拉格朗日插值公式流程图doc版
插值计算法公式
插值计算法公式
插值计算法是一种数值分析方法，用于在给定数据点的情况下，通过插值计算来估计未知数据点的值。
插值计算法的公式如下：
f(x) = Σ[i=0,n] yi * Li(x)
其中，f(x)表示要估计的未知数据点的值，yi表示已知数据点的值，Li(x)表示拉格朗日插值多项式，n表示已知数据点的数量。
拉格朗日插值多项式的公式如下：
Li(x) = Π[j=0,n,j≠i] (x - xj) / (xi - xj)
其中，i表示当前正在计算的已知数据点的下标，j表示其他已知数据点的下标，xj表示其他已知数据点的横坐标，xi表示当前正在计算的已知数据点的横坐标。
插值计算法的应用非常广泛，例如在地图制作、气象预报、股票分析等领域都有着重要的应用。
在地图制作中，插值计算法可以用来估计未知地点的高度、温度等信息，从而制作出更加精确的地图。
在气象预报中，插值计算法可以用来估计未来某个时间点的气温、降雨量等信息，从而提高气象预报的准确性。
在股票分析中，插值计算法可以用来估计未来某个时间点的股票价格，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
插值计算法是一种非常重要的数值分析方法，可以用来估计未知数据点的值，从而在各个领域中发挥着重要的作用。
拉格朗日插值公式 程序
拉格朗日插值公式程序This article introduces the principle and programming of Lagrange Interpolation Formula.一、Lagrange插值函数原理Lagrange插值函数，又称拉格朗日插值法，是一种基于给定的函数值，以网格点的形式得到函数的近似计算方法。
它最早由拉格朗日在18，发现，也称拉格朗日插值方程。
Lagrange interpolation is a method of obtaining approximate calculation of a function in the form of grid points based on given function values. It was first discovered by Lagrange in 18. It is also called the Lagrange interpolation equation.它的基本原理是：在给定n+1个数据点（xi,yi），其中xi为给定的点，yi为给定函数yi=f(xi)的值，在它们之间用最低次多项式去近似拟合，用拉格朗日插值法得到的多项式被称为拉格朗日插值多项式.Its basic principle is: given n + 1 data points (xi, yi), where xi is the given point and yi is the given function yi = f (xi) value, approximated with the lowest order polynomial between them, the polynomial obtained by Lagrange interpolation is called the Lagrange interpolation polynomial.二、Lagrange插值函数程序Lagrange插值函数程序基本结构：The basic structure of the Lagrange interpolation program is as follows:1. 定义输入数据1. Define input data2. 计算插值函数2. Calculate interpolation function3. 根据用户输入的数据求函数值3. Calculate the function value according to the user input data4. 输出结果4. Output results以下是一个具体的程序示例：Here is a specific program example:#include <stdio.h>#include <math.h>// 输入的点的个数#define N 10int main(){double x[N]={-0.8, -0.4, 0.0, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2.0, 2.4, 2.8};double y[N]={1.0, 0.2, -1.3, -1.4, -0.4, 0.3, 0.7, 0.3, -0.2, -1.0};double xval;int i,j;// 读取要求值的xprintf('请输入要求的值的x:');scanf('%lf',&xval);double fval=0;// 计算插值函数for(i=0;i<N;i++){double temp=y[i];for(j=0;j<N;j++){if(j!=i){temp=temp*(xval-x[j])/(x[i]-x[j]);}}fval+=temp;}// 输出结果printf('当x=%.2lf时，插值函数的值为：f(%.2lf)=%.2lf',xval,xval,fval);return 0;}三、总结以上就是拉格朗日插值法的原理和程序的介绍。
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
《拉格朗日插值法》课件
根据已知的插值点和插值函数的性质 ，确定多项式的阶数。
求解插值多项式的系数
求系数
通过已知的插值点和构造的插值多项式，求解出多项式的系数。
验证解的正确性
通过已知的插值点和求解出的系数，验证解的正确性。
04
拉格朗日插值法的应用实例
在数值分析中的应用
数值积分
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式对被积函数进行近似，进而求得积分的近似值。
全局插值能力较弱
拉格朗日插值法主要适用于局部插值，对于全局插值问题可能不太 适用。
06
拉格朗日插值法的改进与发
展
改进方法
提高精度
通过增加插值基函数的数量， 可以更精确地逼近函数，从而
提高插值的精度。
处理异常值
引入稳健性估计方法，对异常 值进行识别和处理，以提高插 值的稳定性。
优化算法
改进算法以提高计算效率，减 少计算量，使得插值过程更加 快速和高效。
图像处理
在图像处理中，可以使用拉格朗日插值法对图像进行放大、缩小或旋转等变换，保持图 像的清晰度和连贯性。
三维模型重建
在三维模型重建中，可以使用拉格朗日插值法对点云数据进行插值，得到连续光滑的三 维模型表面。
05
拉格朗日插值法的优缺点
优点
01
02
03
简单易行
拉格朗日插值法是一种直 观且易于理解的方法，不 需要复杂的数学工具即可 实现。
工程
用于解决各种实际问题，如机 械振动、流体动力学和电路分 析等。
物理学
用于模拟和预测各种物理现象 ，如力学、电磁学和量子力学 等。
02
拉格朗日插值法的基本概念
拉格朗日插值法的定义
研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
L1(x)3x0 4 45 51 24x5 3(5 0 ) 5 3 0 0 4 4 5 5 1 2 5 4 0 5 3 3 0 02 2 0 .7 7 6 1 4 s in 5 0 0
