高等数学知识整理
高等数学基础知识3篇
高等数学基础知识【高等数学基础知识（一）】1.极限极限是数学中的重要概念，广泛应用于微积分、数值分析等领域。
指一个数列或者函数在趋近某个值时的性质。
形式化地，对于一个数列{an}，如果随着n无限接近于正无穷，an 的取值也无限接近于某个实数L，那么就称这个实数L是该数列的极限，记为limn→∞an=L。
2.导数导数是微积分中的一个概念，是描述函数局部的变化率的指标。
形式化地，对于函数f(x)，在x点处的导数定义为：f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h即当自变量x有微小的变化量h时，函数值f(x)也随之有微小的变化f(x+h)−f(x)，那么其变化率就是(f(x+h)−f(x))/h。
这个变化率取极限h→0，就是函数在x点处的导数。
3.微分微分是微积分中的概念，用于描述函数的变化。
在x点处微分的结果就是函数在x点处的导数，一般用符号dx表示微小的自变量变化量，用符号dy表示函数值的微小变化量。
因此，微分可以表示为dy=f′(x)dx。
4.积分积分也是微积分中的概念，表示对函数值在一定区间内的累加。
对于函数f(x)，在[a,b]区间上的积分表示为∫abf(x)dx，它的几何意义是曲线y=f(x)与x轴和直线x=a、x=b所围成的区域的面积。
积分是微积分与数值计算的基础，广泛应用于物理、经济、金融等领域。
5.级数级数是数学中的概念，是数列的和的概念的推广。
形式化地，对于一个数列{an}，其前n项和称为级数，记作∑n=1∞an。
级数的收敛性与发散性是级数研究的核心问题。
【高等数学基础知识（二）】1.偏导数偏导数是多元函数中的概念，表示函数在某个自变量上的变化率。
对于函数f(x1,x2,…,xn)，在x1处的偏导数定义为：∂f(x1,x2,…,xn)∂x1=limh→0f(x1+h,x2,…,xn)−f(x 1,x2,…,xn)h即在其它自变量不变的情况下，x1的微小变化量h对应的函数值变化量f(x1+h,x2,…,xn)−f(x1,x2,…,xn)，它们的比值就是在x1处的偏导数。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结【4篇】知识产业需要了解市场和消费者的需求和趋势，拥抱变革和技术进步。
知识的应用和创新需要进行有效的市场调查和市场分析，了解商业机会和风险。
下面就让小编给大家带来高等数学知识点总结，希望大家喜欢!高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x) =g(x),则 =()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 x 兀 p= 兀 12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) = =M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2A.Function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换B.Limit and Continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理C.Derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数D.Application of Derivative导数的应用(1)微分中值定理(D-MVT)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值E.Indefinite Integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)U换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分F.Definite Integral 定积分(1)Riemann Sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)Accumulation function求导数(4)反常函数求积分H.Application of Integral定积分的应用(1)积分中值定理(I-MVT)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用I.Differential Equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场J.Infinite Series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
高数基础知识总结
( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
高等数学各项基础知识点总结
