微分不等式
微分学在不等式证明中的应用
微分学在不等式证明中的应用
微分学在不等式证明中的应用是利用微分的性质，通过对函数的微分进行分析，来证明不等式的成立或者推导出不等式的性质。
具体来说，微分学在不等式证明中的应用包括以下几个方面：
1. 利用导数的性质：在不等式证明中，可以利用导数的性质来进行推导。
例如，对于单调递增函数，可以通过对函数的导数进行分析，来证明不等式的成立。
对于凸函数或凹函数，可以利用函数的二阶导数的正负性来推导不等式。
2. 利用极值点的性质：对于具有特殊性质的函数，可以通过求导数并求解方程，找到函数的极值点，然后利用极值点的性质来证明不等式。
例如，对于凸函数，在极值点处函数取得最小值，可以利用这个性质来推导不等式。
3. 利用微分方程：有些不等式可以转化为微分方程进行求解。
通过求解微分方程，可以得到问题的解析解，进而推导出不等式的性质。
例如，可以利用微分方程来求解函数的增减性，从而推导出不等式的成立。
总的来说，微分学在不等式证明中的应用是通过对函数的微分进行分析，利用导数的性质、极值点的性质以及微分方程等方法，来推导出不等式的性质或者证明不等式的成立。
这样可以更加深入地理解函数的性质以及不等式的本质，从而更好地解决相关问题。
关于微分的一个不等式
) } 三 体 ( 乙) 厂
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二
一
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a
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,
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在 近 代 分 析 学 中所 研 究 的 函 数大 部 分 是不 可 导 或 有 许 多点 不 可 导 的 函 数
微积分中不等式证明探讨
利用 函数的单谓性证 明不等式
1
+
：
O，> O
x
≠
少)
，
例
2
当
+
0
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b
< 万
时
。
，
求
证
：
分析： 函 数结构 中各部分类 似 原不等式既证 』
证 明 ／(r ) 在 ( 0 ， +
故 可 构造 函 数 厂 r ) (
=
t in t
，
，
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b
而
> a s
in
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2
co s a + 肋
，
分析： 这类题关键在于构造 函数 注意到结论 中不等号两边结 构相似 故设 f (x 1 J s i n J + 2 c o s J + 耐
，
V V
，
an
“
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，
x C
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1 9 9 7 ， N 确咖 出D 0 d b a s 。 抽向删 删 幻 d
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4
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兰
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Pr o c e e d i n g s o f t h e 3 J o in t C o n f e r e n c e o n I n f o r m a ti o n S c i e n c e s S e t ＆ C o m pu ter S c ie n c e R e s e a r c h T r ia n g le P a r k No rth Ca r o lin a PP 154 15 7
-
微分学在几类不等式证明中的应用
即 厂 ｚ 一 一１ （） ＋
（ ｚ一 ）． ｚ 不妨 假 设 厂 ０ ≥ ｏ （） ，
（ ｚ ）＜ 一 １ 一 。ｚ 十 ，
由上 式 知 ， ｏ 一 一 １ 厂（ ） ＋
所以 厂（ ＞２厂 ｏ ＋１≥２其中 ９ ［ （） ］ ， ∈［，］ ｏ１．
证 明 ： ＿ ｆ一ｔ ｔ￡ ）则 厂 （） ｎ＋ ｌ 令 厂 ） Ｉ （＞０ ． （ ｎ ｆ 一ｌｔ ，
第２ １卷 第 １期
２ １ 年 ３月 ０１
湖 南 工 程
学 院 学 报
）． １ Ｊ ． １２ ． Ｎ １
Ｍ ａ ． ０１ ｒ２ １
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＨｕ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ ｎ ｉｅ ｒ ｇ ｏ ｒａ ｎ ｎＩ ｓｉ ｔ ｆＥ ｇｎ ｅｉ ｏ ｔ ｎ
微 分 学 在 几 类 不 等 式 证 明 中 的 应 用
（ ｄ＋ ｑ ） 。 吉＞ （ ＋ ）
证 明 ： 为 Ｐ ０ 所 以 上 述 不 等 式 即 为 （ ＋ 因 ＞ ， １
将所证不等式变形后 ， 若其一边 （ 边不等式 ） 中间 单 或 部分（ 双边不 等式 ） 可 以写成 ， 的形式 ， 则
（ ｛ １ 导） 专 导） ＞（＋（ ．考虑函数厂 ｚ 一（＋ ） ） （） １
其掌握 的程度 直接影 响到后 续内容的学 习效 率． 学习
者 不 仅 要 理 解 掌 握 好 这 部 分 内 容 ， 且 要 能 学 有 所 而
第一 种形 式． 此时可以设 Ｆ ｚ 一厂 ｚ －ｇ ｘ ， （ ） （ ） （ ）只需要
验 证 Ｆ 口 ＝０及 当 ｘ ａ时 （ ） Ｏ或 当 （） ＞ ｚ＞ （
用， 将这些知识用 于实 际问题 的解决．
本 文 中我 们 把 这 些 微 分 的 知 识 应 用 于 证 明各 种 类型不等式． ① 一 端 可 化 为 的不 等 式 证 明 ． 法 是 方
微分法在不等式证明中的应用
微分法在不等式证明中的应用不等式是数学中非常重要的一部分，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
而微分法，则是不等式证明中常用的一种方法。
本文将介绍微分法在不等式证明中的应用。
一、微分法的基本原理微分法是微积分中的一种方法，它用导数的概念来研究函数的变化。
在不等式证明中，我们可以利用微分法来求函数的最值，从而证明不等式。
对于一个函数f(x)，如果它在某个点x0处取得最值，那么它的导数f'(x)在这个点处为0。
因此，我们可以通过求导数为0的点来求函数的最值。
具体地说，如果f'(x0)=0，那么x0就是f(x)的一个极值点。
如果f''(x0)>0，那么x0就是f(x)的一个极小值点；如果f''(x0)<0，那么x0就是f(x)的一个极大值点。
二、微分法在不等式证明中的应用1. 利用导数证明不等式的单调性在不等式证明中，我们经常需要证明一个函数的单调性。
这时，我们可以通过求导数来证明函数的单调性。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么f'(x)>0；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么f'(x)<0。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上单调递增。
首先，求出f'(x)=2x，然后判断f'(x)在[0,1]上的符号。
由于2x>0，因此f(x)在[0,1]上单调递增。
2. 利用导数证明不等式的正确性在不等式证明中，我们常常需要证明一个不等式的正确性。
这时，我们可以通过求导数来证明不等式的正确性。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么f(a)<=f(b)；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么f(a)>=f(b)。
例如，我们要证明不等式1/(1+x^2)<=1/2在区间[0,1]上成立。
首先，将不等式两边都取倒数，得到2<=1+x^2。
微分法在不等式证明中的应用
第21卷第1期新乡教育学院学报2008年3月翅：21，№：!艘堡咝些堡墅墅王垒坚堡幽垫墅堕丛必堡鲤幽：婴一微分法在不等式证明中的应用张锦来(朝阳师范高等专科学校数学系，辽宁朝阳122000)摘要：介绍了用微分法证明不等式的四种方法，借助这些方法可使各种不等式的证明简便易行。
关键词：微分法；证明；不等式中图分类号：01文献标识码：A文章编号：1672_3325【2008)01_0102也作者简介：张锦来(1959一)，女，辽宁朝阳人，副教授。
研究方向：数学分析。
不等式的证明是数学论证中很重要的问题，方法也较多n]，但利用微分学中的不同方法来证明还不多见。
本文集中研究了以微分法求证不等式的四种方法，在实际应用中具有较高的价值。
现阐述如下。
首先，给出与要证明的不等式相关的辅助函数F(咒)，并选取石的变化区间[口，6]怛1。
一、利用曲线的凹凸性【31来证明先求出∥(口，6)并确定其在(口，6)上的符号，定出曲线F(菇)的凹凸区间，并参考端点八口)、“6)的值，即可得出要证明的结果。
一，’例1求证：当o<戈<鲁时，s i n菇>÷石，证设F(戈)=si nz一务o<戈<号，则P(戈)：c。
s一要，P(菇)=一si n菇。
因为当o<戈<要时，P(x)<o，所以，曲线F(戈)：一sin戈一告是凹的。
又因为F(o)=F(号)，=o，所以F(石)>o，即si n戈>≥二、利用泰勒中值定理【41来证明依据F(戈)的情形，将其按泰勒公式或麦克劳林公式展开。
例2求证：当石>o时，去x=1112>l n(2+戈)收稿日期：2008—03—12证设F(算)=(吉菇+1n2)一l n(2+算)戈>o 则P(戈)=丢一砭{习，(搿)=讧{召且F(0)=P(0)=O将F(菇)按麦克劳林公式展成F(石)：F(o)+P(o)菇+罢箅艽z(}在。
与茗之间)即有F(x)2西专两戈2>o故戈>o时有丢戈+l Il2>l n(2+戈)三、利用函数的单调性‘53来证明若F(石)在(口，6)上的导数保持定号，则可确定F(戈)的单调性，进而得出要证明的结果。
变分不等式及图像处理中的应用
变分不等式及图像处理中的应用变分不等式是数学领域的一个重要概念，它在图像处理中具有广泛的应用。
本文将介绍变分不等式的定义和性质，并探讨其在图像处理中的应用。
一、变分不等式的定义和性质变分不等式是指一类特殊的微分不等式，它涉及到泛函的极小化问题。
假设我们有一个实数域上的函数空间F，而泛函是定义在F上的函数。
若存在某个函数u，对于任意的v∈F，都有泛函J(v)≥J(u)，则称u 是泛函J的一个极小值。
如果上述不等式为严格的不等式，则称u是泛函J的一个严格极小值。
变分不等式的性质主要有以下三个方面：1. 可微性：若u是泛函J的极小值，且J在u处可微，则有δJ(u;v)=0，其中δJ(u;v)表示泛函J的变分。
