2018届人教A版 相互独立事件发生的概率. 检测卷
【高中数学】新人教A版高一10.2 事件的相互独立性(练习题)
新人教A 版高一10.2 事件的相互独立性(2464)1.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为（）A.0.42B.0.28C.0.18D.0.122.分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚硬币正面向上”为事件A ，“第2枚硬币正面向上”为事件B ，“2枚硬币向上的结果相同”为事件C ，有下列三个判断：①事件A 与事件B 相互独立；②事件B 与事件C 相互独立；③事件C 与事件A 相互独立.以上判断中，正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.33.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇绿灯的概率分别是13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为 （）A.19B.16C.13D.718 4.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的.从甲盒中任取一个螺杆，从乙盒中任取一个螺母，则恰好可配成A 型螺栓的概率为（）A.120B.1516C.35D.1920 5.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率和B 发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)等于（）A.29B.118C.13D.23 6.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A =｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；事件B =｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；C =｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数｝.给出下列结论:①P(A)=12；②P(AB)=14；③P(ABC)=18.其中正确的结论个数为（ ）A.0B.1C.2D.37.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率是（）A.5564B.164C.18D.9648.某射击爱好者射击一次命中目标的概率为p，已知他连续射击三次，每次射击的结果相互独立，则他至少有一次命中目标的概率为3764，则p的值为（）A.14B.34C.3√38D.√3789.已知A,B是相互独立事件，且P(A)=13，P(B)=34，则P(AB)=.10.给出下列各组事件：①甲盒中有6个白球、4个黑球，乙盒中有3个白球、5个黑球，从甲盒中取出一个球称为甲试验，从乙盒中取出一个球称为乙试验，事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”；②盒中有4个白球、3个黑球，从盒中有放回地取出两个球，事件A2表示“第一次取出的是白球”，事件B2表示“第二次取出的是白球”；③盒中有4个白球、3个黑球，从盒中不放回地取出两个球，事件A3表示“第一次取出的是白球”，事件B3表示“第二次取出的是白球”.其中组中事件为相互独立事件的是.(填序号)11.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15,13,14，则此密码被破译的概率为.12.乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球，则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为.13.甲、乙两人在商场夹娃娃，两个人分别夹一次，其中甲夹中的概率为0.7，乙夹中的概率为0.5.求：(1)2人中恰有1人夹中娃娃的概率；(2)2人中至少有1人夹中娃娃的概率.14.眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在某年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分、2分的概率；(2)求甲队得2分，乙队得1分的概率.15.甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是12，三人都做对的概率是124，三人都做错的概率是14.则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为;甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.16.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名).某驾校规定：前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.该驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元的概率.参考答案2.【答案】:D【解析】:由题知P(A)=12，P(B)=12，P(C)=12，P(AB)=P(AC)=P(BC)=14，因为P(AB)=14=P(A)P(B)，所以A,B 相互独立；因为P(AC)=14=P(A)P(C)，所以A,C 相互独立；因为P(BC)=14=P(B)P(C)，所以B,C 相互独立.故选D.3.【答案】:D【解析】:设汽车在甲、乙、丙三处遇到绿灯分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=13，P(B)=12，P(C)=23.因遇红灯停车一次即为事件A ¯BC ＋AB ¯C ＋ABC ¯，故其概率为(1−13)×12×23＋13×(1−12)×23=13×12×(1−23)=718.4.【答案】:C【解析】:依题意，在甲盒中取到A 型螺杆的概率为160200=45，在乙盒中取到A 型螺母的概率为180240=34，所以从甲盒中任取一个螺杆，从乙盒中任取一个螺母，则恰好可配成A 型螺栓的概率为45×34=35，故选C ．5.【答案】:D【解析】:由P(AB ¯)=P(A ¯B)，得P(A)P(B ¯)=P(A ¯)P(B)，即P(A)[1−P(B)]=P(B)·[1−P(A)]，∴P(A)=P(B).又P(A ¯B ¯)=19，∴P(A ¯)=P(B ¯)=13， ∴P(A)=1−13=23.6.【答案】:C【解析】:由古典概型的概率公式知P(A)=24=12，则①正确；∵P(B)=24=12，事件A ，B 相互独立，∴P(AB)=12×12=14，则②正确；∵事件AB 与事件C 为互斥事件，∴P(ABC)=0，则③错误．故选C．7.【答案】:A【解析】:设“C闭合”为事件G，“D闭合”为事件H，“A与B中至少有一个不闭合”为事件T，“E与F中至少有一个不闭合”为事件R，则P(G)=P(H)=12，P(T)=P(R)=1−12×12=34，所以灯亮的概率P=1−P(T)P(R)P(G¯)P(H¯)=5564，故选A．8.【答案】:A【解析】:因为该人射击一次命中目标的概率为p，所以该人射击一次未命中目标的概率为1−p，因为每次射击的结果相互独立，所以该人三次都未命中目标的概率为(1−p)3，因为“连续射击三次，至少有一次命中目标”的对立事件为“三次都未命中目标”，所以连续射击三次，至少有一次命中目标的概率为1−(1−p)3=3764，解得p=14.故选A．9.【答案】:14【解析】:∵A，B是相互独立事件，且P(A)=13，P(B)=34，∴P(AB)=P(A)P(B)=13×34=14.10.【答案】:①②【解析】:①甲试验与乙试验是两个相互独立的试验．事件A1和B1是否发生，相互之间没有影响，故事件A1与事件B1是相互独立事件．②在有放回地取球过程中，事件A2与B2是否发生相互之间没有任何影响，所以它们是相互独立事件．③在不放回地取球过程中，事件A3发生与否对事件B3发生的概率产生了影响，因此，事件A3与B3不是相互独立事件．11.【答案】:35【解析】:用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙破译出密码，则P(A)=15，P(B)=13，P(C)=1 4，且P(A¯B¯C¯)=P(A¯)P(B¯)P(C¯)=45×23×34=25，所以此密码被译出的概率为1−25=35．12.【答案】:2875【解析】:比分为1比2的情况有三种：(1)甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分；(2)甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分;(3)甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分.所以所求概率为35×25×23+25×35×23+25×25×13=2875.13(1)【答案】“2人各夹1次，恰有1人夹中娃娃”包括两种情况：一种是甲夹中、乙未夹中(事件A ·B ¯发生)，另一种是甲未夹中、乙夹中(事件A ¯·B 发生)根据题意，事件A ·B ¯与A ¯·B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(A ·B ¯)+P(A ¯·B)=P(A)P(B ¯)+P(A ¯)P(B)=0.7×(1−0.5)+(1−0.7)×0.5=0.35+0.15=0.5. 所以2人中恰有1人夹中娃娃的概率是0.5．(2)【答案】“2人中至少有1人夹中娃娃”与“2人都未夹中娃娃”为对立事件，2人都未夹中娃娃的概率是P(A ¯·B ¯)=P(A ¯)P(B ¯)=(1−0.7)(1−0.5)=0.15，∴“2人中至少有1人夹中娃娃”的概率P =1−P(A ¯·B ¯)=1−0.15=0.85．14(1)【答案】记“甲队总得分为0分”为事件A ，“甲队总得分为2分”为事件B ，甲队总得分为0分，即甲队3人都回答错误，其概率P(A)=(1−23)3=127； 甲队总得分为2分，即甲队3人中有1人答错，其余2人答对，其概率 P(B)=3×(23)2×(1−23)=49. (2)【答案】记“乙队得1分”为事件C ，“甲队得2分，乙队得1分”为事件D ， 乙队得1分，即乙队3人中有2人答错，其余1人答对， 则P(C)=(1−23)×23×(1−12)+23×(1−23)×(1−12)+(1−23)×(1−23)×12=518， 则P(D)=P(BC)=P(B)P(C)=49×518=1081.15.【答案】:13，14或14，13；1124【解析】:设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=12， 由题意得{12P(B)P(C)=124,(1−12)[1−P(B)][1−P(C)]=14,解得P(B)=13，P(C)=14或P(B)=14，P(C)=13， 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为13和14，或14和13． 设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D ，则P(D)=P(A)P(B ¯)P(C ¯)+P(A ¯)P(B)P(C ¯)+P(A ¯)P(B ¯)P(C)=1124， 所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为1124．16(1)【答案】设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i 次通过”为事件A i ，“妻子在科目二考试中第i 次通过”为事件B i (i =1,2,3,4,5)，则P(A i )=34，P(B i )=23. 设事件A =“丈夫在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费”，事件B =“妻子在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费”，事件C =“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.则P(A)=P(A 1+A 1¯A 2)=P(A 1)+P(A 1¯A 2)=34+14×34=1516， P(B)=P(B 1+B 1¯B 2)=P(B 1)+P(B 1¯B 2)=23+13×23=89， P(C)=P(AB)=1516×89=56． 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为56.(2)【答案】设事件D =“丈夫在本次报名中参加科目二考试需交补考费200元”，事件E =“妻子在本次报名中参加科目二考试需交补考费200元”，事件F =“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元”，则P(D)=P(A 1¯A 2¯A 3)=14×14×34=364， P(E)=P(B 1¯B 2¯B 3)=13×13×23=227， P(F)=P(AE +DB)=P(A)P(E)+P(D)P(B)=1516×227+364×89=19. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元的概率为1．9。
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (20)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ．310B ． 35C ． 25D ． 152. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 15B ． 12C ． 35D ． 453. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 2144B ． 1522C ． 2150D ． 9254. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 316B ． 29C ． 718D ． 496. 若 P (AB )=19，P(A)=23，P (B )=13，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立C ．事件 A 与 B 相互独立D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( )A．142B．121C．221D．178.下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”9.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥但不对立的事件的有( )A．0对B．1对C．2对D．3对10.已知0≤a<2，0≤b<4，为估计在a>1的条件下，函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点的概率P．用计算机产生了[{0,1})内的两组随机数a1，b1各2400个，并组成了2400个有序数对(a1,b1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如表：满足b1<a12的数对个数满足b1≥a12的数对个数合计满足a1≤12的数对个数1101200满足a1>12的数对人数550合计2400则数据表中数据计算出的概率P的估计值为( )A．1348B．1124C．1960D．712二、填空题（共6题）11.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是．12.思考辨析，判断正误A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)．( )13.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为．14. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成自我检测题，甲及格的概率为 45，乙及格的概率为 25，丙及格的概率为 23，则三人中至少有一人及格的概率为 ．15. 在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）．16. 古典概型．（1）定义：如果一个概率模型满足：① 试验中所有可能出现的基本事件只有 个； ② 每个基本事件出现的可能性 ．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． （2）计算公式：对于古典概型，任何事件 A 的概率为 P (A )=A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．三、解答题（共6题）17. 某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是 60%，若该篮球爱好者连续投篮 4 次，求至少投中 3 次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．18. 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取 n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表．(1) 求 a ，b ，n 的值；(2) 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1 名学生与张老师面谈的概率．19. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的 7 名同学分别用 A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅰ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．20.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“✓”表示购买，“×”表示未购买．(1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21.运动会前夕，某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们获得冠军的概率分别为37和16，所以她们的粉丝认为该省获得乒乓球女子单打冠军的概率是16+37．该种想法正确吗？为什么？22.垃圾分类，人人有责．2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．(1) 应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？(2) 设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．（i）写出这个试验的样本空间；（ii）设事件M=“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】若函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数，则a2−2<0，又a∈{−2,0,1,2,3}，故只有a=0，a=1满足题意，所以函数f(x)=(a2−2)e x+b为减函数的概率P=25．【知识点】古典概型2. 【答案】C【解析】列举出所有结果易得P=35．【知识点】古典概型3. 