利用定积分定义求和式极限问题的探讨
定积分的定义法求极限
定积分的定义法求极限：
用定积分定义求极限的方法如下：
分子齐（都是1次或0次），分母齐（都是2次），分母比分子多一次。
定积分定义求极限是1/n趋近于0，积分下限是0，n/n是1，积分上限是1。
“极限”是数学中的分支，微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
洛必达法则。
此法适用于解0/0型和8/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。
定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。
当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
考研数学：用定积分的定义求极限
f ( x)
在 区 间
[ a, b]
上 有 界 ， 在 ， 这 样
[ a, b]
内 任 意 插 入
n 1
个 分 点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就 被 分 为 了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。 我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分 的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限 基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 的 定 积 分 ， 记 令
称
f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 可 积 ， 该 极 限 称 之 为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。 例题:求 lim
定积分的几何意义
单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值.
第一节 定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似 求和 取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分 的历史和起源》一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
极 限可 以 通 过 定 积 分 的 定 义 来 计 算 。下 面 举 例 说 明 含 有 三 角 函 数 数 列 的 ｎ 之 和 的极 限 的求 法 。 项
例： 极 ，ｐｎｓ＋ ｓ ｎ 。 ５求 限ｉ （Ｉｎ －ｊ － ｍ ｓ＋ 一ｎ ） ｉ ｉ 十 ２
喜 』 …ａ ；。 忐 １扣 叫 ＝
例： 极 ［Ｉ＋ ＋击） ４求ｎ － 。 限 － ＋
分 析 ： 此 题 所 研 究 的 极 限 为 ｎ 和 的形 式 ，可 看 成 函数 项 ，ｘ＝ （ ）
解：
ｆ
、
限，也是无穷和式的极限，即 Ｉ （ ，
ｌ ｉ ｍ
） 。故对
积分 。
解：
ｎ＋ ｎＩ 。 － ２ － ｎ］ ｎ －
原式＝ｉ ） ＝ ｌ ｍｅ， ’ 』 ，
例３ 求极限 ｌ 一 ： ｉ （ ｍ ＋
分 析 ：此 题 所 研 究 的是 三 角 函数 的ｎ 和 的形 式 ，可 看 项 成 函 数 ｓ ｎ 在 区 间 ［， ］ 的 一 个 积 分 和 式 ，又 由 于 ｓｎ 是 ｉｘ ０ １上 ｉｘ
［， ］ ａ ｂ ，构 成 ｔ ， 的 形 式 ，则 可 化 为 定 积 分 去 求 值 。 Ｒ）
某 些 无 穷 和 式 的 极 限 ，只 要 能 将 此 和 式 写 成 某 个 函 数 在 某 个 区 间 上 的 积 分 和 的 形 式 ， 其 关 键 是 函 数 ｆＸ 和 区 间 （） ［， ］ ａｂ 的确 定 ，这 样 就 可 以利 用 定 积 分 求 此 极 限 。 下 面 就 通 过若干实例来进行说 明。 例１ ：求 极 限 １ （ ＋ － ．＋ ）。 ｉ ＋－ ｍ ２ ’
对于定积分概念求无穷和式极限的线上线下混合式教学内容的构建
㊀㊀㊀㊀㊀㊀对于定积分概念求无穷和式极限的线上线下混合式教学内容的构建对于定积分概念求无穷和式极限的线上线下混合式教学内容的构建Һ杜超雄㊀刘灿辉㊀（长沙师范学院数学科学学院，湖南㊀长沙㊀４１０１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ无穷和式极限是大学生学习高等数学时较难理解的一个基本且重要的知识点，其形式复杂，解法多样，学生不易掌握．本文结合实例给出了利用定积分求解无穷和式极限的常用方法并加以拓展．同时，考虑到教学课时数的限制，以 定积分概念求无穷和式极限 为例，本文还阐述了线上线下混合式教学内容的适度构建问题．ʌ关键词ɔ定积分定义；无穷和式；线上线下教学内容构建ʌ基金项目ɔ该研究受湖南省教改项目（项目编号：湘教通 ２０１９ ２９１号１１４４）资助和湖南省教育厅重点项目（１８Ａ５２５）资助大学本科理工类学生在学习高等数学时，往往觉得学习难度较大．究其原因，一方面可能是由于高等数学类课程的开设课时不足，教师在授课时无法像中学一样对教材上的概念和定理等深入讲解，以至于自学能力较差且已经对课堂教学形成一定依赖性的学生对部分知识的学习不深不透㊁一知半解；另一方面，可能由于部分大学数学教师对于课堂教学外学法的过多引入，导致学生学习知识的体系无法有效构建，从而使学习兴趣不断衰退．陈宝生部长在全国教育大会上提到 以本为本 ，大学教师更应以学生为中心，将教学时刻放在心上，以提高学生的水平和能力为己任．大学数学教师要激发学生的学习兴趣，对学生进行学法指导，第一，指导学生有效阅读教材和做好课外习题．第二，引导学生开展网络学习．第三，引导学生参阅好的课外参考资料以图从中吸取养分来作为课堂教学的有益补充．当下教育部门提倡教师开展课堂教学改革，构建网络课程，开展线上线下教学活动，这将有利于学生对于知识更好地掌握和消化乃至拓展．对于线上线下混合式教学的讨论，很多文献进行了论述．如王皓，林海燕认为线上教学有效突破了时间和空间的限制，能实现教学效果最大化．李建荣和章劲鸥分别对线上线下混合式教学和翻转课堂进行了探究．如何有效构建课堂教学外的网络教学知识体系是一个值得研究的问题．从很多网络课程所展示的内容来看，大部分课程看起来似乎很完整，每章每节的内容都全部展示出来，细细想来，这是课堂教学的重复还是代替学生做了一个完整的笔记？个人认为，网络学习的部分应该以巩固㊁提高㊁拓展知识㊁提高解决问题的能力和激发学生学习兴趣为目的．下面以教材为例来说明一下线上线下内容的构建，以供同行讨论．一㊁利用定积分概念求无穷和式的课堂教学内容在有限的教学时间内，课堂教学的内容一般以教材为范本．对于‘数学分析“教材中关于利用定积分的定义求无穷和式极限的课堂教学可以如下展开．第一步，先展示定积分定义． 利用定积分的定义求无穷和式极限 应该是在学习完定积分定义后讲述的，因此先展示一下定积分定义可以起到复习和巩固的作用，还可以为接下来的教学起到承前启后的作用，对于定义可以使用ＰＰＴ展示．