(考试必备)北京东城区示范校2011届高三综合练习(一)数学文

北京东城区示范校2010—2011学年度高三综合练习（一）数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．命题“2,210x x x ∃∈-+<R ”的否定是（ ）A ．2,210x x x ∃∈-+≥RB ．2,210x x x ∃∈-+>RC ．2,210x x x ∀∈-+≥RD ．2,210x x x ∀∈-+<R3．已知向量(1,2)a = ，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥- ，则实数x 等于（ ）A ．9B ．4C ．0D ．4- 4．设3.02131)21(,31log ,2log ===c b a ，则c b a ,,大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<5．向量1()2x =a ，(cos 2,cos )x x =b ，()f x =⋅a b ，为了得到函数)(x f y =的图象，可将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度6．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线1x =所围成的三角形的面积为（ ）A ．112B ．16 C ．13 D ．127． 函数()⎩⎨⎧≥-<+-=,0,1,0,1x x x x x f 则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是 （ ）A ．{}121|-≤≤-x x B ．{}1|≤x xC ．{}12|-≤x xD ．{}1212|-≤≤--x x8．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当2x S x S ∈∈时，有，给出如下三个命题：①若{}1,1m S ==则；②若11,1;24m l =-≤≤则③若1,02l m =≤≤则；其中正确的命题的个数为 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9．已知：圆229x y +=与圆224410x y x y +-+-= 关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ．10．在空间中，有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A, B, C 到平面β的距离相等，则α∥β．其中正确命题的个数为 ．11．若实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为 ．12．在△ABC 中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若22a b -，sin C B =，则A 角大小为 ．13．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面111C B A ，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为 ． 14．如图，2(4)nn ≥个正数排成n 行n 列方阵：符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数． 已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列， 且每一列的数的公比都等于q ． 若1112a =， 241a =，3214a =， 则q = ________，ij a =__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．16．（本小题满分13分）在等比数列｛n a ｝中，0,()n a n *>∈N ，公比(0,1)q ∈，且153528225aa a a a a ++=， 3a 与5a 的等比中项为2．（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2log n n b a = ，数列｛n b ｝的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n++++ 最大时，求n 的值。

17．（本小题满分13分）如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，H G ,分别是BE DF ,的中点． （1）求证：CDE BD 平面⊥；（2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．18．（本小题满分13分） 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点．19．（本小题满分14分）已知A （1，1）是椭圆2222by a x +＝1（0a b >>）上一点，12,F F 是椭圆的两焦点，且满足124AF AF +=． （1）求椭圆的标准方程；（2）设点,C D 是椭圆上两点，直线,AC AD 的倾斜角互补，求直线CD 的斜率．DE20．（本小题满分14分）1设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线y x =相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列．（1）证明：{}n r 为等比数列；（2）设11r =，求数列{}nn r 的前n 项和．参考答案选择题：1 B2 C3 A4 A5 D6 B7 C8 D 填空题;9．02=--y x 10． 1个 11． 9 12．6π 13．32 14．12； 12ij ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭解答题：15．解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα………………………………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴………………………………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………………………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅ ()c o s ,s i n c o s ,s i n66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭……………………6分 ααsin 21cos 23+=………………………………7分 sin 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………8分[0,)απ∈ 4[,)333πππα∴+∈………………………………9分sin 13πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭………………………………11分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦………………………………13分 16．解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +25a ＝25又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5，…………………………3分又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，12q =，a 1＝16，所以， 1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭…………………………6分（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1， 所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。

8分所以，(9),2n n n S -=92n S nn -= …………………………10分 所以，当n≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n Sn＜0，当n ＝8或9时，1212n S S Sn++∙∙∙+最大。

…………………………13分17．（Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为ADAD ED ⊥∴ABCD ED 平面⊥ ----------2分 ∴BD ED ⊥ 又 CD BD ⊥∴CDE BD 平面⊥ --------4分 （Ⅱ）证明：连结EA ，则G 是AE 的中点∴EAB ∆中，AB GH // ---------------6分 又 CD AB // ∴//GH CD∴//GH 平面CDE -------------8分 （Ⅲ）解：设BCD Rt ∆中BC 边上的高为h 依题意：3121221⋅⋅=⋅⋅h ∴23=h 即：点C 到平面DEF 的距离为23---------------10分 ∴3323222131=⋅⋅⋅⋅==--DEF C CEF D V V -----------------13分18．解（Ⅰ）()'233f x x a =- -----------------2分∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩-----------------6分 （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠,当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点． -----------------9分 当0a >时，由()'0f x x =⇒=，当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点．-----------------13分19．（1）由椭圆定义知2a ＝4，所以a ＝2，……2分即椭圆方程为2224b y x +＝1 ……4分 把（1，1）代人得2141b +＝1所以b 2=34，椭圆方程为22344x y +＝1 ……6分（2）由题意知，AC 的倾斜角不为900, 故设AC 方程为y =k （x －1）十1, ……7分 联立 14341)1_(22=++=y x x k y 消去y ， 得（1＋3k 2）x 2－6k （k －1）x ＋3k 2－6k －1＝0．… 8分点A （1，1）、C 在椭圆上，∴ x C ＝131_6_322+k k k ……10分 AC 、AD 直线倾斜角互补，∴ AD 的方程为y ＝－k （x －ｌ）＋1， 同理x D ＝22_36131k k k ++ ……11分又y C ＝k （x C －1）＋1， y D ＝－k （x D －1）＋1，∴y C －y D ＝k （x C ＋x D ）－2k ． ∴31__=D C D C x x y y ．……14分 20．解：（Ⅰ）将直线y=33x 的倾斜角记为θ ， 则有tan θ=sin θ =12 ． (1)设C n 的圆心为（n λ，0），则由题意知n nγλ= sin θ =12 ，得n λ = 2n γ ； ......... (3)同理112n n ++λ=γ，依题意知1112n n n n n +++λ=λ+γ+γ=γ ………………5分 将n λ = 2n γ代入，解得 r n+1=3r n ．故{ r n }为公比q=3的等比数列． ………………7分 （Ⅱ）由于r 1=1，q=3，故r n =3n-1，从而nnr=n·13n-，………………9分记S n =1212nn++⋯γγγ， 则有 S n =1+2·3-1+3·3-2+………+n·13n-． ①3Sn=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·13n -+n·3n -． ② ………………11分 ①-②，得3Sn 2=1+3-1 +3-2+ (13)--n·3n - ………………………12分 =1323n--- n·3n - =32 –（n+23）·3n - ………………………………13分 S n =94 –12 （n+23）·13n -． ………………………………14分。