【答案】A【解析】根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)=1−P(A)P(B)=1−(1−0.6)×(1−0.7)=0.88．则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(A∩B∣C)=P(A∩B∩C)P(C)=0.6×0.70.88=2144．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个古典概型．样本空间共包含36个样本点记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)(5,6),(6,5),(6,6)}，共16个样本点．所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．【知识点】古典概型6. 【答案】C【解析】因为P(A)=1−P(A)=1−23=13，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．又因为P(AB)≠P(A)+P(B)，所以事件A与B并不互斥．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C72=21，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，所以其和等于18的概率是P=221．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A．【知识点】独立事件积的概率9. 【答案】C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的．【知识点】事件的关系与运算10. 【答案】C【解析】要使得函数f(x)=x2+2ax+b有两相异零点，4a2−4b>0，所以a2>b，条件中所给的共有2400对有序数对，在这些有序数对中，使得函数有两个相异的零点，共有110+(1200−550)=760，所以数据表中数据计算出的概率P的估计值是7602400=1960．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.8【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】×【知识点】事件和与事件积，事件和与事件积的概率计算13. 【答案】13；13【解析】设平局（用 △ 表示）为事件 A ，甲赢（用 ⊙ 表示）为事件 B ，乙赢（用 ⋇ 表示）为事件 C ．容易得到如图．平局含 3 个基本事件（图中的 △），P (A )=39=13．甲赢含 3 个基本事件（图中的 ⊙），P (B )=39=13．【知识点】古典概型14. 【答案】 2425【解析】设甲及格为事件 A ，乙及格为事件 B ，丙及格为事件 C ，则 P (A )=45，P (B )=25，P (C )=23，所以 P(A)=15，P(B)=35，P(C)=13，则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15×35×13=125，所以所求概率 P =1−P(ABC)=2425． 【知识点】独立事件积的概率15. 【答案】712【解析】随机取出 2 个球的基本事件有 C 92=36 种，“至少有一个红球”的事件有 C 31C 61+C 32=21 种，所以至少有一个红球的概率为 2136=712． 【知识点】古典概型16. 【答案】有限；相等【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727，7895，0123，⋯，4560，4581，4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7，8，9，0或只有7，8，9，0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n100．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 依题意得5n =0.05，an=0.35，20n=b，解得n=100，a=35，b=0.2．(2) 因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取3060×6=3名，2060×6=2名，1060×6=1名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1,a2}，{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,c1}，{a2,a3}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a2,c1}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,c1}，{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1,b2}，{b1,c1}，{b2,c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1−315=0.8．【知识点】频率分布直方图、古典概型、频率与频数19. 【答案】(1) 由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2) （ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}，{B,G}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{E,F}，{E,G}，{F,G}，共21种．（ⅰ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{B,C}，{D,E}，{F,G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)=521．【知识点】古典概型、分层抽样20. 【答案】(1) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2．(2) 从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3．(3) 与（1）同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1．所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．【知识点】古典概型21. 【答案】正确．因为两个人分别获得冠军是互斥事件，所以两个人只要有一人获得冠军，则该省就获得冠军，故该省获得冠军的概率为16+37=2542．【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) 设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，由分层抽样，得x30=y15=z15=430+15+15=115，解得x=2，y=1，z=1，所以应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；(2) （i）样本空间为：Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，因为M={(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)}，所以n(M)=10，所以事件M发生的概率P(M)=n(M)n(Ω)=1012=56．【知识点】分层抽样、古典概型。
高中数学第十章概率2事件的相互独立性练习含解析新人教A版必修第二册
事件的相互独立性【基础全面练】 (25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件【解析】选D.因为P(A 1)＝35 ，若A 1发生了，P(A 2)＝24 ＝12 ；若A 1不发生，P(A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．【加固训练】(多选题)下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”【解析】选AC.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A 中A ，B 事件是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，A 事件为出现1，3，5点，P(A)＝12 ，P(B)＝13，事件AB 为出现3点，P(AB)＝16，P(AB)＝P(A)P(B)，事件A ，B 相互独立；D 中两事件是互斥事件，不是相互独立事件． 2．某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为( )A ．0.5B ．0.48C ．0.4D ．0.32 【解析】选B.设事件A ＝“第一次投进球”，B ＝“第二次投进球”，则得2分的概率P ＝P(A B )＋P(A B)＝0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4＝0.48.3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．34 B ．23 C ．35 D ．12【解析】选A.问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12 ；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12 ×12 ＝14 .故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 4.一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12 ，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A ．164B ．5564C ．18D ．116【解析】选B.设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 中至少有一个不闭合的事件为R ，则P(T)＝P(R)＝1－12 ×12 ＝34 ，所以灯亮的概率P ＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝5564. 二、填空题(每小题5分，共10分)5．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512 ，712 ，34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512 ×712 ×34 ＝35192. 答案：351926．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是________．【解析】设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.答案：0.75三、解答题(每小题10分，共20分)7．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12 ，P(B)＝34 ，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P(A)＝68 ＝34 ，P(B)＝48 ＝12 ，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件A 与B 是相互独立的．8．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．【解析】设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，于是所求概率为P(A 1A 2A 3)＝910 ×89 ×18 ＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3，由于事件A 1，A 1A 2，A 1A 2A 3两两互斥，于是所求概率为P(A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P(A 1)＋P(A 1A 2)＋P(A1A 2A 3)＝110 ＋910 ×19 ＋910 ×89 ×18 ＝310 . 【综合突破练】 (20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A ．12B ．13C ．23D ．34【解析】选B.因为该电路为通路的概率为6581 ，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581 ＝(1－p)4，解得p ＝13 或p ＝53(舍去).2．(多选题)某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，则两次抽奖中( )A ．都抽到某一指定号码的概率为0.05B ．都没有抽到某一指定号码的概率为0.95C ．恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095D ．至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.0975【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P(A B )＝P(A )P(B )＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )U(A B)表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(A B )＋P(A B)＝P(A)P(B )＋ P(A )P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)U(A B )U(A B)表示．由于事件AB ，A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P(AB)＋P(A B )＋P(A B)＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.二、填空题(每小题5分，共10分)3．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．【解析】设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P(A 1)＝0.8，P(A 2)＝0.6，P(A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P(A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3) ＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.答案：0.464．事件A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝16 ，P(B C)＝18 ，P(AB C )＝18，则P(B)＝________，P(A B)＝________．【解析】因为P(AB C )＝P(AB)P(C )＝16 P(C )＝18 ，所以P(C )＝34 ，即P(C)＝14. 又P(B C)＝P(B )·P(C)＝18 ，所以P(B )＝12 ，P(B)＝12. 又P(AB)＝16 ，则P(A)＝13， 所以P(A B)＝P(A )·P(B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×12 ＝13. 答案：12 13三、解答题(每小题10分，共20分)5．A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23 ，服用B 有效的概率为12. (1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．【解析】(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0，1，2.据题意有：P(A 0)＝13 ×13 ＝19 ，P(A 1)＝2×13 ×23 ＝49 ，P(A 2)＝23 ×23 ＝49 ，P(B 0)＝12 ×12 ＝14 ，P(B 1)＝2×12 ×12 ＝12.所求概率为P ＝P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2)＝14 ×49 ＋14 ×49 ＋12 ×49 ＝49. (2)所求概率P′＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－49 3＝604729 . 6．如图所示，用A ，B ，C 三类不同的元件连接成两个系统N 1，N 2，当元件A ，B ，C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作；系统N 1，N 2正常工作的概率分别为P 1，P 2.(1)若元件A ，B ，C 正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求P 1，P 2；(2)若元件A ，B ，C 正常工作的概率都是P(0<P<1)，求P 1，P 2，并比较P 1，P 2的大小关系．【解析】(1)设A ＝“元件A 正常工作”，B ＝“元件B 正常工作”，C ＝“元件C 正常工作”，则A ，B ，C 相互独立．P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，故P 1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24，P 2＝P(A)[1－P(B C )]＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.(2)P(A)＝P(B)＝P(C)＝P ，P 1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝P 3，P 2＝P(A)[1－P(B C )]＝P[1－(1－P)2]，P 1－P 2＝P 3－P[1－(1－P)2]＝2P 3－2P 2＝2P 2(P －1)，又0<P<1，故P 1－P 2<0，即P 1<P 2.。
相互独立事件的概率-学易试题君之每日一题君2018学年下学期高二数学(理)人教版(课堂同步系列二)
1 5月10日 相互独立事件的概率
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，小明同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求小明同学至少取到1道乙类题的概率；学=科网
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．若小明同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45
，且各题答对与否相互独立．求小明同学至少答对2道题的概率． 【参考答案】(Ⅰ) ()56P A =
；(Ⅱ) ()()()93223125P X P X P X ≥==+==. 【试题解析】(Ⅰ)记“小明同学至少取到1道乙类题”为事件A ， 则()()36310C 511C 6
P A P A =-=-=. 则小明同学至少取到1道乙类题的概率为56
.