若取 450 , 600 为节点插值，得
L ~ 1(x)4 x 5 6 60 02 26 x 0 4 45 52 3 则 L ~ 1 (5) 0 5 4 0 5 6 6 0 0 2 2 5 6 0 0 4 4 5 5 2 3 0 .76 s 05 i0 n 0
因此一般常利用
maxf(n1)(x)
axb
Mn1
求出误差限，
即有
Rn(x) (nMn11)!n1(x)
⑦
例1 已知特殊角 300,450,600 的正弦函数值
1, 2 , 3 2 22
用一次插值多项式，二次
插值多项式近似 s i n x ，并用此求出 sin 500
解：若取 3 0 0 和 4 5 0 为节点作一次插值，得
拉格朗日（Lagrange）插值多项式
利用基本插值多项式容易得出满足插值条件
Pn(xi) yi
(i0,1, ,n)
的n次插值多项式
n
Ln(x) yklk (x)
⑤
kkn 00yk(x(kx xx 00 ))((xx k x xk k 1 1))((x xk xx k k1 )1)((xx kx nx )n)
Ln(xi)f(xi)
(i0,1, ,n)
在其它点上均是f(x)的近似值。记
Rn(x)f(x)Ln(x) 称 R n ( x ) 为插值多项式的余项。
R n ( x ) 就是用 L n ( x ) 近似替代 f ( x )
拉格朗日插值
数值分析实验报告（拉格朗日插值牛顿插值最小二乘法）(2010-06-02 18:33:33)分类：学习资料分享标签：拉格朗日插值法牛顿插值法最小二乘法求拟合曲线c实验1 拉格朗日插值法一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x 2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。
对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n 次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)上式表明：n 个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。
可求得lk三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define N 100double fun(double *x,double *y, int n,double p);void main(){int i,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;double x[N], y[N],p;cout<<"please input xiangliang x= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"please input xiangliang y= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"please input LagelangrichazhiJieDian p= "<<endl;cin>>p;cout<<"The Answer= "<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause") ;}double fun(double x[],double y[], int n,double p){double z=0,s=1.0;int k=0,i=0;double L[N];while(k<n){ if(k==0){ for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++) s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];return z;}四．运行结果测试：五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。
第2章 拉格朗日插值
n
li(x) 每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn f 无关, 与 有关，而与 节点 l ( x) C ( x x )...(x x )...(x - x ) C
i i 0 i n
i
称为n次插值基函数。 1 li ( xi ) 1 Ci j i ( xi xj )
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) Ln ( x ) p( x ) ( x - xi ) 也是一个插值
i 0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
2.2 插值余项及误差估计
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C [a, b] , f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) f ( x) - L ( x) n n
插值法
§2.拉格朗日插值
2.1 拉格朗日插值
2.2 插值余项及误差估计
2.1 拉格朗日插值
n 求 n 次多项式 Ln ( x) a0 a1x an x 使得 Ln ( x i ) y i , i 0 , ... , n xi x j 条件：无重合节点，即 i j
n=1
f ( n 1) ( x ) M n 1, x(a,b)
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f
( n1)
( x) 0 ,
可知 Rn ( x ) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的。
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
实验一 拉格朗日插值法
实验目的： 1. 熟悉拉格朗日插值方法的程序设计； 2. 学会拉格朗日插值方法求函数值的近似值， 以解决其它科学实验的计算问题。 实验内容： 已知函数值表
xi f (xi )
-0.6 1.6
-0.2 2.4
0.2 1.2
0.4 3.2
试分别建立二次插值多项式和三次插值多项式，计算 f (0) 的近似值。 实验要求：屏幕显示 f (0) 的近似值。
三次差值试验结果：
— 4 —
=
k 1 k
结 束
— 2 —
实 验 报 告 （一）
辽宁科技大学 研究生 学院（系） 课名：数值分析 班级：研 12 姓名： 张贺 题目：拉格朗日插值 学号：12208190**** 专业： 矿业工程 任课教师：熊 焱 2012 年 09 月 20 日
实验程序：
— 3 —
实验结果： 二次差值试验
— 1 —
附件：拉格朗日插值算法框图
开 始
输 入 ( x i , y i ) , ( i= 0 ,1 , … , n )
0 x j
t t
j 0 , , k 1, k 1, , n
y t yk y
k n?