2. 平移不变性：若u是泛函J的极小值，则对于任意常数c，u+c也是泛函J的极小值。
3. 线性不变性：若u1和u2都是泛函J的极小值，则对于任意常数α和β，αu1+βu2也是泛函J的极小值。
二、图像处理中的应用利用变分不等式在图像处理中可以得到很多重要的结果，以下是其中常见的几个应用。
1. 边缘检测图像中的边缘是指物体之间灰度或颜色发生剧烈变化的区域。
边缘检测是图像处理中的一项基本任务，常用于目标识别、图像分割等领域。
利用变分不等式可以建立起边缘检测的数学模型，通过极小化问题求解得到图像中的边缘信息。
2. 图像去噪图像在采集和传输过程中往往会受到噪声的干扰，影响图像的质量和清晰度。
因此，图像去噪是图像处理中的重要任务之一。
变分不等式可以用于去噪算法的建模，通过极小化问题求解得到去除噪声后的图像。
3. 图像恢复当图像受到模糊、失真等变换时，需要进行图像恢复以提高图像质量。
利用变分不等式可以建立起图像恢复的数学模型，通过极小化问题求解得到恢复后的图像。
4. 图像分割图像分割是指将图像划分为具有语义内容的若干区域，常用于目标识别、图像分析等领域。
利用变分不等式可以建立起图像分割的能量函数，通过极小化问题求解得到图像的划分结果。
微积分在不等式中的使用
因此
‘ ｓ 。‘ 厂∽
：
＋ （１， ，） （ ） ＞
所 ｘ ；了 以＿ ｈ ｘ － － ｙ ｙ
例２ 证明：
一
÷ 。 １可 ， 一 ＝ ） 知 （ ，
即 掣 ｅ
５利用泰勒公式
对于 所给 条件 涉及 到具 有二阶 或更 高阶 导数 的题 目 ，可考 虑借 助于 函数的 泰勒 公式 证 明。特别是 已知最高阶导数 的取值范 围时 ，
—
￡ ＋ （） ， ） ， 厂 ）， ＋ 】 （ （ ≤
（ ：２，３ ，…）
） ，
可考 虑借 助于拉 格 朗 日中值 定理 或柯西 中值 定理证 明，证明的关键是 函数和 区间的选取 。
例１ 俪Ｉ 证 明． 明
：
．
Hale Waihona Puke Ｅ ｏ＜ ｈ ‘： ｓ ｘ（ ＜ｔ ｘ可知 ： ｐ ｉ ｎ ａ ｎ 当时
，
如果 函数 ， 是 凹函数 ， （ 则在 （ 。ｂ 有 ｔ ） ． ／
＜ 三＜ Ｉ ‘ ｎ
（ ＜ｒ ０． ） ≤
证 明 ： ，（ ＝ｈ ｘ Ｙ＞０，在【 令 。 ｙ，引 ，
ｏ 詈 ， 调 少吾 （ ｌ 时ｌ 单 减 ， ， ｃ 厂 （ ）
例４
ｘ ＋ （） ＿似 ， ， ＋． ） ¨ ） ｘ １ 】 （ ＋ 生
摘 要 ：高等 数学 中常 要证 明一 些不 等式 ，论 证不 等式 的方 法很 多 。本文 着重 介绍 用微 积分知 识 证明 不等 式的 几种 常用方 法 。 关键词 ：微积分 不等式
中图分类 号 ：０ ｌ ７ ５ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章编号 ：ｌ ７ 一 ５ ４ ２ Ｏ ）４ ｃ一 ｌ ９ ０ ６ ３ Ｏ ３ （Ｏ ７ Ｏ （） Ｏ ６ － ２
微积分在不等式证明中的应用探究
微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支，其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。
在不等式证明中，微积分也有着很大的作用，可以帮助我们更好地理解和证明不等式。
本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。
一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题，它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。
通常，我们可以将不等式转化成一个函数的形式，然后利用微积分的思想对函数进行研究，进而得到不等式的证明。
二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用，下面列举几个例子来说明。
1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。
当我们要证明一个不等式时，我们可以先找到函数的极值点，然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。
具体实现方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。
假设f(x)的导数为0，即f'(x)=0，则f(x)在x处取得极值。
根据极值的定义，我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时，不等式a≤f(x)≤b都会成立。
例如，要证明不等式sinx≤x（0≤x≤π/2），我们可以定义函数f(x)=x-sinx，然后求出f'(x)=1-cosx。
当f'(x)=0时，即cosx=1，这时f(x)的极小值为0，因此sinx≤x成立。
2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。
具体方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。
具体来说，我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x)，然后计算g(x)在[a,b]上的积分，即∫[a,b]g(x)dx。
由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分，因此就能证明不等式的成立。
微积分在不等式中的应用
微积分在不等式中的应用摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科，内容主要包括：微分、积分及其应用。
微积分是与应用联系着发展起来的，微积分的发展极大的推动了数学的发展。
不等式是数学学科中极为重要的内容，证明不等式的方法多种多样，有些不等式用以前学习的方法来证明比较麻烦，其证明通常不太客易。
本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用微积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。
用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态，然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式。
希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与不等式的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。
关键词：微积分；不等式；证明；应用AbstractThe calculus is study on the function of Higher Mathematics in the differential, integral and relevant concepts and applications of mathematics branch. It is a basic discipline of mathematics, mainly including: differential, integral and its application. Calculus develops with the application, the development of calculus greatly promoted the development of mathematics. Inequality is a very important content in mathematics, the various methods to prove inequality, some methods of inequality by the previous study to prove troublesome, it is usually not too easy.This paper reviews the elementary methods to prove inequality, the use of differential mean value theorem, the monotone of the function, extreme( maximum ) determination method, convex-concave function, the Taylor formula, the definite integral, some knowledge of calculus method to prove inequality, this paper discusses how to skillfully use the knowledge and method of the calculus to solve some of the problems of inequality. Using calculus to prove inequality, the basic idea is to construct an auxiliary function, the proof of inequality into to study function using calculus form, then use the calculus calculate the properties of the function to prove inequality. Hope that through this paper can make people aware of the close relationship between calculus and inequality, Let us be aware of the importance of integrating theory with practice.Keywords: calculus; inequality; prove; application目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (4)1.1学术背景 (4)1.2微积分的实践意义 (4)1.3国内外研究现状 (5)1.4课题研究的主要内容 (5)2微积分 (6)2.1微积分定义 (6)2.2微积分的发展史 (7)2.3本章小结 (8)3微积分在不等式中的应用 (9)3.1利用微分中值定理证明不等式 (9)3.1.1微分中值定理（拉格朗日中值定理） (9)3.1.2微分中值定理在不等式中的应用 (9)3.2利用函数的单调性证明不等式 (10)3.2.1函数的单调性 (10)3.2.2函数单调性在不等式中的应用 (10)3.3利用函数的极值(最值)证明不等式 (11)3.3.1函数的极值定理 (11)3.3.2函数极值在不等式中的应用 (12)3.4利用函数的凹凸性质证明不等式 (13)3.4.1函数的凹凸性质 (13)3.4.2函数的凹凸性质在不等式中的应用 (13)3.5利用泰勒公式证明不等式 (15)3.5.1泰勒公式 (15)3.5.2泰勒公式在不等式中的应用 (15)3.6利用定积分的性质证明不等式 (16)3.6.1定积分的性质 (16)3.6.2定积分在不等式中的应用 (16)3.7本章小结 (17)4结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1 绪论1.1 学术背景微积分的产生是数学上的伟大创造，它是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。
