初二下数学竞赛辅导资料 中 位线
第8课 中位线
第8课 中位线1、△ABC 中，中线BD 、CE 相交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
你还能得到什么结论？C2、梯形ABCD 中,AD ∥BC, E 是腰AB 的中点,且DE ⊥CE .求证：DE 、EC 分别平分∠ADC 和∠BCD 。
3、如图，E 、F 分别是梯形ABCD 的对角线中点，求证：)(21AD BC EF -=C4、如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，延长BA 、NM 、CD 分别交于点E 、F 。
试说明∠BEN =∠NFC .5、△ABC 中，AD 是角平分线，AB<AC,在AC 上截取CE=AB,M 、N 分别是BC 、AE 的中点，求证：MN ∥AD.6、分别以△ABC 的AC 、BC 为腰，A 、B 为顶点做等腰直角△ACE 、△BCD ，M 为DE 中点，求证：△AMB 也是等腰直角三角形。
DE7、任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别是MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE,且AE =4KL .E8、已知AB ∥CD,∠D+∠C =900,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求证：EF =21(DC -AB ). C9、在等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F，使AE=CF ，已知BC =2,证明：EF ≥1.10、△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线BE ，CF 相交于O ，AG ⊥BE 于G ，AH ⊥CF 于H ． (1)求证：(1)GH ∥BC ;(2)若AB =9厘米，AC =14厘米，BC =18厘米，求GH ．C11、如果上面问题中，条件变成∠B 、∠C 的外角平分线呢？并给出具体论证。
12、过四边形ABCD的边AD、BC的延长线交点P作任意直线EF,且EP=PF,求证：不论EF 的长度与位置如何，线段AE、BF的中点连线恒过某一定点。
初二数学中位线的知识点总结
初二数学中位线的知识点总结在初中所学的中位线知识包括了三角形中位线和梯形中位线定理。
中位线概念(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
2.中位线定理(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.三角形两边中点的连线(中位线)平行于第BC边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形(中点三角形)面积是原三角形面积的四分之一。
比起梯形中位线的知识要领，三角形的中位线定理更加的容易出现在试题中。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
人教版八年级下册数学辅导第6次(三角形的中位线定理、矩形)
一、已学知识回顾与复习●三角形的中位线：1、定义： 叫三角形的中位线。
∵ = = （已知） ∴DE 是△ABC 的中位线（三角形中位线的定义） 或∵DE 是△ABC 的中位线（已知）∴ = = （中位线的定义）2、相关定理：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
∵AD=BD,AE=CD(已知) ∴ （三角形中位线定理） （2）中位线定理的逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
（用于判定，证中点）∵ 点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC DE ＝12BC ∴（3）中位线定理的逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
（用于判定，证中点或一半）∵ AD=BD DE ∥BC （已知） ∴ ■典型考题例1、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点。
求PQ ：BE 的值.练习：1、如图，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、A D 的中点，且AB=6,CD=10， 则EF 的长为 。
2、 如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、 AC 的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= .3、如图，△ABC 中，AD 是高，BE 是中线，∠EBC=300, 求证：AD=BE .4、如图9，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD . 求证：CD=2EC .5、如图10，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点. 求证：(1)DE ∥AB ; (2)()12DE AB AC =+.BCA DE●矩形1、定义： 叫矩形。
凡是定义都既是“性质”又是“判定” ∵ □ABCD 中，∠A=90°∴□ABCD 是矩形。
初中数学初二数学下册《三角形的中位线》教案、教学设计
-请分析并解释：为什么三角形的中位线可以将三角形分成两个面积相等的小三角形？
4.拓展与创新题：提供一些难度较高的题目，供学有余力的学生挑战，激发他们的学习兴趣和创新能力。例如：
-如果一个三角形的两条中位线相等，那么这个三角形是什么类型的三角形？
