转动参照系
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法全球坐标系中速度与加速度的转动参考系是一种求解物体在三维空间中运动轨迹的几何方法。
具体而言，首先将物体处在全球坐标系(GCS)内，然后将物体相对于GCS连续旋转一定角度所产生的新参考系称为转动参考系(R)，再将物体在R中的速度(V)与加速度(A)从R转换到GCS的运算模型即为所求转动参考系求法。
首先，通过计算可以求出物体在R中的速度和加速度，分别用v_r和a_r表示：v_r=(v^r_x,v^r_y,v^r_z)a_r=(a^r_x,a^r_y,a^r_z)其中v^r_x=v_x·cosα+v_y·sinαv^r_y=-v_x·sinα+v_y·cosαv^r_z=v_za^r_x=a_x·cosα+a_y·sinαa^r_y=-a_x·sinα+a_y·cosαa^r_z=a_z其中α为物体从GCS轨迹向R坐标系引入时需要旋转的角度。
接着，可以用下面的公式从R参考系转换至GCS：v_x=v^r_x·cosα-v^r_y·sinαv_y=v^r_x·sinα+v^r_y·cosαv_z=v^r_za_x=a^r_x·cosα-a^r_y·sinαa_y=a^r_x·sinα+a^r_y·cosαa_z=a^r_z最后，我们可以得到物体在GCS中的速度和加速度，分别用v_x，v_y，v_z表示：v:(v_x,v_y,v_z)a:(a_x,a_y,a_z)通过以上步骤，我们就可以用全球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法来解决物体在三维空间中运动轨迹问题。
此法可有效求解物体在GCS中的三维运动轨迹，且操作简单、效率高。
匀速转动的参考系中电磁场的变换公式
英文回答：In the context of a uniformly rotating system, the electric and magnetic fields undergo precise transformations with respect to their reference frame. The conversion of the electric field E' from the stationary laboratory frame to the rotating frame is determined by the equation E' = E + (v x B). Here, E' represents the electric field within the rotating frame, E denotes the electric field in the laboratory frame, v stands for the velocity of the rotating frame, and B signifies the magnetic field in the laboratory frame. This equation serves to illustrate the impact of the frame's motion and the magnetic field in the laboratory frame on the electric field within the rotating frame.在一个统一旋转的系统中，电场和磁场的参照框架有精确的转换。
电场E'从固定实验室帧转换为旋转帧由等式E'=E + （v x B）决定。
这里 E'代表旋转帧内的电场，E表示实验室帧内的电场，v代表旋转帧的速度，而B表示实验室帧内的磁场。
转动参考系
第四章转动参照系本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度1、v和a的计算公式速度：（为牵连速度）加速度：其中，牵连加速度a l为：（转动加速度+向心加速度）科里奥利加速度：2、科里奥利加速度a c①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）解：（1）相对动系（直角三角形）的速度v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）A点的牵连速度（方向垂直）由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速牵连加速度，大小，方向沿科氏加速度注意到，所以其大小方向与AB边垂直（见图4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角第二节空间转动参照系本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