定积分的定义：设ｆ（ｘ）是定义在［ａ，ｂ］上的一个函数，在闭区间［ａ，ｂ］内插入ｎ－１个点，依次为ａ＝ｘ０＜ｘ１＜ｘ２＜ ＜ｘｎ－１＜ｘｎ＝ｂ，将闭区间［ａ，ｂ］分成ｎ个小区间，记为Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１，ｉ＝１，２， ，ｎ，对于［ａ，ｂ］的任意一个分割Ｔ＝｛Δｘ１，Δｘ２， ，Δｘｎ｝，设λ＝ｍａｘ｛Δｘ１，Δｘ１， Δｘｎ｝，任取点ξｉɪ［ｘｉ－１，ｘｉ］，ｉ＝１，２， ，ｎ，并作和式ðｎｉ＝１ｆ（ξｉ）Δｘｉ．若ｌｉｍλң０ðｎｉ＝１ｆ（ξｉ）Δｘｉ＝Ｉ，则称ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，该极限值称为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的定积分，记为ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ．第二步，结合定积分定义讲解例题．教材上的例题如下：例１㊀计算：ｌｉｍｎңɕ１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋ ＋１２ｎ()．解㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋ ＋１２ｎ()＝ｌｉｍｎңɕ１ｎæèçç１１＋１ｎ＋１１＋２ｎ＋ ＋１１＋ｎｎöø÷÷，接着考虑ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ在［０，１］上的定积分，将［０，１］ｎ等分为０＜１ｎ＜２ｎ＜ ＜ｎｎ＝１，则Δｘｉ＝ｉｎ－ｉ－１ｎ＝１ｎ，λ＝１ｎң０⇒ｎңɕ，取ξｉ＝ｉｎɪ［ｘｉ－１，ｘｉ］即ｉ－１ｎ，ｉｎ[]()，则ｌｉｍｎңɕ１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋ ＋１２ｎ()＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ１１＋１ｎ＋１１＋２ｎ＋ ＋１１＋ｎｎæèççöø÷÷＝ʏ１０１１＋ｘｄｘ＝ｌｎ２．第三步，总结与反思．其一是总结一下如何构造定积分，被积函数怎么找；其二是反思为什么要这么找．这第三步往往是教学环节中最重要的，也是最吸引学生进一步探究兴趣的关键一环，但是课堂教学时间有限，很难很好地完成这一步．因此，不少教师在日常的教学中只是简单地总结与归纳，更不用说进一步拓展了．二㊁利用定积分概念求无穷和式的线上（或拓展）教学内容线上线下混合式教学的关键在于线上线下混合式教学管理目标是否可以达成，效果是否明显．这对教师完善教学㊀㊀㊀㊀㊀内容㊁提高教学水平起着积极的导向作用．教师要界定哪些内容适合线上的教学，哪些内容适合线下的教学．线上教学部分应能增加学生课前自主预习的时间㊁增加学生对知识的好奇心㊁求知欲，能吸引学生课后进一步对所学知识进行消化和巩固．线下教学部分应能通过师生面对面的形式在有限的课堂时间使学生充分掌握重难点知识，且对学生线上学习产生的疑问面对面解答，引导学生学习更多的专业知识，这从某种意义上讲是对于线上内容的构建提出的一些要求．就 利用定积分概念求无穷和式极限 而言，我们可以设计如下教学内容，线上教学内容的讲述可以录制视频．１．展示定积分定义为了很好地讲述 利用定积分概念求无穷和式极限 ，对定积分的定义的巩固与复习是十分必要的．２．利用定积分定义构造无穷和式利用定积分定义求无穷和式，不必先展示要求的习题，而是可以以某个函数的定积分入手构造无穷和式的极限问题，同时在此基础上结合其他知识点对求无穷和式的极限问题不断拓展．下面我们以ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ在［０，１］上的定积分为例来引导学生构造一系列的无穷和式问题，以激发学生探究问题的兴趣．例２㊀将［０，１］ｎ等分，请写出ʏ１０１１＋ｘｄｘ的定义表达式．解㊀将［０，１］ｎ等分，则Δｘｉ＝ｉｎ－ｉ－１ｎ＝１ｎ，λ＝１ｎң０⇒ｎңɕ，任意取ξｉɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，则ʏ１０１１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍλң０ðｎｉ＝１ｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｌｉｍｎңɕ１ｎðｎｉ＝１１１＋ξｉ．以例２为基础，从上面表达式的最右端入手可以让学生根据ξｉ的任意性来构造无穷和式，可以布置如下拓展性练习．练习１㊀根据ξｉ的任意性写出一些无穷和式．该练习是一种发散式练习，教师可以引导学生去完成，引导学生取ｉ－１ｎ，ｉｎ[]的左端点㊁右端点和介于左右端点之间的某一点．这样就产生了一些无穷和式的极限问题了，如：练习１．１㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎðｎｉ＝１１１＋ｉ－１ｎ＝ｌｉｍｎңɕ(１ｎ＋１ｎ＋１＋ ＋１２ｎ－１)．(ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ[]的左端点得到的极限式)练习１．２㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎðｎｉ＝１１１＋ｉｎ＝ｌｉｍｎңɕ(１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋ ＋１２ｎ)．(ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ[]的右端点得到的极限式)练习１．３㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎðｎｉ＝１１１＋ｉ－１ｎ＋１２ｎ()＝ｌｉｍｎңɕæèçç１ｎ＋１２＋１ｎ＋３２＋１ｎ＋５２＋ ＋１ｎ＋２ｎ－１２öø÷÷．(ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ[]的左右端点的中点得到的极限式)练习１．４㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎðｎｉ＝１１１＋ｉ－１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷＝ｌｉｍｎңɕæèçç１ｎ＋１ｎ＋１ｎ＋１＋１ｎ＋１ｎ＋２＋１ｎ＋ ＋１２ｎ－１＋１ｎöø÷÷．(ξｉ取ｉ－１ｎ＋１ｎ２ɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]得到的极限式)练习１．５㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎðｎｉ＝１１１＋ｉ－１ｎ＋１ｎｉ＋１æèçöø÷＝ｌｉｍｎңɕæèçç１ｎ＋１ｎ２＋１ｎ＋１＋１ｎ３＋１ｎ＋２＋１ｎ４＋ ＋１２ｎ－１＋１ｎｎ＋１öø÷÷．(ξｉ取ｉ－１ｎ＋１ｎｉ＋１ɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]得到的极限式)教师通过对定积分定义中ξｉ的任意性的系列练习的构造，激发了学生探究的兴趣．这类教学需要课外时间方可完成，因此适合于网上展示或者以兴趣小组辅导的形式展示．练习２㊀证明：对于任意的正整数ｎ，有１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋ ＋１２ｎ＜ｌｎ２．