-通过课堂问答、作业批改、小组评价等多种方式，全面了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将利用学生的生活经验和已有知识，创设一个与学生日常生活紧密相关的情境。例如，我会提出这样一个问题：“同学们，你们在体育课上是否玩过接力赛？在接力赛中，为什么运动员总是沿着一条直线跑，而不是曲线？”通过这个问题，引导学生思考直线的性质和作用。然后我会进一步提问：“如果我们在三角形中找到一些特殊的线段，这些线段是否也会具有一些特殊的性质呢？”这样的导入方式能够激发学生的好奇心，为接下来的新课学习做好铺垫。
-请尝试用不同的方法证明三角形中位线的性质。
5.反思与总结题：要求学生撰写学习反思，总结自己在学习三角形中位线过程中的收获和困惑，以及对未来学习的规划。
2.结合实际例题，通过直观演示和逐步引导，让学生体会中位线在实际问题中的应用。
-教师将选择与生活实际相关的问题，引导学生运用中位线进行解决。
-学生通过解决具体问题，领会数学知识在实际生活中的应用，培养学以致用的能力。
3.利用变式练习和拓展训练，提高学生解决问题的灵活性和创新性。
-教师将设计不同难度的练习题，以及具有挑战性的拓展题目，帮助学生巩固知识。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成若干小组，每组学生需要共同探讨以下问题：1.如何使用尺规作图作出三角形的中位线？2.三角形的中位线有哪些性质？3.如何运用中位线的性质解决实际问题？我会鼓励学生在小组内积极发表自己的观点，倾听他人的意见，共同完成讨论任务。在这个过程中，我会巡回指导，关注每个小组的讨论进度，适时给予提示和建议。
沪科版八年级数学下册19.2三角形的中位线优秀教学案例
3.教师关注各小组的学习情况，及时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作学习中得到锻炼和提知识进行反思，巩固记忆，提高理解。
2.学生通过自我评价、同伴评价等方式，了解自己的学习情况，发现不足，明确改进方向。
沪科版八年级数学下册19.2三角形的中位线优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为沪科版八年级数学下册19.2节“三角形的中位线”，是学生在学习了三角形的基本概念、性质和特殊三角形的基础上，进一步探究三角形中位线性质和应用的重要内容。通过本节的学习，学生能够掌握三角形中位线的定义、性质和作法，会用中位线解决一些简单的几何问题。
3.教师对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续努力，提高他们的自信心。
（五）作业小结
1.教师布置具有针对性的作业，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
2.学生认真完成作业，及时巩固所学知识，培养良好的学习习惯。
3.教师批改作业，了解学生的学习情况，为下一节课的教学做好准备。
作为一名特级教师，我将以教学内容与过程为线索，关注学生的学习需求，充分调动学生的积极性和主动性，努力提高教学效果，为学生的全面发展奠定坚实的基础。同时，注重教学评价，及时调整教学策略，使教学活动更加符合学生的实际需求，提高教学质量。
在教学评价上，我注重过程性评价与终结性评价相结合，全面了解学生的学习情况。通过观察学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率，及时发现并解决问题，为学生的持续进步提供指导。同时，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和沟通能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线的性质，了解三角形中位线在几何中的应用。
初二竞赛班辅导资料
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
人教版数学八年级下册18.1.2第2课时《 三角形的中位线》教案
人教版数学八年级下册18.1.2第2课时《三角形的中位线》教案一. 教材分析《三角形的中位线》是人教版数学八年级下册第18章第一节的一部分，主要内容是让学生掌握三角形的中位线的性质，学会运用中位线解决一些几何问题。
本节课的内容是学生学习几何知识的重要环节，也是进一步学习复杂几何图形的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行四边形的性质，对图形的对称性有一定的了解。
但部分学生对图形的直观感知能力较弱，对几何图形的性质理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
三. 教学目标1.让学生掌握三角形的中位线的性质，能熟练运用中位线解决一些几何问题。
2.培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.三角形中位线的性质。
2.运用中位线解决几何问题。
五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生通过观察实物，理解三角形中位线的性质。
2.运用归纳法，引导学生总结三角形中位线的性质。
3.采用练习法，让学生在实践中掌握中位线的运用。
4.小组合作学习，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。
2.设计相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型，引导学生观察三角形的中位线，提出问题：“三角形的中位线有什么性质？它与三角形有什么关系？”2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，展示三角形的中位线的性质，引导学生总结出：三角形的中位线平行于第三边，等于第三边的一半。