【解题必备】事件的相互独立性是高考考查的重点．解题时应注意：
（1）需分清事件与事件之间的关联，判断事件是否相互独立；
（2）熟记“A ，B 中至少有一个发生的事件为A
B ；都发生的事件为AB ；都不发生的事件为AB ；恰有一个发生的事件为(AB )(AB )；至多有一个发生的事件为(AB )(AB )()AB ；。
条件概率及事件的相互独立性(人教A版)(含答案)
条件概率及事件的相互独立性（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：条件概率的求解2.（上接第1题）（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：条件概率的求解3.（上接第1，2题）（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：条件概率的求解4.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：条件概率的求解5.（上接第4题）（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：条件概率的求解6.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：条件概率的求解7.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05．（1）恰有一次抽到某一指定号码的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：事件的相互独立性8.（上接第7题）（2）至少有一次抽到某一指定号码的概率是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：事件的相互独立性9.一个口袋里装有2个白球和2个黑球．（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是( ) A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：事件的相互独立性10.（上接第9题）（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：事件的相互独立性。
新教材高中数学第十章概率_事件的相互独立性频率与概率练习含解析新人教A版必修第二册
事件的相互独立性 频率与概率(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．“某彩票的中奖概率为1100 ”意味着( )A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100【解析】选D.概率是描述事件发生的可能性大小．2．已知A ，B 是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率( ) A ．事件A ，B 同时发生 B ．事件A ，B 至少有一个发生 C ．事件A ，B 至多有一个发生 D ．事件A ，B 都不发生【解析】选C.P(A)P(B)是指A ，B 同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A ，B 不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( ) A ．公平，每个班被选到的概率都为112B ．公平，每个班被选到的概率都为16C ．不公平，6班被选到的概率最大D ．不公平，7班被选到的概率最大【解析】选D.P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝136 ，P(3)＝P(11)＝118 ，P(4)＝P(10)＝112 ，P(5)＝P(9)＝19 ，P(6)＝P(8)＝536 ，P(7)＝16.4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D). 则P(A)＝P(B)＝16 ，P(C)＝56×6 ＝536， P(D)＝16.对于A 选项，P(AC)＝0;对于B 选项， P(AD)＝ 16×6 ＝136 ；对于C 选项， P(BC)＝ 16×6 ＝136 ；对于D 选项，P(CD)＝0.若两事件X ，Y 相互独立，则P(XY)＝P(X)P(Y)，因此B 选项正确． 二、填空题(每小题5分，共10分)5．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 【解析】设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625 ，所以p ＝35 .答案：356．A ，B 两人进行一局围棋比赛，A 获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B 获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示A 获胜；8，9表示B 获胜，这样能体现A 获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，据此估计B 获胜的概率为________．【解析】由30组随机数，采用三局两胜制得到B 获胜满足的基本事件有： 698，959，共2个，所以B获胜的概率为p＝230＝115.答案：115三、解答题(每小题10分，共20分)7．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定．机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大．你是怎样认为的？说说看．【解析】其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1，2，3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．8．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．【解析】利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：7032563 2564586 3142486 56778517782684 6122569 5241478 89715683215687 6424458 6325874 68943315789614 5689432 1547863 35698412589634 1258697 6547823 2274168相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的4 20＝15.概率近似值为。
高二下册数学(人教版)一课一测(相互独立事件同时发生的概率)
一课一测一、选择题1.20名同学，任意分成甲乙两组(每组10人)，其中两名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( ) A.102091812C C C B.102081812C C 2C C.102091812C C 2C D.102081812C C C 2.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( ) A.2165 B.21625 C.21631 D.21691 3.一台8型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是( )A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.972864.在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A.［0.4，1］B.(0，0.4)C.(0，0.6)D.［0.6，1］5.在一次试验中随机事件A 发生的概率为p ，设在k (k ∈N *)次独立重复试验中随机事件A 发生k 次的概率为p k ，那么p 1+p 2+ … +p n 等于( ) A.p p p n --1)1( B.np C.np n D.16.把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰好有r 个球的概率( ) A. n r n m m --)1( B.C r n n r n m m --)1( C.C r n r mm )1(- D.C r n (m 1)r 二、填空题7.如图11－3－2，设事件A ，B ，C 分别表示图中元件A ，B ，C 不损坏，则事件“灯D 亮”可用A ，B ，C 表示为.8.在某次花样滑冰赛中，9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2名受贿，则有效分中没有受贿裁判的概率是 (结果用数值表示).9.某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为 (结果用分数表示).10.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9. 他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).三、解答题11.对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只. A：甲正好取得两只配对手套；B：乙正好取得两只配对手套. A 与B是否独立？并证明你的结论.12.20世纪60年代，某气象台天气预报的准确率仅为80％.到90年代，由于科技预测手段的不断更新，此气象台天气预报的准确率提高了15个百分点.试计算：(1)20世纪60年代，5次天气预报中恰有4次准确的概率是多少？(2)20世纪90年代，5次天气预报中至少有4次准确的概率是多少？13.一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25％，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求：(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35％，但通过试验被否定的概率；(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.14.甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？。
人教A版高中数学选修2-3 事件的相互独立性 跟踪练习及答案解析
事件的相互独立性 跟踪练习一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个2．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23表示( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.124.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2-2-2所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )图2-2-2A.13B.29C.49 D.8275．如图2-2-3所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )图2-2-3A.49B.29C.23D.13 二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．7．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________.8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． .10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．[能力提升题]1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.232.三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图2-2-4的电路中，电路不发生故障的概率是( )图2-2-4A.1532B.932C.732D.17323．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12，14，两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.4．如图，在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．事件的相互独立性跟踪练习答案一、选择题1.【解析】①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝3 5，P(N)＝12.即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝1 2，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件．【答案】 C2．【解析】分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝13，P(B)＝12，由于A，B相互独立，所以1－P(A)P(B)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C正确．【答案】 C3．【解析】问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝34.【答案】 A4.【解析】青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝23×23×23＝827；第二条，按A→C→B→A，P2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝827＋127＝13.【答案】 A5．【解析】“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝23，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.【答案】 A二、填空题6．【解析】“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件 B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝C1160C1200，P(C)＝C1180C1240.∴P(A)＝P(BC)＝P(B)·P(C)＝C1160C1200·C1180C1240＝35.【答案】3 57．【解析】用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝1 5，P(B)＝13，P(C)＝14，且P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝45×23×34＝25.所以此密码被破译的概率为1－25＝35.【答案】3 58．【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．所以至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.【答案】0.902三、解答题9．【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：[能力提升题]1．【解析】由P(A B)＝P(B A)，得P(A)P(B)＝P(B)·P(A)，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(A B)＝1 9，∴P(A)＝P(B)＝13，∴P(A)＝23.【答案】 D2.【解析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14×12＝1532.故选A. 【答案】 A3．【解析】 由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516. 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. 【答案】5164．【解】 如图所示，分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P (A －B －C －)＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7) ＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A －B －C －)＝1－0.027＝0.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.。