可以提示学生认识到左边当ｎ趋向于无穷时为例１中的积分，其值为ｌｎ２，而上式左边仅为其中一部分，还可以进一步利用上面的练习１．１－１．５构造相似的不等式．练习３㊀求极限ｌｉｍｎңɕ１ｎｎｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） （２ｎ－１）．分析该题为无穷乘积，教师要引导学生将无穷乘积转化为无穷和式，即取对数．开展高等数学线上线下混合式教学，学生的参与度与认可度会有较大提高，但是切不可随意构造线上内容，不可简单重复课堂教学内容．教师要有效构建网上学习和讨论的内容，并进行网络学习监测与学习考察，大多数学生都能配合教师较好地完成线上的任务，这样不仅能提高课堂的学习效果，也能提高学生的学习成绩．ʌ参考文献ɔ［１］王皓，林海燕．基于过程数据的线上线下混合式教学评价研究［Ｊ］．智库时代，２０１９，（５０）：２０１－２０２．［２］李建荣．线上线下混合式教学探索与实践［Ｊ］．教育教学论坛，２０１９（３７）：１６４－１６５．［３］章劲鸥．基于翻转课堂的高等数学混合式教学的实践与探索［Ｊ］．宁波教育学院学报，２０１８（６）：９８－１０１．［４］复旦大学数学系编．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１８．［５］同济大学数学系编．高等数学（第七版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１８．。
利用定积分求极限
科技信息定理１：连续函数的定积分一定存在根据该定理，只要ｙ＝ｆ（ｘ）是连续函数，ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍλ→０ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ，而且该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关。
其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１。
正因为该极限与｛ξｉ｝的取法无关，与｛ｘｉ｝的分法无关，经常取｛ｘｉ｝使［ａ，ｂ］区间等分，取ξｉ＝ｘｉ或ξｉ＝ｘｉ－１所以Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎｉ或ξｉ＝ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１）。
于是：ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎｉ）＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ或ｌｉｍλ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ａ＋ｂ－ａｎ（ｉ－１））＝ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ一、形如ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ的极限推论１如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，将区间［ａ，ｂ］等分为ｎ个小区间，ξｉ为小区间ｉ－１ｎ（ｂ－ａ），ｉｎ（ｂ－ａ#$）上任意一点，Δｘｉ＝ｂ－ａｎ，则ｂａ!ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｎ→∞ｂ－ａｎｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）。
例１．求极限ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）解：原式＝ｌｉｍｎ→∞１ｎｎｉ＝１"１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"１ｎ１１＋（ｉｎ）２＝ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）１ｎ（１）（１）式是函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２在区间［０，１］上的一个积分和，它是把区间［０，１］分成ｎ等份，ξｉ取ｉ－１ｎ，ｉｎ%&的右端点构成的积分和，由推论１可得ｌｉｍｎ→∞（ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋…＋ｎｎ２＋ｎ２）＝１０!１１＋ｘ２ｄｘ＝π４利用定积分求ｌｉｍｎ→∞ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）Δｘｉ关键为（１）寻找被积函数；（２）确定积分的下限ａ及上限ｂ。
具体步骤如下：（4）通过恒等变形，将Ｓｎ化为特殊形式的积分和：Ｓｎ＝ｎｉ＝１"ｆ（ξｉ）ｂ－ａｎ（5）寻找被积函数ｆ确定积分下限及上限：令ξｉ＝ｘ，被积函数为ｆ（ξｉ）＝ｆ（ｘ）；积分下限ａ＝ｌｉｍｎ→∞ξｋ（ｋ为ｉ的第一个取值）；积分上限ｂ＝ｌｉｍｎ→∞ξｍ（ｍ为ｉ的最后一个取值）。
巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧
1 n
，然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ，第二项出现 2 ，…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可
解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ，其余的不能含多余的 n ，这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分， i 就是积分中 f (x) 的 x ，所谓的规律就是，通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注：（1）这里的数列通项为各项之积，不能只表示为积分的形式，我们可以采用对数法， 把积变为和的形式，进而将所求极限化为定积分，把被积函数转化为对数函数。
（2）如果区间不是 [0,1]而是 [a,b]，只需注意分点 xi
一、定积分概念的引入—两个典型例子二、定积分的概念.
数学的方法来计算面积 .我们采用“分割—近似
代替—求和—取极限”的过程来解决这一问题.
(1)分割 用n－1个分点a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn将区
Байду номын сангаас
间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn－1,xn],
简记为[xi－1,xi],i=1,2,…,n.每个小区间的长度记
表示.
为求此时的路程 , 仿照上例的方法 , 对时间 t 进行
分割,在每一小段时间间隔内,把速度看成不变的,
然后求和并取极限.
(1)分割
区间[T0,T]用n－1个分点T0=t0<t1<…<ti－1 <t
<…<tn =T,分成n个小区间[t0,t1],[t1,t2],…,[ti1,ti],…,
i
[tn－1,tn],小区间长记为△ti=ti－ti－1,i=1,2,…,n.