3.操练（10分钟）让学生利用直尺、圆规等工具，自己动手画出一个任意的三角形，然后找出它的中位线，并验证中位线的性质。
4.巩固（10分钟）设计一些有关三角形中位线的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何利用三角形的中位线解决实际问题？例如，在建筑设计中，如何利用中位线保证建筑物的稳定性？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的知识点，教师进行补充。
八年级下册数学-三角形的中位线
第9讲三角形的中位线知识导航1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3.一个三角形有三条中位线.【板块一】运用中位线的性质计算与证明方法技巧三角形的中位线平行且等于第三边的一半，给出了中位线与第三边的位置关系和数量关系，为证明两线平行，探求两线段的数量关系提供了依据.题型一利用中位线的性质计算与证明【例1】如图，△ABC中，12AB=，8AC=，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_______.【例2】如图，点E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE DC=，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)求证：2=.AB OF针对练习11.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点E，使BE BC=，BN⊥EC于点N，连接MN，求MN的长.2.如图，O 为△ABC 两条中线BF 与CD 的交点，求证：12OD OC =，12OF BO =.【板块二】 构造中位线的方法与技巧方法技巧构造中位线的方法与技巧有：连中点构造中位线，取中点构造中位线，角平分线与垂线组合构造中位线，倍长线段构造中位线，连接第三边构造中位线.题型二 连中点构造中位线【例1】如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点D ，C ，B 在同一条直线上，点F ，G ，M 分别为AD ，BE ，AB 的中点.(1)求FGM ∠的度数；(2)求FG BD的值.题型三 取中点构造中位线方法技巧三角形的一条边上有中点，可以取另一边的中点，然后连接这两个中点，构造三角形的中位线.【例2】如图1，在△ACB 中，CA CB =，90ACB ︒∠=，点E 在AC 上，EF ⊥AC 交AB 于点F ，连接BE ，D 为AF 的中点，M 为BE 的中点.(1)判断CM 与CD 之间的数量关系，并加以证明；(2)将△AEF 绕点A 旋转任意一锐角，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请加以证明.题型四 角平分线＋垂线→构造中位线方法技巧角平分线＋垂线，通过延长直角边，可以补全成等腰三角形，形成一边上有中点的情形，与另外的边的中点连线可得到中位线.【例3】(2017徐州改)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别为AB ，AC 的中点，点F 在DE 上，且AF ⊥BF .(1)求证：ABF CBF ∠=∠；(2)若5AB =，8BC =，求EF 的长.【例4】如图，BD ,CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，AG ⊥CE 于点G ，连接FG . 求证：(1)FG ∥BC ； (2) ()12FG AB BC AC =++.【例5】已知点M 为△ABC 的边BC 的中点，12AB =，18AC =，BD ⊥AD 于点D ，连接DM .(1)如图1，若AD 为△ABC 的角平分线，延长BD 交AC 于点E .①求证：BD DE =；②求MD 的长；(2) 如图2，若AD 为△ABC 的外角平分线，则_______MD =.【例6】如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F .求证：EF ∥AB .【例7】如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，90ACB CDE ︒∠=∠=，点E 在AC上，M 为BE 的中点.求证：2AE DM =.题型五 倍长线段构造中位线【例8】如图，点P 为△ABC 的边BC 的中点，分别以AB ,AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且BAD CAE ∠=∠.求证：PD PE =.题型六 连接第三边构造中位线方法技巧若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边，构造中位线. 【例9】如图，在□ABCD 中，120C ︒∠=，2AB =，4AD =，点H ，G 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AH ，HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF .则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．1 B.31- C.32D.23-【例10】如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.【例11】如图，点B 为线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点.(1)求证：PM PN =；(2)求MPN ∠的度数.针对练习21.(课本62页第16题改编)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为BAC ∠的平分线，BD ⊥AD 于点D .