高等数学讲义——导数概念
导数的定义解释
导数的定义解释在数学中，导数是描述函数变化的重要概念，它表示函数增长率，既可以描述数字函数也可以描述几何函数，是数学进行求解和分析的基础。
导数的定义解释如下：1、定义：函数f（x）的n阶导数是指在变量x上，使函数的变化量（即增量）与x的变化量（即增量）的比值关系趋于某一常数，即定义为n阶导数的函数。
2、解释：函数f（x）的n阶导数，是指表示函数f（x）对变量x的变化量之比率的函数。
通俗点讲，就是当变量x发生变化时，函数f（x）所发生的变化量和x变化量之比例所确定的量。
3、形式：此量可以表示为函数f（x）的n次微分式：f（x）的n阶导数=f（（n）（x）/dxn上式中，dx表示变量x的微小变化量，即对变量x进行微分的步长，dx的数值等于变量x的变化量/微分次数，微分次数即n。
4、说明：从定义中可以看出，当函数f（x）变化时，函数f（x）的n阶导数可以看作是函数f（x）和变量x变化量之比例，也即函数f（x）关于变量x的变化率。
简单来说，导数是一种特征量，它可以对函数表达式进行更为细致的分析，可以表示函数的变化趋势，从而为数学求解和分析提供更多的有效信息。
以下为一个简单的例子，关于求解一元函数的最大值和最小值：已知函数f（x）=3x3+2x2+x+1求f（x）的最大值和最小值解：f（x）的一阶导数为f（x）=3x2+4x+1设f（x）= 0，得3x2+4x+1=0解得x=-1/6，x=-2又得f（-1/6）=-4/27，f（-2）=-17/2即函数f（x）在x=-1/6处取得最大值f（-1/6）=-4/27，在x=-2处取得最小值f（-2）=-17/2由此可见，导数在数学求解和分析中起着非常重要的作用，因此，对导数的定义解释也是十分重要的。
以上就是关于“导数的定义解释”的全部内容，希望能够帮助到大家。
在数学中，导数的概念非常重要，为我们的求解和分析提供了更多有效的信息，因此，要深入理解导数的定义解释，从而运用自如。
高数导数讲解
高数导数讲解导数（Derivative）是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在高等数学中，导数广泛应用于函数极值、曲线的切线斜率、速度和加速度等问题的研究中。
首先，我们需要明白什么是函数。
函数是定义在某个区间上的数学关系，它对每一个输入值都对应一个输出值。
导数则是函数在某一点处切线的斜率，或者说函数在这一点附近的变化率。
导数的定义可以通过极限来描述。
假设函数y=f(x)在点x0处有一个增量Δx，那么函数y也会有一个增量Δy。
导数就是Δy与Δx的商的极限，即lim(Δx→0) Δy/Δx。
如果这个极限存在，我们就说函数在点x0处可导，并且这个极限值就是f'(x0)。
此外，我们还可以定义左导数和右导数。
左导数是lim(x→x0-) Δy/Δx，右导数是lim(x→x0+) Δy/Δx。
如果左导数和右导数都存在且相等，那么函数在点x0处可导。
在高等数学中，可导是比连续更强的条件。
一个函数在某点可导意味着它在该点不仅有定义，而且其极限值与函数值相等。
同时，函数的可导性与其连续性有着密切的联系。
一个函数在某点连续不一定可导，但可导一定连续。
此外，导数还有一些重要的性质和运算规则。
例如，导数具有线性性质，即(uv)'=u'v+uv'；复合函数的导数等于被复合函数的导数乘以复合函数的求导数的结果；反函数的导数等于直接函数导数的倒数等等。
这些性质和运算规则为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
总之，高数中的导数是微积分的重要组成部分，它涉及到许多实际应用问题的解决。
通过理解导数的定义、性质和运算规则，我们可以更好地理解和应用这个概念，解决实际应用中的问题。
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§ 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
、导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' <设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
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备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数高等数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数的变化速率。
导数的定义及其性质是高等数学学习的重点内容之一。
本文将对导数的概念和定义进行详细论述。
1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，也可以记作dy/dx|{x=a}或df(x)/dx|{x=a}。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义导数的定义基于极限的概念。
一个函数在某一点上的导数等于函数曲线在该点处的切线斜率，也就是曲线与x轴之间的夹角的正切值。
