利用定积分的定义求极限
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
．
上 式 的 和 是 函 数 Ｆ （ｘ，ｙ）＝５ｘ 一１８×２ｙ ＋５ｙ４在 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝ 击 ．
酬 ＝击 ＋ ＝
。 ＝ ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上 的一个 积分 和 。该题 在 求解 过程 中将 Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进 行等 分 成 个 ｎ 小 区域 ，按 照 划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝ ，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊ ｘ ｄ×。若取 分—— 求 和 —— 取 极 限 的 方 法 来进 行 分 析 ，且 已知 函 数 Ｆ（ｘ）
＝ ５ｘ 一侣 ×２ｙ ＋５ｙ 在 整个 闭区域上 是连续 的 ，故二 重积分 存在 ，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后 以利用 二重积 分来计 算该极 限和 。
ｆ ｓｉｎ ｓｉｎ
１
椭 【 ０ 叶哥
有些特殊 的和 的极 限可 以利用二重 积分 的定义 求解。
例４ 计算 。。 ∑ ∑（５ｍ 一１８ｍ 。＋５ｋ ）。
ｎ ｍ 。 。
解 ： 。。 ∑ ∑ （５ｍ 一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ ）： ∑ ∑
［５ 例２ 求极限 ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的 空间 ，让他 们 用手 中的立体 图形和 平面 图形 自由结合 创造 出一 些模 型 、图案 ，然后 让代 表在讲 台前展 示并给 自己的模型 作简 短 的 介绍 ，就这 样把本 节课推 入 了高潮 。
不管是 怎样 的教学模 式 ，本着 “在 活动 中体验 ，在活动 中感 悟 、 在感悟 中成 长”的理 念 ，努 力地 创设 问题 情境 ，使 内容 活动 化 ，活动 内容化 ，使我 们的教学设计 真正 是学生活动 的设计 。让学生在 民主 和谐 的环境 中学 习 ，在激 烈竞争 的环境 中探 索 ，给学 生一 个 自由翱 翔的空 间和发 挥的舞 台，让 学生充分 体验到投 入实践 和探索 的成就 感。让学生没有 理由不爱上数 学 ！带着一种欣 赏的眼光去聆 听学生 们的话语 ，使 你不能不 为孩 子丰富的想象 力 、大胆的创造 力而惊叹 ！
利用定积分定义求极限的原理
利用定积分定义求极限的原理定积分是微积分的一个重要概念，用于计算函数在一定区间上的面积。
定积分的定义可以用来求极限，这是一项重要的数学技巧。
本文将介绍利用定积分定义求极限的原理，并通过实例说明其应用。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于一个函数f(x)在[a,b]区间上的定积分，可以用极限的概念表达为：∫(a,b) f(x) dx = lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx其中，Δx = (b - a) / n 是每个小区间的宽度，x_i 是区间中的任意一点，lim(n→∞)代表当n趋向于无穷大时取的极限，Σ[i=1,n]表示对每个小区间做求和运算。
根据定积分的定义，我们可以利用它来求解一些函数的极限。
具体步骤如下：第一步，确定求解的函数。
首先需要选择一个待求解的函数f(x)，并找到一个包含区间[a,b]的闭区间来计算。
第二步，进行积分近似。
利用定积分的定义，将函数f(x)分割成若干个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点x_i。
然后，计算相应的Σ[i=1,n]f(x_i)Δx。
第三步，求解极限。
根据极限的定义，将积分近似的结果取极限，即lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。
第四步，验证结果。
通过比较求得的极限与给定函数的极限是否相等，来验证我们的结果。
接下来，我们通过一个具体的实例来说明利用定积分定义求极限的原理。
例子1：求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的极限lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。
首先，将区间[0,1]分割成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=1/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点x_i，可以选择x_i=Δx/2接下来，计算Σ[i=1,n]f(x_i)Δx：Σ[i=1,n]f(x_i)Δx=Σ[i=1,n](Δx/2)^2Δx=Σ[i=1,n]Δx^3/4=(∑[i=1,n]Δx^3)/4=nΔx^3/4=n(1/n)^3/4=1/4n^2最后，取极限得到极限结果：lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx = lim(n→∞) (1 / 4n^2) = 0我们知道函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的极限为0，因此利用定积分的方法求得的极限结果与函数极限相等，验证了我们的结果。
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
（６）对已建立协议的教学实习基地要不断加强联系与 交流，建立牢固的长期合作关系，每学年邀请基地领导来 我院共同研究实习基地建设问题，并做好年度实习基地建 设工作总结。继续考察、遴选新的实习基地，加快建立满 足新专业要求的实习基地。
（７）积极开展第二课堂活动，推进导师制，言传身教 使学生在参加科技实践创新活动中，提高实践能力及创新 能力。
在高等数学的教学中，介绍了很多求函数极限的方
法。但是当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形
式（以下简称无穷和式），就不能用这些常规的方法了。
通常是先求出无穷数列前ｎ项的和，再求和式的极限。但当
数列的前ｎ项的和不易求出时，我们就可以考虑用定积分的
定义来求它的极限了。
学过定积分的定义，我们知道定积分是积分和的极
参考文献： ［１］ 常 庚 哲 等 ．数 学 分 析 教 程 （上 ）［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版
社，２００３：３００～３３１． ［２］ 吉米多维奇．数学分析习题集题解（六）［Ｍ］．济南：山东科学技术