理论力学课件：第四章_转动参照系
为r 的圆柱上作纯滚动，圆管中心的速度 v0 u 。试求小球在图示
位置时的绝对速度和绝对加速度
解：运动分析： 小球相对圆管运动：圆周运动
C
o1h
u
j
牵连运动：平面平行运动（纯滚动）
v小tv球的uv绝j0 对u速i度：3vrorMj
v' vt
3r
ui 2uj
u
u 3r
ho
3
r
v0
2
11
x a (e t e t ) ach( t)
2 管对小球的约束反作用力为：
R
y
mg
Rz
2m
x
2m 2
a (e t 2
e t )
2ma 2sh( t)
②选用惯性参照系，建立柱坐标系，小球受力分析如 图所示，运动微分方程为：
m(r
m(r
r2 ) 2r)
Fr R
0
mz Rz mg 0
Res Re
1 365
2
1 105 4
0.2
aces esv 1 0.003 ace ev 365
13
Ft mR02 cos
mg F Ft
F sin mg sin( )
Ft sin mg sin
mg(sin cos cos sin )
F mg cos Ft cos
Ft mx1A ma2 sin t
l g sin a2 cos sin t x l sin l , cos 1
OA
x
F
x1
M
y Ft mg
y1
x g x a2 sin t
l
若考虑空气阻力：
x 2 x e2x a2 sint
惯性力与转动参考系的运动规律
惯性力与转动参考系的运动规律在物理学中，惯性力与转动参考系是两个重要的概念，它们在研究物体的运动过程中起到了关键的作用。
本文将探讨惯性力与转动参考系的运动规律，并从动力学的角度进行解释。
惯性力是指一个非惯性参考系下，为了使牛顿的运动定律成立而引入的一种虚拟的力。
在一个非惯性参考系中，物体的运动并不服从牛顿的运动定律，因为惯性力的存在导致物体表现出与物理规律不符的行为。
一个常见的例子是在转动参考系中观察一个转盘上的小球。
对于一个静止的小球来说，在地面参考系下不受力，符合牛顿的运动定律。
但是，如果我们将地面参考系转换为与转盘同样的转动参考系，小球会出现一种假想的向外离心的力，这就是惯性力的作用。
那么，惯性力的物理原理是什么呢？惯性力的产生是因为我们选择了一个以加速度运动的非惯性参考系。
在转动参考系中，物体与转盘之间存在着摩擦力，这个摩擦力产生了一个向内的加速度。
根据牛顿第二定律，物体在非惯性参考系中会受到一个相等大小，方向相反的力，即惯性力。
具体来说，惯性力的大小与物体的质量、转动参考系的角速度以及距离转动中心的距离有关。
当物体距离转动中心较远时，惯性力的大小较大；而当物体质量较大或者角速度较大时，也可以导致惯性力的增大。
在转动参考系中观察物体的运动规律也具有一些特殊性。
由于惯性力的存在，物体在转动参考系中遵循与地面参考系不同的运动规律。
举个例子，在地面参考系中，我们发现两个物体相互作用力相等，反作用力相反。
但是在转动参考系中，由于惯性力的作用，两个物体之间并不一定满足这个条件。
此外，在转动参考系中，物体的加速度也不是与机械力成正比的关系，而是与惯性力成正比。
也就是说，加速度与机械力和惯性力之间存在一种复杂的关系。
总结一下，惯性力与转动参考系的运动规律是一个相对复杂的问题。
在非惯性参考系中，物体的运动并不遵循牛顿的运动定律，而是受到一个虚拟的惯性力的影响。
这个惯性力是由于我们选择了一个以加速度运动的参考系所产生的。
转动参考系
b．轨道磨损和河岸冲刷 当物体在地面运动时, 在北半球 (sin＞0) 科里奥利 力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭. 而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者 冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题 假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
如果质点固定在转动系中, v ' 0, 故a ' 0, ac 0, 则
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我 们通常把这种平衡叫做相对平衡.
相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
相对速度 v '发生改变, 而相对运动 ( 即 v ' ) 又同时使 r r 牵连速度 中的 发生改变 , 即科里奥利加速度 2 v '是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的. 其方向垂直于 及 v '所决定的平面并且依右手螺
2 ma ' F m R 2m v '
R 表示质点到转动轴的距离矢量.