具体来说，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以用以下公式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a对于函数f(x)=kx^n，其中k和n都是常数，可通过求导的方式计算导数。
根据定义和导数的特性，我们可以得到：- 常数的导数为0：如果f(x)=k，其中k是一个常数，那么f'(x)=0。
- 幂函数的导数：对于f(x)=x^n，其中n是正整数，f'(x)=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：对于f(x)=a^x，其中a为正实数且a≠1，f'(x)=a^x * ln(a)。
3. 导数的几何意义导数具有重要的几何意义。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数f'(a)表示函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数曲线在该点处向上增长；当导数为负时，函数曲线在该点处向下减小；当导数为零时，函数曲线在该点处具有极值（最大值或最小值）。
通过导数可以描绘出函数的整体特征，包括函数的增减性、极值点、拐点等。
通过对导数图像的分析，可以得到函数图像的大致形态。
4. 导数的计算规则导数的计算有一些特定的规则。
高数课件-导数的概念
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数基本总结知识点
一、导数的定义1. 导数的概念导数是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
具体来说，对于函数f(x)，如果它在点x处的导数存在，那么导数f'(x)就表示了函数f在点x处的变化率。
导数的正负和大小可以描述函数在该点上的增减性和速率。
2. 导数的定义设函数f(x)在点x处有定义，则f(x)在点x处的导数定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx) - f(x))/Δx其中，Δx表示自变量x的增量，f(x+Δx) - f(x)表示因变量f(x)的增量。
当Δx趋近于0时，导数f'(x)即为函数f在点x处的导数。
3. 导数的几何意义导数在几何上的意义可以通过函数图像的切线来理解。
对于函数f(x)在点x处的导数f'(x)，如果该导数存在，则函数图像在点(x, f(x))处有一个切线，且其斜率为f'(x)。
这意味着函数在该点上的瞬时变化率等于切线的斜率。
二、导数的基本性质1. 可加性设函数f(x)和g(x)分别在点x处可导，则它们的和函数(f+g)(x)在点x处也可导，并且有(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 可乘性设函数f(x)和g(x)分别在点x处可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)在点x处也可导，并且有(f*g)'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
3. 复合函数的导数设函数f(x)在点x处可导，而函数g(x)在点f(x)处可导，则复合函数(g∘f)(x)在点x处可导，并且有(g∘f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x)。
4. 求导法则常见的求导法则包括常函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。
求导法则可以帮助我们快速求解各种函数的导数。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = c，其导数f'(x) = 0。
高数导数的概念
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的弯曲程度等方面有重要 应用。
导数的物理应用
定义
导数是微积分的基本概念之一， 它描述了函数值随自变量变化的 速率。在物理学中，导数可以用 来描述物理量随时间或空间的变 化率。
计算方法
通过物理定律和公式，可以推导 出各种物理量的导数，从而得到 它们的变化率。
应用
应用
导数在经济学中有广泛的应用，如边际分析、最优化问题、需求弹性等都需要用到导数。
THANKS
感谢观看
导数可以用来求函数的极值，通过求导并 令导数为0，可以找到函数的极值点。
VS
详细描述
首先求出函数的导数，然后令导数等于0， 解出对应的自变量值，这些点就是函数的 极值点。在极值点处，函数可能会取得极 大值或极小值。
利用导数求曲线的切线方程
总结词
详细描述
利用导数可以求出曲线上某一点的切线方程， 通过求导可以找到切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在某一点的切 线。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该 点的导数值。导数大于零表示切线斜率为正，函数在该点处 单调递增；导数小于零表示切线斜率为负，函数在该点处单 调递减。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率。