高等数学知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l =0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l =1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x，1−cos x ~2/2^x ，x e −1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~xα二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则Ax f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次233521211...()2!3!!sin ...(1)()3!5!(21)!n xn n n n x x x e x o x n x x x x x o x n ++=++++++=-+++-++)(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++)(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital）法则.∞∞型未定式定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式1011lim ()()n n k k f f x dx n n →∞==∑⎰（如果存在）三．函数的间断点的分类)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y =f (x )的间断点。
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点大全一、导数和微分在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。
微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。
1. 导数的定义和性质：- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗。
- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。
- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。
2. 微分的定义和性质：- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。
- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。
3. 一阶导数和高阶导数：- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。
- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。
二、积分和定积分积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。
它们是导数的逆运算。
1. 定积分的定义和性质：- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。
- 定积分的性质：定积分具有线性性、加法性、估值性等。
2. 积分基本公式和换元积分法：- 积分基本公式：包括常数乘法法则、分步积分法则和换元积分法则等。
- 换元积分法：利用换元积分法可以将一些复杂的积分问题转化为简单的积分形式。
3. 不定积分和定积分的关系：- 不定积分：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
高数考前必看知识点
高数考前必看知识点
高数是大学中一门重要的基础课程，涉及到极限、导数、积分、微分方程等多个知识点。
以下是高数考前必看的一些知识点：
1. 函数与极限：函数的定义、性质和分类，极限的概念、性质和计算方法，无穷小量和无穷大量的概念和性质。
2. 导数与微分：导数的概念、几何意义和计算方法，微分的概念和计算方法，导数的应用（如求曲线的切线方程、速度、加速度等）。
3. 积分：积分的概念、性质和计算方法，不定积分和定积分的概念和计算方法，换元积分法和分部积分法，积分的应用（如求平面图形的面积、体积等）。
4. 微分方程：微分方程的概念和分类，一阶微分方程的求解方法（如分离变量法、常数变易法等），二阶线性微分方程的求解方法。
5. 向量与空间解析几何：向量的概念、运算和坐标表示，平面向量的线性相关性和向量组的极大无关组，空间直角坐标系和向量的坐标表示，平面和空间曲线的方程。
6. 多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分的概念和计算方法，多元函数的极值和条件极值。
7. 重积分：二重积分和三重积分的概念和计算方法，重积分的应用（如求曲面的面积、体积等）。
8. 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念和计算方法，第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算方法，格林公式和高斯公式。
以上是高数考前必看的一些知识点，当然，高数的知识点还有很多，需要根据自己的学习情况进行有针对性的复习。
同时，要注重做题，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。
大学高数知识点总结
大学高数知识点总结大学高数知识点总结一、代数：1、函数及其图象：定义域、值域、增函数、减函数、奇函数、偶函数、有界函数、无界函数、相交函数、无穷小量的概念、函数的极限及其性质。
2、不等式：一元不等式与多元不等式的性质、解不等式的方法以及在几何中的应用。
3、导数：函数的导数的定义、性质、计算、利用导数解析函数的最值问题；高阶导数的概念以及利用它确定函数图象的单调性。
4、曲线的积分：曲线的面积、积分的定义、计算方法、利用积分求曲线面积、平面曲线的积分、特殊函数的积分。