a0 , 则 O的加速度为
如果转动系的原点O′不和静止系原点O重合, 且O′对
高中物理转动参照系
高中物理转动参照系物体有相对运动，参考系之间也有相对运动。
参考系S ′相对参考系S 的相对运动可分解为以O ′为代表的平动和S ′系绕O ′的转动。
在时刻t ，参考系S ′绕O ′的转动角速度ω设有一任意矢量A ，在S 系中的分量表示式为k A j A i A A z y x ++=，在S ′系中的分量表示式为kA j A i A A z y x ''+''+''='。
在S 系中A 对时间的变化率为k dtdA j dtdA i dtdA dtA d z y x S ++=)(，在S ′系中A '对时间的变化率为k dtA d j dtA d i dtA d dtA d z y x S ''+''+''='')(。
如何建立起S 系中A 对时间的变化率与S ′系中A '对时间的变化率的关系呢？答案是从S 系中求A '对时间的变化率。
此处要注意对S 系来说A '不但坐标变其方向基矢也同样变。
所以有dtk d A dt j d A dt i d A k dt A d j dt A d i dt A d dt A d zy X z yx S ''+''+''+''+''+''='）（，又有i dt i d '⨯='ω，j dt j d '⨯='ω，k dtk d '⨯='ω。
所以有A dtA d dtA d dtA d S S S '⨯+'='='ω)()(）（ ① ①式的含义是：有S 、S ′两个参考系，且S ′相对于S 转动的角速度为ω，则在S 系中描绘出的矢量A 在S 系中对时间的变化率等于在S ′系中描绘出的矢量A ′在S 系中对时间的变化率等于在S ′系中描绘出的矢量A ′在S ′系中对时间的变化率加上A '⨯ω。
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G ？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G ？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角ο40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dtd G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
转动参照系动力学与平动参照系动力学的研究
（2-2-1）式中的最后一项为牵连变化率。该式表明：绝对变化率为相
对变化率与牵连变化率的矢量和。
2.2.2 空间转动参照系中的速度和加速度
在（2-2-1）中分别令G=r和令G=v ，得到
（2-2-2）
（2-2-3）
其中： 为相对加速度 。 为牵连加速度 。
参考文献：
[1]周衍柏.《理论力学》第三版[M].北京：高等教育出版社，1979:14-17.
1.平动参照系下的运动
在有些情况下，参考系本身也在运动。最简单的情况，即参考系作平动。设有两个参考系S和S´，前者是静止不动的，后者相对于前者是作匀速直线运动。如果有两个观察者A和B,分别处于S和S´系中观察同一物体（质点）的运动，那么他们所观察到的结果，彼此有什么不同和联系呢？
要观察物体的运动，总得要进行测量，即测量空间距离和时间间隔，现在又发生了一个问题，那就是这两个观察者所观测到的空间距离和时间间隔，会不会因他们之间有这种相对运动而发生差异？ 根据伽利略和牛顿的假定，这两个观察者用事先校准好了的仪器（钟和尺）进行空间距离和时间间隔的测量所得到的结果，并不因他们间这种相对运动而有任何差异。但严格说来，这只有在低速情况下才是正确的。当物体速度高到和光速相近时，上述假定就不能成立。但在通常情况下，物体运动的速度远比光速小，故伽利略、牛顿的假定可以成立。一般就是讨论低速情况下，关于高速运动物体，则要用到爱因斯坦的相对论。
[2]蒋纯志.动力学中有关参考系的选择[J].湖南学院学报，
2005，4.（2）：16-18.
[3]苏艳丽，蒋其畅，吉选芒等.对转动参考系仲加速度的思考[J].长春师范学院报，2010，10.（5）：23-25.