微积分在不等式证明中的运用
1引言微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分.微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，可以根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式. 文献[7],[10],[17] [20]介绍微积分在不等式证明中的应用，得到一些一般结论.不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点，方法也很多，在此提出了求证不等式的几种方法，其在实际应用中具有较高的价值. 1.1 微积分的定义 1.1.1微分的定义定义1 设函数()y f x =定义在0x 的某领域0()x 内．当给0x 一个增量x ∆，0x x +∆∈0()U x 时，相应地得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果存在常数A ，使得y ∆能表示成0()y A x x ο∆=∆+， （1）则称函数f 在点0x 可微，并称（1）式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分，记作0x x A x ==∆dy ｜或0x x A x ==∆df(x)｜． （2）由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0A ≠时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的． 1.1.2 积分的定义定义2 设f 是定义在[],a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数．若对任何给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[],a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[],a b 上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[],a b 上的定积分或黎曼积分，记作()ba J f x dx =⎰.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的下限和上限． 2 微积分在不等式证明中的应用 2.1微分在不等式证明中的应用 2.1.1用导数的定义例1 设12()sin sin 2f x a x a x =++…+sin ,n a nx 已知()sin ,f x x ≤证明122... 1.n a a na ++≤证明：方法1：因为(0)0,f = 由已知()(0)sin (0)0f x f xx x x -≤≠-,'0()(0)lim1(0)10x f x f f x →-∴≤⇒≤-,即122... 1.n a a na ++≤导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明.方法2：由()sin ,f x x ≤得()sin (0),f x xx x x≤≠即12sin sin 2sin sin ...n x x nx xa a a x x x x+++≤ .两端同时取x →0 时的极限得 lim x →∞12sin sin 2sin ...n x x nxa a a x x x+++≤lim x →∞sin x x .由重要极限及其变形知:0sin limx kxk x→=. ∴122... 1.n a a na ++≤证毕.2.1.2利用微分中值定理定理1（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b ）内可导； （3）f(a)=f(b)；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0.定理2（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间（a,b ）内可导；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0 .定理3（柯西中值定理）：设函数f(x)，g(x)满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内均可导且g'(x)≠0；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得a b a f b f --)()(=)('ξf 或)()()()()()(''ξξg f a g b g a f b f =--. 例2 已知b>a>0, 证明b a b -<a b ln <aab -. 证明：设f(x)=lnx, 它在[]b a ,（a >0）上连续且可导,,1)('xx f =又),,(b a ∈ξ根据微分中值定理的条件, 有ξ1ln ln =--a b a b ,而b 1<ξ1<a 1,因此b 1<ab a b --ln ln <a 1,即b a b -<a b ln <aab -. 例3 设- 11,≤≤y x ,证明 ｜arcsin arcsin x y -｜≥｜x-y ｜. 证明：设f(z)= arcsin z ，它在[ - 1 ,1 ]上连续且可导,2'11)(zz f -=,又ξ∈( - 1 ,1) ,根据微分中值定理的条件,有arcsin arcsin x yx y --,而1≥,因此｜arcsin arcsin x y -｜≥｜x-y ｜.如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后,与微分中值公式的结构有相似性,就可以利用微分中值定理来证明,采用这种方法要注意的是构造一个辅助函数,然后利用公式证明. 2.1.3利用函数的单调性函数不等式是判断函数之间的大小关系.基于这种思想，可以利用函数单调性证明不等式.基本思想:将不等式两边的函数移到同一端，并作辅助函数;利用函数一阶导数的符号判断函数在所给区间的单调性;根据函数的单调性，得到所求不等式.定理4：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导（1）若在（a,b ）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加； （2）若在（a,b ）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 由定理1 我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)； （2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性； （3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证.根据导数判断函数单调性的特点,直接构造一个函数,使得被证明的不等式中含有这个函数的两个端点值,然后利用单调性即可证明.例4 证明不等式1+x 21>x +1,x>0.证明：构造函数f(x)= 1+x21-x +1 (x>0), 则'1()2f x =.当x > 0 时,有11-+x >0，从而xx x f +-+=1211)('>0，,所以函数在(0 , + ∞)内单调增加,即当x > 0时,有f ( x) > f (0) ,而f (0) = 0 ,所以1+x 21-x +1(x>0), 即1+x 21>x +1,（x>0）.例5 当x > 0 时,证明不等式xx+1<ln(1+x) <x.证明： (1) 令函数f(x)=ln(1+x)- x x+1,因为当x > 0 时,'()f x =x +11-2)1(1x +=2)1(x x +>0, 且f (0) = 0 ,所以函数在(0 , + ∞) 内单调增加,因此)1ln(x +-x x +1>0, 即1n (1 + x) >xx +1;(2) 设g ( x) = 1n (1 + x) - x ,类似可证明g ( x) 在区间(0 , + ∞) 内从0 开始单调减少,因此当x > 0时,有g ( x) < 0 ,即1n (1 + x) < x. 综上所述,可知xx+1 <)1ln(x +<x )0(>x . 运用函数的单调性证明不等式,关键在于构造适当的辅助函数,并研究它在指定区间内的单调性. 若在(a ，b)上总有f '(x) > 0，则f( x) 在( a ，b) 单调增加;若在( a ，b)上总有f '(x) < 0，则f(x) 在(a ，b) 单调减少.构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对( a ，b)进行分割，分别在小区间上讨论. 2.1.4利用函数的极值与最值定理5 （极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某领域0U 0(;)x δ内可导．(1)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≤，当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≥，则f 在点0x 取得极小值．(2)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≥，当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≤，则f 在点0x 取得极大值．定理6（极值的第二充分条件）设f 在点0x 的某领域U 0(;)x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且'0()0f x =，0''()0f x ≠． (1)若0''()0f x <，则f 在0x 取得极大值． (2)若0''()0f x >，则f 在0x 取得极小值．例6 设,10≤≤x ,p >1,证明不等式121-p ≤p x +p x )1(-≤1.