输 出 y
拉格朗日插值(线性、二次、n次多项式插值)
1 x0 x V ( x 0 , x 1 , , x n ) 1 x1 x 1 xn x
2 0 2 1
x x x
n 0 n 1
2 n
n n
0 j i n
(x x )
i j
因为x0, x1,…,xn的互不相同，故系数行 列式不等于0，因此方程组有唯一解， 即Pn(x)存在并唯一。
j 0 ji n
x xj xi x j
是n次插值基函数
思考1 设f(x)=x2，求f(x)的次数不超 过1、2、3、…的插值多项式各是什 么？在哪些点处会有误差？ 思考2 设f(x)=sinx，求f(x)的次数不超 过1、2、3、…的插值多项式各是什 么？在哪些点处会有误差？
思考 1 答案：当 f(x) 是次数不超过 n 的 多项式时，其 ≥ n 次的插值多项式就 是f(x)本身。此时误差为0！
定义： 设插值基点 x0,x1,…,xn 中最小者为 a 、 最大者为b，当插值点x∈(a, b)时我们 称为内插，否则称为外插
例1 给定数据表
x 2 3 4 5 6 7 f(x) 10 15 18 22 20 16 要用插值方法计算 f(4.8) 的近似值。 问线性插值、二次插值和三次插值应 选哪些基点？
2. 线性插值的几何意义
用通过两点 (x0, y0) 、 (x1, y1) 的直线 y=L1(x) 近似代替曲线 y=f(x) ，如下图 所示。
y y=f(x)
y0 o x0
y=L1(x) y1
x1 x
3. 线性插值公式的推导
根据直线的点斜式，有
y1 y 0 L1 ( x ) y 0 ( x x0 ) x1 x 0
计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)
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26
证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
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总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
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§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下： • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ，使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
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§ 2.2.1
线性插值的局限性
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三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
三次拉格朗日插值多项式公式
三次拉格朗日插值多项式公式拉格朗日插值多项式公式，这可真是个有点“烧脑”但又超级有趣的数学概念！咱先来说说啥是拉格朗日插值多项式公式。
简单来讲，就是当我们知道一些离散的点的坐标，然后想通过这些点找到一个能大概描述它们规律的多项式函数。
比如说，有三个点 (1, 2)，(3, 4)，(5, 6)，那拉格朗日插值多项式公式就能帮我们找到一个多项式函数，让这三个点都在这个函数上。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，那场面真是有趣极了。
有个小家伙，瞪着大眼睛，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这怎么比做游戏还难啊！”我笑着跟他说：“别急，咱们一步步来，就像搭积木一样，一块一块地拼起来。
”咱们先来看这公式的形式：\[L(x) = y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} +y_2\frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}\]这里的 \(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\) 是已知点的横坐标，\(y_1\)，\(y_2\)，\(y_3\) 是对应的纵坐标。
看起来是不是有点复杂？其实啊，咱们把它拆开看，就没那么可怕了。
比如说，先看第一项 \(y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 -x_3)}\) 。
它其实就是根据第一个点来构造的一个部分。
咱们再回到最开始的那三个点 (1, 2)，(3, 4)，(5, 6) 。
用这个公式来算一下，先算第一项：\[y_1\frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} = 2\frac{(x - 3)(x - 5)}{(1 - 3)(1 - 5)}\]这一项就表示了第一个点对整个多项式的贡献。
拉格朗日插值法.docx
5.2 拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数1选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。
5.2.1线性插值问题5.1给定两个插值点-'- ''.l其中二'6 ,怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如图5.1所示。
图5.1线性插值函数恥）在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为IJ- 'l ^ 7I 1,将1 '∣∙∙ I分别代入直线方程S 得：VO + aΛ =Λ1 ⅞M UCI当⅞罚时，因1打，所以方程组有解，而且解是唯一的。