[4]金子布.科里奥力和科里奥加速度[J].瀚海学刊，
平面转动参考系
第一节 平面转动参考系
设平面参考系 S′ 以角速度 ω 转动， 在平面参考系上建立坐标系 O-xy ， 原点与静止坐标系 S 原点 O 重合。 则转动矢量 ω = ωk 沿 z 轴方向。 设该平面参考系为一平板，P 为平板 上运动着的一点，则其位矢为
r = xi + yj ( 4.1.1)
2
这一项叫做科里奥利加速度，简称科氏加速度。是牵连运动 与相对运动相互影响所产生。方向垂直角速度和相对速度， 但角速度恒沿 k 方向，所以科氏加速度在 xy 平面内。
3
根据上述分析可以将加速度简写成
& a = a ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′
( 4 .1 .6 )
若令
& at = ω × r − ω 2 r a c = 2ω × v ′
考虑到 (4.1.2) 式，求 (4.1.1) 式对时间的微商后得质点 P 对 静止坐标系的速度
v= dj dk di dr & & & = xi + yj + z k + x + y + z dt dt dt dt & & = ( x − ωy ) i + ( y + ωx ) j
现在求 P 点对静止坐标系的加速度 dv & & & & a= = ( && − 2ωy − ω 2 x ) i + ( && + 2ωx − ω 2 y ) j − ωyi + ωxj x y dt 对 (4.1.5) 的讨论 相对加速度 向心加速度 切向加速度 另外还有
第4章 转动参考系
⎧ x = −4ω 2 y sin λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ y = 2 gtω cos λ − 4ω 2 y ⎨ ⎪ z = − g − 4ω 2 cos λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩
青岛科技大学数理学院
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14
§4.4 地球自转所产生的影响
一 惯性离心力
考虑地球自转时，可以认为其角速度是沿着地轴的一个恒 矢量，即 ω = 0. 因此，只需考虑惯性离心力和科里奥利力 即可；若质点相对于地球静止，则只需考虑惯性离心力 . 惯性离心力产生的影响： a) 重力与引力大小不相等（两极除外）. b) 重力与引力方向不一致（两极除外）. 注 惯性离心力所产生的影响一般都比较小，当研究 质点相对于地球的运动时，惯性离心力的效应只要用重 力来代替引力即可 .
a ωt x = ( e + e −ωt ) = achωt 2
管对小球的竖直反作用力和水平反作用力分别为
Ry = mg
a ωt −ωt Rz = 2mω x = 2mω ( e − e ) = 2maω 2shωt 2
2
惯性系
⎧m r − rθ 2 = Fr = 0 ⎪ ⎨ ⎪m rθ + 2rθ = Rθ ⎩
所以质点 P 的绝对加速度可简写为
dω ⎧ at = × r + ω (ω ⋅ r ) − ω 2 r ⎪ ⎪ dt ⎨ d *r ⎪a = 2ω × = 2ω × v′ c ⎪ dt ⎩
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a = a′ + at + ac
8
若 S ′系以匀角速度转动，则
第四章 转动参照系
式中 r ′ 为质点相对 o′ 的位矢。
P197例 秒后p P197例4.3 求t秒后p点的速度和加速 度 建立坐标系o 解：建立坐标系o-xyz
ω α R P v’ y
v v v v = v′ + vt v v v v vt = ω × r = −ωv′t sinαi v v v v ∴v = v′sinα j − v′cosαk −ωv′t sinαi
解 建 动 o− xy ： 立 系
v v dv′ a′ = =0 dt
x ω v’ ac
r v & ω ×r = 0 v 2r 2 −ω r = −ω xi v v v v v 2ω × v′ = 2ωk × v′i = 2ωv′j
r r r 2 a = −ω xi + 2ωv′j
•
4.2 空间转动参考系
任一矢量： 2. 任一矢量： G = G x i + G y j + G z k
dG y dG z dG dG x di dj dk = i+ j+ k + Gx + G y + Gz dt dt dt dt dt dt dt
由泊松公式：
di =ω ×i dt