证明：令f ( x) =p x +p x )1(-,则)('x f =p 1-p x +p 1)1(--p x (-1)=p []11)1(----p p x x , =)(''x f p(p-1)2-p x +p(p-1)2)1(--p x .令)('x f =0, 得x =21,则)21(''f =p(p-1)]22)21()21(--+⎢⎣⎡p p >0,)1(>p ; 所以f(x)在x=21处取得极小值. 因为,1)0()1(==f f =)21(f 121-p ,所以)(x f 在[]1,0上最大值为1 ,最小值为121-p . 因此121-p ≤p x +p x )1(-≤1.例7 求证:当0x ≥ 时, 1(1)10n n nx n x ----≤ (1,)n n N >∈. 证明：令()f x =1(1)1n n nx n x ----,则 '212()(1)(1)(1)(1).n n n f x n n x n n x n n x x ---=---=--令 '()0f x = 得驻点： 1(0x x ==因为是端点，所以不是驻点）. 且当1x <时，'()0,f x >当1x >时，'()0,f x <(1)0f =是极大值也是最大值，所以()(1)0f x f ≤=，即当0x ≥时, 1(1)10n n nx n x ----≤.当我们构造好函数)(x f 后,如果无法得到0)('>x f (或)0)('<x f .即当函数不具有单调性时,可以考虑用极值与最值的方法进行证明，也是一种行之有效的方法. 若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值.令f( x) 在区间［b ，a ］上连续，则f( x) 在区间［b ，a ］存在最大值M 和最小值m ，那么: m ≤f(x)≤M. 2.1.5 利用函数的凹凸性定义3 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， (1)则称为上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-， (2)则称f 为I 上的凹函数．如果(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．定理7 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸（凹）函数的充要条 件是''()0(''()0),f x f x x I ≥≤∈．定理8 若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[]1,,0(1,2,,),ni i i i x a b i n λλ=∈>=⋅⋅⋅∑=1,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑．例8 设0,1,2,3...i x i n >=.12...nx x x n+++≤,其中的等号成立当且仅当所有的i x 全相等.证明：当所有的i x 全相等时等号显然成立,因此只需证明当i x 不全相等时上式是严格不等式. 考虑函数,ln )(x x f =x x f 1)('=>0,)(''x f =-21x<0x (>)0. 因此函数在),0(∞上是严格单调增加且是严格凸函数, 根据严格凸函数的定义,可知: 12...ln nx x x n+++ >11212ln ln ...ln ln(...)n n n x x x x x x n +++=⋅⋅⋅,又根据严格递12...nx x x n+++≤.例9 证明不等式)ln ln (y y y x +>2ln)(yx y x ++x (>y ,0>y x ≠,0). 证明： 构造函数x x x f ln )(=,),0(+∞∈x ,则=)('x f 1ln +x ,=)(''x f x1>0,),0(+∞∈x .因此,函数在),0(+∞∈x .上是凹函 数,由凹函数的定义有: 12()2x x f +<12()()2f x f x +即2ln 2y x y x ++<2ln ln y y x x +,所以)ln ln (y y y x +>2ln )(yx y x ++. 利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系,即12()2x x f +<12()()2f x f x +或12()2x x f +>12()()2f x f x +,构造一个凸函数或凹函数来证明.2.1.6利用泰勒公式定理9 （泰勒定理） 若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导函数，则对任意给定的[]0,,x x a b ∈，至少存在一点ξ，使得'200000''()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()(1)1000()()()()!(1)!n n nn f x f x x x x n n ξ++⋅⋅⋅+-+-+．例10 如果f(x)在[],a b 上二阶可导，''()()f a f b ==0，则存在(,)c a b ∈使得''24()()().()f c f b f a b a ≥-- 证明：'''21()()()()()(),222!2f a b a b a b f f a f a a a ξ+++=+-+-(a<1ξ<2a b +). '''22()()()()()(),222!2f a b a b a b f f b f b b b ξ+++=+-+-(2a b +<2ξ<b ).所以''''212()()()()(),42f f b a f b f a ξξ---=, 取c 满足''''''12()max{(),()}f c f f ξξ=,2''()()()()4b a f b f a fc --≤, 即''24()()()()f c f b f a b a ≥--.在高等数学中的证明,尤其是题设中含有高阶导数二阶和二阶以上的大小或上下界的函数不等式,Taylor 公式是一个强有力的工具,而应用这一工具证明这类不等式的关键所在,就是正确地写出比题设条件低一阶的函数Taylor 的展开式,恰当选择Taylor 公式两边的x 与0x ,由给出的高阶导数的大小或上下界对展开式进行放大或缩小.泰勒展开式的证明常用的是将函数()f x 在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点、零点) 进行展开,通过分析余项在ξ点的性质,而得出不等式,另外若余项在所给区间上不变号,也可将余项舍去而得到不等式.2.2积分在不等式证明中的应用 2.2.1 利用积分的定义主要思想：设()f x 在[],a b 上是严格增，0a x =<1x <…<n x 1,,n n b x x l +=-=则[]01()...()n l f x f x -++< ()ba f x dx ⎰<[]1()...();n l f x f x ++ (1)11()n f x dx -⎰<[]11()...()n l f x f x -++<()baf x dx ⎰, （2）适当选取()f x l 及可得各种不等式与估值例11 证明11p n p ++<12...p p pn +++<1(1),1p n p p +++>0.证明 ： 对增函数()p f x x = (0x ≤< 2∞应用（）)：101p p p n x dx p +=+⎰<(1)...()f f n ++<110(1)1p p pn x dx p +++=+⎰. 此题还可将微分中值定理用到(1)p p k k +-来证. 2.2.2利用积分的性质性质1 若f 在[],a b 上可积，κ为常数，则f κ在[],a b 上也可积，且 ()()bbaaf x dx f x dx κκ=⎰⎰,性质2 若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上也可积，且 . []()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.性质3 若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g 在[],a b 上也可积．性质4 f 在[],a b 上可积的充要条件是：任给(,),c a b f ∈在[],a b 与[],c b 上都可积．此时又有等式()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.性质5 设f 为[],a b 上的可积函数．若[]()0,,f x x a b ≥∈，则()0baf x dx ≥⎰.推论 （积分不等式性） 若f 与g 为[],a b 上的两个可积函数，且()(),f x g x ≤[],x a b ∈，则有()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.性质6 若f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上也可积，且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.例12 已知)(x s =0cos x t ⎰dt, ,当n 为正整数,且ππ)1(+≤≤n x n 时,证明2n≤s(x) <)1(2+n .证明: | cos x| ≥0 且n π≤x < ( n + 1)π, ∴(1)0cos ()<cos ;n n x dx s x x dx ππ+≤⎰⎰又∵cos x 是以π为周期的函数,在每个周期上积分值相等, ∴(1)0cos cos 2;cos 2(1).n n x dx n x dx n x dx n πππ+===+⎰⎰⎰因此,当n π≤x < ( n + 1)π时,有2 n ≤s ( x ) < 2 ( n + 1) .例13 设f ( x) 在(0 ,1) 上有连续导数,且f (0) = f (1) = 0 ,证明：2112'1()().4f x dx f x dx ⎡⎤≤⎣⎦⎰⎰. 证明: 由于(0)0,f =则'0()(),xf x f x dx =⎰于是212'2220000()()1()(1)(),xx x f x f x dx dx f x dx x f x dx ⎡⎤=≤⋅≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而11111122222210021()()(1)()()().4f x dx xdx f x dx x dx f x dx f x dx f x dx ≤⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14证明不等式22ππ<<⎰ 证明：因为1≤≤=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且不恒等于1，所以由积分不等式2200dxππ<<⎰⎰,即22ππ<<⎰例15 设()f x在[],a b上连续，且()f x不恒等于零，证明2(())0baf x dx>⎰．