2011年考研数学一真题及答案完整版
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
2011年数学一考研真题加答案免费
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题(含答案)一、选择题1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===n k kn n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nkx a 1)1(的收敛域A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f 4.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是A )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV二、填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________10.微分方程x e y y x cos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数⎰+=xydt t t y x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x xF12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________三、解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
^
（1）求参数 2 的最大似然估计 2 ;
^
^
（2）计算 E( 2 ) 和 D( 2 ) .
2011 年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是
y
x
1
x
2
2
x
33
x
4
4
0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
C. P2P1
D. P21P1
6．设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax 0 的一 个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )
2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
A = E 0
知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α x = 0 的解，且 Α x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
∗ ∗
1 1 0 0 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = α1 + α 3 = 0 ， 所 以 α1 , α 3 线 性 相 关 ， 故 α1，α 2，α 4 或 1 1 0 0
） (D)
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。
= A 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A
∫
x
0
π tan tdt 0 ≤ x ≤ 的弧长 s = 4
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
π
4
π
4
【解析】 s =
∫
0
(y )
' 2
dx = tan xdx = sec 2 x − 1dx = tan x − x 04 = 1−
0 0
∫
π
4 2
∫
π
4
π
π
4
10、微分方程 y ′ + y = e − x cos x 满足条件 y (0) = 0 的解为 y = 【答案】 y = sin xe − x 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出 其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为
2011考研数一真题答案及详细解析
所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解 由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工 尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值 ， 则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�
考研数学试题答案与解析(数学一)
A f1( x) f 2 ( x) B 2 f 2 (x) F1 (x) C f1 (x)F2 (x) D f1 (x)F2 (x) + f 2 (x)F1( x)
8、设随机变量 X ,Y 相互独立，且 EX , EY 都存在，记 U max X ,Y V min X ,Y ，则
EUV （ ） A EU EV B EX EY
f (0)ln f (0) 0 ， f (0)ln f (0) f (0) 0 所以有 f (0) 1， f (0) 0
4、设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大小关系是 ( )
0
0
0
（ A） I J K （ B） I K J （ C） J I K （ D） K J I
【答案 】 B
【考点分析 】本题考查定积分的性质， 直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数
的大小即可。
【解析 】 x (0, ) 时， 0 sin x 4
2 cos x cot x ，因此 ln sin x ln cos x ln cot x
2
4
4
4
lnsin xdx ln cos xdx ln cot xdx ，故选（ B）
知， 1, 2 , 3, 4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
1 0 A 1 0
1 0 1, 2, 3 , 4 1 0
1 3 0 ， 所 以 1, 3 线 性 相 关 ， 故 1， 2， 4 或
2， 3， 4 为极大无关组，故应选（ D）
7、设 F1 x , F2 x 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 x , f 2 x 是连续函数，则必为
2011考研数学一真题和答案解析
2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=(A)1 (B)l (C)l l −l (D)l l −l 【考点】C 。
【解析】 【方法一】这是一个“1∞”型极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =lll l →∞{[1+(l −l )l +ll (l −l )(l +l )](l −l )(l +l )(l −l )l +ll }(l −l )l +ll(l −l )(l +l )l =l l −l【方法二】 原式=lll l →∞llll l 2(l −l )(l +l )而lll l →∞lll l 2(l −l )(l +l )=lll l →∞lll (1+(l −l )l +ll(l −l )(l +l ))=lll l →∞l ∙(l −l )l +ll(l −l )(l +l ) (等价无穷小代换)=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=l l −l【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若llll (l )=0, llll (l )=0,且llll (l )l (l )=l则ll l (1+l (l ))l (l )=l l ,求极限由于lll l →∞l (l )l (l )=lll l →∞l 2−(l −l )(l +l )(l −l )(l +l )∙l =llll →∞(l −l )l 2+lll (l −l )(l +l )=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =l l −l【方法四】lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=lll l →∞[(l −l )(l +l )l 2]−l=lll l →∞(1−l l )−l ∙lll l →∞(1+l l )−l=l l ∙l −l=l l −l综上所述，本题正确答案是C 。
2011年全国考研数学一真题
F (x)dF (x) F (x)dF (x) 1
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U maxX ,Y ,V min X ,Y , 则
E(UV ) (
(A) EU EV 【答案】 （ B）
) (B) EX EY (C) EU EY (D) EX EV
（2）如果级数
un 收敛，而级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛.
n1 n1 n1
第 1 页 共 20 页
在本题中，因 an 0 （ n ） an 0(n 1, 2,) 当 x 0 时，幂级数
a (x 1)
n n 1
n x0
(1) n an （交错级数）
n r ( A* ) 4 1 3 .故 A* x 0 的基础解系中有 3 个线性无关的解，可见选项（A）（B）均错误.