1i n
,令λ→0,若不论区间如何分
n
割,ξi如何取法,极限
lim Sn lim f (i )xi
0 0
i 1
(6.1)
存在,则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分,记作
即
b a
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim f (i )xi
0
i 1
n
1i n
例6.2 变速直线运动的路程问题
设一质点沿直线作变速运动 , 其速度 v=v(t), 求在时间间隔[T0,T]内质点所走的路程. 在匀速直线运动中 , 速度v 和时间t无关 , 是一 常数 v0, 用图形表示 , 是一条平行于 t 轴的直线 ( 图 6.4), 在 v 轴上的截距为 v0, 路程 L=v0t=v0(T － T0). 当 质点作变速运动时,速度是时间的函数,可用图6.5
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
利用定积分定义求和式极限问题的探讨作者：陈小蕾来源：《成才之路》2009年第16期摘要:无限多项和式的极限求解具有一定的难度。
本文用具体例题形式给出了利用定积分求解和式极限的常用方法.关键词:和式;积分;极限在一般的规律总结中,通常把极限的求法总结为十种具体的求解方法。
利用定积分来求和式极限的方法在总结中常常被忽略掉,因为这种方法具有很强的针对性。
为了对加深对积分概念的理解,很有必要对种方法进行讨论归纳。
例1 求极限。
解:因为ln=ln=ln•=lnxdx=-1,所以=e=e=e-1极限问题转化为,把[0,1]区间n等分,?孜取,的右端点(即?孜=),由函数f(x)=lnx构成的积分和f•的极限, 再根据积分定义转化为定积分求解。
一般情况下只要符合定积分定义和式结构都可以利用定积分来进行求解,积分限的选取需要由函数结构本身和极限和形式来定,恰当的选择积分限可以简化运算.若能和其他求解极限方法结合效果会更好。
例2 求极限sin[na+i(b-a)]p (p>0,a解:因n→∞时,sin~,所以sin[na+i(b-a)]p=[na+i(b-a)]p =[a+(b-a)]p •=xpdx=。
这里取f(x)=xp,区间为[a,b],极限转化为xpdx。
若取f(x)=[a+(b-a)x]p,区间为[0,1],极限转化为[a+(b-a)x]pdx。
后者较前者稍显复杂。
在历年的考研数学中也曾多次出现过利用定积分来求解极限和的形式,下例就是在考研数一中出现的题型。
例3 求极限++…+。
解:利用夹逼原理:sin+sin+…+sin?仔?燮++…+?燮sin+sin+…+sin?仔。
三端同时取极限有sin+sin+…+sin?仔=•sin=,又sin+sin+…+sin?仔=sin= ,故有++…+=。
有些特殊的和的极限可以利用二重积分的定义求解。
例4 计算 (5m4-18m2k2+5k4)。
解:(5m4-18m2k2+5k4) =5-18+5•= (5x4-18x2y2+5y4)d?滓=dx(5x4-18x2y2+5y4)dy=(5x4-6x2+1)dx=0 ,其中D={(x,y)=|0≤x≤1,0≤y≤1｝。
关于和式极限求法的探讨[1]
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2 2 第 19 卷第 1 期 2007 年3 月武汉工程职业技术学院学报J o ur n al of Wuha n Engineering Instit ut eVol . 19 No . 1 Ma r ch . 2007关于和式极限求法的探讨朱小红1 ,2(1 . 武汉冶金管理干部学院 武汉 :430080 ;2 . 中国地质大学工程学院 武汉 :430074)摘 要 对和式极限的求法进行了归纳 ,并着重介绍了利用等价无穷小替换 、利用阿贝尔法 、利用 傅立叶级数展开式等几种求和式极限的方法 。
关键词 和式 极限 求法 中图分类号 : G725 . 812 文献标识码 : A 文章编号 :167123524 (2007) 0120074203极限是高等数学的一个重要部分 ,无限多项和 式极限又是极限的一个难点 ,关于它的计算虽在不当 n →∞, ak , n =k→0 , ( k = 1 , 2 , ⋯, n ) n 2nn少数学分析教材里均有所涉及 ,却并没有专题研究故 原式 = li m Σ (- 1) = li m Σk它的求法 。
笔者根据多年的教学实践 ,特归纳以下 几种方法 ,供读者参考 。
n →∞k = 1= li mn ( n + 1) = 1n →∞k = 1 2 n n →∞14 n24 2 n1 利用等价无穷小替换求和式极限例 2 求 li m ( a n 2+ a n 2+ ⋯+ a n 2 - n ) ( a > 0) n →∞1 2n解 因为 a n2 + a n2+ ⋯+ a n 2 -n定理[ 1 ] :1 = ( a n2 2 - 1) + ( a n 2 n- 1) + ⋯+ ( a n 2 - 1)若 F ( x ) > 0, lim F ( x )= 1 ,则当 n →∞, a →0 时 ,n k = Σ - 1)x →0 f ( x )k , n k = 1( an n n令 F (x ) = a x- 1 f ( x ) = x 1 n ali m Σ F ( a k , n ) = li m Σ f ( a k , n ) n →∞k = 1 x →∞k = 1则li mF ( x )= 1 例1 求 li m x →∞( ++ ⋯ +x →0f ( x )当 n →∞, a k , n = k→0 , ( k = 1 , 2 , ⋯, n )- n ) nnknk 故 原式 = li m Σ ( a n 2 - 1) = li m Σ 1 n a解 因为++ ⋯+ nn →∞k = 1n →∞k = 1n2= 1 n a li m n ( n + 1) = 11 n a= ( - 1 ) + ( - 1 ) +n →∞2 n 22⋯+ (- 1)n= Σ (2 利用阿贝尔法求和式极限阿贝尔法就是构造幂级数法 ,通过逐项微分或 - 1)[ 2 ]k = 1积分求得和函数 ,再取适当的 x 值即可 。
求极限的一些特殊方法
求极限的一些特殊方法作者：熊杰来源：《考试周刊》2013年第34期摘要：求极限的方法很多，本文阐述了求极限的几种特殊方法，并且举例进行说明.关键词：极限收敛性泰勒展开式1.利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时，首先选好恰当的可积函数f（x），把所求极限的和式表示成f（x）在某区间［a，b］上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限.例1:■［■+■+■+…+■］解：■+■+■+…+■=■［■+■+…+■］可取函数f（x）=■区间为［a，b］，上述和式恰好是f（x）=■在［0，1］上n等分的积分和.所以■［■+■+■…+■］=■■［■+■+…+■］=?蘩■■■dx=■2.利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数■μ■收敛，则μ■→0（n→∞）.运用这个方法首先判定级数■μ■收敛，然后求出它的通项的极限.例2：求■■解：设a■=■，则■■=■■·■=■■·（1+■）■=0＜1.由比值判别法知■a■收敛，由必要条件知■■=0.3.利用泰勒公式求极限例3：求■■=■■=-■-■+■+0（x■）解：本题可用洛比达法则求解，但是运算过程比较繁琐，这里用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x■，用麦克劳林公式表示极限的分子，取（n=4）cosx=1-■+■+0（x■）；e■=1-■+■+0（x■）cosx-e■=-■+0（x■）因而求得■■=■■=-■4.利用迫敛性求极限设■f（x）=■（x）=A，且在某u■（x■，δ′）内有f（x）≤h（x）≤g（x），则■h（x）=A.例4：求■x［■］的极限解.∵1≤x［■］＜1-x，且■（1-x）=1由迫敛性知■x［■］=1做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须收敛于同一个极限.5.小结从上述介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地套用某种方法，对具体题目要注意观察，灵活运用恰当的方法，有时还可多种方法结合使用.参考文献：［1］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2001：119-121.［2］华东师范大学.数学分析习题解析［M］.陕西：陕西师范大学出版社，2004：87-91.［3］钱吉林.数学分析题解精粹［M］.武汉：崇文书局，2003：61-83.。
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用1.常识预备微积分学在大学的数学进修中占领相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中经常要面对的问题.是以,积聚更多求极限的办法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式合适于解决求分式极限平分子或分母有加减运算的问题,经由过程泰勒展式后可以达到某些项抵消后果.但若细心不雅察这些办法,其特色不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学常识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时期进修过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘使也能用到积分学常识来解决求极限的问题,那么求极限的办法才算完美.而应用定积分求极限正表现了这一理念. 1.2定积分的概念下面起首让我们回想一下定积分以及极限的界说:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有界说,在闭区间[],a b 内随意率性拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=）,1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分情势)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限消失独一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个独一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.