证明：由()f x不恒等于零知，存在x∈[],a b，使0()0f x≠，故2()0f x>．由2()f x连续及连续函数的局部保号性，存在x的某领域00(,)x xδδ-+（当x a=或x b=时，则为右领域或左领域），使得在其中[][]220()()02f xf x≥>．由性质4和性质5，得[][][][]00002222()()()()b x x ba a x xf x dx f x dx f x dx f x dxδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰[][]22()0()02xxf xdx f xδδδ++≥+=>⎰．2.2.3利用积分中值定理定理10 （积分第一中值定理）若f在[],a b上连续，则至少存在一点ξ∈[],a b，使得()()()baf x dx f b aξ=-⎰．定理11 （积分第二中值定理）设函数f在[],a b上可积．(1)若函数g在[],a b上减，且()0g x≥，则存在[],a bξ∈，使得()()()();ba af xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰；(2)若函数g在[],a b上增，且()0g x≥，则存在[],a bη∈，使得()()()();b baf xg x dx g b f x dxη=⎰⎰．定理12 （推广的积分第一中值定理）若f与g都在[],a b上连续，且()g x在[],a b上不变号，则至少存在一点[],a bξ∈，使得()()()();bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰例16 设122()sin ,()xxf x t dt f x x+=≤⎰试证 （x >0).证明: 令2,u t =则12()sin xxf x t dt +=⎰=22(1)x x+⎰. 被积函数满足第二积分中值定理的条件：()f u =单调, ()sing u u =可积，于是22(1)()sin sin x x f x udu udu ξξ+=⎰,2(1)11()sin sin 22(1)x xf x udu udu xx ξξ+≤++⎰⎰1121x x x≤+≤+ ,（x >0) 证毕． 2.2.4利用积分上限函数定义4 设()f x 在[],a b 上可积，对任何[],x a b ∈，()f x 在[],a x 上也可积．于是，由 ()(),xa x f t dt Φ=⎰ [],x ab ∈定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分．当命题中出现条件()f x 在[],a b 上连续时，可构造积分上限函数，将数值不等式或积分不等式转化为积分上限函数不等式，然后利用函数单调性或定积分性质或泰勒公式解题．例17 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，'()f x 单调减少．证明[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰．证明： 令[]1()()()()()2x a F x f x dx x a f a f x =--+⎰，[],x a b ∈，则由已知条件，得[]11'()()()()()'()22F x f x f a f x x a f x =-+--= []11()()()'()22f x f a x a f x ---= 11()'()()()'()22x a f x a x a f x ξ----= []1()'()'()2x a f f x ξ--，其中 (,)a x ξ∈；又'()f x 单调减少，所以'()'()f f x ξ>，故[]1'()()'()'()02F x x a f f x ξ=-->，从而[]1()()()()()2xa F x f x dx x a f a f x =--+⎰在[],ab 上单调增加，又()0,F a =，故()()0F b F a >=，即[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰．2.2.5 转化为重积分, 再用积分方法进行估计例18 设()(),f x a b 在连续，且f(x)>0，试证21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰. 证明: 左端=1()()()()b bb b aaa a f y f y dy dx dxdy f x f x =⎰⎰⎰⎰交换积分次序，左端=()()()()bbb b aaa a dyf x f x dx dxdy f y f y =⎰⎰⎰⎰ 因此，左端=221()()()()2()()2()()b b b b a a a a f y f x f y f x dxdy dxdy f x f y f x f y ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰2().b b a a dxdy a b ≥=-⎰⎰证毕. 2.2.6 利用Cauchy-Schwarz 不等式定理13 对于闭区间[],a b 上的可积函数(),f x g(x)，有如下不等式：222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.这就是著名的Cauchy-Schwarz 不等式，它在数学分析、高等代数等学科以及许多初等数学的问题中都经常用到．因此，学会并灵活掌握这个定理的证明方法和思想是非常重要的，下面介绍它的证法及在不等式中的运用.证明： 由微积分学基本定理知：()ta f x dx ⎰是()f t 在[],ab ]上的一个原函数，不妨设222()()()()(),tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ [],t a b ∈则有'2222()()()()()2()()()()ttbaaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx =+-⎰⎰⎰=[]2()()()()0taf tg x g t f x dx -≥⎰.因为[],,t a b ∈所以t a ≥, 又[]2()()()()0f t g x g t f x -≥,所以'()0,F t ≥从而()F t 是[],a b 上的增函数. 故()().F b F a ≥而()0,F a =所以()0,F b ≥ 即222()()()()()0,bbba aa Fb f x dx g x dx f x g x ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故. 222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2.2.6.1Cauchy-Schwarz 不等式的运用定理14 设111,1,1p qp q >>+=，如果()f x 为[],a b 上的p 次可积函数，()g x 为[],a b 上的q 次可积函数，那么()()f x g x 在[],a b 上可积，且有11()()()()pqbbbpaa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.为证上述定理，先证如下引理：引理 对任意非负实数A ，B ，都有11q P A B A p B q ≤+成立，其中1,1,p q >>11 1.p q +=证明： 设()(0)y x x φ=≥是严格增加的连续函数，且(0)0,()(0)x y y φϕ==≥是φ的逆函数①()a b φ= , ②()a b φ>, ③()a b φ<.不论()a φ与b 的关系如何，都成立着不等式()()abx dx y dy ab φϕ+≥⎰⎰.其中当且仅当()b a φ=时等号成立． 在上式中取1111(),(),,,q Pp q x xy y a A b B φϕ--====就得到11p q A B A p B q ≤+. 从而引理得证.下证定理．当11(),()pqbbpqa a f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，之中有一个是零时，不等式显然成立．不妨设1()0pbpa f x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰，1()0qbqa g x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰.作辅助函数1()(),()pbpa f x x f x dx φ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰1()()()qbqa g x x g x dx ϕ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.令 (),()p qA xB x φϕ==, 由引理得()()()()pqx x x x pqφϕφϕ=+, （1）因为(),()pqx x φϕ为[],a b 上的可积函数，由上述不等式知()()x x φϕ为[],a b 上的可积函数，因此()()f x g x 为[],a b 上的可积函数，且对(1)式两端积分得 ()()()()pqbbba aax x x x dx dx dx pqφϕφϕ≤+⎰⎰⎰=()()111()()b b pqaabbpqaaf x dxg x dx p qp f x dxq g x dx+=+=⎰⎰⎰⎰. （2）而11()()()()()()pqbbaabbpqa a f x g x dxx x x f x dx g x dx φϕ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰,将它代入(2)式即得 11()()()()pq b b b p q aa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 即为所要证的不等式．证毕．例19 利用施瓦茨不等式证明：若f 在[],a b 上可积，且()0f x m ≥>，则 21()()()bbaaf x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰； 证明： 由()f x 可积，且()0f x m ≥>知，1()f x1()f x ，可积，于是根据Schwarz 不等式，有 1()()bb a af x dx dx f x ⋅⎰⎰222()()()b a adx b a ≥==-⎰⎰.致谢在完成论文的过程中,得到了x xx老师的精心指导和大力帮助,在此，衷心感谢x老师的悉心指导！参考文献【l】李大华, 胡适耕, 林益.高等数学典型问题100类[M].华中理工大学出版社1987.【2】钱吉林.数学分析解题精粹[M].崇文书局，2009.【3】裘卓明、葛钟美、于秀源.研究生人学考试指导. 数学分析[M].山东科学技术出版社,1985.