5、复数：复数的概念、运算规则、虚部抽象概念、复数函数、复数解析函数及其图象、利用几何性质解决复数问题。
6、三角函数：三角函数的概念、函数表达式、图象、关系式、函数的性质、函数的变换、求解三角函数的方法、应用。
7、统计：概率的概念、抽样理论、统计分布、误差分析、检验理论。
二、初等数论：1、素数及其分解：素数的概念、素数的分解法、素数的基本性质、素数的充要条件。
2、同余理论：同余方程的概念、同余方程的解法、同余方程的性质、模的概念及其性质。
3、欧几里德算法：求最大公约数、求最小公倍数、求逆元、斯特林公式、欧几里得定理及其应用。
4、置换：置换的概念、置换的性质、置换的构成、置换的表示法、置换的应用。
5、图论：图的概念、图的构成、图的性质、图的表示法、图的生成算法、图的应用。
三、几何：1、几何形体：正n边形、正多边形、空间几何体、椭圆、圆锥、圆柱、圆台等几何形体的性质及其应用。
2、切线、切面：曲线的切线、曲面的切面、曲线的法线方向、曲面的法线方向、曲线的曲率、曲面的曲率及其定义。
3、投影：正射投影、透视投影、锥体投影等投影的概念及其应用。
4、立体视角：立体视角的概念、立体视角的定义及其应用。
四、空间几何：1、几何性质：投影的性质、平面的性质、空间的性质、直线的性质、平行线的性质、平面的性质、直线的性质、平行线的性质、面的性质、曲线的性质、曲面的性质、四边形的性质等。
高等数学知识点汇总
高等数学知识点汇总高等数学知识点汇总1. 集合：集合是一组具有特定意义的对象的总称。
集合可以根据不同条件被分类，如有界集合、无界集合、空集合、子集、伯努利子集、近似集合等。
2. 函数：函数是一种特殊的数学关系，它用于表示一个自变量和它的函数值之间的对应关系。
如果一个函数的自变量和因变量是多元的，那么就称这个函数为多元函数。
3. 微积分：微积分是数学中的一个重要分支，它研究数量之间的变化。
它主要有两个重要的概念：·微分学，它是用极限的思想去研究函数之间的变化·积分学，它是用定积分的思想去求解函数之间的面积4. 相似几何：相似几何是一种特殊的几何图形，它指的是两个图形之间存在着唯一的比例，即它们之间的长度比例，面积比例是相等的。
5. 概率统计：概率统计是数学中的一个重要分支，它主要研究随机事件的发生概率。
它设计了几种概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布、贝叶斯分布等。
6. 数列：数列是由一些有特宁顺序排列的数字或元素组成的序列。
数列分为等差数列、等比数列、定点数列和其他特殊数列。
7. 极限：极限是数学中的一个重要概念，它用来描述一个变量在不变的情况下，它的初始值或最终值无限接近但又不等于某一特定值。
8. 椭圆：椭圆是一种曲线，可以通过椭圆方程来表示。
它具有两个焦点和一个长轴和短轴，这两个轴是椭圆的解释。
它在物理学中用来计算椭圆偏心率和圆周率。
9. 向量：向量是指一个数量，它有大小和方向。
它可以用来表示几何形状的位置或运动，也可以用来描述物理量，如力、速度和加速度。
10. 四元数：四元数又称复数，它是一种用来表示复平面上变量之间关系的数学形式，一个四元数由实部和虚部组成，它们与实数的加减乘除运算类似。
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数： 反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( y a x )，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。
3、无量小：高阶 +低阶 =低阶比方： limx 2x lim x 1xxx 0x(1)limsin x11 x4、两个重要极限： 1(2) lim 1 x xe lim 1ex 0xx 0x xx 0 , f ( x) 0, g( x)f ( x)g ( x) lim f ( x) g (x)经验公式：当 x， lim 1ex x 0xx 01lim3xxe 3比方： lim 1 3x xe x 0x 05、可导必然连续，连续未必可导。
比方： y | x |连续但不可以导。
6、导数的定义： limf (xx) f ( x)f '( x)lim f (x)f (x 0 )f ' x 0x 0xxx 0xx 07、复合函数求导： df g( x)f ' g( x) ? g'( x)dx112 x2 x 1比方： yxx , y'2 xx4 x 2x x8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出dy/dxx 2 y 2 1比方： 解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x 2 yy' 0 y'xy法( 2), 左右两边同时微分 ,2xdx 2 ydy dy xdx y9、由参数方程所确定的函数求导： 若yg(t) ，则 dy dy / dtg '(t)，其二阶导数：xh(t)dxdx / dth'(t)d 2 y d dy / dxd (dy / dx)d g' (t ) / h'(t )dt dtdx 2dxdx / dth' (t )10、微分的近似计算： f ( x 0 x) f ( x 0 )x ? f '( x 0 ) 比方：计算 sin 3111、函数中止点的种类： (1) 第一类：可去中止点和跳跃中止点；比方：y sin x （ x=0x 是函数可去中止点） ， y sgn(x) （x=0 是函数的跳跃中止点）(2) 第二类：振荡中止点和无量中止点；比方：f ( x) sin1 （x=0 是函数的振荡中止点） ， y 1（x=0 是函xx数的无量中止点） 12、渐近线：水平渐近线： ylim f (x)cx铅直渐近线： 若，lim f ( x)，则 x a 是铅直渐近线 .x a斜渐近线： 设斜渐近线为 yax b, 即求 a limf ( x), b lim f ( x)axxxx比方：求函数 yx3x 2x 1的渐近线x 2113、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 是驻点。