(1)求证：()12DM AC AB =-； (2)若6AD =，8BD =，2D M =，求AC 的长.2.如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别平分ABC ∠，ACB ∠，AG ⊥BE ，AH ⊥CF ，G ，H 为垂足，求证：GH ∥BC .3.如图，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EG 与HF 互相平分.4.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于点M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于点N .(1)求证：MN ∥BC ；(2)若AB c =，AC b =，BC a =，求MN 的长.【板块三】 中位线与动态探究题型七 中位线与路径问题方法技巧中位线的动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终止点这些特殊位置对应的点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.【例1】如图，在△ABC 中，90B ︒∠=，60BAC ︒∠=，1AB =，若点E 为BC 上一动点，以AE 为边在AE 右侧作等边△AEF ，连接CF ，点G 为线段CF 的中点，若点E 从点B 出发，沿着BC 方向运动到点C ，则在此过程中，点G 运动的路径长为_________.【例2】如图，()2,0A ，()0,2B ，点P 在线段OA 上运动，BP ⊥PM ，BP PM =，C 为x轴负半轴上一定点，连接CM ，N 为CM 的中点，当点P 从点O 运动至点A 时，点N 运动的路径长为________.针对练习3 .1.如图，已知AB =10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP ,PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB ，连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,求点G移动的路径长。
浙教版数学八年级下册《4.5 三角形的中位线》教案1
浙教版数学八年级下册《4.5 三角形的中位线》教案1一. 教材分析《三角形的中位线》是浙教版数学八年级下册第四章第五节的内容。
本节主要让学生掌握三角形的中位线的性质，学会运用中位线解决一些几何问题。
教材通过生活实例引入中位线的概念，然后引导学生探究中位线的性质，最后给出中位线的判定条件。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平行四边形的性质，对图形的变换有一定的了解。
但他们对三角形的中位线可能还比较陌生，因此需要通过实例和探究活动来帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的中位线的定义，掌握三角形中位线的性质。
2.学会运用中位线解决一些简单的几何问题。
3.培养学生的观察、思考、动手能力，提高他们的几何素养。
四. 教学重难点1.三角形中位线的定义和性质。
2.运用中位线解决几何问题。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活实例引入中位线的概念，让学生感受中位线在实际问题中的应用。
2.探究活动：引导学生通过小组合作、讨论、实验等方式，探究中位线的性质，培养学生的动手能力和思考能力。
3.讲解示范：教师在学生探究的基础上，进行讲解和示范，让学生进一步理解和掌握中位线的性质。
4.练习巩固：设计一些练习题，让学生运用中位线解决实际问题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含三角形中位线定义、性质、应用等方面的PPT。
2.练习题：准备一些有关三角形中位线的练习题，包括填空、选择、解答等题型。
3.教具：准备一些三角形模型，以便在课堂上进行演示。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例引入三角形的中位线概念，如在建筑设计中，如何利用中位线来确定建筑物的对称性。
让学生观察和思考，引发他们对中位线的兴趣。
2. 呈现（10分钟）呈现PPT，展示三角形的中位线性质。
通过动画演示和实物模型，让学生直观地了解中位线的性质。
同时，引导学生进行小组讨论，分享他们的观察和发现。
3. 操练（10分钟）让学生进行小组合作，利用教具进行实际操作，验证中位线的性质。
初二数学专项三角形的中位线与性质
初二数学专项三角形的中位线与性质初二数学专项：三角形的中位线与性质在初二数学的学习中，三角形的中位线及其性质是一个重要的知识点。
它不仅在解决几何问题时经常用到，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象能力也具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是三角形的中位线。
三角形的中位线，是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
那么，三角形中位线具有哪些性质呢？性质一：三角形的中位线平行于第三边。
这意味着中位线与第三边没有交点，并且它们的方向相同。
性质二：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。
为了更好地理解这些性质，我们来看几个具体的例子。
假设我们有一个三角形 ABC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。
由于中位线 DE 平行于 BC，并且DE 的长度是 BC 长度的一半。