不然称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,盘算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx⎰消失,区间[],a b 进行特别朋分,分点i ξ进行特别的取法得到的和式极限消失且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思惟在考题中经常消失,请读者要真正懂得.注3:定积分是否消失或者值是若干只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰细心不雅察定积分的界说,我们必定会发明定积分的极限有以下两个特点.第一,定积分是无穷项和式的极限,轻易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,不然和式极限不消失.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的束缚,它是持续函数在某个区间长进行了无穷的朋分,各小区间上随意率性的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学重要进修了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的天然数的相干极限,而函数的极限则重要用于解决持续函数的相干极限.那么就让我们先一一往返想它们吧！ 极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总消失正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).因为n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①εε的感化在于权衡数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以随意率性小,解释n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其随意率性性,但一经给出,就临时地被肯定下来,以便依附它来求出Ｎ;③ε的多值性.ε既是随意率性小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是随意率性小的正数,是以界说１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正因为ε是随意率性小的正数,我们可以限制ε小于一个肯定的正数.注2:关于N :①响应性,一般地,N 随ε的变小而变大,是以常把N 界说作()N ε来强调,N 是依附于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的响应性其实不料味着N 是由ε独一肯定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是独一的.事实上,在很多场合下,最重要的是N 的消失性,而不是它的值有多大.基于此,在实际应用中的N 也不必限于天然数,只如果N 正数即可;并且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于随意率性给定的正数ε(不管它有何等小),总消失某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限界说的思惟是一致的,都是响应的某个表达上的值无穷地接近某个常数值.不合的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与响应的常数值以随意率性程度地接近. 2.定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限照样函数的极限,它们都与定积分的界说消失着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥妙吧.事实上,定积分的界说中蕴含着一列数｛()i i f x ξ∆｝的和,并且只要ix ∆充分地小,和式1()niii f xξ=∆∑就可以随意率性地接近肯定的实数J=()b a f x dx⎰,这恰是极限思惟的消失,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限供给了一种奇特而有力的办法——应用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们应用之解决浩瀚类型的和式极限. 定积分求极限中应用思惟的形成先让我们看一个简略的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不轻易直接用极限的界说解决,因为该法往往是用来一边盘算一边证实某个极限成果已经比较明显的问题,是以这里不合适;重要极限的结论显然也在这里没有效武之地,因为情势上根本不合;再斟酌洛必达轨则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决持续函数的极限问题,经由过程泰勒展式往往能把非多项式情势的表达式转化成多项式情势,以简化情势从而求解,看来这里也不实用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否认的,事实上,它从情势上与定积分的界说照样有一些相像的,那么就让我们测验测验用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分情势,从而盘算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不难看出,个中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量朋分,11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰）.从该例题的解法中可以看出,本题的症结是将极限和转化为积分和,从而应用了定积分将所求极限水到渠成.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般办法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑经由变形,使其成为积分情势1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…;Sept2肯定积分函数的高低限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值）lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值）;Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.经由过程以上的一般办法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.如今让我们再来看一个例子,并从中细心领会以上办法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+）.解:Sept1 化和式极限为积分情势.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑）. 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分）,被积函数可算作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 肯定积分函数高低限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照方才总结出的办法步调进行的,并顺遂地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案天然是肯定的. 3.应用定积分求极限 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1假如函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n n ξ--∈--∆=），,那么,1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数必定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是朋分T的一种特别情况.依据定积分的界说,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严厉用到上面总结出的三个步调,我们可视情况灵巧处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思惟等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感触感染结论1的用处. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思惟应用到求极限中去.如今就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不合习题中查找出异同,以加深对结论1的控制和熟习.解:(1) 分析 原极限显然可以算作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析 先经由过程恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33dx x =+=⎰; (3)分析 原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以算作是关于i n的某一个函数,但是留意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典范地应用了定积分的盘算,从而求出了各极限.