高等数学基本知识大全
高等数学基本知识大全
高等数学是现代数学中的重要分支，是大学本科阶段的核心学科，提供了一种强有力
的工具和方法，用于理解和解决科学和工程问题。
以下是高等数学中的一些基本知识：
1. 函数和极限
函数是输入和输出之间的映射关系，其中每个输入对应一个唯一的输出。
极限是一个
数列趋近于一个固定值的过程，当数列逐渐接近该值时，称其趋近于该值，并用符号“→”表示。
2. 导数和微分
导数是函数的斜率，表示函数在某一点的变化率。
微分是一种数学工具，用于计算函
数在某一点的微小变化。
3. 积分和定积分
积分是在一个区间内求一个函数的总面积的过程。
定积分是一个函数在一个区间内的
积分。
4. 三角函数
三角函数是一类定义在角度上的函数。
常见三角函数包括正弦、余弦和正切函数。
5. 矢量和矢量空间
矢量是带有大小和方向的量，可以用几何元素来表示。
矢量空间是一组满足特定条件
的向量的集合。
6. 矩阵和行列式
矩阵是一个二维数组，由行和列组成。
行列式是一个与矩阵相关的值，用于解决线性
方程组。
7. 偏导数
偏导数是多元函数中的一种变量导数，其中只考虑其中一个变量的变化，其他变量保
持不变。
8. 多元积分
多元积分是在多维空间中求解一个函数在一个体积内的积分。
9. 常微分方程
常微分方程是描述某个变量对其本身的一阶或高阶导数的关系的方程。
大一数学各章知识点
大一数学各章知识点一、微积分1. 极限和连续极限定义、极限的性质、无穷小量与无穷大量、函数连续的定义与性质。
2. 导数与微分导数的定义、导数的几何意义和物理意义、导数运算法则、高阶导数、隐函数及参数方程的导数、微分与线性近似、导数的应用。
二、数学分析与线性代数1. 函数与极限有界性与有界变函数的极限、函数极限的性质、无界函数极限、级数的敛散性。
2. 高等代数向量空间的基本概念与性质、线性相关性与线性无关性、向量的线性组合、基和坐标、线性子空间与商空间。
三、离散数学与概率论1. 逻辑与集合命题逻辑的基本概念、命题逻辑的基本运算、真值表、集合的基本概念与运算。
2. 概率论古典概型的概率、条件概率、独立性、离散型随机变量与分布列、连续型随机变量与密度函数。
四、数学建模与运筹学1. 数学建模建模的基本思路与方法、模型的评价与选择、模型的求解与分析、模型的应用。
2. 运筹学线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论。
五、常微分方程与偏微分方程1. 常微分方程基本概念与初值问题、解的存在唯一性、一阶常微分方程的解法、高阶线性常微分方程的解法，齐次线性方程、非齐次线性方程。
2. 偏微分方程偏导数与偏微分方程、二阶线性偏微分方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程。
六、数理统计与应用统计1. 数理统计随机变量、概率分布、数理期望和方差、分布函数、正态分布、大数定理与中心极限定理。
2. 应用统计抽样调查与抽样分布、参数估计与假设检验、方差分析、相关分析、回归分析。
七、离散数学与组合数学1. 图论图的基本概念与性质、图的遍历与连通性、最小生成树、最短路径、网络流、图的着色问题。
2. 组合数学排列组合、二项式定理、容斥原理、多重集合与划分、递归与递推关系、离散数学在计算机科学中的应用。
以上是大一数学各章知识点的简要概括，涵盖了微积分、数学分析与线性代数、离散数学与概率论、数学建模与运筹学、常微分方程与偏微分方程、数理统计与应用统计、离散数学与组合数学等主要内容。
高数基础知识总结与重点概念整理
高数基础知识总结与重点概念整理
一、导数与微分
导数：描述函数在某一点附近的变化率，是函数值的极限。
可导性：函数在某点可导，当且仅当该点附近存在一个定义恰当的导数。
微分：一个近似值，表示函数在某点附近的小变化所引起的函数值的大致变化。
二、积分
不定积分：求一个函数的原函数（或反导数），即求函数的不定积分。
定积分：对一个区间上函数的值的总和的量度，即求函数的定积分。
微积分基本定理：定积分可化为不定积分的计算。
三、级数
数列：一个数字序列。
无穷级数：无穷多个数的和，即数列的和。
收敛性：无穷级数趋于一个有限的和的性质称为收敛性。
发散性：无穷级数不收敛的性质称为发散性。
四、多元函数
多元函数：定义在多个变量上的函数。
偏导数：多元函数对一个变量的导数。
方向导数：描述函数在某点处沿某一方向的变化率。
梯度：方向导数的最大值，表示函数在某点处沿梯度方向的增长最快的方向。
五、微分方程
微分方程：包含未知函数的导数或微分的方程。
初值问题：给定初始条件的微分方程问题。
通解与特解：满足微分方程的解称为通解，满足特定初始条件的解称为特解。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是一门基础学科，对于理工科学生来说是必修课程。
它涵盖了多个重要的数学概念和理论，为学生提供了解决实际问题的数学工具。
本文将对高等数学中的一些重要知识点进行总结和概述。
一、极限与连续1. 极限的概念极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近的概念。
数列极限和函数极限是高等数学中的基础概念，对于后续的微积分和微分方程等学科具有重要作用。
