初二数学竞赛辅导资料(共12讲)

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初中数学培优辅导资料(1-10)讲

初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除（一）

内容提要：

如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.

能被7整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）

能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除

如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）

例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。求x,y

解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3

例2己知五位数x 1234能被12整除，求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，

当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行

调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。练习

１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296

987能被3整除，那么a=_______________

初中数学竞赛辅导资料(1)2

初中数学辅导资料数的整除

内容提要：

如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.

一些数的整除特征除数能被整除的数的特征

2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除

8或125 末三位数能被8或125整除

3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)

11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,等)

7,11,13

从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)

能被7整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）

又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）

又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）例题

例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y

解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3

例2己知五位数x 1234能被12整除，求X

解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去 .
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 .
走进追问求根公式学历训练
1、已知、是实数，且，那么关于的方程的根为.
2、已知，那么代数式的值是.
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值.
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.
A、 B、或 C、 D、
思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择.
【例3】已知关于的方程，
(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.(湖北省荆门市中考题)
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决.解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法.

初中数学(初二)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)

初二数学竞赛讲义

重难点有效突破

知识点梳理及重点题型举一反三练习

专题01 整式的乘除

阅读与思考

指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，

，，，．学习指数运算律应注意：

1．运算律成立的条件；

2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；

3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：

1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；

2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；

3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．

例题与求解

【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．

（“华罗庚杯”香港中学竞赛

试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）

（3）把展开后得，则

．（“祖冲之杯”

邀请赛试题）

（4）若则

．（创新杯训练试题）

解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．

【例2】已知，，则等于（）

A．2 B．1 C．D．（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．

【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）

解题思路：设，这样可用的式子表示，可用

的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．

【例4】已知多项式，求的值．

那些年，我用过的最实用的初中数学教辅资料——竞赛辅导篇

今天，为大家带来初中数学竞赛学习过程中的几大宝书，本本经典，绝对值得一看~

初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义

本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。

注：有(*)标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：

第一讲实数（一）

第二讲实数（二）

第三讲平面直角坐标系、函数

第四讲一次函数（一）

第五讲一次函数（二）

第六讲全等三角形

第七讲直角三角形与勾股定理

第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）

第九讲竞赛中整数性质的运用

第十讲不定方程与应用

第十一讲因式分解的方法

第十二讲因式分解的应用

第十三讲考试（未装订在内，另发）

第十四讲试卷讲评

第1讲实数（一）

【知识梳理】

一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数

（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0

在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示

设a 为实数，则⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a

绝对值的性质：

①绝对值最小的实数是0

②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，|

|||

b a b a =

(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |

初二竞赛班辅导资料

本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。

注：有(*) 标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：

第一讲如何做几何证明题

第二讲平行四边形（一）

第三讲平行四边形（二）

第四讲梯形

第五讲中位线及其应用

第六讲一元二次方程的解法

第七讲一元二次方程的判别式

第八讲一元二次方程的根与系数的关系

第九讲一元二次方程的应用

第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式

第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形

第十二讲专题复习三：相似三角形

第一讲：如何做几何证明题

【知识梳理】

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

(完整)八年级数学培优资料精品

第1讲全等三角形的性质与判定 (2)

第2讲角平分线的性质与判定 (12)

第3讲轴对称及轴对称变换 (17)

第4讲等腰三角形 (25)

第5讲等边三角形 (37)

第06讲实数 (43)

第7讲变量与函数 (50)

第8讲一次函数的图象与性质 (56)

第9讲一次函数与方程、不等式 (66)

第10讲一次函数的应用 (72)

第11讲幂的运算 (84)

第12讲整式的乘除 (90)

第13讲因式分解及其应用 (97)

第14讲分式的概念•性质与运算 (104)

第15讲分式的化简求值与证明 (112)

第16讲分式方程及其应用 (121)

第17讲反比例函数的图象与性质 (129)

第18讲反比例函数的应用 (142)

第19讲勾股定理 (150)

第20讲平行四边形 (162)

第21讲菱形与矩形 (171)

第22讲正方形 (184)

第23讲梯形 (195)

第24讲数据的分析 (204)

模拟测试卷（一） (215)

模拟测试卷(二) (218)

模拟测试卷（三） (221)

B A

C D E

第1讲全等三角形的性质与判定

考点·方法·破译

1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；

4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；

八年级数学培优资料(全套)

八年级数学培优资料（全套）

第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41

演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78

第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115

初中数学竞赛辅导讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)

初中数学竞赛讲义

重难点有效突破

知识点梳理及重点题型举一反三练习

第一讲走进追问求根公式

形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是

解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】

【例1】满足的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）

A、一4

B、8

C、6

D、0

思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。

【例3】解关于的方程。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。

【例4】设方程，求满足该方程的所有根之和。

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】已知实数、、、互不相等，且，试求的

值。思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值。

注：一元二次方程常见的变形形式有：

(1)把方程（）直接作零值多项式代换；

(2)把方程（）变形为，代换后降次；

初中数学竞赛辅导资料一元二次方程、完全平方数

初中数学竞赛辅导资料1

一元二次方程的根

甲内容提要

1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.