通过解这个导数方程，可以得到该变 量的导数。
03
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
导数可以用来判断函数的单调性，通过导数的正负来判断函数在某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间内单调递 减。
高等数学教材辅导讲义
高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。
导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。
运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。
微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。
微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。
1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。
定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。
记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。
性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。
1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理学等领域中具有广泛应用，并且是理解微积分的基础之一。
本文将详细介绍导数的概念和定义，并探讨其在高等数学中的意义和应用。
一、导数的概念导数描述了函数在某一点的切线斜率，或者说函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，若它在某一点x处的导数存在，那么导数f'(x)表示函数在该点的切线斜率。
如果函数在每一个点的导数都存在，那么这个函数被称为可导函数。
导数的概念可以用极限来精确定义。
设函数f(x)在点x处连续，那么该点的导数f'(x)可以通过以下极限公式来计算：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```其中，h表示自变量的增量，即x+h代表一个比x更接近的点。
上述极限即为切线的斜率。
二、导数的定义导数的定义是导数概念的具体表达，用来计算函数在某一点处的导数值。
根据导数的概念，导数的定义可表示为：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```这就是导数的一种常见形式定义。
根据这个定义，我们可以计算函数在某一点的导数值。
三、导数的意义和应用导数在高等数学中具有重要的意义和应用。
首先，导数可以用来求函数的极值点。
对于一个可导函数，在其极值点处导数等于0。
通过求导，我们可以找到函数的极值点，并进一步研究函数的性质。
其次，导数可以用来描述函数的变化趋势。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点的变化快慢。
如果导数为正，表示函数在该点递增；如果导数为负，表示函数在该点递减；如果导数为零，表示函数在该点取得极值。
此外，导数还可以用来求解曲线的切线方程。
利用导数的概念，我们可以求得曲线在某一点的切线斜率，并通过点斜式方程来求解切线方程。
切线方程在物理学等应用领域中具有重要意义。
导数的概念和定义在高数中是非常基础的概念，它为后续的微积分学习奠定了坚实的基础。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
导数讲义(学生新版)
导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
高数课件6导数概念
利用导数研究曲线的拐点
总结词
判断曲线拐点
详细描述
二阶导数等于零的点可能是拐点。在拐点两侧分别计算二阶导数，若二阶导数由 正变负或由负变正，则该点为拐点。
04
导数的扩展
高阶导数
定义
高阶导数是函数导数的导数，即二阶导数、 三阶导数等。
计算方法
通过连续求导，直到得到所需的高阶导数。
应用
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的 形状等方面有重要应用。
02
导数的计算
导数的四则运算规则
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
除法法则
$frac{u}{v}' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^v)' = vu' + uv&frac{u'}{u}$
隐函数的导数
由$y=f(x)$确定的隐函数$y$的导数 ：$dy/dx = f'(x)$
由方程组$F(x,y)=0$确定的隐函数 $y$的导数：$frac{dF}{dx} frac{dF}{dy}frac{dy}{dx} = 0$
物理问题
导数可以用来描述物理量的变化率，如速度、加速度等。