dj =ω × j dt
dk = ω × k 代入上式得： dt
a= dv di dj & & & & = ( && − yω − yω )i + ( && + xω + xω ) j + ( x − yω ) + ( y + xω ) x & y & dt dt dt
& & & & = ( && − yω − xω 2 − 2 yω )i + ( && + xω − yω 2 + 2 xω ) j x y
质点在转动参照系的运动分析
质点在转动参照系的运动分析质点的运动参照系是自然界中重要的物理概念，在物理学和力学中有着广泛的应用。
根据它，我们可以描述物体的运动，以及运动状态的变化。
文章将介绍质点在转动参照系中的运动规律，以及它的实践操作。
一、质点在转动参照系运动的基本原理1、质点在参照系运动的定义在转动参照系中，“质点”是指物体上一点的状态。
当物体发生转动时，这一点也将随之运动，从而形成一条运动轨迹。
2、质点在参照系运动的性质质点在转动参照系中的运动，其特点是：在任何时刻，它的动量是恒定的，运动的速度和方向也在一定的范围内恒定。
二、质点在转动参照系的运动实践1、在参照系下的定义质点在转动参照系中的运动，需要确定其运动轨迹，即在任何时刻，质点的位置是什么。
通过确定参照系下的位置坐标，可以计算出质点在参照系下的速度及其方向。
2、速度、力和动量的关系质点在转动参照系中的运动，速度及其方向是恒定的，而力和动量也是相互关联的。
凡是施加于质点的外力，都将对其动量造成影响，从而使其实现转动运动。
三、质点在转动参照系中的实验1、直接测量计算质点在转动参照系中的运动轨迹，可以使用直接测量的方法。
使用恒定速度的转动参照系，实验人员可以每隔一定的时间或距离，记录质点的位置坐标，从而计算出质点的运动方向和速度。
2、通过物理模拟通过物理模拟，还可以自定义不同形状及加速度的转动参照系，观察并记录其在不同时刻的位置、速度和方向，从而得出不同参照系下质点的运动轨迹。
总结本文介绍了质点在转动参照系的运动分析。
在参照系下，质点的运动轨迹可以通过直接测量或物理模拟两种方法得出。
根据质点在参照系中的性质，我们可以将其运动状态描述出来，并结合力学知识，分析其运动规律。
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
质点在转动参照系的运动分析
质点在转动参照系的运动分析质点在转动参照系中运动，是非常重要的力学问题，它是研究物体运动的基础。
质点在转动参照系中运动的研究，可以给出其运动的数量性质、轨迹、动量和力的等变量关系，从而实现动力学模型的建立和参数的估计。
一、质点在转动参照系中运动的数量性质质点在转动参照系中运动的数量性质，主要包括质点相对参照系的位置、速度和加速度。
(1)点相对参照系的位置：质点在参照系中的位置，可以确定为相对参照系的极坐标系统，即称为极坐标$(r,theta)$。
(2)点相对于参照系的速度：质点在参照系中的运动速度，可以确定为相对于参照系的分速度。
质点分速度可分解为极坐标中的径向分速度$v_r$和切向分速度$v_theta$。
(3)点相对于参照系的加速度：质点在参照系中的运动加速度，可以确定为相对于参照系的分加速度。
质点分加速度可以分解为极坐标中的径向分加速度$a_r$和切向分加速度$a_theta$。
二、质点在转动参照系中的运动轨迹质点在转动参照系中的运动轨迹，可以由质点与参照系之间的相对运动得出。
例如，若质点运动轨迹为直线，可以说明质点在参照系中的运动为绝对直线运动；若质点的运动轨迹为椭圆，则可以说明质点在参照系中的运动为绝对椭圆运动。
特别地，若质点在参照系中的运动是绝对圆周运动，可以把质点的圆周运动由极坐标表示，运动方程为$r=r_0$，其中$r_0$为质点位置与参照系原点间的距离，$theta$为参照系的角位移。
三、质点在转动参照系中的动量与力质点在转动参照系中的动量，可以由其位置、速度和加速度的等变量关系得出。
质点的动量可以表示为：$m_0boldsymbol{v_0} =m_0(boldsymbol{v_{0r}}+boldsymbol{v_{0theta}}) =m_0dot{theta}boldsymbol{e_theta}$其中，$m_0$为质点的质量，$boldsymbol{v_0}$为质点在参照系中的速度，$boldsymbol{v_{0r}}$为质点径向分速度，$boldsymbol{v_{0theta}}$为质点切向分速度，$boldsymbol{e_theta}$为极坐标系中的切向方向单位向量。
转动参考系加速度公式
转动参考系加速度公式