我们发明,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分情势1limf ()n i n n→∞⋅,我们就只需盘算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而肯定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其情势上已经是limn →∞f(i n )1n ⋅了;习题2与习题3情势上直不雅上不是limn →∞f(i n )1n⋅的情势,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n …都不含i n的项.为此,我们须要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,经由过程提取公因式等手腕使其消失in ()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行恰当的推广,以得到更多情势的极限的求法.推论1假如函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积, 证实:起首,(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积. 又因为1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当）,所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,1lim ()()ni i ii f g x λξη→=∆∑=1lim ()()ni i ii f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n n πππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设1ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积，则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3假如函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证实:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n ie f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是，例5.盘算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接应用推论3,这三个推论是对结论1的须要填补与完美.情势上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思绪持续进行摸索,从情势上丰硕了定积分在求极限中应用这一思惟,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的本质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不合情势的极限向定积分界说中的和式上去挨近.最终经由过程简略清楚明了的定积分公式,求出定积分的值来,以肯定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nn ni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等情势的极限,我们都有方可循,用定积分的办法轻易求出其极限来.对于任何一种数学办法,只要我们细心地不雅察与推究,都能将其结论或应用规模加以推广,就像结论1.如今让我们来看一组习题,以领会以上诸推论.如今,我们已经积聚了多种乞降式极限的办法,它们是往后应用定积分化决极限类问题的最佳模子与典范.那就再让我们来看一组习题,以熟习与巩固1111lim (),lim nnn n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等情势的极限吧.下面这组习题分解用到了以上各结论与推论. 习题组2用定积分的办法盘算下列各极限.11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i in n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…）;(3)lim n →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都轻易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的前提.于是, (1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰ (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…） =11sin ni i i n ξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思惟的转移至此,我们已经深深的领会到了各类情势的定积分在极限中应用的感化.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思惟借鉴到其他方面.例如,应用这种思惟办法来证实一些不等式,或者用之解决一些庞杂一点的求极限问题.下面将举例解释.例 6.证实:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证实:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有 121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑））22(()b a b a -=-）21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时，有.领会:本例刚巧反过来,将积分和转化为极限和的情势,并应用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地熟习与控制定积分与极限之间的关系是解决本问题的症结.该例题解释,我们应当充分熟习到定积分在极限中的感化,并能做到灵巧变通,恰当情况下,二者可以互相转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接应用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不轻易化成以上结论或者推论的情况.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否认的.在解决该问题之前,照样先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证实:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法轻易求得移项并整顿后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥因为 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰反复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又因为2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**（）式代入,即可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,依据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.如今让我们来细心看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在盘算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们奇妙地应用了定积分的递推表达式,如许我们才正真地查找到懂得决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算照样在个中施展了不成低估的感化.那么就让我们直接应用该公式来商量例8问题吧！ 依据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们应用了定积分办法解决了例8中极限的问题.倘使我们采取其办法来求这个极限,生怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思惟的完美我们知道反常积分也是定积分在极限下界说出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分情势,从而应用了定积分奇妙地求出了原极限的成果,那么能不克不及把定积分在求极限中局部应用呢？如今我们再来看一个有味的问题,以便解释此问题.例8.证实:1112lim 1ln n n n →∞++=…+.分析:这个例题不合于前面所有的例题,前面的例题,我们都能敏捷地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它情势上与我们评论辩论的定积分在求极限中应用的例子异常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的办法来求它吧！ 把这个极限式子的分子进行恰当变形11111n n i i i in n ===∑∑.