再由 A* A A E ，知 A 的列向量全是 A* x 0 的解，而秩 r ( A) 3 ，故 A 的列向量中必有 3 个线 性无关.
1 1 0 0 最后，因向量(1, 0,1, 0)T 是 Ax 0 的解，故 A (, , , ) 0 ，即 1 0 ，说 1 2 3 3 4 1 1 0 0
3, 0 是拐点，因此选（C）.
(2) 设数列an单调减少，lim a n 0 ，S n
n
a k (n 1, 2,) 无界，则幂级数 an (x 1)
k 1 n 1
n
n
的收敛域为 ( (A) (1,1]
) (B) [1,1) (C) [0, 2) (D) (0, 2]
考研数学试题及参考答案数学一
考研数学试题及参考答案数学⼀2011年考研数学试题（数学⼀）⼀、选择题1、曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利⽤判断拐点的必要条件和第⼆充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的⼀、⼆、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是⼀拐点。
2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，()∑===n k k n n a S 12,1 ⽆界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（）（A ）(-1，1]（B ）[-1，1)（C ）[0，2)（D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的⼀些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k kn n a S 12,1 ⽆界，说明幂级数()11nnn a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→n1nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
⼜由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、设函数)(x f 具有⼆阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极⼩值的⼀个充分条件是（）（A ）0)0(1)0(>''>f f ，(B)0)0(1)0(<''>f f ，(C)0)0(1)0(>''【答案】C 【考点分析】本题考查⼆元函数取极值的条件，直接套⽤⼆元函数取极值的充分条件即可。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
2
E ( XY 2 ) = EXEY 2 = μ ( μ 2 + σ 2 )
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
∫
π
x
0
tan tdt (0 ≤ x ≤
π ) 的弧长 s = 4
【答案】 ln( 2 + 1) 【详解】 s =
∫
4 0
1 1 + sin x 4 1 + tan xdx = ∫ 4 sec xdx = ln = ln( 2 + 1) 0 2 1 − sin x 0
2
−x
π
π
（10）微分方程 y '+ y = e 【答案】 e
1
=e =e
x→0 e x −1⎝
lim
1 ⎛ ln(1+ x ) ⎞ −1⎟ ⎜ x ⎠
=e
x→0
lim
ln(1+ x ) − x x2
x→0 2 x (1+ x )
lim
−x
=e
−
1 2
函数 f 具有二阶连续偏导数， 函数 g ( x) （16） （本题满分 10 分） 设函数 z = f ( xy, g ( x)) ， 可导且在 x = 1 处取得极值 g (1) = 1 ，求
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx = 1 ，故由题知
2011年考研数学(一)真题(含答案解析)
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
an = 1 + 1 / 2 + … +
′′ ( x, y )dxdy = ∫ xdx ∫ yf xy ′′ ( x, y )dy I = ∫∫ xyf xy
0 0
1
1
D
∫
19.解：
1
0
′′ ( x, y )dy = ∫ ydf x′( x, y ) = y f xy ′ ( x, y ) 1 ′ yf xy 0 − ∫ f x ( x, y ) dy ,
∫
π 4
0
4 4 ln sin xdx , J = ∫ ln cot xdx , K = ∫ ln cos xdx 则I、J、K的大小关系是
π
π
0
0
A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I 5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单
显然 g ( 0 ) = 0 , 因为 g ′( t ) = 2 t arctan t > 0 , 所以 g ( t ) > g ( 0 ) = 0 (当 t > 0 ),
k −1 −
k − 1 > 0 , 极小值 − k arctan k − 1 > 0,
2011年考研数学一真题及答案详解
0
2F sin t | x 0 ______________ ，则 dt x 2 y 2 1 t 2
12、设 L 是柱面方程 x 2 y 2 1 与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向 看去为逆时针方向，则曲线积分 xzdx xdy
L
第 4 页 共 19 页
参考答案：
一、选择题 1、 曲线 y x 1x 2 x 3 x 4 的拐点是（
2 3 4
）
（A） （1，0）
（B） （2，0）
（C） （3，0）
（D ） （4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即 可。 【 解 析 】 由
D
20、 （本题满分 11 分） 设向量组 1 (1,0,1)T ， 2 (0,1,1) T ， 3 (1,3,5) T 不能由向量组 1 (1,1,1)T ，
2 (1,2,3)T ， 3 (3,4, a) T 线性表示；
（1） 求 a 的值； （2） 将 1 , 2 , 3 用 1 , 2 , 3 线性表示； 21、 （本题满分 11 分）
X
P
0
13
1
23
Y P 且 P X 2 Y 2 1