人教A版高中数学必修三试卷高二下同步测试(13)—互斥事件相互独立事件的概率.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二下数学同步测试（13）——互斥事件相互独立事件的概率一、选择题：1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球，至少有1个白球B ．恰有一个黑球，恰有2个白球C ．至少有一个黑球，都是黑球D ．至少有1个黑球，都是白球2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （ ）．A ．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.033．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取到合格品的概率是2p ，第3次取到合格品的概率是3p ，则（ ） A ． 2p >3p B ． 2p =3p C ． 2p <3p D ．不能确定4．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A ．5/126B ．25/216C ．31/216D ．91/2165．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，则此密码能译出的概率是（ ）A ．1/60B ．2/5C ．3/5D ．59/606．停车场可把12辆车停放在一排上，当有8辆车已停放后，而恰有4个空位连在一起，这样的事件发生的概率为 （ ）A ．8127/CB ．8128/C C ． 8129/CD ．81210/C7．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为 （ ）A ．1/42B ．1/30C ．4/35D ．5/428．进入世界前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国选手，抽签后平均分成甲、乙两组进行比赛，则四名中国选手不都分在同一组的概率为（ ）A ．33/35B ．17/18C ．34/35D ． 8/99．对一同目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是（ ）A ．0.36B ．0.64C ．0.74D ．0.6310．某品牌产品，在男士中有10%使用过，女士中有40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是（ ）A ．1/5B ． 2/5C ． 3/5D ． 4/5二、填空题11．2个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每个投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是_____．12．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）13．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到红球的概率为54，则袋中红球有 个. 14．4个人中，至少有2人的生日是同一个月的概率是 ．三、解答题15． 袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。
人教A版选修2-3《2.4.2 事件的相互独立性》练习卷(2)
人教A版选修2-3《2.4.2 事件的相互独立性》练习卷（2）一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.舒城中学某班朗诵兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加每周一学校举行的《在国旗下的讲演》活动，那么选出的两位同学都是男生的概率是()A. 15B. 35C. 310D. 122.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有()A. A与AB. A与BC. A与BD. A与B3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为()A. 0.12B. 0.88C. 0.28D. 0.424.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于()A. 29B. 118C. 13D. 235.已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1−P(A)P(B)是下列哪个事件的概率()A. 事件A，B同时发生B. 事件A，B至少有一个发生C. 事件A，B至多有一个发生D. 事件A，B都不发生二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）6.已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为____．7.川川同学骑自行车上学，从他家到学校途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是13，则川川首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率为________，川川在途中恰好遇到3次红灯的概率为__________．8.已知100件产品中有2件次品，从中任取2件，则恰有一件次品的概率是________．三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）9. 设A 、B 、C 三个事件相互独立，事件A 发生的概率是12，A 、B 、C 中只有一个发生的概率是1124，又A 、B 、C 中只有一个不发生的概率是14．(1)求事件B 发生的概率及事件C 发生的概率；(2)试求A 、B 、C 均不发生的概率．10. 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4.现从盒子中随机抽取卡片．(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率;(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率．11. 一次围棋团体对抗赛的甲、乙两队各有3名选手，甲队的3名选手的代号为A ，B ，C ，乙队的3名选手的代号为X ，Y ，Z.比赛时，A 对X ，B 对Y ，C 对Z.资料表明A 胜X 的概率、B 胜Y 的概率、C 胜Z 的概率分别为0.45，0.6，0.35.求：(1)A 胜X ，且C 负于Z 的概率；(2)甲队胜乙队的概率；(3)乙队胜甲队的概率．12.盒中有6只晶体管，有2只次品，4只合格品，从中任取2次，每次一只；(1)若取后放回，求取到的2只晶体管中恰有一只合格品的概率是多少？(2)若取后不放回，求取到的2只晶体管中至少有一只合格概率是多少？(3)若取后不放回，求取到的2只晶体管中至多有一只合格概率是多少？13.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．14. 甲、乙两人进行五盘三胜制的象棋赛，若甲每盘的胜率为35，乙每盘的胜率为25(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率．(2)比赛以甲比乙为3比1胜出的概率．(3)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率．15. 高三某班有两个数学课处兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生，现在班主任老师要从第一组选出1人，从第二组选出2人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得．(1)求选出的3人均是男生的概率；(2)求选出的3人中有男生也有女生的概率．16.一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，随机抽出两件产品(1)求恰好有一件次品的概率(2)求都是正品的概率．17.袋中有7个球，其中4个白球，3个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：(1)A:取出的2个球都是白球；(2)B:取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：舒城中学某班朗诵兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学，基本事件总数为C52=10种，选出的两位同学都是男生的基本事件有C32=3种，．所以选出的两位同学都是男生的概率是310故选C．确定基本事件总数，选出的两位同学都是男生的基本事件数，利用古典概型概率公式，即可求解．本题考查古典概型概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn2.答案：A解析：本题考查相互独立事件的定义，考查对立事件，属于基础题．相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件．由题意知A与B相互独立，根据相互独立事件的定义得到A与B，B与A，A与B都是相互独立事件，而A与A是不能同时发生的事件，是互斥事件中的对立事件．解：∵若A与B相互独立，∴A与B，B与A，A与B都是相互独立事件，A与A是对立事件，故选A．3.答案：D解析：本题考查了相互独立事件同时发生的概率和互斥事件、对立事件的判断与概率计算，属于基础题．利用相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率计算得结论．解：设“甲地下雨”为事件A，“乙地下雨”为事件B，“甲、乙两地都不下雨”为事件C，由事件A，B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=[1−P(A)][1−P(B)]=0.7×0.6=0.42．故选D．4.答案：D解析：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.设两个独立事件A和B发生的概率分别为x、y，结合题中的条件得(1−x)(1−y)=19，x=y，解方程组即可求得结果．解：由题意得，P(A B)=19，P(AB)=P(AB)，因为事件A和B互相独立，所以P(A B)=(1−P(A))(1−P(B))=(1−x)(1−y)=19，P(A)P(B)=P(A)P(B)，即x=y，即P(A)×19=[1−P(A)]×(1−19)，解得∴(1−x)2=19，即x=23，所以事件A发生的概率P(A)=23．故选D．5.答案：C解析：本题考查了相互独立的事件的概率问题，属于基础题．根据相互独立事件的概率，P(A)P(B)=P(AB)，问题得以解决．解：因为A ，B 是两个相互独立事件，所以P(A)P(B)=P(AB)，而P(AB)表示两个事件同时发生，所以1−P(A)P(B)表示事件A ，B 至多有一个发生．故选C ．6.答案：310解析：本题考查古典概型的概率，先求出基本事件总数，然后求出取出的两本书都是数学书所包含的基本事件个数，由此能求出取出的两本书都是数学书的概率，属基础题．解：∵书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，基本事件总数n =C 52=10，则取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m =C 32=3， ∴取出的两本书都是数学书的概率P =m n =310． 故选为310．7.答案：427 160729解析：本题主要考查互相独立事件同时发生的概率，属于基础题．根据相互独立事件同时发生的概率进行计算．解：川川首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率P =23×23×13=427．川川在途中恰好遇到3次红灯的概率P =C 63(23)3(13)3=160729． 故答案为427；160729．8.答案：982475解析：本题主要考查了古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，掌握组合数公式，分步计数原理．首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从100件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后代入古典概型的概率公式即可．解：在100件产品中有2件次品，从中任取2件， 基本事件总数n =C 1002，恰有1件次品包含的基本事件个数m =C 981C 21， 则恰有1件次品的概率为P =m n =C 981C 21C 1002=982475.故答案为982475． 9.答案：解：(1)设事件A 发生的概率为P(A)，事件B 发生的概率为P(B)，事件C 发生的概率为P(C)， 则P(A)=12，P(AB −C −)+P(A −B −C)+P(A − BC −)=P(A)(1−P(B))(1−P(C))+(1−P(A))(1−P(B))P(C)+(1−P(A))P(B)(1−P(C))=1124，P(ABC −)+P(AB −C)+P(A −BC)=P(A)P(B)(1−P(C))+P(A)(1−P(B))P(C)+(1−P(A)P(B)P(C)=14解得，P(B)=13，P(C)=14或P(B)=14，P(C)=13y =13，x =14或y =14，x =13；(2)A 、B 、C 均不发生的概率为P(A −B −C −)=(1−P(A))(1−P(B))(1−P(C))=14解析：(1)先设出事件A ，B ，C 发生的概率，用其表示A 、B 、C 中只有一个发生的概率，A 、B 、C 中只有一个不发生的概率，化简，即可计算出事件B ，C 发生的概率．(2)用对立事件的概率分别求出A 、B 、C 各自不发生的概率，再相乘即可．本体考查了相互独立事件同时发生的概率，应用乘法计算．10.答案：解：(1)设A 表示事件“抽取的3张卡片上的数字之和大于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字的全部可能结果是(1,2，3)，(1,2，4)，(1,3，4)，(2,3，4)，共4个，其中数字之和大于7的是(1,3，4)，(2,3，4)，共2个，．故3张卡片上的数字之和大于7的概率P(A)=12(2)设B表示事件“至少有一次抽到数字3”，第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．至少有一次抽到数字3的结果有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共7个．．故至少有一次抽到数字3的概率P(B)=716解析：本题主要考查古典概率的求解.利用列举法求概率．(1)利用列举法求概率.列举出任取3张卡片的全部可能结果，将数字之和大于7的事件个数比上事件总个数得答案．(2)利用列举法求概率.列举出第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果，将至少有一次抽到数字3的事件个数比上总事件个数得答案．11.答案：解：(1)记“A胜X”，“B胜Y”，“C胜Z”事件分别为A，B，C，则“A负于X”，“B负于Y”，“C负于Z”的事件分别为A−,B−,C−，A，B，C为相互独立事件，则P(A)=0.45，P(B)=0.6，P(C)=0.35，∴A胜X，且C负于Z的概率为P(AC−)=P(A)[1−P(C)]=0.45(1−0.35)=0.2925．(2)甲队胜乙队的情况有四种： ①ABC ，②A −BC ，③AAB −C ，④ABC −， ∴甲队胜乙队的概率为：P(ABC +A −BC +AAB −C +ABC −)=P(ABC)+P(A −BC)+P(AAB −C)+P(ABC −)=0.45×0.6×0.35+0.55×0.6×0.35+0.45×0.6×0.65=0.4485．(3)∵“甲队胜乙队”与“乙队胜甲队”是对立事件， ∴乙队胜甲队的概率为：P =1−0.4485=0.5515．解析：(1)记“A 胜X ”，“B 胜Y ”，“C 胜Z ”事件分别为A ，B ，C ，A 胜X ，且C 负于Z 的概率为P(AC −)=P(A)[1−P(C)]，由此能求出结果．(2)甲队胜乙队的情况有四种：①ABC ，②A −BC ，③AAB −C ，④ABC −，利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式能求出甲队胜乙队的概率．