如果我们知道 BC 的长度为 10 厘米，那么根据中位线的性质，DE的长度就是 5 厘米。
再比如，在一个三角形中，如果中位线的长度为 6 厘米，那么与之平行的第三边的长度就是 12 厘米。
那么，这些性质在实际解题中有什么用呢？用途一：证明两直线平行。
当我们需要证明两条直线平行，而又难以直接证明时，如果能够找到连接对应边中点的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，就可以轻松得出结论。
用途二：计算线段长度。
已知中位线的长度或者第三边的长度，就可以通过中位线长度等于第三边长度的一半这一性质，求出另一边的长度。
用途三：构造平行四边形。
通过连接三角形两边中点得到中位线，再利用中位线平行且等于第三边一半的性质，可以构造出平行四边形，从而解决相关问题。
接下来，我们通过一些具体的题目来进一步掌握三角形中位线的应用。
例 1：在三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，若三角形 ABC 的周长为 20 厘米，求三角形 DEF 的周长。
因为 D、E、F 分别是三角形三边的中点，所以 DE、EF、DF 是三角形 ABC 的中位线。
人教版八年级数学下册18.1.3三角形中位线(教案)
在今天的教学中，我尝试通过不同的教学活动和实际案例，让学生们理解和掌握三角形中位线的概念及其应用。从课堂的反应来看，大部分同学能够跟随我的讲解，对中位线的性质有了基本的认识。然而，我也注意到了一些需要反思和改进的地方。
在导入新课的环节，我发现通过提问的方式吸引学生的兴趣是有效的，但问题的设置可以更加贴近学生的生活实际，让他们更有代入感。这样，学生可能会更积极地参与到课堂讨论中来。
在小组讨论时，我发现有些学生不太愿意发表自己的意见。这可能是因为他们对自己的答案不够自信，或者是不习惯在小组中分享想法。今后，我需要更多地鼓励这些学生，创造一个更加包容和鼓励表达的教学环境。
此外，我也注意到在学生分享讨论成果时，其他学生的倾听态度有待提高。为了增强课堂互动，我可以在这一环节设置一些互动规则，比如要求学生在听完分享后提出至少一个问题或者给出一个评价。
-空间想象能力的培养：对于较复杂的几何图形，学生可能难以在脑海中形成清晰的中位线图像。
举例解释：
-对于中位线定理的证明，教师可以采用分步讲解，使用模型或动画辅助，帮助学生理解证明过程中的每一步。
-在应用中位线性质解决几何问题时，教师应提供多个不同类型的例题，指导学生如何识别问题、运用定理。
-为了培养学生的空间想象能力，教师可以设计一些需要折叠和剪切的动手活动，让学生在实际操作中感受中位线的存在和性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形中位线的基本概念。三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，它具有特殊的性质。这些性质在解决几何问题时非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个三角形，我们将展示如何找到中位线，并解释它如何帮助我们解决几何问题。
八年级数学下册《三角形中位线定理》优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结三角形中位线的定义、性质及定理。
2.强调三角形中位线定理在几何图形中的应用，让学生明确定理的价值。
3.引导学生反思学习过程中的收获和不足，为下一步的学习制定合理计划。
（五）作业小结
1.布置以下作业：
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理及其证明过程，能够准确运用定理分析解决问题。
2.学会通过实际操作和观察，发现三角形中位线与第三边的关系，提高学生的观察、分析、综合能力。
3.能够运用三角形中位线定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段相等等，提高学生的应用能力。
a.教材课后习题，巩固三角形中位线定理的应用；
b.拓展练习，运用三角形中位线定理解决实际问题；
c.写一篇学习心得，总结自己在学习三角形中位线定理过程中的收获和感悟。
2.提醒学生按时完成作业，养成良好的学习习惯。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，探索三角形中位线的其他性质和定理，提高自己的几何素养。
五、案例亮点
2.提问：“同学们，你们知道三角形的中位线吗？它有什么作用呢？”引发学生思考，为新课的学习做好铺垫。
3.介绍本节课的学习目标，让学生明确学习内容，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.利用多媒体课件，直观演示三角形中位线的定义及性质，让学生对中位线有初步的认识。
2.通过实际操作，让学生在三角形纸片上画出中位线，观察中位线与第三边的关系，引导学生发现三角形中位线定理。
4.培养学生运用几何图形和符号语言表达数学问题的能力，提高数学表达能力。
（二）过程与方法
8下多边形中常见辅助线
8下多边形中常见辅助线
多边形是数学中常见的几何图形，其中包含许多有趣的性质。
为了更好地理解和研究多边形，我们可以使用辅助线来帮助我们推导和证明多边形的性质。
以下是在8下多边形中常见的一些辅助线：
1. 对角线：连接不相邻顶点的线段称为对角线。
对于8下多边形，它有4条对角线。
对角线可以将多边形分为几个三角形，这样我们可以利用三角形的性质来研究和推导多边形的性质。
2. 中位线：连接多边形的两个相邻顶点的线段称为中位线。
8下多边形有4条中位线。
中位线的特点是它们相互交点在多边形的中心，这个交点被称为多边形的重心。
3. 高线：通过连接多边形的一个顶点和对应边的垂直线段称为高线。
8下多边形有8条高线。
高线的特点是它们相互交点在多边形的内心，同时高线与对应边的交点也是垂足。