根公式是：x=a

ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式

① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：

b 2－4a

c ≥0.

② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：

b 2－4a

c 是完全平方式⇔方程有有理数根.

③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.

3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么

① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；

② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a

ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=a

c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件

整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.

特殊的例子有：

C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.

乙例题

例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.

求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛专题选讲

识图

一、内容提要

1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像

点：只表示位置，没有大小，不可再分。

线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。

4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。

二、例题

例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？

解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。

乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)

△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个：

边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15

(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案).doc

初中数学竞赛专题[ 配方法 ]

一、内容提要

1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2

±2ab+b2写成完全平方式

（a± b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能

写成完全平方式 .

常用的有以下三种：

①由a2+b2配上2ab ，②由 2 ab配上a2+b2，

③由 a2± 2ab 配上 b2.

2.运用配方法解题，初中阶段主要有：

①用完全平方式来因式分解

例如：把x4+4 因式分解 .

原式＝ x4+4＋ 4x2－ 4x2=(x 2+2) 2－ 4x2＝

这是由 a2+b2配上 2ab.

② 二次根式化简常用公式： a 2 a ，这就需要把被开方数

写成完全平方式 .

例如：化简 5 2 6 .

我们把 5－2 6 写成 2－2 2 3＋3

＝ ( 2)2－2 2 3＋ ( 3)2

＝（2－ 3）2.

这是由 2 ab 配上 a2+b2.

③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方

是非负数，零就是最小值 . 即∵ a 2≥ 0， ∴当 a=0 时， a 2 的值为 0 是最小值 .

例如：求代数式 a 2+2a －2 的最值 .

∵ a 2+2a － 2= a 2+2a+1－ 3=(a+1) 2－ 3

当 a=－ 1 时 , a 2

+2a － 2 有最小值－ 3.

这是由 a 2± 2ab 配上 b 2

④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，

则每一

个非负数都是零，有时就需要配方

例如 : ：求方程 x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解 x, y.

解：方程 x 2+y 2+2x-4y+1 ＋ 4＝ 0.

八年级数学竞赛精品讲义--数据分析初步(含答案)

数学竞赛精品讲义数据分析初步

知识要点

1、平均数、中位数和众数

① 有n 个数x 1, x 2, …, x n , 则x = 叫这n 个数的平均数. 若x 1, x 2, …, x n 的平均数是x , 则ax 1, ax 2, …, ax n 的平均数是 ; x 1+b, x 2+b, …, x n +b 的平均数是 ; ax 1+b, ax 2+b, …, ax n +b 的平均数是 .

② 一组数据中叫这组数据的众数.

③ 将一组数据按大小依次排列, 把处在或叫这组数据的中位数.

注: 平均数、中位数和众数它们都有各自的的特点:

平均数: (1) 需要全组所有数据来计算; (2) 唯一的; (3) 易受数据中极端数值的影响.

中位数: (1) 仅需把数据按顺序排列后即可确定; (2) 唯一的; (3) 不易受数据中极端数值的影响. 众数: (1) 通过计数得到; (2) 不一定唯一; (3) 不易受数据中极端数值的影响.

2、加权平均值、算数平均值、几何平均值的计算方法

① 加权平均值: 一般地, 对于f 1个x 1, f 2个x 2, …, f n 个x n , 共f 1＋f 2＋…＋f n 个数组成的一组

数据的加权平均数为 . 其中f 1, f 2, …, f n 叫做权, 这个“权”, 含有权衡所占份量的轻重之意, 即i f (i ＝1, 2, …k )越大, 表明i x 的个数越 , “权”就越 . ② 有n 个数x 1, x 2, …, x n , 则x = 叫这n 个数的算数平均值. ③ 有n 个数x 1, x 2, …, x n , 则x = 叫这n 个数的几何平均值. 典例分析

初中数学竞赛辅导资料

第一篇一元一次方程的讨论

第一部分基本方法

1。方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。

例如:方程 2x ＋6＝0， x （x －1)=0, ｜x |=6, 0x =0, 0x =2的解分别是： x =－3, x =0或x =1， x =±6，所有的数，无解. 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后, 讨论它的解:当a ≠0时，有唯一的解 x =

；当a =0且b ≠0时，无解；

当a =0且b ＝0时,有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立) 3. 求方程ax =b （a ≠0）的整数解、正整数解、正数解当a |b 时，方程有整数解；

当a ｜b ，且a 、b 同号时,方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分典例精析

例1 a 取什么值时，方程a (a －2）x =4（a －2） ①有唯一的解？②无解? ③有无数多解？④是正数解？

例2 k取什么整数值时,方程①k（x+1)=k－2(x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数?

例3己知方程a（x－2）=b(x+1）－2a无解.问a和b应满足什么关系?

例4a、b取什么值时,方程(3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解?

第三部分典题精练

1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

① （x +1）=0， ②x 2=9, ③|x ｜=9, ④｜x |=－3， ⑤3x +1=3x －1， ⑥x +2=2+x

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