(3)“甲队胜乙队”与“乙队胜甲队”是对立事件，由此利用对立事件概率计算公式能求出乙队胜甲队的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：解：记4只合格品为A 、B 、C 、D ，2只次品为a 、b ；(1)若取后放回，如表所示，共有36个基本事件，其中，“取到的2只晶体管中恰有一只合格品”包含16个基本事件，由于每只晶体管被取到的可能性是相等的，由古典概型计算公式得：P{取到的2只晶体管中恰有一只合格品}=1636=49；(2)若取后不放回，基本事件总数为30，其中“取到的2只晶体管中至少有一只合格”包含28个基本事件，故P{取到的2只晶体管中至少有一只合格}=2830=1415；(3)若取后不放回，基本事件总数为30，其中“取到的2只晶体管中至多有一只合格”包含18个基本事件，故P{取到的2只晶体管中至多有一只合格}=1830=915=35.解析：(1)分别求出有放回的从中任取2次，抽取的情况总数和取到的2只晶体管中恰有一只合格品的情况个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．(2)分别求出不放回的从中任取2次，抽取的情况总数和取到的2只晶体管中至少有一只合格品的情况个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．(3)分别求出不放回的从中任取2次，抽取的情况总数和取到的2只晶体管中至多有一只合格品的情况个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．13.答案：解：(1)甲连胜四场的概率为116．(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116， 乙连胜四场的概率为116， 丙上场后连胜三场的概率为18．∴需要进行第五场比赛的概率1−116−116−18=34． (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18，比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18,18． ∴丙最终获胜的概率18+116+18+18=716．解析：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率． (2)根据赛制分类讨论即可．(3)将丙最终获胜的可能情形进行分类，分别求出概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可．14.答案：解：(1)甲比乙为3比0胜出，也就是说甲连续三场获胜，所以所求胜出的概率为(35)3=0.216；(2)甲比乙为3比1胜出，则两人一共赛四场比赛，第四场甲获胜，在前3场比赛中乙获胜了一场，有C 31=3种可能，所以甲胜出的概率为C 31·(25)·(35)2·35=0.2592； (3)第5场比赛必须是甲获胜，而前四场比赛中乙获胜两场，有C 42=6种可能， 所以甲胜出的概率为C 42·(25)2(35)2·35=0.20736．解析：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式及其计算，属于中档题．(1)每局比赛的胜负是独立的，这是一个相互独立事件同时发生的概率，比赛以甲3胜0而结束，则甲赢三局，即可写出概率；(2)比赛甲比乙为3：1胜出，则两人一共赛四场比赛，第四场甲获胜，在前3场比赛中乙获胜了一场，根据相互独立事件的概率和独立重复试验写出结果；(3)比赛甲比乙为3：2胜出甲比乙为3：2胜出而结束，则第五局一定甲胜，前四局中甲胜两局，根据相互独立事件的概率和独立重复试验写出结果．15.答案：解：(1)记第一组的2名男生为A1，A2，2名女生为a1，a2，第二组的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为b1，b2．设“从第一组选出1人，从第二组选出2人”组成的基本事件空间为Ω，有C41⋅C52=40种设“选出的3人均是男生”为事件A，则A={(A1,B1,B2)，(A1,B1,B3)，(A1,B2,B3)，(A2,B1,B2)，(A2,B1,B3)，(A2,B2,B3)}，共有6种．∴P(A)=640=320，所以选出的3人均是男生的概率为320，(2)设“选出的3人中有男生也有女生”为事件B，设“都是女生”为事件C，则C={(a1,b1,b2)，(a2,b1,b2)}，共有2种．P(C)=240=120故P(B)=1−P(A)−P(C)=1−320−120=45所以选出的3人中有男生也有女生的概率为45．解析：本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解答此题的关键是列举时做到不重不漏，是中档题．利用排列组合求出“从第一组选出1人，从第二组选出2人”的所有方法，(1)然后找出选出的3人均是男生的方法种数，直接利用古典概型的概率计算公式计算；(2)找出选出的3人均是女生的方法种数，利用互斥事件的概率计算公式计算．16.答案：解：(1)所有的取法共有C62=15种，而恰好有一件次品的取法有2×4=8种，故恰好有一件次品的概率为815．(2)所有的取法共有C62=15种，而取出的2件产品都是正品的取法有C42=6种，故取出的2件产品都是正品的概率为615．解析：(1)所有的取法共有C62种，而恰好有一件次品的取法有2×4种，由此求得恰好有一件次品的概率．(2)所有的取法共有C62种，而取出的2件产品都是正品的取法有C42种，由此求得取出的2件产品都是正品的概率．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．17.答案：解：设4个白球的编号为1，2，3，4，3个红球的编号为5，6，7，从袋中的7个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种．(1)从袋中的7个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的2个球全是白球的概率为P(A)=621=27．(2)从袋中的7个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，共12种．∴取出的2个球中1个是白球，另1个是红球的概率为P(B)=1221=47.解析：本题考查古典概型的应用，是基础题．(1)从7个球中取出2个球，共有事件21个，若取出的2个球是白球，则事件A有6种，故概率为P(A)=621=27．(2)取出的2个球中1个是白球，另1个是红球的事件B共有12个，故P(B)=1221=47.。
高中数学人教A版选修部分 课时跟踪检测 事件的相互独立性(含答案解析)
高中数学人教A版选修部分课时跟踪检测事件的相互独立性一、选择题1.若，则事件A与B的关系是( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立2.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )3.有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是( )A.0.56B.0.92C.0.94D.0.964.从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率5.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.426.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )7.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )8.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )12二、填空题9.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________.10.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，当事件A ，B 相互独立时，P(A ∪B)=____，P(A|B)=____.11.设两个相互独立的事件A ，B 都不发生的概率为，A 发生B 不发生的概率等于B 发生A 不发生的概率，则事件A 发生的概率P(A)=________.12.加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.三、解答题14.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率.(2)至少有一个气象台预报准确的概率.15.已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：(1)事件A，B，C只发生两个；(2)事件A，B，C至多发生两个.16.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率.答案解析1.答案为：C ；解析：因为P()=，所以P(A)=，又P(B)=，P(AB)=，所以有P(AB)=P(A)P(B)，A 23131319所以事件A 与B 相互独立但不一定互斥.2.答案为：A ；解析：由题意知P 甲==，P 乙=，所以P=P 甲·P 乙=.8104571014253.答案为：C ；解析：设事件A 表示：“甲击中”，事件B 表示：“乙击中”.由题意知A ，B 互相独立.故目标被击中的概率为P=1－P(·)=1－P()P()=1－0.2×0.3=0.94.A B A B 4.答案为：C ；解析：5.答案为：D ；解析：P=(1－0.3)(1－0.4)=0.42.6.答案为：A ；解析：设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)=，23B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)=.23故P(AB)=P(A)·P(B)=×=.2323497.答案为：A ；8.答案为：C ；9.答案为：0.26；解析：所求概率P=0.8×0.1＋0.2×0.9=0.26.10.答案为：0.65 0.3；解析：∵A ，B 相互独立，∴P(A ∪B)=P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)=0.3＋0.5－0.3×0.5=0.65. P(A|B)=P(A)=0.3.11.答案为：；解析：12.答案为： ；解析：加工出来的零件的正品率为所以次品率为1－=.677037013.答案为：0.128；解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.14.解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B.15.解：16.解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i(i=1,2,3,4)，则P(A1)=0.6，P(A2)=0.4，P(A3)=0.5，P(A4)=0.2.。
2018届人教A版 概率 检测卷
一、选择题1．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2.(2016·重庆第一次诊断)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．53．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x1＋x是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2B ．p 1∨(綈p 2)C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，3x －y ＋2≥0，目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－3,2]C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2对称，则φ的最小值是( )A.π4B.π3C.3π4D.3π86．(2016·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024 B ．2 012 C ．2 026D ．2 0367．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( ) A.25 B.14 C.35D.458．(2016·烟台诊断)甲、乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如茎叶图所示，依此判断( )A ．甲成绩稳定且平均成绩较高B ．乙成绩稳定且平均成绩较高C ．甲成绩稳定，乙平均成绩较高D ．乙成绩稳定，甲平均成绩较高9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β10.如图，设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A.25 B ．－25C.55D ．－5511．被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已拆除．围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到下表：附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋dA ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”B ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关” 12．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63二、填空题13．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为________．14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00～8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________． 15．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________．16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题17．(2016·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12 (a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．18．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b . (1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．19.(2016·辽宁朝阳三校协作体联考)如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，PD ＝6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P —EAD 的体积．20．(2016·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)，若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列． (1)求实数λ；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑ni ＝11a i ，求证：S n<32.21.已知函数f(x)＝1－x1＋x2e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2<0.22．(2016·云南腾冲第一次联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率e＝63，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2为椭圆的左，右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．答案精析1． A [A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }＝{x |0≤x ≤2}，所以∁U B ＝{x |x <0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－2≤x <0}，故选A.] 2．C [由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，根据复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以复数a ＋b i ＝2－i ，故其模为22＋（－1）2＝ 5.] 3．