4. 角平分线：连接多边形一个内角的顶点与对边的交点称为角平分线。
8下多边形有8条角平分线。
角平分线的特点是它们将内角平分为两个相等的角。
使用这些常见的辅助线，我们可以更好地理解和分析8下多边形的性质。
通过利用三角形的性质，我们可以研究多边形的角度大小、边长比例、对称性等特点。
同时，这些辅助线也可以帮助我们证明多边形性质的正确性。
总而言之，辅助线在研究多边形中起着至关重要的作用。
通过合理地选择和应用辅助线，我们可以更好地理解和推导8下多边形的性质。
参考文献：
- 王贵栋. (2006). 数学. 人民教育出版社.。
人教版初二数学下册 中位线定理 讲义
中位线定理三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段中位线定理：1、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半2、梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半例1、△ABC 的三条边AB 、AC 、BC 的中点分别是点D 、E 、F ，且DE=4，EF=3，DF=6，则△ABC 的周长为（ ）A 、22B 、26C 、20D 、24例2、如图，DE 是△ABC 的中位线，下面的结论中错误的是（ ）A 、AB DE 21 B 、AB//DEC 、BC=2DED 、AB=2DE例3、如图，在四边形ABCD 中，∠C=60°，AD//BC ，AD=DC=8，E 、F 分别为AB 和DC 的中点，则EF 的长为___________1、如图，已知△ADE周长为4，且DE是△ABC的中位线，则△ABC的周长为（）A、6B、8C、12D、162、在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A、10B、20C、30D、403、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，则菱形ABCD的周长是（）A、4B、8C、12D、162cm，则这个等边三角形的中位线为（）4、等边三角形的一边上的高为3A、3cmB、2.5cmC、2cmD、4cm5、若三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A、24cmB、48cmC、12cmD、无法确定6、如图，△ABC 的周长为a ，以各边中点为顶点组成一个新三角形，以新三角形各边中点为顶点又组成一个三角形，则这个小三角形的周长等于（ ）A 、2aB 、3aC 、4a D 、6a7、如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处。
若∠CDE=48°，则∠APD 等于（ ）A 、42°B 、48°C 、52°D 、58°8、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（ ）A 、2B 、3C 、25D 、49、如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A 、10B 、11C 、12D 、1310、如图，△ABC中，D、E、F、G分别是AB、AC、AD、AE的中点，若BC=8，则DE+FG等于（）A、4.5B、6C、7D、811、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A、7B、9C、10D、1112、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO，BO的中点。
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初中数学竞赛辅导资料（32）
中位线
甲内容提要
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平
行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯
形，包括作出辅助线。
4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是
平行线截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
5. 有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
乙例题
例1. 已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。
求证：PM＝PN
（1991年泉州市初二数学双基赛
题）
证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，
F
∵△ABM、△CAN是等腰直角三角
形 ∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝
NF，
根据三角形中位线性
质
PE＝AC＝NF，PF＝AB＝
ME
PE∥AC，
PF∥AB
∴∠PEB＝∠BAC＝
∠PFC
即∠PEM＝
∠PFN
∴△PEM≌△PFN ∴PM＝PN
例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于
M，且N是BC的中点。
求MN的
长。
分析：N是BC的中点，若M是另一边中
点，
则可运用中位线的性质求MN的
长，
根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即
可。
辅助线是：延长CM交AB于E（证明
略）
例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点
求证：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）