出版社，２００２：１０３～１４８． ［３］ 上海财经大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．上海：上海财经大学出
（３）出台相应的激励政策，鼓励教师参与实践教学的 改革，并通过实践教学活动和科研有机结合起来，产学研 相长，不断提高实践教学水平。
定积分的定义法求极限
定积分的定义法求极限：
用定积分定义求极限的方法如下：
分子齐（都是1次或0次），分母齐（都是2次），分母比分子多一次。
定积分定义求极限是1/n趋近于0，积分下限是0，n/n是1，积分上限是1。
“极限”是数学中的分支，微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
洛必达法则。
此法适用于解0/0型和8/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。
定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。
当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
求极限13种方法
求极限的 13种方法（简叙）龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终， 极限思想亦是高等数学的核心与 基础， 因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多 变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
n例 1、求极限 lim (1 a)(1 a 2)...(1 a 2) ，其中 a 1 n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，n因为 (1 a)(1 a 2)...(1 a 2)1(1 a)(1 a)(1 a 2 )...(1 a 21a12 22n(1 a 2)(1 a 2)...(1 a 2) 1a1 2n 111a(1 a 2)22n0,从而 lim (1 a)(1 a 2)...(1 a 2)=n1 a二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量， 提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
此， 应先对其进行恒等变形。
n 时2n 12n 1a 2例 2、求极限 lim x 1，其中 m,n 为正整数。
x 1nx 1分析 这是含根式的（ 0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限1解 令 t x mn,则当 x 1时，t 1三、利用对数转换求极限原式=lim e(cos x 1)csc 2x exo 四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
例 4、求极限 l n im n n !n n n分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使 用夹逼准则。
解 因为 o n n! 1 2 n 1 n 1，n n n n n n 且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限，所以 l n im n n !=0 n n n五、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式原式=l t im1 ttlim (t 1)(t t 1(t 1)(t n1m1t n 2... 1) t m 2...t n1t n 2 ... 1 t m 1 t m 2 (1)利用对数转换求极限主要是通过公式 u ve lnuv,进行恒等变形，特别的情形，在（ 1 ）型未定式时可直接运用 (u 1)ve例 3、求极限l x im o(cosx)csc 2x12 sin x lim22x 0sin 2x n 1 f (x n )的数列极限。
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)
y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （ ） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 ， 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。
如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本工具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
定积分的定义公式分割近似求和取极限
定积分的定义公式分割近似求和取极限定积分这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。
它的定义公式——分割近似求和取极限，听起来好像挺复杂，但咱们慢慢捋捋，其实也没那么可怕。
我记得有一次，我在课堂上讲定积分的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”咱先说分割。
这就好比你有一块大蛋糕，你要把它切成好多小块。
比如说，一个函数的区间[a,b] ，咱把它分成 n 个小区间，这就是分割。
每个小区间的长度不一定相等，但加起来就是整个区间的长度。
然后是近似。
这就像你切完蛋糕，要估计每一小块的大小。
对于每个小区间里的函数值，咱找个简单的数来近似代替，比如说区间里某一点的函数值。
再说说求和。
把每个小区间里近似的函数值乘以小区间的长度，然后加起来，这就是求和。
最后是取极限。
当把区间分得越来越细，小区间的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，这个求和的结果就会越来越接近一个确定的值，这个值就是定积分的值。
比如说，你要计算从 0 到 1 区间上 x²的定积分。
咱先把这个区间分成 n 个小区间，每个小区间的长度就是 1/n 。
然后在每个小区间里，咱用区间中点的函数值来近似代替。
比如第 i 个小区间的中点是 i/n ，那这个小区间里的函数值就近似为 (i/n)²。
把每个小区间的近似值乘以小区间长度 1/n 再加起来，得到一个式子。
最后让 n 趋向于无穷大，取这个式子的极限，就能得到定积分的值 1/3 。
在实际生活中，定积分也有很多用处呢。
就像你要计算一个不规则图形的面积，或者计算一个物体在一段时间内移动的路程，都能用到定积分。
还记得有一次我装修房子，要计算一面墙的不规则形状的面积，来确定需要多少壁纸。
我就用定积分的思路，把那面墙的形状分割成好多小部分，近似计算每一部分的面积，最后求和取极限，算出了差不多准确的面积，成功买到了合适数量的壁纸。
利用定积分定义求极限(by汤)(修订)
+
Ã!
