＝ ＝1＋ ， Δx Δx 1＋Δx
lim Δy ＝ lim 1＋ 1 ＝2， ∴Δx→0 Δx Δx→0 1＋Δx
[一点通] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)· (x－x0)．
4．已知f(x)＝x2，曲线y＝f(x)在点(3,9)处的切线的斜率 为________．
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲 线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若 不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条
件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．
f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．
问题2：当Δx变化时，直线如何变化？
提示：直线AB绕点A转动．
问题3：当Δx→0时，直线变化到哪里？
提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置
导数的几何意义 1．割线的定义： Δy 函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过 Δx A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的 斜率 ，这 条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．