D [函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]的定义域是(－1,1)且是偶函数，命题p 1为真命题； 函数y ＝ln1－x1＋x的定义域是(－1,1)且是奇函数，命题p 2是真命题． 故命题p 1∧p 2、p 1∨(綈p 2)、p 1∨p 2均为真命题，只有命题p 1∧(綈p 2)为假命题．] 4．C [画出满足约束条约的平面区域，如图所示：由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，显然直线y ＝－2x ＋z 过(0,2)时，z 最小，最小值为2，无最大值．故选C.]5．D [将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π4的图象，此图象关于直线x ＝π2对称，故2×π2－2φ＋π4＝π2＋k π (k ∈Z )，解得φ＝3π8－k π2(k ∈Z )，又φ>0，故φmin ＝3π8，故选D.] 6．C [因为a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，则0<n ＝2k －2≤2 016，即2<2k ≤2 018，解得1<k ≤10，故所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22（1－29）1－2－18＝211－22＝2 026，故选C.]7．D [由(x ＋1)(x －3)≤0，解得－1≤x ≤3，在[－2,3]上随机取一个数是等可能的，所以符合几何概型的条件，所以所求事件的概率P ＝3－（－1）3－（－2）＝45，故选D.]8．D [由题意得，x 甲＝2×80＋5×90＋157＝6257，x 乙＝3×80＋4×90＋237＝6237＝89，显然x 甲>x 乙，且从茎叶图来看，甲的成绩比乙的成绩离散程度大，说明乙的成绩较稳定，故选D.]9．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．]10．D [等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的两条渐近线方程为y ＝±x ，所以M (－a ，－a )，N (a ，a )，则|AN |2＝(a ＋a )2＋a 2＝5a 2，|AM |2＝a 2，|MN |2＝8a 2，则cos ∠MAN ＝5a 2＋a 2－8a 225a 2＝－55.]11．A [因为K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）≈3.030>2.706，所以有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”．]12．B [由程序框图可知；①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.] 13．4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， 可得－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，又因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，所以－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ，所以有f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为12×2×4＝4.14.78解析 设牛奶送达的时间为x ，我离开家的时间为y ，则样本空间Ω＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，在离开家前能得到牛奶的事件A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，y ≥x ，作图如下，可得所求概率P ＝1－12×12×121×1＝78.15.12解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4 m 2＋n 2＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 16．②解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数．又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－12ln 2>0，所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6， ∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π2，a >0， ∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π6＝0， 则4x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此x 0＝5π24或x 0＝11π24.当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π24，π3和⎣⎡⎦⎤7π12，17π24； 当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎤7π12，5π6. 18．解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b 包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． (1)∵直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，∴5a 2＋b2＝1， 整理得a 2＋b 2＝25. 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a ＝3，b ＝4或a ＝4，b ＝3两种情况． ∴直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118.(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形， ∴当a ＝1时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝2时，b ＝5，共1个基本事件； 当a ＝3时，b ＝3,5，共2个基本事件； 当a ＝4时，b ＝4,5，共2个基本事件； 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件； 当a ＝6时，b ＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个． ∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.19．(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD .又∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .(2)解 ∵PD ∥平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD ＝OE ，PD ⊂平面PBD ，∴PD ∥OE .∵O 是BD 的中点，∴E 是PB 的中点．取AD 的中点H ，连接BH ，如图所示．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴BH ⊥AD .又∵BH ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ，∴BH ⊥平面P AD .又BH ＝32AB ＝3，∴V P —EAD ＝V E —P AD ＝12V B —P AD ＝12×13×S △P AD ×BH ＝16×12×2×6×3＝22. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∵a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝－103，λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3. (2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时， a n －13a n －1＝3n －1，① n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝13n －1.② 由①②可得a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n (n ≥2)， 当n ＝1时，也符合．∴a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *. (3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13n －1，∴a n >3a n －1， ∴1a n <13·1a n －1(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1 ＝1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n －13a n <1a 1＋13S n . ∴S n <32. 21．(1)解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [（x －1）2＋2]（1＋x 2）2e x . 当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明 当x <1时，由于1－x 1＋x 2>0，e x >0，故f (x )>0； 同理，当x >1时，f (x )<0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )，即证1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2e －x . 此不等式等价于(1－x )e x －1＋x e x <0. 令g (x )＝(1－x )e x －1＋x e x ， 则g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)． 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0.即(1－x )e x －1＋x e x <0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)<f (－x 2)，从而f (x 1)<f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.22．解 (1)直线AB 的方程为x a ＋y －b＝1， 即bx －ay －ab ＝0.原点到直线AB 的距离为ab a 2＋b2＝32， 即3a 2＋3b 2＝4a 2b 2.①e ＝c a ＝63⇒c 2＝23a 2.② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③可得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2.故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 当直线PQ 斜率不存在时，易得r ＝23. 由于直线PQ 的斜率不为0，故设其方程为x ＝ky ＋2，联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋2，x 23＋y 2＝1⇒(k 2＋3)y 2＋22ky －1＝0， 故⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－22k k 2＋3，y 1y 2＝－1k 2＋3， ④而1F PQ S ∆＝1212F F P F F Q S S ∆∆+＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2，⑤ 将④代入⑤，得1F PQ S ∆＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k k 2＋32＋4k 2＋3＝26k 2＋1k 2＋3.又S △F 1PQ ＝12(|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |)·r ＝2a ·r ＝23r ，所以26k 2＋1k 2＋3＝23r ， 故r ＝2k 2＋1k 2＋3＝2k 2＋1＋2k 2＋1≤12，当且仅当k 2＋1＝2k 2＋1，即k ＝±1时，取得“＝”． 故△PQF 1的内切圆半径r 的最大值为12.。
高中第二册(下A)数学相互独立事件同时发生的概率 练习与解析3
相互独立事件同时发生的概率 练习与解析31.有一批蚕豆种子，如果每1粒发芽的概率为0.9，播下15粒种子，那么恰有14粒种子发芽的概率是（ ）A.1－0.914B.0.914C.C 1415（0.9）（1－0.9）14D.C 14150.914（1－0.9）解析：记“播种1粒蚕豆发芽”为事件A ，播下15粒相当于15次独立重复试验，根据n次独立重复试验中事件发生k 次的概率公式得P 15（14）=C 14150.914（1－0.9），故选D. 答案：D2.在4次独立实验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为8165，则事件A 在1次实验中出现的概率为（ ）A.31B.52C.65D.以上全不对解析：设事件A 在1次实验中出现的概率为P ，∵事件A 全不发生为事件A 至少发生1次的对立事件，∴P （A ）=1－P （A ）=1－（1－P ）4=8165， 即（1－P ）4=8116. ∴1－P =32，即P =31.答案：A3.将1个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是______.解析：根据n 次独立重复试验中，事件恰好发生k 次的概率公式得P 5（5）=C 55·（21）5（1－21）5－5=321. 答案：3214.1种新型药品，给1个病人服用后治愈的概率是95%，则服用这种新型药品的4位病人中，至少有3人被治愈的概率是______.解析：4位病人中至少有3人被治愈的概率为P =P 4（3）+P 4（4）=C 340.953×0.05+C 440.954×0.050≈0.99. 答案：0.995.有3条自来水管道向某地区供水，每条管道正常供水的概率都是0.8，只要有一条不出故障就能保证该地区正常供水，则该地区正常供水的概率是_______.解析：正常供水相当于“恰有1个正常”或“恰有2个正常”或“恰有3个正常”，这三个事件互斥.故P =P 1+P 2+P 3=P 3（1）+P 3（2）+P 3（3）=1－P 3（0）=0.992. 答案：0.9926.某人参加一次考试，若五道题中解对四道，则为及格.已知他的解题正确率为53，试求他能及格的概率.（结果保留四个有效数字）解：“解对五题”与“解对四题”两者是互斥事件，设及格的概率为P ，则P =P 5（5）+P 5（4）=C 55（53）5+C 45（53）4（1－53）=31251053≈0.3370.。
高中第二册(下A)数学相互独立事件同时发生的概率 练习与解析2