2. 连续性连续性是函数的一个重要性质，它意味着函数在某一区间内没有跳跃或断裂的点。
连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理和最大最小值定理等。
二、微分学1. 导数与微分导数是函数在某一点的变化率，它的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
微分是导数的微小变化量，它在微积分中有着重要的应用，例如求解极值问题和描述曲线的几何性质等。
2. 微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理，它描述了函数在某一区间内必然存在某个点，该点的导数等于函数在该区间的平均变化率。
微分中值定理在求解函数的性质和优化问题中具有重要作用。
三、积分学1. 不定积分不定积分是求解函数原函数的过程，它是微分的逆运算。
不定积分的结果是一个函数族，每个函数都是原函数的一个特解。
不定积分在解决微分方程和计算曲线下的面积等问题中起着重要作用。
2. 定积分定积分是计算曲线下的面积或曲线长度的工具。
定积分的几何意义是曲线与坐标轴之间的面积。
定积分在物理学、经济学和统计学等领域有着广泛的应用。
四、级数1. 数列与级数数列是按照一定规律排列的一组数，级数是数列的和。
级数在数学分析和实际问题中有着广泛的应用，例如无穷级数和幂级数等。
2. 收敛与发散收敛与发散是级数的两种基本性质。
如果级数的部分和有一个有限的极限，那么该级数是收敛的；如果级数的部分和趋向于无穷大，那么该级数是发散的。
五、常微分方程1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
通过求解一阶常微分方程，可以得到函数的解析解或数值解，从而描述物理过程和自然现象。
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含了众多的公式和知识点。
以下是我为大家整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限（一）函数函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
函数的性质：1、单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x)在该区间上单调递增（或单调递减）。
2、奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数。
（二）极限极限的定义：设函数 f(x)在点 x₀的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当 x 满足 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，对应的函数值 f(x)都满足|f(x) A|＜ε，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当x→x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。
极限的运算：1、四则运算：若lim(x→x₀) f(x) ＝ A，lim(x→x₀) g(x) ＝ B，则lim(x→x₀) f(x) ± g(x) ＝ A ± B；lim(x→x₀) f(x) × g(x) ＝ A × B；lim(x→x₀) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。
2、两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1；lim(x→∞）（1 ＋1 ／ x)ⁿ ＝ e（n 为常数）。
二、导数与微分（一）导数导数的定义：函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结1. 极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小与无穷大- 极限的运算法则- 连续函数的定义与性质- 闭区间上连续函数的定理（确界存在定理、中值定理、罗尔定理等）2. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 导数的计算方法（基本导数公式、链式法则、乘积法则、商法则、隐函数求导等）- 高阶导数- 微分的定义与应用- 泰勒级数与麦克劳林级数3. 积分学- 不定积分的概念与性质- 基本积分表与积分技巧（换元法、分部积分法等）- 定积分的定义与性质- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量等）- 微积分基本定理- 积分技巧（特殊技巧、积分表的使用等）4. 多元函数微分学- 多元函数的偏导数与全微分- 多元函数的极值问题与拉格朗日乘数法- 梯度、方向导数与切平面- 多重积分的概念与计算（二重积分、三重积分）5. 向量代数与空间解析几何- 向量的运算与性质- 点、直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程6. 级数- 级数的基本概念（数项级数、幂级数、函数项级数）- 收敛性判断（柯西准则、比较判别法、比值判别法、根值判别法等）- 幂级数的收敛半径与收敛区间- 傅里叶级数7. 常微分方程- 微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程- 二阶常系数线性微分方程- 特殊类型的微分方程（贝塞尔方程、勒让德方程等）8. 复变函数- 复数的基本概念与运算- 解析函数的概念与性质- 复变函数的积分与柯西积分定理- 留数定理与应用9. 泛函分析初步- 赋范线性空间与内积空间- 线性算子与线性泛函- 正交性与谱理论初步10. 概率论与数理统计- 随机事件与概率的定义- 随机变量与分布函数- 多维随机变量及其分布- 大数定律与中心极限定理- 统计量的分布与假设检验以上是高等数学的主要知识点概要。