ÂZ
i = exp
1
ln(1
+
à x) dx
=
4
n!1 n
n
i =1
0
e
Â
Example 4: 求极限: I = lim n!1
1
1
1
p12 + n2 + p22 + n2 + p32 + n2 +
à 1 + pn2 + n2
by 汤
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利用定积分定义求极限
1 入门题
Solution
n dx
n!1 n2 + k2 k=1
n!1 k=1
k
n2 + k2
>
lim
n!1
X n2
k=1
Z k+1
k
n2
n +
dx x2
=
Z n2+1
1
n2
n +
dx x2
=
2
故由夹逼准则知
X n2 lim
n
=
n!1 n2 + k2 2
k=1
法 2. 设
Sn
=
lim
n!1
X n2
n2
n +
k2
k=1
X n2
= lim Xn k
n
n!1
n+k n+n+1
k=1
= lim 1 Xn 1
n!1
n
k=1
1
+
k n
1 Z1 =
1
dx
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
浅谈数学分析中极限的求法
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６浅谈数学分析中极限的求法浅谈数学分析中极限的求法Һ马金玲㊀（吉林师范大学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限理论是帮助学生将对数学的有限认识拓展到无限认识㊁近似认识拓展到精确认识的一种方法，在高等数学的学习中起到基础性的作用．在极限理论中存在两个基本问题，分别是极限存在性的证明和极限值的计算，二者密切相关，如果能求出某极限的值，则其存在性就会被证实，因此，如何求解极限尤为重要．但由于数列或函数形式的多样性和复杂性，在求解其极限值时不可能找到统一的方法，只能根据具体情况具体分析和处理．本文主要介绍一些极限的基本类型，提供一些求解极限的常用方法和技巧，并探究在某些方法中的转化思想．ʌ关键词ɔ极限；单调有界；重要极限；洛必达法则；归纳总结在数学分析的学习中，我们发现数列和函数极限的形式很复杂，因此，求解极限的方法也多种多样，当然，对于不同的方法有其各自的优势及适用范围．本文通过对典型例题的探究求解，归纳总结出一些常用的求解方法，以探究数学中的技巧性，提升学生对数学知识体系的梳理能力．另外，本文旨在通过应用无穷小量㊁重要极限㊁洛必达法则等方法，在求解极限的过程中体会数学思维的转化，感受数学知识的紧密联系，构建条理清晰㊁逻辑严谨的数学知识框架．一㊁极限的定义数列极限的ε Ｎ定义㊀设｛ａｎ｝为数列，ａ为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时有｜ａｎ－ａ｜＜ε，则称数列｛ａｎ｝收敛于ａ，定数ａ称为数列｛ａｎ｝的极限，并记作ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ或ａｎңａ（ｎңɕ）．函数极限的ε δ定义㊀设函数ｆ在点ｘ０的某个空心邻域Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）内有定义，Ａ为定数．若对任给的ε＞０，存在正数δ（＜δᶄ），使得当０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ时有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则称函数ｆ当ｘ趋于ｘ０时以Ａ为极限，记作ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）ңＡ（ｘңｘ０）．二㊁极限的求解１．单调有界定理定理１㊀在实数域中，若数列｛ａｎ｝单调且有界，则数列｛ａｎ｝一定存在极限．注㊀（１）在应用单调有界定理求解极限时，首先要满足数列｛ａｎ｝是单调数列，即满足ａｎɤａｎ＋１（或ａｎȡａｎ＋１），其次要保证数列｛ａｎ｝有界．（２）证｛ａｎ｝的单调性：①考察ａｎ＋１－ａｎ的符号；②当ａｎ＞０时，考察ａｎ＋１ａｎȡ１或ａｎ＋１ａｎɤ１æèçöø÷；③若得到一个一元可导函数的递推公式ａｎ＋１＝ｆ（ａｎ），则可求导，然后根据ｆᶄ（ｘ）的符号来确定其单调性．证｛ａｎ｝的有界性常利用数学归纳法或已知不等式推证．例１㊀设ａ１＝４，ａｎ＝１ａｎ－１＋ａｎ－１２，ｎ＝２，３， ，求ｌｉｍｎңɕａｎ．解㊀由于ａｎ＋１－ａｎ＝ａ２ｎ＋２－２ａ２ｎ２ａｎ＝２－ａ２ｎ２ａｎ．接下来证２－ａ２ｎɤ０，即证ａｎȡ２，ｎ＝１，２， 由于ａｎ２＝１２１ａｎ－１＋ａｎ－１２æèçöø÷ȡ１ａｎ－１㊃ａｎ－１２＝１２，故｛ａｎ｝单调递减，且其下界为２．根据定理１可判断数列｛ａｎ｝，故设ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ（ａ＞０）．又对上式两边取极限，得ａ－ａ＝２－ａ２２ａ，解得ａ＝２，即ｌｉｍｎңɕａｎ＝２．归纳小结㊀在应用单调有界定理求解数列极限时，首先要证明的是数列存在极限，也就要证明数列满足单调性和有界性．证明单调性的过程考查了学生对初等数学中数列知识的掌握，其证明方法的选用要根据具体问题而定；而在证明有界性时常应用数学归纳法．在证明极限存在时应分两步走，且将高等数学的问题转化为初等数学的知识，让难题迎刃而解，最后依据极限的唯一性求出极限值．值得注意的是，单调有界定理只适用于满足条件的数列求解极限问题．２．