假如依据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是如今我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分情势;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰ 110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们同一了分子分母中的变量,同一用变量x,这里已经暗示变量x 是慢慢趋近,由数学分析中归结道理”,这个手腕是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思惟不但可以对表达式整体应用,也可以对其进行局部应用.总之,只要我们擅长思虑书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以或许游刃有余地把一种数学思惟用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应当留意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经由恰当的恒等变形之后能转化为定积分的情势.第二,应用定积分求极限时,往往还须要用到其他的一些求极限的办法和手腕,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手腕等.第三,求极限一类问题往往须要应用各类手腕,如许才干做到事半功倍.4.论文总结再熟习数学经由过程以上商量,我们从新熟习了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切领会的.数学本身是一门严谨的天然科学,因为它是一种思维的对象,是一种思惟办法,它照样一种理性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极端抽象的情势消失的.本文中评论辩论的定积分以及极限更是如斯.与此同时,数学的研讨办法也是抽象的,这就是说数学命题的真谛性不克不及树立在经验之上,而必须依附于严厉的证实.当数学应用于实际问题的研讨时,其症结在于能树立一个较好的数学模子.我们在应用定积分求极限时,就已经失去了较好的数学模子——函数模子.解决实际问题的表现.第二,数学付与科学常识以逻辑的周密性和结论的靠得住性,是使熟习从感性阶段成长到理性阶段,并使理性熟习进一步深化的重要手腕.在数学中,每一个公式,定理都要严厉地从逻辑上加以证实今后才干够确立.当我们发清楚明了“结论1”之后,接踵经由周密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种帮助对象和表示方法.我们在解决数学问题本身时,还必须依附于数学中的其他相干办法思绪.别的数学反应的是一种庞杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象光鲜的图形等来暗示它.无论是定积分照样极限,个中都用到了丰硕的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思惟办法.数学是研讨量的科学.它研讨客不雅对象量的变更,关系等,并在提炼量的纪律性的基本上形成各类有关量的推导和演算的办法.数学的思惟办法表现着它作为一般办法论的特点和性质,是物资世界质与量的同一,内容与情势的同一的最有效的表示方法.无论是定积分照样极限都离不开盘算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学照样一种理性的艺术.一般我们认为,艺术与数学是两种作风与本质都有着明显不合的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是天然科学的代表,另一个则是美学的佳构.但是,在各种概况上无关甚至完整不合的现象死后却隐蔽着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研讨纯粹是我们朝长进步以及求知欲的使令.艺术与数学都是公认的地球说话.艺术与数学在描写万事万物的进程中,还同时完美了自身的表示情势,这种表示情势最根本的载体等于艺术与数学各自奇特的说话特点.其配合特色有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有广泛意义的人类配合的心声,因而它们可以超出时光和地域界线,实现不合文化群体之间的广泛传播和交换.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的广泛性和广泛性;数学的整体性来自于数学同一的符号系统,各个分支之间的有力接洽,配合的逻辑轨则和既约的表达方法.(3)简明性.它起首表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情绪体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把留意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方法.(5)情势性.在艺术与数学各行其是的符号与信息的寄义交换中,其配合的特点就是达到了实体与情势的分别.我们研讨的定积分在求极限中的应用,那种思惟以及符号呈现方法可被世界人悦纳.艺术与数学具有配合的精力价值.接洽关系的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值根本上是在自身框架内被辨别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出进程中,实际得以异于其他种类文化与科学的明显特点之一.(4)多样化,物资化与广泛化.在现代技巧与贸易化的推进下,艺术与数学的价值也开端产生升华,消失了各自价值在很多范畴内的散射,渗入渗出,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅进献于数学本身,它将逐渐在其他范畴也施展必定的感化.停止语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各类情势.事实上,只要我们对学过的某些概念居心的领会,并加以深入的思虑,我们就可能将其精华应用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限联合起来,并进行了恰当推广,得到了较为知足的结论和推论.本文重要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开端我们就回想了定积分以及极限等大学数学进修中的重要概念.然后分析它们之间的内涵接洽,进而查找到了一种奇特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思惟也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思惟办法或者一些奇特的步调.因为不是所有的数学概念之间经由思虑推理,互相之间就能树立起接洽来.是以,在日常平凡的数学进修中,我们务必对教材中的根本概念加深领会,尤其是要把互相之间或多或少消失着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行必定的逻辑证实.假如我们的假设成立,那就是我们发明的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地控制不合概念之间差别,这对于我们懂得常识都是有利益的.所以,在我们日常平凡的进修进程中,我们要积极去思虑,并大胆地进行某些恰当的假设,以晋升我们创新思维才能.求极限的办法可能还有更多,值得大家去思虑与发掘.愿望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学快活爱好者携起手来摸索出更多实用与奇妙的求极限的办法来.迎接大家对本文进行批驳与斧正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高级教导出版社,2001．[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析课本习题选解.北京,高级教导出版社,2002．[3]同济大学数学教研室.高级数学[M]北京, 高级教导出版社,1997．[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992．[5]刘树利.盘算机数学基本.北京.高级教导出版社,2001．[6]刘利茹,孙永华.高级黉舍经济数学系列教材.北京,高级教导出版社,2004．[7]陈吉象,戴英等.文科数学基本.北京高级教导出版社,2003．[8]天津大学数学比赛(人文学科及医学等类),2005．英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule an d Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in。
定积分的和式极限
定积分的和式极限
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值a不断地逼近而被人为规定为“永远靠近而不停止”。
另外，极限是一种“变化状态”的描述。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用音速思想解决问题的通常步骤可以归纳为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
音速思想就是微积分的基本思想，就是数学分析中的一系列关键概念，例如函数的连续性、导数（为0获得极大值）以及的定分数等等都就是借助音速去定义的。
如果必须反问：“数学分析就是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用音速思想去研究函数的一门学科，并且计算结果误差大至难于想象，因此可以忽略不计。
高等数学的教学设计与应用——以“定积分的概念”为例
探索的科学精神"学会用所学知识解决生活中所遇到的实 个常量还是变量/ -(.定义中提到的两个任意性有什么意
际问题$ 介绍定积分时"引导学生深刻体会习近平总书记 义/ -3.定积分的大小主要由哪些因素决定/ 学生经历之
提出的*人类命运共同体+"使学生认识到任何个人都不可 前的引例以及自主练习"很容易得到相关的结论"即!
以此更好地理解定积分的概念$ 课外时间利用网络的学
4
图 图 K4444444444 H
习交流平台"与学生探讨知识"答疑解惑"使所有的疑惑能 够得到及时的解决"以便后续学习能畅通无阻$
结语
如果在%5"6&上!-&.)% 有正有负"则*6!-&. 7&的值 5