每个部分都需要深入学习并通过大量的练习来掌握。
这些知识点构成了高等数学的基础，对于理解和应用更高级的数学概念至关重要。
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高等数学知识整理2012-7-14~2012-7-23一、整理表达式的几个基本技巧（1）（2） 拆分：11=(-)(+)(+)-++c a ax b cx d bc ad cx d ax b（3） ()(>)()m m n P x m n p m P x 综合除法，其中为次多项式，则()=+()()m n n P x P x p x 余数商 二、奇偶性如果(-)=-()f x f x ，则称()f x 为奇函数；如果(-)=()f x f x ，则称()f x 为偶函数 三、有界性存在常数>0,|()|M st f x M ≤，其中x I ∈，则称()f x 在区间I 上有界。
sin ,cos ,arcsin ,arctan ,cot x x x x arc x 均有界四、常用公式（1）22sin +cos =1x x（2）21+cos2x cos =2x 21-cos 2sin =2xx sin 2=2sin cos x x x （3）221+tan =sec x x 221+cot =csc x x五、求极限的题型（1）()lim()m x nP x P x →∞方法：上下同除以x 的最高次幂 （2）()lim()m x an P x P x → (),()0()m n n P a p a P a ≠ 原式= ,()=0,()0n m P a P a ∞≠上下分解因式并带值（用洛必达法则亦可）（3）若lim ()=0,()x af xg x →有界，则lim ()()=0x af xg x →（4） 10lim (1+)=ux u e →步骤：①1∞识别；②先得内，再得外；③内翻再还原1lim lim(1+)=lim[(1+)]=e vuvuv u u u（5） 等价无穷小替换当0,x →有sin ,tan ,arcsin ,arctan ,ln (1+),-1x x x x x x x x x x x e xx n原则：乘除可换，加减忌换六、连续性分析定义：00lim ()=()x x f x f x →变形：000(-0)=(+0)=()f x f x f x ，其中0(0)f x ±分别表示左、右极限。
七、间断点识别及分类1、识别方法：可能间断点应是其定义域的端点2、分类方法：（1）000(+0)=(-0),f x f x x 为可去间断点 （2）000(+0)(-0),f x f x x ≠为跳跃间断点（3）000(+0)(-0)f x f x x ，至少有一个不存在，为第二类间断点 八、连续函数的介值定理定理：()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()<0f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少有一零点。
注意一下几点：（1）[,]a b 区间的选择，在证明题过程中有明确提示 （2）验证()f x 在[,]a b 上的连续性 （3）验证()f x 在两端的符号（4）此定理不能确定()f x 是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证()f x 在[,]a b 上的单调性九、导数（1）定义：函数()f x 在0=x x 处的导数定义为'0000(+)-()()=limh f x h f x f x h→左导数：-'00-00(+)-()()=lim h f x h f x f x h→右导数：+'00+00(+)-()()=lim h f x h f x f x h →导数'0()f x 存在''+0-0(),()f x f x ⇔存在且相等；若'0()f x 存在，则得出'0000(+m )-(+nh)lim=(-)()h f x h f x m n f x h→（2）基本公式'=0c -1()'=n n x nx()'=x x e e ()'=ln x x a a a1(log )'=ln a x x a 1(ln )'=x x(sin )'=cos x x (cos )'=-sin x x2(tan )'=sec x x 2(cot )'=-csc x x(sec )'=tan sec x x x (csc )'=-cot csc x x x(arcsin x (arccos x 21(arctan )'=1+x x 21(cot )'=-1+arc x x（3）基本法则：①(())'=c(())'cf x f x ②'(()())'=()g'(x)f x g x f x ±± ③(()())'='()()+()'()u x v x u x v x u x v x④2()'()()-()'()()'=()()u x u x v x u x v x v x v x （4）高阶导数22''==()d y d dy y dx dx dx()(-1)=()n n d y y dx几个常用公式+11(-1)!