圆o上任一点在t时刻的弧坐标S(t)=Rωt=(2rcosωt)ωt(1) 该点的切向速度v(t)=S(t)'=2rω(tcosωt)'=2rω(cosωt-ωtsinωt)(2)
该点的切向加速度at=v(t)'=2rω(-ωsinωt-tω^2cosωt)(3) 该点的法（向心)向加速度an=v(t)^2/R=v(t)^2/(2rcosωt)(4) 合成加速度大小a=√(at^2+an^2)
由几何关系可见，P点的ωt=π/6代入（2）、（3）、（4）式P点的速度就是切向速度vp=2rω(√3)/2-π/12)
P点的切向加速度atp=2rω^2(1/2-√3π/12)
P点的法向（向心)向加速度anp=v(t)^2/R=(2rω(√3)/2-π
/12))^2/(√3r)
回复空迹破灭：是思路、方法错了，还是代入P点的值后数值错了，如果是后者，我还真是没底。
对前者你有什么看法，愿意和你讨论。
我看了你对其他回答的追问，如果我没审错题的话，这是一道刚体定轴转动的题没有动参考系，是刚体上特定的点的运动，不是点的复合运动，谈不上相对运动、牵连运动。
就是一个对静止坐标的绝对运动。
那个固定的圆，只是相当于确定P点在某时刻的位置的几何图形，对点的运动不起任何作用。
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例：一光滑直管中有一质量为 m 的 一光滑直管中有一质量为 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 初始条件： 初始条件：小球距转轴为 a, 球相对 于管子的速度为零。分析小球的运 于管子的速度为零。 动规律和受到的约束反作用力。 动规律和受到的约束反作用力。 z
y
ω
N F离 x
& x = Aωeωt − Bωe−ωt
[ 例 ]( 续)
& 初始条件： 当 t = 0 时，x = a, x = 0 初始条件：
A= B = a/ 2
a ω t −ω t 于是得到小球的运动规律： 于是得到小球的运动规律： x = (e + e ) 2 & Nz = −2mωx = −maω2 (eωt − e−ωt )
F科
v v v v & F = −2mω ×v' = 2mω x k 科 v v v v v && = mg + F + F + N mr C 科 离
m&& = mω2 x x m&& = 0 = Ny − mg y & m&& = 0 = 2mω x + Nz z
v v 2v 2 F = mω r = mω x i 离
特殊情况：定轴转动，恒定角速度
v dω ≡0 dt
M
三、 相对 平衡
v v v v v 2 ma' = F + mω R − 2mω × v'
三、相对平衡 质点相对于转动参照系静止不动的问题，
ω R
P
θ
O
v v 即 v' = 0, a' = 0 v v v v v v v v v v & × r − m(ω⋅ r )ω + mω2r − 2mω × v' = 0 ma' = F − mω
Ny = mg
依据题意选择合适的非惯性系； 解题步骤：依据题意选择合适的非惯性系； 建立适当的坐标系； 建立适当的坐标系； (轴沿某些已知力的方向或物体的对称轴 轴沿某些已知力的方向或物体的对称轴) 轴沿某些已知力的方向或物体的对称轴 寻找并标出所有的惯性力； 寻找并标出所有的惯性力； 写出各方向的动力学方程，然后求解。 写出各方向的动力学方程，然后求解。
v
惯性离心力的应用 (1) 宇航训练
(续) 离心 力的 应用
F离 = mω2r
航空、航天员训练 用的离心机。 空军：5倍自身体重 (持续 2-3秒) 航天：8倍自身体重 (持续40-50秒) 问题：为何需要那么长的悬臂？ 问题：为何需要那么长的悬臂？ 试计算：现有一离心机，转速最快为每周2秒。要使人 受到的离心力达到8倍体重，旋转臂需要多长？
其大小为： a = ωv' sin α ω2t2 + 4
v v v v v v v & × r − ω2R + 2ω × v' a = a'+ω
x
§4.3 非惯性系动力学(二)
一、平面转动参照系 在惯性系中：
ω
r
v′
§4.3 非惯 性系 动力 学 一、 平面 转动 参照 系
v v v v v v v v & × r −ω2r + 2ω × v' ) F = ma = m(a'+ω
ζ
z r P
ω
y
v v v v v = v' + ω× r
绝对速度 相对速度 牵连速度
O
ξ
η
x
二、绝对加速度与相对加速度
二、 绝对 加速 度与 相对 加速 度
v v v v 对绝对速度再求一次关于时间的导数。 v = v'+ω × r