【4】陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].高等教育出版社，2004.【5】华东师范数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2001.【6】同济大学应用数学系，高等数学( 上册) [M] .高等教育出版社,2000. 【7】刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M].人民教育出版社，1981.【8】吉米多维奇.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，2003.【9】菲赫金哥尔茨. 微积分学教程( 第一卷) ( 第8 版) [M].高等教育出版社,2001.【10】罗幼芝.微积分在不等式中的应用［J］.泰山学院学报，2004，第6期：20～21.【11】同济大学数学教研室.高等数学：上册［M］.上海人民教育出版社，1979. 【12】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.高等教育出版社，1993. 【13】寇业富. 不等式的证明[J ] . 数学的实践与认识,2003，第6期：112～116. 【14】萧树铁. 大学数学[M] . 高等教育出版社,2003.【15】徐荣贵,叶红. 微积分的基本思想[J ]. 四川工程职业技术学院学报, 2008，第4～5期，54～55.【16】李以渝. 高等数学(新编本) [M ]. 北京邮电大学出版社, 2006.【17】李光英. 用辅助函数证明不等式[J ] . 安庆师范学院学报(自然科学版) ,1999，第5期：63～64.【18】高汝熹.高等数学一微积分[M ].高等教育出版社,1992.【19】复旦大学数学系. 数学分析(第二版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1983.【20】韩宝燕.应用微积分理论证明不等式[J].中国新科技新产品，2009，第08期：203.【21】L.A.zadeh.“Fuzzy sets,”Information and control,vol.3,no.8, 1965.【22】Lin,T.Y.,Neighborhood systems and approximation in relational databases and knowledge bases,proceedings of the 4th Internationnal symposium on Methodologies of Intelligent systems 1988.。
微积分与不等式
微积分与不等式杨梦婷摘要：本文研究讨论微积分和不等式，首先对微积分和不等式做一个简单的介绍。
内容包括其定义；产生过程；历史上的发展与有关的数学家；以及后来的影响。
和对不等式的简单介绍。
最后重点介绍利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式。
关键词：微积分，牛顿莱布尼兹，近代数学，产生，发展，地位，作用，不等式，导数，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式正文一、微积分的定义：什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
定义：设函数(x)在[a,b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<xn-<xn=b 把区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1，xn]。
每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作即微积分的产生和背景：17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。
微积分的内容包括极限、微分学、积分学及其应用,是一门研究变化、运动的学科。
微分学在不等式证明中的应用
４３０ ） ３０ ０
性 。 理如 下 ： （ ） ［ ＇ ］ 连续 ， （ ， ） 定 设ｆｘ 在 ａ ｂ 上 在 ａ ｂ 内二 阶可 导 ， ） 若ｆ ｘ （ ＞ 或 （ ｘ ＜ ） 则 曲线 ｙ ｆｘ 在 ［ ］ 为 凹 （ 凸 ） ０ （ ） ０ ， ＝（ ） ａｂ 上 ｍ 或 。
１
一
ａ ｃ ａ —ａ ｃ ａ ｙ ｒ ｔ ｎｘ ｒ ｔ ｎ
ｘ ｙ —
ｌ ∈ ＋‘
（＞ ） ｘ １。
（＋ １ ｘ）
二 、 用 函数 的 凹 凸 性 证 明不 等 式 利 ｆ ｘ 的 二 阶 导 数 的符 号 保 持 不 变 ， 可 确 定 ｆｘ 的 凹 凸 （） 这 （）
而Ｉ Ｉ １ 故 ≤ ， １∈ ＋
例２证 明 ： ＜ ＜ ． ＴＯ ｘ
２
时 ，ｉｘ ｓｎ ＞２
ｘ。
１ Ｔ
不 等 式 的 证 明 在 数 学 学 习 中 既 是 一 个 重 点 也 是 一 个 难 点． 方法 也 很 多 ， 在 此 提 出 了 以 微 分 法 求 证 不 等 式 的 几 种 方 我 法 ． 在 实 际应 用 中具 有 较 高 的 价值 。 其 利用 函数 的 单 调 性 证 明 不等 式 若ｆｘ 在 区 间 （ ． ） 的导 数 保 持 符 号不 变 ， 可 确定 ｆｘ ｉ ） ａ ｂ上 则 （） 的单 调 性 。 定理 如下 ： 设 函数 ｙ ｆｘ 在 ［ ， ］ 连 续 ， （ ， ） ＝（ ） ａ ｂ 上 在 ａ ｂ 内可 导 。 果 在 （ ， 如 ａ ｂ 内ｆ ｘ ＞ 内 ，ｔ（） ［ ，］ 单 调 递增 ； 果 在 （ ，） （ ） ） （）０ Ｓｆｘ 在 ａｂ 上 ］ 如 ａ ｂ 内ｒ Ｘ ＜ 内 ，ｌ（） ［， ］ 单 调 递 减 。 Ｏ ￣ｆｘ 在 ａｂ 上 Ｊ
微分等式和微分不等式
微分等式和微分不等式
微分方程和微分不等式是微积分学中重要的概念，它们在描述
和解决实际问题中起着重要作用。
微分方程是描述函数和其导数之
间关系的方程，而微分不等式则描述函数及其导数之间的不等关系。
首先，让我们来谈谈微分方程。
微分方程是包含未知函数的导
数的方程。
它们可以描述许多自然现象和工程问题，如弹簧振动、
电路中的电流和电压关系、人口增长等。
微分方程可以分为常微分
方程和偏微分方程两大类。
常微分方程涉及单变量函数的导数，而
偏微分方程涉及多变量函数的偏导数。
微分方程的解是满足方程的
函数，可以用来预测系统的行为和性质。
其次，让我们来谈谈微分不等式。
微分不等式描述了函数及其
导数之间的不等关系。
通过微分不等式，我们可以研究函数在某个
区间上的增减性、凹凸性以及极值情况。
微分不等式在优化问题和
最值求解中起着至关重要的作用。
通过对函数的导数进行分析，我
们可以得到函数在特定区间上的性质，进而解决实际问题。
总的来说，微分方程和微分不等式是微积分学中重要的工具，
它们在描述自然现象、工程问题和优化领域中都有广泛的应用。
通
过对微分方程和微分不等式的研究，我们可以更好地理解和解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望这些信息能够帮助你更好地理解微分方程和微分不等式的概念和应用。
微积分与不等式
微积分与不等式杨梦婷摘要：本文研究讨论微积分和不等式，首先对微积分和不等式做一个简单的介绍。
内容包括其定义；产生过程；历史上的发展与有关的数学家；以及后来的影响。
和对不等式的简单介绍。
最后重点介绍利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式。
关键词：微积分，牛顿莱布尼兹，近代数学，产生，发展，地位，作用，不等式，导数，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式正文一、微积分的定义：什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
定义：设函数(x)在[a,b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<xn-<xn=b 把区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1，xn]。
每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作即微积分的产生和背景：17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。
微积分的内容包括极限、微分学、积分学及其应用,是一门研究变化、运动的学科。
运用微分不等式解决问题练习题
运用微分不等式解决问题练习题微分不等式是微积分中的一个重要概念，它可以用来解决各种不等式问题。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来深入理解和掌握微分不等式的运用。
问题一：求函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的最小值。
解析一：首先，我们先求出函数f(x)=x^2在[0,1]上的导数f'(x)。
f'(x)=2x然后，我们需要找出f'(x)的变号点，即f'(x)=0的点。
令2x=0，即x=0所以，f'(x)只在x=0处变号。
接下来，我们把[0,1]上的开区间(0,1)分成两段，即(0,0.5)和(0.5,1)。
分别计算这两段区间上的一阶导数值，并判断它们的正负性。
在区间(0,0.5)中，取x=0.25，代入f'(x)=2x，得f'(0.25)=0.5，正数。
在区间(0.5,1)中，取x=0.75，代入f'(x)=2x，得f'(0.75)=1.5，正数。
根据微分不等式的定理，如果f'(x)>0，那么f(x)在该区间上是递增的。
所以，我们可以得出结论，在区间[0,1]上，f(x)=x^2的最小值为f(0)=0。
问题二：求函数f(x)=e^x在区间(-∞,1]上的最大值。
解析二：首先，我们先求出函数f(x)=e^x在(-∞,1]上的导数f'(x)。
f'(x)=e^x然后，我们需要找出f'(x)的变号点，即f'(x)=0的点。
令e^x=0，显然无解。
所以，f'(x)在区间(-∞,1]上没有变号。
接下来，我们需要找出f(x)=e^x在(-∞,1]上的最小值点，并用微分不等式来求解。
根据微分不等式的定理，如果f'(x)<0，那么f(x)在该区间上是递减的。
根据f'(x)=e^x>0，我们得知函数f(x)=e^x在(-∞,1]上是递增的。
由于f(x)在该区间没有最小值点，所以我们不能直接使用微分不等式来求解。
利用微分中值定理证明不等式