()'=+(+)n n n n aax b ax b ()(sin )=sin (+)2n n x x π ()(cos )=cos(+)2n n x x π()()=x n n x e e ααα ()()(-)()=nn i i n i n i uv C u v =∑十、微分定义：对于函数=()y f x ；如果存在常数,.A st 00(+)=()++()(0)f x x f x A x o x x ∆∆∆∆→ 则称=()y f x 在0=x x 处可微=()y f x 在0=x x 处可导⇔可微成立，且'0=()df f x dx十一、隐函数、参数方程求导 1、 隐函数求导由方程(,)=0F x y 确定的函数=()y y x ，但=()y y x 的显示表达式可能不易得到，但仍要解导数dydx，称之为隐函数求导，隐函数求导可看成复合函数求导的特例，誓如：2+=1xy y e 两边对x 求导得：2'+()'=0,2yy'+e (+')=0xy xy yy e xy y xy所以'=-2+xyxyye y y xe2、 参数求导求导公式：'=='t t dy y dy dt dx dx x dt 22()=d dyd y dt dxdx dx dt十二、导数的应用1、 斜率与几何应用函数=()y f x 在0=x x 处的导数'()y x 为切线斜率k ，过点00[,()]x f x 的切线方程为0-()=(-)y f x k x x2、 洛必达法则若lim ()=0,lim ()=0x a x a f x g x →→且在a 的邻域附近(),()f x g x 可导，如果'()lim ='()x a f x A g x →成立，则()lim=()x af x Ag x →。
注：（1）洛必达法则的处理形式必须是未定式0,0∞∞，对于0,1,-∞∞∞∞ 等形式必须变形为0,0∞∞形式。
（2）洛必达法则是一个充分性法则，若'()lim '()x a f x g x →不存在，则此方法失效。
（3）洛必达法则只要前提正确，可重复使用 3、函数的单调性、极值、凹凸性、拐点及渐进性 （1）单调性如果'()>0,,f x x I ∈则()f x 在I 上严格单调递增，'()<0,,f x x I ∈则()f x 在I 上严格单调递减满足'()=0f x 的点称为驻点 （2）极大值，极小值判别Ⅰ：如果0=x x 的附近，当0<x x ，()f x 单调递增，0<x x ，()f x 单调递减，则()f x 在0=x x 处取得极大值，反之取极小值。
判别Ⅱ，如果''()f x 在0=x x 的邻域存在，则''()>0''()<0f x f x 取极小值，取极大值 极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。
（3）凹凸性''()f x 在I 存在，如果''()>0,()''()<0()f x x I f x I f x x I f x I ∈∈则在上向上凹，，则在上向上凸（4）拐点凹凸性发证改变的界点称为拐点，它可能出现在''()=0f x 的点或''()f x 不存在的点 （5） 渐近线如果lim ()=x f x A →∞则==()y A y f x 为的水平渐近线，如果lim ()=x af x →∞，则==()x a y f x 则为的垂直渐近线函数的单调性、极值、凹凸性、拐点问题的流程为： ① 求定义域、渐近线；②计算',''y y ；③ 求'=0,''=0y y 的点和找出使',''y y 不存在的点 ④ 列表分析⑤结论 4、最大值、最小值分析问题的流程为： ① 适当假设求解变量x② 函数关系=()y y x 的确定③ '=0y 的求解，交代y 最大、最小的理由④ 合理分析十三、罗尔定理、微分中值定理罗尔定理：如果()f x 在(,)a b 内可导，在[,]a b 上连续，且()=()f a f b ，则存在'(,),.()=0a b st f ξξ∈拉格朗日中值定理：如果()f x 在(,)a b 内可导，在[,]a b 上连续，则存在'(,),.(b)-()=()(-)a b st f f a f b a ξξ∈十四、不定积分的意义、基本公式1、 性质[(]'=();[(]'();()=()+f x x f x d f x dx f x dx dF x F x C =⎰⎰⎰）d ）2、 基本公式+11=+(-1)+1nn x dx x C n n ≠⎰，1=ln||+dx x C x⎰ =+ln x xa a dx C a⎰，=+x xe dx e C ⎰ sin =-cos +xdx x C ⎰，cos =-sin +xdx x C ⎰2sec=tan +xdx x C ⎰，2csc =cot +xdx x C ⎰=arcsin +xC a ，2211=arctan ++x dx C a x a a ⎰2211+=ln||+-2-a xdx C a x a a x ⎰十五、求不定积分的三种方法1、 凑微分法一些常见的固定类型1(+)=(+)(+)f ax b dx f ax b d ax b a ⎰⎰-11()=()n n n nx f x dx f x dx n⎰⎰1()=()()x x x x f e e dx f e d e ααααα⎰⎰2221()=()2xf x dx f x dx ⎰⎰ 1(ln )=(ln )(ln )f x dx f x d x x ⎰⎰21111()=-()()f dx f d x x x x ⎰⎰sin (cos )=-(cos )(cos )xf x dx f x d x ⎰⎰ cos (sin )=(sin )(sin )xf x dx f x d x ⎰⎰2sec (tan )=(tan )(tan )xf x dx f x d x ⎰⎰2、 直接变换法（1）f dx ⎰2(-),=t b t x a，则2=()f dx tf t dt x⎰⎰（2）f dx ⎰。