-1
13
0
13
1
13
求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2） Z XY 的概率分布 （3）X 与 Y 的相关系数 XY 23、 （本题满分 11 分） 设 X 1 , X 2 X n 是来自正态总体 N ( 0 , 2 ) 的简单随机样本， 其中 0 已知， 2 0 未知. X , S 2 为样本均值和样本方差. 求（1）求参数 2 的最大似然估计 2 (2) 计算 E 2 和 D 2
2011年全国考研数学一真题
(4) 设 I (
)
4 0
ln sin x dx ， J 4 ln cot x dx ， K 4 ln cos x dx ， 则 I , J , K 的大小关系是
0 0
(A) I J K 【答案】 （ B）
(B) I K J
(C) J I K
2011 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
数学一试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求，请将所选项前的字母填在答． 题 纸 指定位置上. ． ． (1) 曲线 y ( x 1)(x 2) 2 ( x 3)3 ( x 4) 4 的拐点是 (A) (1, 0) 【答案】 （ C） 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设 f ( x) 在 (x0 , x0 ) 二 阶 可 导 ， f (x0 ) 0 ， 又 f (x0 ) 0 ， 则 点 (x0 , f (x0 )) 为 曲 线 (B) (2, 0) ( ) (D) (4, 0)
(C) (3, 0)
y f (x) 的拐点.
在本题中，记 g x (x 1)(x 2) 2 (x 4) 4 ，则 y g x (x 3)3 则 y g x (x 3)3 3g x (x 3)2
y g x (x 3)3 6g x (x 3)2 6g x (x 3) y g x (x 3)3 9g x (x 3)2 18g x (x 3) 6g x y 3 0, y 3 6g 3 0
k 1 n 1
x 2 处发散，故选（C）.
(3) 设函数 f (x) 具有二阶连续导数， 且 f (x) 0 ，f (0) 0 ， 则函数 z f (x) ln f ( y) 在点 (0, 0)
2011年考研数学一试卷真题与答案解析
2011 年考研数一真题及答案解析一、选择题1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是（）（A）（ 1， 0）（ B）（ 2， 0）（ C）（ 3， 0）（ D）（4， 0）【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由 y x 1 x 2 2x 3 3 x 4 4可知 1,2,3,4 分别是y x 12x34 x 23x 40的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y (1) 0， y (2)y (3)y (4)0y (2)0， y (3)y (4)0， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。
n n2、设数列a n单调减少， lim a n0 ，S n a k n1,2a n x 1无界，则幂级数的收敛域n k 1n1为（）（ A） (-1， 1]（B） [-1 ， 1)（ C） [0，2)（ D） (0， 2]【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
n n1；【解析】 S n a k n1,2a n x 1无界，说明幂级数的收敛半径 Rk 1n 1a n单调减少，lim a n0a n1n a n x1n1。
，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径 R n n 1n1a n x n的收敛半径 R10,2。
又由于 x0时幂级数收敛， x 2 时因此，幂级数1，收敛区间为n 1幂级数发散。
可知收敛域为0,2。
3、设函数f (x)具有二阶连续导数，且 f ( x)0 ， f (0)0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)在点 (0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A） f (0)1， f (0)0(B) f (0)1， f(0)0(C) f (0)1， f ( 0)0(D) f (0)1， f(0)0【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
2011考研数学一真题及答案)
2011考研数学一真题试卷一选择题1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 CA （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域CA(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 AA 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IBA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=DA 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 D A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是 DA )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= B A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s= __)21ln(+_____10.微分方程x e y y x c o s -=+'满足条件y(0)=0的解为y=___x e y x sin -=_________ 11.