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1 知识准备 (1)2 利用罗尔中值定理证明 (2)3 利用拉格朗日中值定理证明 (3)4 利用柯西中值定理证明不等式 (5)5 利用泰勒中值定理证明 (7)6 综合利用微分中值定理证明不等式........................................................ (10)参考文献 (11)利用微分中值定理证明不等式摘要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.关键词:微分中值定理;不等式Using differential mean value theoremproving inequalityAbstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.Key Words:differential mean value theorem;inequalities0前言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.1知识准备微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1罗尔中值定理:如果函数()f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b内可导,且满足()()fξ'=.=,那么在(),a b内至少存在一点ξ,使得()0f a f b定理2拉格朗日中值定理:如果函数()f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.2利用罗尔中值定理证明不等式罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----,正是曲线()y f x =与弦线之差. 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<;(2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<;(3) ()()(),0 1.f a h f a f a h θθ'+-=+<<值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.例1 (1)如果0x >,试证ln(1)1x x x x<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1x x ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ<<++,所以ln(1)1x x x x <+<+(0)x >. (2)当αβ=时,显然等号成立.当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈,由拉格朗日中值定理得,211arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈.则有 21()1arctg arctg αβαβξ-=-+ 所以 21()1arctg arctg αβαβαβξ-=-≤-+. 以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例2 当0x ≥时,函数()f x 在其定义域上可导,且()f x '为不增函数,又()0f x =, 0,1,2,...,,i x i n ≥=求证 11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.证明 用数学归纳法当1n =时,显然不等式成立.当2n =时,若12,x x 均为0,或者一个为0时,当一个为0时,显然有 1212()()()f x x f x f x +=+.设12,x x 均大于0,不妨设12x x ≤,在[]10,x 应用拉格朗日中值定理可得:()1111111()()(0)(),0,0f x f x f f x x ξξξ-'==∈-. 在[]212,x x x +上再次利用拉格朗日中值定理可得:()122122222121122()()()()(),,f x x f x f x x f x f x x x x x x x ξξ+-+-'==∈++- 显然12ξξ<,由题设知, 12()()f f ξξ''≥.所以 122111()()()f x x f x f x x x +-≤, 即 12122()()()f x x f x x f x +≤++.假设当n k =时不等式成立,即 11()()k ki i i i f x f x ==≤∑∑.取1111()()k ki i k i i f x f x x ++===+∑∑,显然10k x +=的情况不证而明,,所以只考虑10k x +>的情况.取1ki i u x ==∑,由前面已证的结论有11()()()k k f u x f u f x +++≤+,再用归纳假设可得 1111()()k k i i i i f x f x ++==≤∑∑,即当1n k =+时结论成立.所以11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.4利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数(),()f x g x 的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为()g x )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()g x x =.(),()f x g x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,且()g x '在[]0,(0)x x >内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:ln(1)ln(1)1(1)11x x ξ+-=+-+,(0,)x ξ∈ 则有 ln(1)ln(1)1x x ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设0x >,对01α<<的情况,求证: 1x x ααα-≤-.(2)设0x >，求证: sin 1x x e <-.证明 (1)设()f t x α=,()g t x α=.当1x =时结论显然成立.当1x ≠时,取[],1x 或[]1,x ,(),()f x g x 在闭区间[],1x 或[]1,x 上连续,在开区间(),1x 或()1,x 可导,且()g x '在内(),1x 或()1,x 每一点均不为零,由柯西中值定理可得:()(1)()()(1)()f x f fg x g g ξξ'-='-,(,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈ 即 111x x ααααξξααα---==-. 所以1x x ααα-≤-得证.(2)设()sin f t t =,()t g t e =,[]0,t x ∈,(),()f x g x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,x 内可导,且()g x '在()0,x 内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:()(0)()()(0)()f x f fg x g g ξξ'-='-,()0,x ξ∈. 即sin cos 1t x e e ξξ=-,()0,x ξ∈. 因为10x e ->,10e ξ>>,所以sin cos 11t x e eξξ=<-. 即 sin 1x x e <-.注意:例3中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 4 如果函数()f x 满足两个条件:(1)在闭区间[],a b 上有二阶导数()f x '';(2) ()()0f a f b ''==.试证明:在开区间(),a b 内至少存在一点c ,使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--. 证明 令24()()()k f b f a b a =--.在此我们利用用反证法来证明本题, 我们不妨假设()f x k ''<,a x b <<.对于构造的辅助函数[]000()()()()()F x f x f x f x x x '=-+-及20()()G x x x =-(其中0x 是[],a b 中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:200001()()()()()()2f x f x f x x x x x f ξ'''=+-+- 其中ξ介于0x 与x 之间(即0x x ξ<<或0x x ξ<<),x 为[],a b 上任意点,特别地,在上式中取0x a =,2a b x +=,并利用已知条件()0f a '=,则有: 21()()()()28a b b a f f a f c +-''=+,其中1c 满足12a b a c +<<, 于是 2()()()28a b b a f f a k +--<. 同理再取0x b =,2a b x +=,并利用已知条件()0f b '=,则得: 22()()()()28a b b a f f b f c +-''=+,其中2c 满足22a b c b +<<. 于是: 2()()()28a b b a f b f k +--<. 因此,2()()()()()()()()()224a b a b b a f b f a f b f f f a k f b f a ++--≤-+-<=-. 这是不可能的.所以在区间(),a b 内至少存在一点c ,使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--. 5利用泰勒中值定理证明不等式泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数()f x 的假设条件较少,只需函数()f x 在0x 处n 阶可导,不需要1n +阶可导,也不需要在0x 的邻域内存在n 阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好.利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:(1)根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.(2)根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明:例5 当02x π<<时,求证:2221200(1)sin (1)(21)!(21)!k k k kn n k k x x x k x k -==--<<++∑∑. 分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明sin 01x x<<, 而利用泰勒中值定理时,当1n =时,不等式为:224sin 113!3!5!x x x x x -<<-+. 