分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运
用中位线的性质。
∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中
点。
（证明略）
分析二：图2与图1思路一样。
分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三
点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。
例4. 如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点
求证：MN∥AD
证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PN
MP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC
∵BE＝CF，∴MP＝NP
∴∠3=∠4=
∠MPN＋∠BAC＝180（两边分平行的两个角相等或互补）
∴∠1=∠2=，∠2=∠3
∴NP∥AC ∴MN∥AD
证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG
则MN∥FG，△MCG≌△MBE
∴CG＝BE＝CF ∠B＝∠BCG
∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180
∠CAD＝（180－∠FCG）
∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD
∴
MN∥AD
例5. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延长线于
G
求证：FD＝
CG 证明要点是：延长GE交AC于
H，
可证E是GH的中
点
过点E作EM∥GC交HC于
M， 则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝
GC
由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC
丙练习
32
1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中
点
则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形
②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿
形
③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿
形
④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。
2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。
3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中
点，证明顺次连结E，F，G，H 所成的四边形是等腰梯形。
4. 已知：经过△ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂
线段 BB，和CC，，设M是BC的中点，
求证：MB，＝
MC， 5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC
求证BC＝DM＋EN
6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段
AE，BF，CG，DH。
求证AE＋CG＝BF＋
DH
7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，
求证BC＝2CE
8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN
9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，
AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD。
10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，
∠AOB＝60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等
边三角形。
11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，
求证：△ABC是Rt△。
12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O，
∠BOD＝60，求证AD＝
BE 13.如图 已知：四边形ABCD中，AD＝
BC，
点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF
求证：∠DMN＝∠CNM
练习32
1. ①平行四边形②菱形③矩形④相等且互相垂直
2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边
3. DG＝EF＝AB
4. 过点M作a的垂线,必平分B，C，
5. △ABC的中位线也是梯形BCD，D中位线
6. 同上，有公共中位线
7. 取BC中点G，连结DG
8. 连结BD交AC于O，易证四边形MCNO是平行四边形
9. 证四边形MPNS是平行四边形
10. ∵△COD是等边三角形，CR⊥DO，RQ＝BC，……
11. 作EF⊥AC，EF＝ED＝EC，∠C＝30，……
12. 作EF⊥BC于F，AD，BE都等于2EF
13. 过AC的中点O作MN的平行线，则OE＝OF，……。