相互独立事件同时发生的概率 练习与解析21.某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）A.ab －a －b+1B.1－a －bC.1－abD.1－2ab 解析：设“第1道工序出废品”为事件A ，“第2道工序出废品”为事件B . ∵事件A 、B 对立且P （A ）=a ，P （B ）=b ，∴“经过2道工序出正品”是“经过2道工序出废品”事件的对立事件.∴P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=［1－P （A ）］［1－P （B ）］ =（1－a ）（1－b ）=ab －a －b +1. 答案：A2.某型号的高射炮，每门发射1次击中飞机的概率为0.6，现有若干门同时独立地对来犯敌机各射击1次，要求击中敌机的概率为99%，那么至少配置这样的高射炮为（ ）A.5门B.6门C.7门D.8门 解析：设A 1表示“第1门炮射击1次命中”，A 2表示“第2门炮射击一次命中飞机”，…，A n 表示“第n 门炮射击1次命中”，则A 1，A 2，…，A n 相互独立.用A 表示“命中飞机这一事件”，∴P （A ）=1－P （A ）=1－P （A 1·A 2·A 3·…·A n ）=1－（1－0.6）n .∵P （A ）≥0.99，∴1－（1－0.6）n ≥0.99，由两边取对数可得n ≥5.02， ∴n 取6. 答案：B3.甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为108，乙答及格的概率为106，丙答及格的概率为107，3人各答1次，则3人中只有1人答及格的概率为（ ）A.203B.12542 C.25047D.以上全不对解析：设“甲答题及格”为事件A ，“乙答题及格”为事件B ，“丙答题及格”为事件C ，显然事件A 、B 、C 互相独立，设“3人各答1次，只有1人及格”为事件D ，则D 的可能情况为A C B 或A B C 或A B C （其中A 、B 、C 表示答题不及格）；又A C B 、A B C 、A B C 不能同时发生，故两两互斥.P （D ）=P （A C B ）+P （A B C ）+P （A B C ）=P （A ）P （B ）P （C ）+P （A ）P （B ）·P （C ）+P （A ）·P （B ）·P （ C ）=108×（1－106）（1－107）+（1－108）×106×（1－107）+（1－108）（1－106）×107=54×104×103+102×53×103+51×104×107=2250281848⨯++=25047. 答案：C4.甲、乙两战士向同一目标各射击一次.设A ={甲战士射中目标}，B ={乙战士射中目标}.试表示下列事件： （1）甲战士未射中，而乙战士射中； （2）甲乙两战士同时射中；（3）甲乙两战士中至少有一人射中； （4）甲乙两战士中恰有一人射中.答案：（1）A ·B ；（2）A ·B ；（3）A ·B +A ·B +AB ；（4）A ·B +A ·B .5.某人提出一个问题，规定由甲先答，答对的概率为0.4，若答对，则问题结束；若答错，则由乙接着答，但乙能否答对与甲的回答无关系，已知两人都答错的概率是0.2，求问题由乙答出的概率.解法一：设P （乙答错）=x ，则由题意，得P （甲答错且乙答错）=0.2，∴0.6x =0.2，∴x =31.∴P （由乙答出）=P （甲答错且乙答对）=0.6×23=0.4.解法二：P （由乙答出）=1－P （由甲答出）－P （两人都未答出）=1－0.4－0.2=0.4. 6.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率为多少？解：设A i （i =1，2，3，4）表示响第i 声被接，则P =P （A 1+A 1A 2+A 1 A 2 A 3+A 1 A 2·A 3A 4） =0.6598.。
2018版高中数学第二章随机变量及其分布课时作业12事件的相互独立性新人教A版选修2_3201806
课时作业12事件的相互独立性|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列事件中，A，B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．答案：A1 2 12．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，，现3人各投篮1次，则3人都没有投3 5 2进的概率为()1 2A. B.15 151 1C. D.5 101 2 1 1解析：甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为(1－3 )(1－5 )(1－2 )＝.5答案：C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()5 1A. B.12 27 3C. D.12 41 1 － 1 － 5解析：∵P(A)＝，P(B)＝，∴P(A)＝，P(B)＝.2 6 2 6又A，B为相互独立事件，－－－－ 1 5 5∴P(A B)＝P(A)P(B)＝×＝.2 6 12∴A，B中至少有一件发生的概率为－－ 5 71－P(A B)＝1－＝.12 12答案：C4．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为()A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954解析：依题意，三枚导弹命中目标相互独立，因此法一至少有两枚导弹命中目标的概率为P＝0.9×0.9×0.2＋0.9×0.1×0.8＋0.1×0.9×0.8＋0.9×0.9×0.8＝0.9×0.9×(0.2＋0.8)＋2×0.9×0.1×0.8＝0.954.1法二三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝2×0.9×0.1×0.2＋0.01＝0.046.由对立事件的概率公式知，至少有两枚导弹命中目标的概率为P′＝1－P＝0.954.故选D.答案：D15．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为()23 3A. B.16 413 1C. D.16 4解析：记A、B、C、D这4个开关闭合分别为事件A、B、C、D，－又记A与B至少有一个不闭合为事件E，－－－－－ 3则P(E)＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝，4则灯亮的概率为－－－－－－ 3 13P＝1－P(E C D)＝1－P(E)P(C)P(D)＝1－＝.16 16答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则3人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.答案：0.240.967．大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩，他们的导师根据他们的论文质量估计他们都1 1能过关的概率为，甲过而乙没过的概率为(导师不参与自己学生的论文答辩)，则导师估计乙2 4能过关的概率为________．解析：设导师估计甲、乙能过关的概率分别为p，q，则Error!3 2解得p＝，q＝.4 32所以导师估计乙能过关的概率为.32答案：38．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为1－p，则A 与B同时发生的概率的最大值为________．1 解析：事件A与B同时发生的概率为p(1－p)＝p－p2(p∈[0,1])，当p＝时，最大值为21.41答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．一个袋子中有4个小球，其中两个白球，两个红球，讨论下列A，B事件的相互独立性2与互斥性．(1)A：取一个球为红球，B：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取两个球，A：取出的两球为一白球一红球；B：取出的两球中至少有一个白球．解析：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生互不影响，因此A与B相互独立，A，B能同时发生，不是互斥事件．(2)设两个白球为a，b，两个红球为1,2，则从袋中取两个球的所有取法为{a，b}，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，4 25 2则P(A)＝＝，P(B)＝，P(AB)＝，6 3 6 3∵P(AB)≠P(A)·P(B)，∴事件A，B不是相互独立事件，事件A，B能同时发生．∴A，B不是互斥事件．10．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率；(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解析：设A i＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.－－(1)第3次才接通电话可表示为A1 A2A3，－－9 8 1 1 于是所求概率为P(A1 A2A3)＝××＝.10 9 8 10－－－(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A1A2＋A1 A2A3，－－－于是所求概率为P(A1＋A1A2＋A1 A2A3)－－－＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)1 9 1 9 8 1 3＝＋×＋××＝.10 10 9 10 9 8 10|能力提升|(20分钟，40分)11．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()4 2A. B.9 92 1C. D.3 34 2解析：“左边转盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边转盘指针落在6 32奇数区域”记为事件B，则P(B)＝，事件A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的32 2 4概率为×＝，故选A.3 3 9答案：A112．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发9 生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是________．3－－ 1 －－解析：由题意P(A)·P(B)＝，P(A)·P(B)＝P(A)·P(B)．9设P(A)＝x，P(B)＝y，则Error!即Error!1所以x2－2x＋1＝，91 1所以x－1＝－或x－1＝(舍去)，3 32所以x＝.32答案：313．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解析：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，记C表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，记D表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．－－－－－－－－(1)易知C＝A B∪A B，则P(C)＝P(A B∪A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.－－－－－－－－(2)易知D＝A B，则P(D)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，－故P(D)＝1－P(D)＝0.8.2 314．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相3 4 互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率．解析：(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，依题意知事件A和事件B相互独立，2 3 1因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.3 4 2(2)记事件A i表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，－－－－则C＝A1A2A3 A4∪A1A2A3A4，且A1A2A3 A4与A1A2A3A4是互斥事件，由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，－所以A i与A j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．2由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，3－－故P(C)＝P(A1A2A3 A4∪A1A2A3A4)－－＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)2 1 1 2 16＝( )3×＋×( )3＝.3 3 3 3 814。
人教A版相互独立事件发生的概率(条件概率
AB
⑷甲乙两战士至少有一人射中；
AB AB AB A B A B
例2甲乙两名篮球运动员分别进行一 次投篮，如果两人投中的概率都是 0.6，计算：
⑴两人投中的概率； ⑵其中恰有一人投中的概率；
⑶至少有一人投中的概率。
例3在一段线路中并联三个独立自动控
判断下列事件A和B是否相互独立?
1.一个口袋内装有4个白球和3个黑球,从中陆续取出两个 球。用A1表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的 球放回袋中，用B1表示事件“第二次取出的是白球”
相互独立
2.一个口袋内装有4个白球和3个黑球,从中陆续取出两个 球。用A2表示事件“第一次取出的是白球”，取出的球 不放回袋中，用B2表示事件“第二次取出的是白球”
不相互独立
3.甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2 个黑球．事件A是指“从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”, 事件B是指“从乙坛子里摸出1个球,得到黑球”.
相互独立
2.独立事件同时发生的概率
P(A.B)=P(A).P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时 发生的概率，等于每个事件发生的概率 的积． P A B P B / A P B P A 一般地，如果事件A1,A2,A3……An 相互独立，那么这n个事件同时发生的概 率等于每个事件发生的概率的积，即：
CC
1 3 1 5
1 2 1 4
5 4
10
P A B 1 P B / A P A 2
P B
事件的独立性
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，有放回的取两次，求在 已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取 到红皮蛋的概率是多少？ 1 1 C3C4 3 设A=“第一次取到红皮蛋” P A 1 1
2018版高中数学随机变量及其分布课时作业11事件的相互独立性新人教A版
课时作业 11 条件概率)＝0.4，P AB P A P B P A ＝0.40.8答案：B2．从1,2,3,4,5个数之和为偶数”，事件＝“取到的1P AB P A ＝14．抛掷一枚骰子两次，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是( )P AB P A ＝6答案：4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件点不相同”，n AB n B ＝612．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现点”为事件A ，“两枚骰子的点数不同”为事件n AB n B ＝1030，则P (A |B )＝P AB P B(A )＝C 9＝84n AB n A ＝684．从一副不含大、小王的次也抽到P AB P A ＝117每小题10轴上(0,1)P AB P A ＝41．一个盒子装有4每次任取一只，设事件等品”，试求条件概率P AB P A ＝23将产品编号.1,2,3号产品，则试验的样本空间为(3,2)，(3,4){(1,2)，(1,3)，n AB n A ＝69|(20分钟，40(AB )P B P A是可能的)<1|A )＝P AB P A，而，∴A 错．P AB )＝P (B )P AB P A ＝P B P A，∴B )≤1，P (A |A )＝1，∴C，P AB P A ＝36112个相同的小正方形，个正方形区域的事件记为B ，求P (AB )区域的面积”，用μ(B )表示事件“区域的面积”，μ(Ω表示事件“大正方形区域的面积”，由题意可知P (AB )＝μAB μΩ＝19μB Ω＝49P AB P B ＝14．某个班级有学生全班分成四个小组，第一小组有学人，其中共青团员人．现在要在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一组内的概率．40名学生看成n AB n A ＝410故这个团员代表恰好在第一组内的概率为。
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3检测：第二章2.2-2.2.2事件的相互独立性含解析
第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2。