显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着n 的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令()sin f x x =,那么函数()f x 在00x =点展开前2n 项的泰勒公式,余项取拉格朗形式,那么有:212430(1)sin ()(21)!k k nn k x x R x k ++=-=++∑43434343433sin()sin cos 2()(43)!(43)!(43)!n x n n n n x R x x x x n n n ξπξξ+=+++++-===+++. 因为02x πξ<<<,所以cos 0ξ>,从而21()0n R x +<,所以有 2120(1)sin (21)!k k n k x x k +=-<+∑.即 220(1)sin (21)!k knk x x k =-<+∑. 同理,因为412sin()2()0(41)!n n R x x n πξ++=>+,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例4的另一种证法:由题设条件,应用泰勒展开式有:211()()()()()2222a b b a b a f f a f a f ξ+--'''=++,221()()()()()2222a b a b a b f f b f b f ξ+--'''=++, 其中1ξ介于a 与2a b +之间,2ξ介于2a b +与b 之间. 上述两式相减,且有()()0f a f b ''==,得:2211()()()[()()]22a b f b f a f f ξξ-''''-=⋅-, ()221()()()()()8a b f b f a f f ξξ-''''-≤+. 令21max{(),()}()f f f ξξξ''''''=,(,)a b ξ∈,则有:2()()()()4a b f a f b f ξ-''-≤,(,)a b ξ∈. 即 24()()()()f f b f a b a ξ''≥--. 例6 设函数()f x 在[],a b 上二阶可导,且()0f x ≥,()0f x ''<.求证:对任意的[],x a b ∈,有2()()b a f x f t b a≤-⎰. 证明: 对任意的[],x a b ∈,将()f x 在t 点展开[](,)t a b ∈.2()()()()()()2!f f x f t f t x t x t ξ''=+-+-(其中ξ介于x 与t 之间). 注意到()0f x ''<,所以有()()()f x f t f x t '≤+-.对上述不等式的两边对t 积分,得:()()()()bb b a a af x dt f t dt f t x t dt '≤+-⎰⎰⎰ ()()()()()()b bb a a a b a f x f t dt f x x t f t dt -≤+-+⎰⎰2()()()()()ba f t dt fb x b f a x a =+---⎰ 因为()0()()()()0f x f b x b f a x a ≥⇒---≤.所以2()()b a f x f t b a≤-⎰. 6综合利用微分中值定理证明不等式 利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则有:(1)如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '>,则函数()f x 在[],a b 上单调增加;(2) 如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '<,则函数()f x 在[],a b 上单调减少.另外,函数()f x 在(),a b 内除有个别点外,仍有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在[],a b 上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数()f x 的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()f x 连续但()f x '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()f x '的符号变化情况,确定函数()f x 的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例7 求证 (1)当0x >时,证明2ln(1)2x x x +>-成立. (2)当(0,)2x π∈时,证明tan sin x x x x>成立. 证明 (1)令2()ln(1)2x f x x x =+>-,因为函数()f x 在[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 21()111x f x x x x'=-+=++. 当0x >时,2()01x f x x'=>+,所以当0x >时,函数()f x 是单调递增的.故当0x >时,有:()(0)0f x f >=,即()0f x >,从而 2ln(1)2x x x +>-成立. (2)因为(0,)2x π∈,所以sin 0x >,tan 0x >.令函数2()sin tan f x x x x =-,则有: 21()sin sec sin 2tan (cos )cos f x x x x x x x x'=+-=+因为(0,)2x π∈时, 1cos 2cos x x +>,tan x x >,所以()0f x '>.即()f x 在(0,)2x π∈时严格递增的,又因为()0f x =,所以()0((0,))2f x x π>∈,即tan sin x x x x>成立. 例8 设函数()f x 在闭区间[],a b 上二次可微,且满足()0f x ''>,试证:当a x b <<时,有不等式: ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 证明 令()()()f x f a x x a ϕ-=-,那么()()()()f x f x a x x aξϕξ''-'=<<-. 由于()0f x ''>,可知()f x '在闭区间[],a b 上是严格递增的,即()()f x f ξ''>,从而有 ()0x ϕ'>,故函数()x ϕ在闭区间[],a b 上也是严格递增的,于是当[],x a b ∈时,有:()()x b ϕϕ<,即 ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 参考文献[1]D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社.1987.[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.2006．[3]Ｒ.科朗等.微积分和数学分析引论[M].北京:科学出版社.2002.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1994.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.[7]林丽绿.利用微分中值定理证明不等式[J].泉州师专学报,1997,第一卷.[8]赵文祥.微分中值定理与不等式[J].天津电大学报,2007,增刊.[9]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究,2008,第28卷第10期.。
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微分不等式
微分不等式是微积分中比较基础却又十分重要的一类问题，主要包
括单变量函数微分不等式、双变量函数微分不等式等。
在学习微分不
等式时，我们不仅需掌握微分基本概念和微积分基础理论，还要善于
利用不等式性质、求导法则和一些特殊的技巧。
本文将从这几个方面
介绍微分不等式的相关知识。
一、单变量函数微分不等式
单变量函数微分不等式通常是指含有单一未知数的函数不等式，其中
最常见的是单调性和增减性问题。
单调性指函数值的增减情况，可以
通过一阶导数和拐点等概念得出；而增减性则对应着导数值的正负情况，可以通过极值、零点等点的求解得到。
下面是一些常见的单变量函数微分不等式例子：
例1：若 $f(x)$ 右导数大于左导数，则当 $x>a$ 时，$f(x)$ 单调递增。
例2：若 $f(x)$ 是可导函数，则当 $f'(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调递增。
例3：若 $f(x),g(x)$ 可导，且 $f'(x)<g'(x)$，则当 $x>a$ 时，$f(x)<g(x)$。
二、双变量函数微分不等式
双变量函数微分不等式是指含有两个未知数的函数不等式，最常见的
是优化问题。
在求解双变量函数微分不等式时，需要用到一些数学工具，如拉格朗日乘子法、柯西-施瓦茨不等式等。
下面是一些常见的双变量函数微分不等式例子：
例4：设 $a,b>0$，$a+b=2$，求 $\max \{ab^2,b^2a\}$。
解：设 $f(a,b)=ab^2$，则有 $\frac{\partial f}{\partial a}=b^2$，
$\frac{\partial f}{\partial b}=2ab$，根据拉格朗日乘子法得到
$\frac{a}{b}=2$，$a=\frac{4}{3},b=\frac{2}{3}$，故 $\max
\{ab^2,b^2a\}=\frac{4}{27}$。
三、微分不等式的技巧
在解决微分不等式问题时，有几个常用的技巧，可以帮助我们更快更
准确地得出结论。
技巧1：缩放
在不等式中通常会出现一些常数或系数，如果把常数或系数进行缩放，常常会使问题变得更简单。
例如例4中的求解过程，就利用了缩放技巧：将 $a+b=2$ 缩放为
$a+b=1$，则无需使用拉格朗日乘子法，直接应用均值不等式即可得出
最大值。
技巧2：积分或面积
有时候，我们可以将微分不等式转化为积分或面积问题，然后再运用
一些定理求解。
例如，当我们需要证明一些性质时，可以将函数所代表的图形与已知
函数或图形进行比较，求出两者的积分或面积，再推导得出结论。
技巧3：对偶反思
有时候，我们需要用到对偶反思的技巧，将一个问题转化为它的对偶
问题，然后再用已知结论解决。
例如，在具有两变量的问题中，有时候可以通过对变量的取反得到等
价的问题形式，利用已知结论解决。
对于函数单调性问题，更是经常
运用到对偶反思的方法，如变换自变量、求导数倒数等。
微分不等式虽是微积分的基础知识，但是其实质十分重要，不仅是微
积分的核心内容之一，也是物理、经济等领域中的基础知识。
在学习
微分不等式时，我们需要全面理解微分和不等式的概念，同时掌握一
些技巧和方法，才能对各种变量、函数、性质等进行准确分析和推导，从而解决实际问题。