迫敛性（１）设有三个数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，｛ｃｎ｝，满足：∃Ｎ，∀ｎ＞Ｎ，有ａｎɤｂｎɤｃｎ，且ｌｉｍｎңɕａｎ＝ｌｉｍｎңɕｃｎ＝ｌ，则ｌｉｍｎңɕｂｎ＝ｌ．（２）设有三个函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在Ｕʎ（ａ；δ）内有定义，若它们满足ｆ（ｘ）ɤｇ（ｘ）ɤｈ（ｘ），ｘɪＵʎ（ａ；δ），且ｌｉｍｘңａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңａｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘңａｇ（ｘ）＝Ａ．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷．解㊀在这ｎ个数１ｎ２＋１，１ｎ２＋２， ，１ｎ２＋ｎ中，１ｎ２＋１最大，１ｎ２＋ｎ最小，因而ｎｎ２＋ｎɤ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎɤｎｎ２＋１，而且ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋ｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ＝１，ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ２＝１，所以，由迫敛性得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷＝１．归纳小结㊀在应用迫敛性求解数列或函数极限时，可将对极限的直接求解转化为先对极限变量进行放缩，再找出易求得极限的上下界，从而间接求得原极限．值得注意的是，在遇到极限变量可以进行放缩的求解极限问题时可以优先考虑迫敛性．３．两个重要极限（１）ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１；（２）ｌｉｍｘңɕ１＋１ｘ()ｘ＝ｅ．注㊀在应用重要极限求解极限时，首先要进行初等变形．这里的初等变形是指用初等数学的方法将数列或函数转化成上述两个重要极限的形式．例３㊀求ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３．解㊀将原式中的函数凑成如下形式，ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃１－ｃｏｓｘｘ２＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃２ｓｉｎ２ｘ２ｘ２＝１２㊃１２ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２，又ｌｉｍｘң０１２ｃｏｓｘ＝１２，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２＝１，于是有ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１４．定理２（归结原则）㊀设函数ｆ在Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）上有定义，那么ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）存在等价于：对任何Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）中的数列｛ｘｎ｝，满足ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｘ０，且ｌｉｍｎңɕｆ（ｘｎ）都存在且相等．注㊀归结原则在数列（离散变量）极限与函数（连续变量）极限之间建立起了桥梁，使二者在一定条件下可以相互转化，这对处理极限问题起到了重要的作用．例４㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ．解㊀令ｆ（ｘ）＝１＋１ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ，则ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１㊃ｘ＋１ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１éëêùûúｘ＋１ｘ＝ｅ，由归结原则，得ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ＝ｅ．归纳小结㊀在应用两个重要极限求解极限问题时，首先要应用初等数学的方法将数列或函数化成两个重要极限的形式之一，再进行求解．应用该方法的关键就在于将原极限形式 凑成 上述两个重要极限．值得注意的是，在遇到三角函数形式和 １ɕ 形式的极限问题时要优先考虑应用两个重要极限．另外，在求解 １ɕ 形式的数列极限时，要结合归结原则将数列问题转化成函数问题，再进行求解．４．洛必达法则洛必达法则是求不定式极限的重要方法，它将两函数之比的极限求解问题转化为两函数导数之比的极限求解问题．其几何意义是：两曲线上的点的纵坐标之比的极限可转化为两曲线上的点的切线斜率之比的极限．不定式极限包含两种基本形式：００与ɕɕ．（１）００型不定式极限定理３㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝０；（ⅱ）在点ｘ０的某空心邻域Ｕʎｘ０()上，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例５㊀求ｌｉｍｘңπ２＋ｃｏｓｘｔａｎ２ｘ．