这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。
用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
当….…1时，若用两点式表示这条直线，则有：这种形式称为拉格朗日插值多项式。
■■■I 丄】r. η-∣'称为插值基函数，计算＜ ■■■的值，易见(5.2 )看到两个插值点的作用和地位都是平等的。
拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。
线性插值误差 定理5.1记 A ） 为以（Λ⅛J O ）6J I ）为插值点的插值函数，心则日久孙州X Jl oΛ(⅛^∕fr)-4 W证明令TE ：工「丄3 ,因「：」一_-1是二门的根，所以可设Λ(x) = t(x)(χ-⅞)(χ-¾)对任何一个固定的点,弓I 进辅助函数 7 1 :旳叮©仏炉⑹（r ）（r ）则 0— r∙ 1。
由定义可得 器;门一、「，这样T 1至少有3个零点，不失一般性，假定 1 J 〔，分 别在〔心习和【忌和 上应用洛尔定理，可知 ¥©在每个区间至少存在一个零点，不妨记为 5和5,即平'（G=°和平'（6）=° ,对屮'®在佐即上应用洛尔定理，得到严飞）在 上至少有一个零点"or Z V X-X l χ-⅞歼―X] X r X O(5.1 )在拉格朗日插值多项式中可将 4W X-X I—看做两条直线^ \,-T 的叠加，并可,设 一阶连续可导,在 （讹）上存在，则对任意给定的xe[a t b∖ ,至少存在一点 ξe[a f b],使2∣ （KIXE ）（才—画）€日么切(5.3)现在对求二次导数，其中 的线性函数)，故有πf)≡rω-2∣⅛)代入二得m 2 Itw=O 所以⅛ω=∕w2∣即A(X) =匚字(X 1 心)(LXl)疋C S 丄522二次插值的二次的(抛物线)插值多项式? 平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。
数值分析各算法流程图
01,,n1,,n1,,)n x及数值分析各算法流程图一、插值1、 拉格朗日插值流程图：( 相应程序：lagrintp(x,y,xx))2,,n ,,j n 1,2,,n 1,,)n 2、 牛顿插值流程图(1)产生差商表的算法流程图(相应程序：divdiff(x,y))注：1、另一程序divdiff1(x,y)，输出的矩阵包含了节点向量。
而divdiff(x,y)不含节点向量。
2、另一程序tableofdd(x,y,m)，输出的是表格形式，添加了表头。
1,,),,n m 及1,,m (2)非等距节点的牛顿插值流程图(相应程序：newtint11(x,y,xx,m)) 、注：1、虽然程序newtint11(x,y,xx,m)考虑了多种情形，看上去很复杂，但基本流程结构还是如上图所示。
2、程序中调用的子程序是divdiff 。
若调用的子程序是divdiff1的话，流程图中的第三，第四，第五步要相应的改一下数字。
2,3,,1m +1,,j1,2,,n=1,2,,)n m 及(3)求差分表的流程图(相应程序：difference(y,m))注：1、difference 输出的是矩阵D 。
而另一程序tableofd(y,m)，输出的是带有表头的差分表。
n x m1,,),,1,,m注：1、程序newtforward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtforward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
n x m1,,),,-x x1,,m注：1、程序newtbackward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtbackward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
1,2,,n1,2,,n ,2,,)n x及3、Hermite 插值流程图(1) 已知条件中一阶导数的个数与插值节点的个数相等时的Hermite 插值流程图。
2.2拉格朗日插值
j 0,1,2 ,, n
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
则 n1 ( x j ) ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xn )
其中
n1 ( x) ( x xi ) l j (x) n1 ( x j )(x x j ) i 0 ( x j xi )
n i j
Ln ( x) 为 y f ( x) 的Lagrange 插值多项式
称 l j ( x) (i 0,1,, n) 为n次Lagrange 插值基函数
例1:
已知f ( x)满足f (144) 12, f (169) 13, f (225) 15
作f ( x)的二次Lagrange 插值多项式 并求f (175)的近似值 , .
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
Pn ( x) a0l0 ( x) a1l1 ( x) anln ( x)
其中a0、a1、 、an为待定参数
令
即 可得
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n i 0,1,2 ,, n
a l (x )
j 0 j j i
n
yi
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n
且满足
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1 , a2 ,, an满足线性方程组
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a xn y 0 1 n 2 n n n n