工程问题
导数可以用来优化工程设计，如最小化成本、最大化效率等。
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导数知识点
导数知识点
导数知识点篇5
导数知识点：
1.导数概念：函数在某一点处的导数，就是函数在这一点极限与自变量在该点取值的商。
2.求导法则：包括链式法则和乘法法则，其中乘法法则不仅适用于两个函数的求导，还可以用于分解式。
3.反函数求导法则：互为反函数的两个函数的导数之间的关系。
4.隐函数求导法则：如果函数F(x,y)的偏导存在，那么它的两个偏导数可以作为两个未知函数，解出另一个未知函数的偏导数。
5.函数的微分：函数改变量的极限，即函数在某一点处的一阶导数的近似值。
6.高阶导数：如果一个函数在某一点处的导数不为0，那么它至少有一阶导数。
7.微分中值定理：微分中值定理是利用函数差商和导数的关系，推出导数的近似值。
8.洛必达法则：分子和分母的导数都为0时，可以直接用洛必达法则求出极限。
9.函数的单调性：函数的导数大于0，函数单调递增；函数的导数小于0，函数单调递减。
10.函数的极值：函数在某一点附近，导数等于0，但并不意味着函数在该点没有导数，因此不能使用导数判断函数的极值。
以上是导数知识点的简要总结，详细内容可以参考相关教材或课程。
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1 1 y / (0) = 1 − e e
11
高等数学讲义
导数概念
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（３） y = y (x ) 是由方程 e y + xy = e 所确定的隐函数， 试求 y / (0) ， y // (0) 解： 方程两边对 ｘ 求导 e y y / + y + xy / = 0
x→ x0− / f+ (x)
f(x) − f(x 0 ) ax + b - x 2 0 = lim = lim + + x - x0 x - x0 x →x 0 x →x 0 = lim
x →x 0 +
ax - ax 0 =a x - x0
由 得
f / (x 0 ) 存在 a = 2 x 0 从而 b = −x 02
方程两边再对 ｘ 求导 e y y // + e y y / 由原方程知 得 y / (0) = − 再将 x = 0 得 y // (0) = 1 e y =1 1 e2 1 y / (0) = − 代入 式 e
( )2 + 2y / + xy // = 0
y =1 代入
1 xsin 例 1 讨论 f ( x) = x 0 解 lim f(x) = lim xsin
x →0 x →0
x≠0 x=0
在 x=0 处可导性
1 = 0 = f(0) x
f(x) 在 x = 0 连续 lim f(x) - f(0) 1 = lim sin x →0 x - 0 x→0 x 不存在
y / sinx + ycosx + sin ( x − y ) ⋅ 1 − y / = 0 y / = ２ 设 y = y (x ) 是由方程 e xy + ln 求 y / (0) 解 由原方程知当 ｘ＝０ 时 将 ｘ＝０
y= 1 代入得 e
(
)
(
)
1 2x x y/ = ⋅ = 2 1 + x2 1 + x2
பைடு நூலகம்
y = arctg x
求 y/
y /=
1 1 ⋅ 1+ x 2 x
y=a
/
arctg
1 x
求 y/ lna arctg x 1 ⋅ − = − a 2 2 2 x 1 + x 1 1+ x 1
f / (x) = lim 左导数 f -/ (x) = lim
f(x 0 + ∆x ) − f(x 0 ) f(x) − f(x 0 ) = lim ∆x x - x0 x→x0− ∆x → 0 ∆x →0 +
/ (x) = lim 右导数 f +
f(x 0 + ∆x ) − f(x 0 ) f(x) − f(x 0 ) = lim ∆x x - x0 x →x 0 +
u = ϕ(x ) 在 Ｘ 有导数
y = f (u ) 在对应点 ｕ 有导数
则复合函数 y = f [ϕ(x )] 在 Ｘ 处也有导数 dy dy du = ⋅ = f / (u ) ⋅ ϕ / ( x ) dx du dx 例１ 解
7
x = t 2 − 2t − 3 （５） 设 y = y ( x ) 是由方程组 所确定的函数 y y − e sin t − 1 = 0 求 解 dx = 2t − 2 dt dy dy − ey cost − e y sin t = 0 dt dt dy dy dt e y cos t = = dx dx 2( t − 1)(1 − e y sin t ) dt
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导数概念
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例5
f(x) = x (x-1)(x-2) f(x) - f(0) x →0 x - 0
x →0
(x-9) , 则 f / (0 ) = − 9!
f / (0) = lim
= lim (x − 1)(x − 2) L L (x − 9) = −9 !