解㊀因为ｆ（ｘ）＝２＋ｃｏｓｘ与ｇ（ｘ）＝ｔａｎ２ｘ在点ｘ０＝π的邻域上满足（ⅰ）与（ⅱ），又ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπ－ｓｉｎｘ２ｔａｎｘｓｅｃ２ｘ＝－ｌｉｍｘңπｃｏｓ３ｘ２＝１２．故由洛必达法则求得ｌｉｍｘңπｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝１２．（２）ɕɕ型不定式极限定理４㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）在Ｕʎ＋（ｘ０）上二者皆可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅱ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｇ（ｘ）＝ɕ；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例６㊀求ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１．解㊀可判定该极限是ɕɕ型不定式极限，故直接应用洛必达法则，有ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ３ｘ２＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６＝＋ɕ．归纳小结㊀应用洛必达法则求解极限问题，其实质在于将求解两个函数之比的极限转化为两函数导数之比的极限，使得复杂函数的求极限问题转化为简单函数的求极限问题．但在应用洛必达法则时有些需要注意的问题：（１）不是所有比式极限都可以应用洛必达法则求解，一方面必须注意它是不是不定式极限，另一方面要看是否满. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６足洛必达法则的应用条件；（２）在求解极限的过程中，有时可能需要对ｆᶄ（ｘ）与ｇᶄ（ｘ）再应用洛必达法则，甚至有时需要对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的高阶导数反复使用洛必达法则．５．定积分利用定积分求极限，通常有两种类型：一种是应用定积分的定义求解数列极限，另一种是应用变限积分和洛必达法则求解极限．（１）用定积分定义求解数列极限例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ１（ｎ＋１）２＋１（ｎ＋２）２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú．解㊀做如下变形：令Ｊ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝１（１＋ｘ）２在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ）．所以有㊀ｌｉｍｎңɕｎ１ｎ＋１()２＋１ｎ＋２()２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄｘ＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄ（１＋ｘ）＝１２．例８㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）．解㊀做如下变形：㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ()３＋２ｎ()３＋ ＋ｎｎ()３[]㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１ｉｎ()３㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝ｘ３在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ），所以有ｌｉｍｎңɕ１ｎ４１＋２３＋ ＋ｎ３()＝ʏ１０ｘ３ｄｘ＝１４．归纳小结㊀在应用定积分的定义求极限的过程中，我们将所求的数列极限转化归结为某可积函数ｆ（ｘ）在某区间［ａ，ｂ］上的某特殊的积分和，则该数列极限就等于ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ．通过对一些例题的探究，我们发现这些和式极限中的每一项都可以转化成ｉｎ的形式，并且能提出形如１ｎ的公因式，这样就可以把极限和转化为定积分来计算了．这一规律有助于求解某些和式极限问题．（２）应用变限积分求解极限定理５（原函数存在定理）㊀若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，则函数Ф在［ａ，ｂ］上处处可导，且Фᶄ（Ｘ）＝ｄｄｘʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ），ｘɪ［ａ，ｂ］．例９㊀求ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ．解㊀这是一个００型的不定式极限，先应用洛必达法则，可以得到㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０ʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ()ᶄｘᶄ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ，（１ɕ）恒等变换后有（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ），于是有㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅｌｉｍ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ）＝ｅ２．归纳小结㊀应用变限积分求解极限的过程中，主要是将原函数存在定理与洛必达法则相结合，进而求得原极限．三㊁结㊀语本文主要介绍了求解极限的多种方法．在极限理论中，求解极限问题占据着重要地位，由于极限的类型复杂繁多，我们根据对典型例题的探究，归纳总结了求解极限不同方法的适用条件及其中所蕴含的转化思想．因此，在面对极限求解问题时，我们首先要判断所求极限的类型，再选取合适的方法进行求解．当然，在选择方法时，要注意其适用条件，这一过程是非常重要的，否则会得出错误的结论．另外，在求解极限的过程中，数学思维的多样转化也让我们体会到了数学知识之间的紧密联系，从而建立了逻辑清晰的数学知识体系．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［２］张天德，孙书荣．数学分析辅导及习题精解［Ｍ］．延吉：延边大学出版社，２０１１．［３］旷雨阳，刘维江．数学分析精要解读［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２０１６．［４］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７．［５］桑旦多吉．高等数学中函数极限的求法分析［Ｊ］．学园，２０１５（１１）：８２－８３．［６］姜玉秋．巧用等价无穷小替换求解复杂极限的研究［Ｊ］．吉林师范大学学报（自然科学版），２００５（０４）：９３－９４．［７］温录亮．论求解极限的若干方法［Ｊ］．佛山科学技术学院学报（自然科学版），２０１１（０２）：３１－３６．［８］周学勤．探讨洛必达法则求极限［Ｊ］．濮阳职业技术学院学报，２０１０（０４）：１４３－１４４．［９］范钦杰，付军．数学分析问题解析［Ｍ］．长春：吉林人民出版社，２００４．. All Rights Reserved.。
利用定积分求极限的方法
利用定积分求极限的方法
用定积分定义求极限的基本方法:
根据定积分的定义:若f(x)在[a,b]上可积，则lim f()x;=(x)dx ，其中
2-30
A=max{Ax}，若取Ax =b-a,5=a+b-a)k~，则得lsisnnhlimfla+-a);p-a=f()dx，特别是，当a=0,b=1时,onkelim- f(一)=f(x)dx。
如果所求极限可以转化为这些和式的极限形式，则可以运用定积-0012
分定义计算极限。
适用情形:
利用定积分定义计算极限，主要用于n 项和式(或可以化为n 项和式)的极限计算，n 项和式中的每项须具有同样的表示形式(是某个函数f(x)的函数值)，如果是分式，则分子的次数须相同，分母的次数须相同，且分母的次数须比分子的次数高1 次。
一般求解步骤:
r白)这fla+-akb-a1)先对和式进行恒等变形化简，使之符合-的表示n1
形式;
2)利用定积分的性质计算出积分值:
3)由定积分值得出原和式的值(有时结合使用夹逼准则)。
求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。
求极限的方法很多，包括: 利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形(指数化，有理化，三角变换等)、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。
为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，文都考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法。
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
极 限可 以 通 过 定 积 分 的 定 义 来 计 算 。下 面 举 例 说 明 含 有 三 角 函 数 数 列 的 ｎ 之 和 的极 限 的求 法 。 项
例： 极 ，ｐｎｓ＋ ｓ ｎ 。 ５求 限ｉ （Ｉｎ －ｊ － ｍ ｓ＋ 一ｎ ） ｉ ｉ 十 ２
喜 』 …ａ ；。 忐 １扣 叫 ＝
例： 极 ［Ｉ＋ ＋击） ４求ｎ － 。 限 － ＋
分 析 ： 此 题 所 研 究 的 极 限 为 ｎ 和 的形 式 ，可 看 成 函数 项 ，ｘ＝ （ ）
解：
ｆ
、
限，也是无穷和式的极限，即 Ｉ （ ，
ｌ ｉ ｍ
） 。故对
积分 。
解：
ｎ＋ ｎＩ 。 － ２ － ｎ］ ｎ －
原式＝ｉ ） ＝ ｌ ｍｅ， ’ 』 ，
例３ 求极限 ｌ 一 ： ｉ （ ｍ ＋
分 析 ：此 题 所 研 究 的是 三 角 函数 的ｎ 和 的形 式 ，可 看 项 成 函 数 ｓ ｎ 在 区 间 ［， ］ 的 一 个 积 分 和 式 ，又 由 于 ｓｎ 是 ｉｘ ０ １上 ｉｘ
［， ］ ａ ｂ ，构 成 ｔ ， 的 形 式 ，则 可 化 为 定 积 分 去 求 值 。 Ｒ）
某 些 无 穷 和 式 的 极 限 ，只 要 能 将 此 和 式 写 成 某 个 函 数 在 某 个 区 间 上 的 积 分 和 的 形 式 ， 其 关 键 是 函 数 ｆＸ 和 区 间 （） ［， ］ ａｂ 的确 定 ，这 样 就 可 以利 用 定 积 分 求 此 极 限 。 下 面 就 通 过若干实例来进行说 明。 例１ ：求 极 限 １ （ ＋ － ．＋ ）。 ｉ ＋－ ｍ ２ ’