v v d v v v v dv d v & & & a= = ( x i + y j + z k ) + (ω × r ) dt dt dt
v v v v v v d v & & + y v + z k) & &v ▲ & & & & ( x i + y j + z k ) = (&& i + && j + && k ) + (x i & j x y z dt v v v v v v v v v v & & & = a' + xω ×i + yω × j + zω × k = a' + ω × v'
将动力学方程在三个方向上投影： 将动力学方程在三个方向上投影：
(1) (2) (3)
Ny = mg & Nz = −2mω x
求解： 求解：(1) 式的解：x = Aeωt + Be−ωt
& x = Aωeωt − Bωe−ωt
x = Aeωt + Be−ωt
a = A+ B 0 = Aω − Bω
核武器的原料收集235U采用了同样的原理。
/eastday/mil/node3508/userobject1ai162139.html
------------------
[例]
mg [解] 在直管上建立随体坐标系(非惯性系)，受力分析 在直管上建立随体坐标系(非惯性系)
v v v v v v 2v & ma' = F − 2mω × v' + mω r − mω × r
方程右边，只有 F 是真实的力，其余三个都是惯性力。
◎ 科里奥利力：− 2mω ×v'
原因：由于参照系的转动且质点相对参照系的运动。
v v
◎ 惯性离心力： mω2r 与 ω2 和 r 成正比，方向为 r 方向。 (提高离心力的两个手段) v v & ◎ 转动惯性力：− mω × r 与角速度变化相关。
定轴匀速转动条件下 于是 在定轴匀速转动条件下， 绝对加速度与相对加速度的关系为： 绝对加速度与相对加速度的关系为：
θ
O
v v v v v 2 a = a' − ω R + 2ω × v'
对于 O，O′不重合的情况，在右边加上 O′ 相对于 O 的速度、加速度即可。
[例]
例题：质点从顶点出发，沿着圆锥的一条母线 质点从顶点出发， 质点从顶点出发 作匀速运动。 以速度 v′ 作匀速运动。此圆锥以角速度 ω 绕 其对称轴旋转。 秒后质点的加速度的量值。 其对称轴旋转。求 t 秒后质点的加速度的量值。 圆锥的半顶角为 α 。 [解] 如图建立一个转动坐标系。 根据定轴转动的绝对加速度公式，
二、空间转动参照系 出发点：惯性系与非惯性系中加速度的公式
二、 空间 转动 参照 系
v v v v v v v v v v & × r + (ω ⋅ r )ω − ω2r + 2ω × v' a = a' + ω
根据牛顿第二运动定律:
v v v v v v v v v v v & F = ma = m[a'+ω × r + (ω ⋅ r )ω −ω2r + 2ω × v' ]
第四章
转动参照系
非惯性系内的运动学描述 非惯性系中的动力学描述 地球自传引起的力学现象
§4.1 平面转动 参照系 一、速度、加速 度的一般表示
§4.1 平面转动参照系
一、速度、加速度的一般表示 一个平板绕O点在 O-ηζ 平面内转动, 对其上一点 P ： y
j
η
ω
P
i
x
在静系 看来：
v v v r = xi + y j v v v dr v & + y v+ y v & & v= = xi + x i & j j dt v v dv a= dt v v v r = xi + y j v v v v dr & & v' = = xi + y j dt
P
j i
x
ζ
v v v v v v v v & & v = v'+ω × r = xi + yj + ω × r
加速度：再将上式对时间求导 z v v v d v v v v v & & & (x i + y j ) = &&i + xω ×i + && j + yω × j x & y dt v v v v v v v v v & & & & = (& i + & j ) + (xω ×i + yω × j ) = a'+ω × v' x y d v v v v v v v v = 0, 因平面平行运动中 & (ω × r ) = ω × r + ω ×(v'+ω × r ) ω 始终与 r 垂直 dt v v v v v v v v v v v v v v v & & = ω × r + ω × v'+(ω ⋅ r )ω − (ω ⋅ ω)r = ω × r + ω × v'−ω2r
v v v v v v v v v v & × r − m(ω ⋅ r )ω + mω2r − 2mω × v' ma' = F − mω