设函数⎰+=xydt tty x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x x F 4 12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx π13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______1________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(021]))1ln((1[lim e eexxx x x e x x x xxx e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z解由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(='g)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的一个拐点是（ ） （A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0) 【答案】应选（C ） 【详解】由凹凸性定义（2）设数列{}n a 单调减少，1lim 0,(1,2,)n n n kn k a S a n →∞====∑L 无界，则幂级数1(1)nkkk a x =−∑的收敛域是（ ）（A ）(1,1]− （B ）[1,1)− （C ）[0,2) （D ）(0,2] 【答案】应选（C ） 【详解】根据级数1kk a∞=∑发散，可知1kk k a x∞=∑在1x =发散，1x =−收敛，所以可判断收敛半径为1R =（3）设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0,f x f ′>= 则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ）(0)1,(0)0f f ′′>> （B ）(0)1,(0)0f f ′′>< （C ）(0)1,(0)0f f ′′<> （D ）(0)1,(0)0f f ′′<< 【答案】应选（A ）【详解】根据()ln ()0()()0()x yz f x f y f x f y z f y ′==⎧⎪′⎨==⎪⎩， 22()()ln (),[()()(())]()xx yy f x z f x f y z f y f y f y f y ′′′′′==− 对于(0,0)，(0,0)(0)ln (0)xx z f f ′′=，(0,0)(0)yy z f ′′= 根据题意可判断(0)1,(0)0f f ′′>>（4）设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===∫∫∫，则,,I J K 的大小关系是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】应选（B ） 【详解】在区间[0,4π上，sin cos cot ,ln x x x x <<是增函数，所以ln sin ln cos ln cot ,x x x <<由定积分比较大小的性质可知，应选（B ） （5）设A 为三阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得到单位矩阵，记121 0 0 1 0 01 1 0,0 0 10 0 10 1 0P P ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，则A=（ ）(A) 12PP ; (B) 112P P −; (C) 21P P ; (D) 121P P −. 【答案】应选(D).【详解】由初等变换及初等矩阵的性质易知21P AP E =，从而1112121A P P P P −−−==，答案应选(D).（6）设1234(,,,)A αααα=，若(1,0,1,0)T是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为（ ）(A)12,αα; (B) 13,αα; (C) 123,,ααα; (D) 234,,ααα.【答案】应选(D).【详解】由(1,0,1,0)T 是方程0AX =的一个基础解系，知()3r A =，从而*()1,0r A A ==，于是*0A A A E ==，即1234,,,αααα为*0A X =的解.由130αα+=，知13,αα线性相关，由()3r A =，知234,,ααα线性无关，又*()1r A =，从而234,,ααα为*0A X =的基础解系,故应选(D).（7）设12(),()F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度12(),()f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（A ）12()()f x f x （B ）212()()f x F x （C ）12()()f x F x （D ）1221()()()()f x F x f x F x + 【答案】应选(D).【详解】由概率密度的性质知，概率密度必须满足()1f x dx +∞−∞=∫，故由题知[]12211212()()()()()()()()1f x F x f x F x dx dF x F x F x F x +∞+∞+∞−∞−∞−∞+===∫∫ 故选择D.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在.记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =则EUV 等于（ ）（A ）EU EV ×（B ）EX EY ×（C ）EU EY ×（D ）EX EV × 【答案】应选(B).【详解】由题易知，当X Y <时，,U Y V X ==；当X Y >时，,U X V Y ==；当X Y =时, ,U Y V X ==；则都有EUV EXY EXEY ==,故选择B.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤∫的弧长s =【答案】1)+【详解】1)s ==+（10）微分方程'cos xy y e x −+=满足条件(0)0y =的解为y =【答案】sin x e x −【详解】11(cos )(sin )dx dx x xy e C e xe dx e C x −−−∫∫=+=+∫，由于(0)0y =，所以sin x y e x −=（11）设函数2sin (,)1xytF x y dt t=+∫，则20,22x y F x ==∂=∂【答案】2【详解】2sin()1()F xy y x xy ∂=∂+，20,222sin(2)()214x y x F d x x dx x===∂==∂+（12）设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=ò 【答案】2π【详解】由斯托克斯公式。