定积分定义在证明和求极限中的应用
值 得 注意 的是定 积分 的值 只 与被 积 函数 和 积 分 区 间有 关 ， 与 区间 的划 分 方 法 以及 点 的选 取方 法 无
关 ． 正因为这个特性 ， 在划分区间以及选取点 基时 ， 选取一些特殊而恰 当的方式 ， 可 以帮助求解一些关于
定积 分 的证 明 以及 一些 复杂 的求极 限 问题 ∞ ．
在定 积 分 的学 习过 程 中 ， 充 分 理解 和 掌 握定 积 分定 义 中区间 的划 分 方法 、 以及 点 的选 取 方法 与 定 积 分值 无关 这一 特性 ， 将有 助 于证 明一些 关 于定积 分 的复 杂证 明题 ． 同时， 逆 向思 考 极 限与 定 积 分定 义 之 间关 系， 有利 于求解 一些 复 杂 的求 极 限问题 ． 总之， 在 学 习新概 念 的时候 ， 必 须深 刻 理解 新 概 念 的精 髓 和本 质 ， 这
理一 些复 杂 的求极 限 问题 ．
关键 词 ： 定积 分 ； 等 分 区间 ； 极 限
中图分 类号 ： ０ １ ７ ２ 文 献标 志码 ： Ａ
０ 引 言
设， （ ） 是定 义 在 ［ ｏ ， ｂ ］ 上 的一 个 连续 函数 ， ， 是 一 定数 ． 若 任 意给 定 的 ８＞０ ， 存 在 ＞０ ， 对 任 意 的分法 ０＝ ＜ １ ＜… ＜
２ 定 积 分 定 义 在 求 极 限 中 的应 用
志 赢 南
海
定 积 分是通 过极 限定 义 的 ， 反 过来 一些 求极 限的 问题也 常 常通 过 定积 分 来 求解 ． 求解过程中， 也 常常 利
用定 积分 定义 中区间划 分及 点 选 取 的任 意性这 一特 性－
求 极 限 （ ＋
利用定积分定义求极限的原理
利用定积分定义求极限的原理定积分定义求极限是一种常用的数学工具，它可以用来分析函数在其中一点的性质。
在进行极限求解的过程中，定积分定义可以帮助我们精确地计算函数的极限，从而得到准确的结果。
接下来，我将详细介绍定积分定义求极限的原理。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，将[a,b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，其中a=x₀<x₁<...<xn=b，选取任意一点ξi∈[xi-1, xi]，则可以得到定积分的定义：∫(a->b)f(x)dx=lim(n->∞)(Σ(i=1->n)f(ξi)Δx)其中，Σ(i=1->n)f(ξi)Δx表示用n个小矩形的面积来逼近函数f(x)在[a,b]上的面积。
接下来，我们将用定积分定义来求函数在其中一点的极限。
考虑函数f(x)在点x=c处的极限，即lim(x->c)f(x)。
为了求解这个极限，我们首先将函数f(x)在点x=c附近进行逼近。
选取[a,b]为[c-Δx, c+Δx]，其中Δx是一个足够小的正实数。
然后将[a,b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx/n，其中a=c-Δx<b=c+Δx。
对于每一个小区间[xi-1, xi]，我们在其中选取任意一点ξi∈[xi-1, xi]，则可以得到：lim(n->∞)(Σ(i=1->n)f(ξi)Δx)我们将上述极限的形式与lim(x->c)f(x)的极限形式进行对比，发现它们非常相似。
最终，我们可以得出下述结论：lim(n->∞)(Σ(i=1->n)f(ξi)Δx)=lim(x->c)f(x)这就是利用定积分定义求极限的原理。
通过对函数在其中一点附近进行逼近，可以将极限的计算转化为对定积分的计算。
具体来说，我们将函数在小区间内的面积逼近为n个小矩形的面积之和，然后取极限即可得到函数在该点的极限值。
用定积分定义求极限的n次方
用定积分定义求极限的n次方在数学分析领域中是一个非常重要且常见的问题。
在研究这个问题之前，我们首先需要了解定积分的定义和性质。
定积分是微积分的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。
而求极限则是计算函数在某一点或趋于某一点时的取值。
在本文中，我们将探讨如何利用定积分的定义求极限的n次方，并深入研究这个问题的数学原理和推导过程。
# 定积分的定义和性质定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。
在数学上，定积分可以定义为函数在一个区间上的面积，它可以被用来描述曲线下的面积、求函数的平均值等。
定积分的定义如下所示：\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Δx其中，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量，n 表示将区间分成的小区间的个数，x_i^*是每个小区间的取样点，Δx表示每个小区间的长度。
定积分具有一些重要的性质，如线性性、可加性等，这些性质在求解极限的n次方问题中发挥着重要作用。
# 求极限的n次方的定义求极限的n次方是一个常见且重要的数学问题，在实际问题中也经常遇到。
当我们要计算一个函数在某一点或趋于某一点时的取值时，就需要求该函数的极限。
求极限的n次方问题可以表示为：\lim_{x→a}(f(x))^n其中，f(x)是一个函数，n是一个正整数，a是函数的极限点。
当n为奇数时，求解这个极限问题比较简单，但当n为偶数时，就需要一些特殊的技巧和方法来求解。
在本文中，我们将重点讨论求极限的n次方问题中n为偶数的情况，并探讨如何利用定积分的定义来求解这个问题。