2 事件的相互独立性A级基础巩固一、选择题1．有以下三个问题:①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球",事件N：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M:“第1枚为正面"，事件N:“两枚结果相同”．这三个问题中，M，N是相互独立事件的有（)A．3个B．2个C．1个D．0个解析：①中,M，N是互斥事件；②中,P（M）＝错误!,P(N）＝错误!，即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P（M）＝错误!,P（N）＝错误!，P（MN）＝错误!,P(MN）＝P(M）·P(N)，因此M，N是相互独立事件．答案：C2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为（）A．1－a－b B．1－abC．(1－a)（1－b) D．1－(1－a)（1－b)解析：设A表示“第一道工序的产品为正品"，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P（A)P(B）＝（1－a）（1－b)．答案:C3．如图所示，在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（)A。
错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析:设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域"，则P（A)＝错误!,B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P(B)＝错误!。
故P（AB）＝P(A)·P（B）＝错误!×错误!＝错误!。
答案：A4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（)A。
高二数学 相互独立事件同时发生的概率同步练习 2
高二数学 相互独立事件同时发生的概率同步练习班级 学号 姓名［基础练习］1、甲乙两人各射击一次，他们击中目标的概率都是0.6，他们都击中目标的概率是（ ）A 、0.6B 、0.35C 、0.16D 、0.842、国庆期间，甲去某地的概率为31，乙和丙二人去此地的概率为41、51，假定他们三人的行动相互不受影响，这段时间至少有1人去此地旅游的概率为 （ ）A 、6059 B 、53 C 、121 D 、601 3、一道竞赛题，A 、B 、C 三人单独解出的概率依次为21、31、41，则三人独立解答仅有1 人解出的概率为 （ ）A 、241B 、2411C 、247 D 、1 4、一枚硬币连投8次恰好5次出现正面的概率为（ ）A 、C 58 ×0.58B 、0.55C 、0.58D 、C 58 ×0.555、某气象站预报天气的准确率是0.8，在两次预报中恰有一次准确的概率是（ ）A 、0.96B 、0.64C 、0.32D 、0.166、有一批种子，每颗发芽的概率为0.9，播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率是（ ）A 、1-0.914B 、0.914C 、C 14150.9（1-0.9）14 D 、C 14150.914（1-0.9）7、一学生通过外语听力测试的概率为32，他连续测试2次，一定通过的概率为（ ） A 、98 B 、94 C 、92 D 、31 8、生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多有一件次品的概率为（ ） A 、1-（98%）4 B 、（98%）4+（98%）3 ×2% C 、（98%）4 D 、（98%）4+ C 14（98%）3 ×2%9、两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，一飞行物能被发现的概率为 。
10、某企业正常用水的概率为43，在5天内至少有4天用水正常的概率为 。
11、将一枚硬币连掷5次，5次都出现正面的概率为 。
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测(十二) 事件的相互独立性 Wo
姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十二）事件的相互独立性层级一学业水平达标1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”,则A与B是( )A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件解析：选D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．2．若P（AB）＝错误!,P（错误!)＝错误!，P（B)＝错误!，则事件A与B的关系是( ) A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又独立解析：选C 因为P(错误!）＝错误!，所以P(A）＝错误!，又P（B）＝错误!，P（AB）＝错误!,所以有P(AB）＝P（A)P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是（)A．错误! B．错误!C．错误!D．错误!解析：选A 由题意知P甲＝错误!＝错误!，P乙＝错误!，所以P＝P甲·P乙＝错误!。
4．有一道数学难题,学生A解出的概率为错误!，学生B解出的概率为错误!，学生C解出的概率为错误!.若A，B，C三人独立去解答此题,则恰有一人解出的概率为( ）A．1 B．错误!C．错误!D．错误!解析：选C 一道数学难题,恰有一人解出，包括:①A解出，B，C解不出，概率为错误!×错误!×错误!＝错误!；②B解出,A，C解不出，概率为错误!×错误!×错误!＝错误!;③C解出，A，B解不出，概率为错误!×错误!×错误!＝错误!.所以恰有1人解出的概率为错误!＋错误!＋错误!＝错误!.5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为错误!,乙、丙去北京旅游的概率分别为错误!，错误!。
假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B 因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为错误!，错误!，错误!，所以他们不去北京旅游的概率分别为错误!，错误!,错误!，故至少有1人去北京旅游的概率为1－错误!×错误!×错误!＝错误!.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0。
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A 卷一、选择题1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A ．0.31B ．0.32C ．0.33D ．0.362．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，B 记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 之间的关系是( ) A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥 D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35B.34C.1225D.14254．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( ) A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq5．设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A ．[0，89]B ．[19，59]C ．[23，89]D ．[0，49]6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12B.35C.23D.347．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( ) A.49B.190C.45D.598．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )A.19B.16C.13D.718二、填空题9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．10．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝________；P (A B )＝________.11．甲、乙、丙三人参加某项测试能达标的概率分别为0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．12．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．答案解析1．B 2.A 3.D 4.A5．D [设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－x )·(1－y )＝19⇒1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy ，当且仅当x ＝y 时取“＝”，∴xy ≤23或xy ≥43(舍)，∴0≤xy ≤49.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈[0，49]．]6．D [由于甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．根据两队每局中胜出的概率为12，则可知甲队获得冠军的概率为12×12＋12＝34，故选D.]7．B [设体型合格为事件A ，视力合格为事件B ，其他几项合格为事件C ， 依题意P (A )＝13，P (B )＝16，P (C )＝15.∴所求概率为P (ABC ) ＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝13×16×15＝190.] 8．D 9.35解析 设该队员每次罚球的命中率为P ， 则1－P 2＝1625，P 2＝925.又0＜P ＜1，所以P ＝35.10.16 16解析 P (A )＝12，∴P (A )＝12，P (B )＝1－P (B )＝13.∵A 、B 相互独立，∴A 与B ，A 与B 也相互独立， ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝16，∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝16.11．0.24 0.96解析 利用独立事件的概率公式可知，三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24，三人都没有达标的概率为0.2×0.4×0.5＝0.04，则由对立事件的概率公式可知，三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96. 12.25解析 由题意知，两个人都不去此地的概率是⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－15＝35， ∴至少有一个人去此地的概率是1－35＝25.B 卷一、选择题1．下列表达式中是离散型随机变量X 的分布列的是( ) A ．P (X ＝i )＝0.1，i ＝0,1,2,3,4 B ．P (X ＝i )＝i 2＋550，i ＝1,2,3,4,5C ．P (X ＝i )＝i10，i ＝1,2,3,4,5D ．P (X ＝i )＝0.2，i ＝1,2,3,4,52．(2016·长春模拟)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2＜X ≤4)等于( ) A.910B.710C.35D.123．(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的均值E (X )等于( ) A ．2B ．2或12C.12D ．14．(2016·重庆双桥模拟)已知X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)和D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.65．(2016·北京海淀区3月模拟)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－86．(2016·烟台模拟)某次国际象棋比赛规定，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知该队员比赛一局得分的均值为1，则ab 的最大值为( ) A.13B.12C.18D.167．(2016·乌鲁木齐二诊)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，设放对的个数为ξ，则ξ的均值为( ) A.12B.23C ．1D ．28．在某公司举办的某次春游活动中，员工之间举行了一次猜谜游戏，已知共有A ，B 两类谜语供员工竞猜，其中A 类谜语共8个，猜对1个可得2元奖金，B 类谜语共2个，猜对1个可得5元奖金，猜不对均无奖金．游戏规定：每次竞猜时，先从这10个谜语中随机选出3个，再进行猜谜，所得奖金为3次猜谜的奖金之和．已知某员工能够完全猜对A 类谜语，而猜对B 类谜语的概率为12，则该员工竞猜一次获得的奖金数额的均值是( )A.315B.345C.375D.6310二、填空题9．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P (12<X <52)＝________.10．设随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝3，p ＝17，则n ＝________，D (X )＝________.11．(2016·嘉兴高三上学期基础测试)已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________；随机变量ξ的均值是________．12．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取到正品时所需次数X 的分布列为P (X ＝k )＝________.答案解析1．D 2.B 3.C4．B [由X ＋η＝8，知η＝8－X .因此，E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.]5．C [∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10.]6．C [由题意可知，2×a ＋1×b ＋0×c ＝1， 即2a ＋b ＝1，所以ab ＝12(2a )·b ≤12·(2a ＋b 2)2＝18，当且仅当2a ＝b ＝12，即a ＝14，b ＝12时取等号．]7．C [将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法， 放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，故选C.]8．D [设该员工竞猜一次获得的奖金数额为ξ， 由题意可知，当选出的3个谜语均为A 类谜语时，ξ＝6；当选出的3个谜语中有2个A 类谜语，1个B 类谜语时，ξ＝4或9； 当选出的3个谜语中有1个A 类谜语，2个B 类谜语时， ξ＝2或7或12.所以P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715，P (ξ＝4)＝C 28C 12C 310×(1－12)＝730，P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310×12＝730，P (ξ＝2)＝C 18C 22C 310×(1－12)2＝160，P (ξ＝7)＝C 18C 22C 310×C 12×12×(1－12) ＝130，C 10260故E (ξ)＝6×715＋4×730＋9×730＋2×160＋7×130＋12×160＝6310.]9.56解析 由题意可知，P (X ＝n )＝a n (n ＋1)＝a (1n －1n ＋1)，又因为∑i ＝1nP i ＝1，所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1， 即a (1－15)＝1，解得a ＝54，所以P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×(1－12)＋54×(12－13) ＝56. 10．21187解析 ∵E (X )＝np ＝3，p ＝17，∴n ＝21，并且D (X )＝np (1－p )＝21×17×(1－17)＝187.11.351 解析 ξ＝1的概率是C 12C 24C 36＝35，ξ＝0的概率是C 34C 36＝15，ξ＝2的概率是C 22C 14C 36＝15，则随机变量ξ的均值是1×35＋0×15＋2×15＝1.12．(310)k －1710，k ＝1,2,3，…解析 由于每次取出的产品仍放回，每次取时完全相同， 所以X 的可能取值是1,2，…，k ，…， 相应的取值概率为 P (X ＝1)＝710，1010100P (X ＝3)＝310×310×710＝631000，…，P (X ＝k )＝(310)k －1710.。