/ f / (x 0 ) = A ↔ f -/ (x 0 ) = f + (x 0 ) = A
可以证明 可导 连续 即可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件
2
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导数概念
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20 导数的几何意义 曲线 y = f ( x ) 在点 (x 0 , y 0 ) 处切线 y − y 0 = f / (x 0 )(x − x 0 )
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例 3 设函数 f(x) 可微 则 lim ∆x →0 f 2 (x + ∆x) - f 2 (x) = 2f(x)f / (x) ∆x
例4 设 x2 f ( x) = ax + b x ≤ x0 x>0
f(x) 1 + x −1 1 ⋅ = 2 ⋅ =1 1 + x -1 x 2
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例 7 设函数 f (1+x) = a f ( x ) 且 f / (0) = b (a , b 0)
问 f / (1) 存在否? 解 f / (1) = lim f(1 + ∆x) - f(1) af( ∆x) - af(0) = lim c ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
ycosx + sin (x − y) sin (x − y ) − sinx
y = 0 所确定的隐函数 x +1
y=
1 e
方程两边对 ｘ 求导 e
xy
(
y/ 1 y + xy + − =0 y 1+ x
/
)
1 + ey / (0) − 1 = 0 e
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20 隐函数导数参数方程导数 如方程 F(x y)=0 确定了 y=y(x) 只需方程两边对 x 求 导 例 １０ 求下列隐函数的导数 １ 设 ysinx − cos (x − y ) = 0 求 y/ 解 方程两边对 ｘ 求导 注意 y=y(x)
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导 数 概 念
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导数概念
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一
导数概念
0 0
10 定义 f / (x 0 ) = lim
∆y ∆x → 0 ∆x f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) = lim ∆x → 0 ∆x f(x) − f(x 0 ) = lim x → x0 x − x0 f(x + ∆x ) − f(x) ∆x → 0 ∆x
∆x →0
= lim a ⋅
f( ∆x) - f(0) = af / (0) = ab ∆x
6
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导数概念
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二
导数的求法
10 显函数导数 求一个显函数的导数需解决 基本初等函数导数（Ｐ６４）； 导数四则运算法则（Ｐ６５）； 复合函数与反函数求导法则（Ｐ６６） 定理 du dx dy du
f(x) 在 x = 0 不可导
例 2 已知 f / (x 0 ) 存在 则 lim h→ 0 lim h→ 0 lim f(x 0 + 2h) - f(x 0 ) = 2f / (x 0 ) h f(x 0 − 5h) - f(x 0 ) = − 5f / (x 0 ) h
f(x 0 + 3h) - f(x 0 - h) f(x + 3h) - f(x 0 ) f(x 0 − h) - f(x 0 ) = lim 0 − h →0 h →0 h h h = 4f / (x 0 )
例 6 设 f(x) 在 x = 0 领域内连续 则 f / (0) = 1 f(0) = lim f(x) = 0
x →0
x →0
lim
f(x) =2 1 + x −1
分母
0
f / (0) = lim
f(x) - f(0) f(x) = lim x→ 0 x - 0 x →0 x
x →0
= lim
y= x+ x+ x
y/ = 1
求 y/
1 1 ⋅ 1 + 1 + 2 x + 2 x x 2 x+ x+ x
y = x sinx 求 y/ sinx y = esinx ⋅lnx y / = x sinx + cosx ⋅ lnx x
y = a b + xa + bx 求 y/ y / = a b lna ⋅ b x lnb + a b x a
x b
x
b
a
−1
+ b x lnb ⋅ ax a −1
a
9
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导数概念
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例９ 解
y = ln y =
1
y = a
arctg
1 x lna ⋅
例５ 解 y = ln 3 (2x + 1) 求 y/ y / = 3ln 2 (2x + 1) ⋅ 2 2x + 1
8
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导数概念
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例６ 解 例７ 解 例８ 解
当x = 0时