# 利用定积分定义求极限的n次方在求解极限的n次方问题中，当n为偶数时，我们可以利用定积分的定义来求解这个问题。
具体的推导过程如下：首先，我们将求解的问题转化为求解函数f(x)在区间[a,b]上的平均值的n 次方的极限。
巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧
1 n
，然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ，第二项出现 2 ，…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可
解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ，其余的不能含多余的 n ，这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分， i 就是积分中 f (x) 的 x ，所谓的规律就是，通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注：（1）这里的数列通项为各项之积，不能只表示为积分的形式，我们可以采用对数法， 把积变为和的形式，进而将所求极限化为定积分，把被积函数转化为对数函数。
（2）如果区间不是 [0,1]而是 [a,b]，只需注意分点 xi
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)
n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是 ，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
利用定积分定义求和式极限问题的探讨作者：陈小蕾来源：《成才之路》2009年第16期摘要:无限多项和式的极限求解具有一定的难度。
本文用具体例题形式给出了利用定积分求解和式极限的常用方法.关键词:和式;积分;极限在一般的规律总结中,通常把极限的求法总结为十种具体的求解方法。
利用定积分来求和式极限的方法在总结中常常被忽略掉,因为这种方法具有很强的针对性。
为了对加深对积分概念的理解,很有必要对种方法进行讨论归纳。
例1 求极限。
解:因为ln=ln=ln•=lnxdx=-1,所以=e=e=e-1极限问题转化为,把[0,1]区间n等分,?孜取,的右端点(即?孜=),由函数f(x)=lnx构成的积分和f•的极限, 再根据积分定义转化为定积分求解。
一般情况下只要符合定积分定义和式结构都可以利用定积分来进行求解,积分限的选取需要由函数结构本身和极限和形式来定,恰当的选择积分限可以简化运算.若能和其他求解极限方法结合效果会更好。
例2 求极限sin[na+i(b-a)]p (p>0,a解:因n→∞时,sin~,所以sin[na+i(b-a)]p=[na+i(b-a)]p =[a+(b-a)]p •=xpdx=。
这里取f(x)=xp,区间为[a,b],极限转化为xpdx。
若取f(x)=[a+(b-a)x]p,区间为[0,1],极限转化为[a+(b-a)x]pdx。
后者较前者稍显复杂。
在历年的考研数学中也曾多次出现过利用定积分来求解极限和的形式,下例就是在考研数一中出现的题型。
例3 求极限++…+。
解:利用夹逼原理:sin+sin+…+sin?仔?燮++…+?燮sin+sin+…+sin?仔。
三端同时取极限有sin+sin+…+sin?仔=•sin=,又sin+sin+…+sin?仔=sin= ,故有++…+=。
有些特殊的和的极限可以利用二重积分的定义求解。
例4 计算 (5m4-18m2k2+5k4)。
解:(5m4-18m2k2+5k4) =5-18+5•= (5x4-18x2y2+5y4)d?滓=dx(5x4-18x2y2+5y4)dy=(5x4-6x2+1)dx=0 ,其中D={(x,y)=|0≤x≤1,0≤y≤1｝。
定积分与极限的转化公式
定积分与极限的转化公式定积分与极限的转化公式是数学中常见的高级概念，它能够帮助我们更好地理解数学的规律性。
下面，就由我们来详细解释一下定积分与极限的转化公式及其应用。
一、定积分与极限的转化公式：1. 定积分及极限：（1）定积分的定义：定积分又称Riemann积分，它既可以用来表达近似应用，也可以用来进行函数逼近计算。
定积分主要是指把一个积分中可变量的不断变化和类椭圆的不断变化看做闭合的加法运算，形成一系列概率事件的加法和减法。
（2）极限的定义：极限是指在某个点的函数的值的取值范围非常窄，可以做到近似等于无穷小，这个点叫做极限。
极限主要用于求解某种自变量改变后，因变量取值范围的大小或变化趋势。
2. 定积分与极限转换公式：定积分I和极限L的转换公式为：I = L - ε，其中ε是小正数。
这个公式指出：当定积分的函数值趋于极限时，定积分的值就会等于极限减去小正数ε（ε> 0）。
因此，当积分中变量的值逐渐变化，极限的值也可以通过定积分来计算。
二、定积分与极限的转化公式的应用：1. 非正确函数的应用：把定积分的转换公式应用到非正确函数上，也就是说：把一个不是正确函数，但其它参数符合一定条件的函数以定积分的形式去算，得到不同时间点上函数的不同值，并且得出积分函数总体上趋向于极限。
2. 曲线积分的应用：定积分与极限的转化公式可以用于计算曲线积分，即把曲线上点到形成的矩形区域，通过极限来计算曲线的积分，从而算出曲线下面积的大小。
三、总结概括起来，定积分与极限的转换公式I=L-ε(ε>0)能够帮助我们更精准地计算出某个积分时变量取值限制范围，以及从而可以从定积分极限来计算出各变量取值和改变趋势；更加方便我们计算非正确函数的极限点和曲线积分，将大量的变量运算问题转化成极限的计算，从而获得更精准的结果。