表示由曲线%`!-&. 直线 # &`5"&`6"%`% 所围图形在&轴 上方的面积减去在&轴下方的面积"即如下图$
能独善其身"要做到尽职尽责"才能实现共同发展$ 这种 -$.如果函数!- &. 在% 5"6& 上连续"或函数!- &. 在
思想方法贯穿于各个领域"小到身边事"大到国家事"乃至 %5"6&上有界"且只有有限个间断点"则函数!-&.在%5"6&
整个世界$
上可积$
)&( 抽象数学概念
-).定积分是一种和式的极限"即是一个实数$
们后期的计算"即将区间%%"$&分成0 等份"即&;`$0 "选
定积分是确定的和式的极限
第七章 重积分∑⎰=→=ni i i b ax f x x f 1)(lim d )(∆ξλ现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。
§1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积设有一立体，它是以xOy 面上的闭区域D 为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行z 轴的柱面为侧面，以曲面),(y x f z =（0),(≥y x f ，),(y x f 连续）为顶，这种立体叫做曲顶柱体。
2、平面薄片的质量设有一平面薄片在xOy 面上的区域D ，D 上任一点),(y x 的面密度为),(y x ρ，设),(y x ρ在D 上连续，求薄片的质量二重积分的定义：∑⎰⎰=→=ni i i i Df y x f 1),(lim d ),(σ∆ηξσλ 二重积分的存在性：设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上的二重积分一定存在。
在⎰⎰Dy x f σd ),(中，σd 是i σ∆的象征，叫做区域D 的面积元素。
在二重积分存在时对区域的分划是任意的，为了方便起见，采用平行于坐标的直线段分划D ，这样除了靠近边界外，各个消区域都为小矩形，i i i y x ∆∆σ∆=，于是y x d d d =σ，所以在直角坐标系下，二重积分的表达式为(,)Df x y d σ⎰⎰=y x y x f Dd d ),(⎰⎰。
二、二重积分的性质二重积分概念是定积分概念的推广，故有类似的性质。
性质1：线性性质⎰⎰⎰⎰=DDy x f k y x kf σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d )],(),([性质2：对区域可加性设21D D D +=，1D 与2D 只有公共边界， 则y x y x f y x y x f y x y x f D D Dd d ),(d d ),(d d ),(21⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=性质3：规范性若1),(=y x f ，D y x ∈),(，则σσ=⎰⎰Dy x f d ),(（D 的面积）性质4：单调性设),(),(y x g y x f ≤，D y x ∈),(，则⎰⎰Dy x f σd ),(⎰⎰≤Dy x g σd ),(特别地，由|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤-则有|d ),(|⎰⎰Dy x f σ⎰⎰≤Dy x f σd |),(|性质5：估值定理设M 、m 分别是),(y x f 在D 上的最大和最小值，σ为D 的面积，则有σσσM y x f m D≤≤⎰⎰d ),(性质6：二重积分中值定理设),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点D∈),(ηξσηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰例1、比较⎰⎰+Dy x σd )ln(与⎰⎰+Dy x σd )][ln(2的大小。
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．
上 式 的 和 是 函 数 Ｆ （ｘ，ｙ）＝５ｘ 一１８×２ｙ ＋５ｙ４在 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝ 击 ．
酬 ＝击 ＋ ＝
。 ＝ ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上 的一个 积分 和 。该题 在 求解 过程 中将 Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进 行等 分 成 个 ｎ 小 区域 ，按 照 划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝ ，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊ ｘ ｄ×。若取 分—— 求 和 —— 取 极 限 的 方 法 来进 行 分 析 ，且 已知 函 数 Ｆ（ｘ）
＝ ５ｘ 一侣 ×２ｙ ＋５ｙ 在 整个 闭区域上 是连续 的 ，故二 重积分 存在 ，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后 以利用 二重积 分来计 算该极 限和 。
ｆ ｓｉｎ ｓｉｎ
１
椭 【 ０ 叶哥
有些特殊 的和 的极 限可 以利用二重 积分 的定义 求解。
例４ 计算 。。 ∑ ∑（５ｍ 一１８ｍ 。＋５ｋ ）。
ｎ ｍ 。 。
解 ： 。。 ∑ ∑ （５ｍ 一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ ）： ∑ ∑
［５ 例２ 求极限 ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的 空间 ，让他 们 用手 中的立体 图形和 平面 图形 自由结合 创造 出一 些模 型 、图案 ，然后 让代 表在讲 台前展 示并给 自己的模型 作简 短 的 介绍 ，就这 样把本 节课推 入 了高潮 。
不管是 怎样 的教学模 式 ，本着 “在 活动 中体验 ，在活动 中感 悟 、 在感悟 中成 长”的理 念 ，努 力地 创设 问题 情境 ，使 内容 活动 化 ，活动 内容化 ，使我 们的教学设计 真正 是学生活动 的设计 。让学生在 民主 和谐 的环境 中学 习 ，在激 烈竞争 的环境 中探 索 ，给学 生一 个 自由翱 翔的空 间和发 挥的舞 台，让 学生充分 体验到投 入实践 和探索 的成就 感。让学生没有 理由不爱上数 学 ！带着一种欣 赏的眼光去聆 听学生 们的话语 ，使 你不能不 为孩 子丰富的想象 力 、大胆的创造 力而惊叹 ！
几何 体展开 图的课 堂上 ，同学们分 组拿 出 了课 前准备 的一 些 长方体 、正方体 、圆柱 、圆锥 、球体 ，学生 们把 圆柱展 开 ，展 完后一 小 组代表 上讲 台前 把本组 所展开 的平面 图形 用胶 带粘 在展 示板上 呈 现给 同学们 。其 余各组 有不 同的图形 的上来补 充 。由于是 动手 操 作 ，同学们热情 非常高 ，然后展 开圆锥 、长方体 ，尤其 是展 开正方 体 时 ，其 组员脸 上路出胜利 的喜悦 。课 的最 后教 师给同学 们 自主创 新
报 ．２００５（１ ３）． ［２］同济 大 学应用 数 学 系．高等 数 学（五版 ）［Ｈ］．北 京 ：高等 教 育 出版
社 ．２００５． ［３］陈文灯．数学复 习指南［Ｍ］．西 安：世界 图书 出版 社。２Ｏ。６．
（西北 农林科 技大学 理学院 ）
让学 生学 习的主动性 得到充 分发挥 。二是 把课堂教 学放 置于 活动 化 的学 习氛围 中 ，联 系学 生的 生活 和经验 ，激 活他 们 的思 想 。培 养 学生 的观察 能力和创造 能力 。每一 堂课 的完成也许 不单 是一 种教 学模 式。如下面这 堂课 ，你 就难 以确定 它是合作 学 习，体 验教 学 ，还 是 自主探究模 式呢？
再根据 积分定 义转化 为定 积分 求解。 一 般 情况 下只要符合 定积分 定义和 式结构 都可 以利 用定积 分
来进行 求解 ，积分 限的选 取需 要 由函数结 构本 身和极 限和 形式 来 定 ，恰 当的选 择积分 限可 以简化 运算 ．若能 和其他 求解 极 限方法 结 合 效果会 更好。
ｓｊｎ ： ．
＝ ” ｔｎ ＝
ｔｎ ‘ ＝』
ｎ
．
又 （ｓ ｎ ｎ ＋．．‘ ｎ订）＝ ｍ ． ｓ－ｎ
所 以
：
。。ｎ
…
： 。
： 。 一
：
．
极限问题转化为，把【０，１］区间ｎ等分，∈．取［ ， ］的右端
点（即 ∈．＝ ），由函数 ｆ（ｘ）＝Ｉｎｘ构成 的积 分和 ｆ（ ）’ 的极限， 。
＋５
解：因ｎ—ｏ。时，ｓ ～（ ） ，所以
＝ ６Ｉｆ （５ｘ 一１ ８ｘ２ｙ ＋５ｙ ）ｄ【『＝Ｊ ～ ｄｘ｝ （５ｘ 一１ ８ｘ２ｙ ＋５ｙ４）ｄｙ＝ｆ
ｏ。ｓｉｎ ’ ［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ ＝ （ ） ［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （５ｘ 一６ｘ ＋１）ｄｘ＝０ ，其 中 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，Ｏ≤ｙ≤１｝。
ｎ＼ ｎ ＋ｓｉｎ ｎ ＋”．＋ｓ ），。
掉 ，因 为这 种方法 具有很 强的针对 性。为 了对加深 对积分 概念 的理 解 ，很有必 要对种 方法进行讨 论 归纳。
例 １ 求极 限。 。。
。
” Ｔ（ｓ ｎ ＋ｓｔｎ ＋¨‘＋ｓｔｔｎ
Ｉｎｘｄｘ＝一１．
者较前者 稍显复 杂。 在历 年的考研 数学 中也 曾多次出现过 利用 定积分 来 求解极 限
和的形式 ，下例就 是在考研 数一 中出现 的题 型。
ｆ ｊ ｓｉｎ ｓｉｎ 丌＿ 叶 １ｌ ｏ
参考文献 ： ［１］林新 和 ．高 等 数学 中求 极 限几种 常 见 方法 ［Ｊ］．呼伦 贝尔 学 院学
【关 注】 ｌ数理化研究Ｉ
利用 定积 分 定义 求和式极 限问题 的探讨
●陈 小 蕾
摘 要 ：无 限多项和 式的极 限求解具 有一 定的难度 。本 文用
具体例题 形式给 出了利 用定积 分求解 和式极 限的 常用方 法． 关键 词 ：和 式 ；积 分；极限
＋ 荨
在一般 的规律 总结 中 ，通 常把极 限的求法 总结 为＋种 具体 的 求解方法 。利用定 积分来 求和式 极限 的方法在 总结 中常 常被 忽 略