高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.2 集合间的基本关系优化练习 新人教A版必修1
高中数学知识点总结第一章集合与函数概念
第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A =∅=∅B A ⊆ B B ⊆ B{xA A =A ∅=B A ⊇ B B ⊇()U A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1（20))()()U U B A B =?)()()U U B A B =?〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．yxo②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
高中数学 必修1知识点总结
高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()U A =∅ð2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 0))()()U U B A B =?)()()U U B A B =?【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba-∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2⇔⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2⇔f(k1)f(k2)<0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2⇔此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a=++≠在闭区间[,]p q上的最值设()f x在区间[,]p q上的最大值为M，最小值为m，令1()2x p q=+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2bpa-<，则()m f p=②若2bp qa≤-≤，则()2bm fa=-③若2bqa->，则()m f q=x x x①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D xx f y ∈=的零点。
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高中数学必修一必修四知识点总结高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中元素具有确定性、互异性和无序性。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R。
元素a与集合M的关系是a∈M或a∉M。
集合可以用自然语言法、列举法、描述法和图示法来表示。
集合可以分为有限集、无限集和空集。
1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等。
若A是B的子集，则A中的任一元素都属于B；若A是B的真子集，则A中至少有一个元素不属于B；若A是B的子集且B是A的子集，则A=B。
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2^n个子集，2^n-1个真子集，2^n-1个非空子集和2^n-2个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。
若x∈A且x∈B，则x∈A∩B；若x∈A或x∈B，则x∈A∪B；集合A的补集是指在全集U中，不属于A的元素组成的集合，记作A'或U-A。
对于集合A和B，有(A∩B)=(A'∪B')'和(A∪B)=(A'∩B')'。
补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法对于含有绝对值的不等式，可以通过分段讨论的方法来求解。
对于一元二次不等式，可以将其化为标准形式后，利用判别式和一元二次函数的性质来求解。
1.不等式的解法1)一次不等式的解法对于|x|0)和|x|>a(a>0)，可以分别化为-xa的形式，然后解出x的范围。
对于|ax+b|c(c>0)，可以把ax+b看成一个整体，化为|ax+b|0)或|x|>a(a>0)的形式来求解。
2)一元二次不等式的解法对于ax^2+bx+c>0(a>0)，可以求出二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，然后找到函数图象在x轴上的两个交点x1和x2，解得xx2的解集。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的包含关系课件新人教a必修1
{a}
∅，{a}
2
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，b，c}
8
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1
个，非空真子集有2n－2个.
探究1 熟练写出给定集合的子集是学生必须掌握的基本功.
思考题1 已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，
(5)空集是任何非空集合的真子集，因此∅ {0}正确； (6)空集是任何集合的子集，因此∅⊆∅正确.
探究2 要注意区分“∈与⊆”，“⊆与 ”.“∈”表示 元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关 系，“⊆”与“ ”均表示集合间的包含关系，但后者是前者 “≠”情形时的包含情况.
思考题2 设a＝ 2 ＋ 3 ，M＝{x|x≤ 10 }，给出下列关
2k－1，k∈N*}，则M，N之间的关系为( )
A.M N
B.M N
C.M⊆N 【答案】 A
D.M＝N
题型二 集合相等 例4 已知A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3n－2，n∈ Z}，则A与B的关系为__________.
【解析】 (1)任取x1∈A，则x1＝3k1＋1＝3(k1＋1)－2，k1 ＋1∈Z.∴x1∈B，故A⊆B.
方法二：(特征性质法) 集合 A：x＝2k＋2 1(k∈Z)，分子为奇数. 集合 B：x＝k2(k∈Z)，分子为整数， ∴A B.
【答案】 A B
探究 3 几种等价表示方法(n∈Z). ①“2n－1”等价于“2n＋1”. ②“2n－1”等价于“4n±1”. ③“4n＋3”等价于“4n－1”等.
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是a M ，或者 a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . ③描述法： { x | x具有的性质 } ，其中x为集合的代表元素 .④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集 ().【 1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B（或子集B A)A B真子集（或B A）A中的任一元素都属于 BA B，且B中至少有一元素不属于 A(1)A A(2)A A(B)BA(3)若A B 且 B C，则A C(4)若A B 且 B A，则 A B或（1） A （A为非空子集）BA(2)若A B 且 B C，则 A CA 中的任一元素都属集合A B于B，B中的任一元素相等都属于 A (1)A BA(B) (2)B A（ 7）已知集合A有n(n1) 个元素，则它有2n个子集，它有 2n1个真子集，它有 2n 1个非空子集，它有 2n2非空真子集.（ 8）交集、并集、补集名称交集并集补集【 1.1.3】集合的基本运算记号意义性质示意图{ x | x A, 且（1）A A AA B（2）AA B（3）A B Ax B}A B B{ x | x A, 或（1）A A AA（2）A ABA B（3）A B Ax B}A B B1A(e A)2A (e U A)UUe A{ x | x U , 且x A}痧( A B)( U A)(?U B)UU痧(A B)(U A)(? B)U U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x | a( a 0){ x | a x a}| x | a(a 0)x | xa 或 x a}把 ax b 看成一个整体，化成| x | a，| ax b |c,| ax b |c(c0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数y ax2bx c(a0)的图象O一元二次方程2b b4ac2x1,22a x1 x2bax bx c0( a0)无实根2a（其中x1x2 )的根ax2bx c0(a0){ x | x x1或x x2}{ x | x b }R的解集2aax2bx c 0( a 0){ x | x1x x2}的解集〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念①设 A、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数x ，在集合 B中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A到 B 的一个函数，记作 f : A B ．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（ 2）区间的概念及表示法①设 a, b 是两个实数，且a b ，满足 a x b 的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b] ；满足a xb 的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足a x b ，或 a x b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[ a,b) ， (a,b] ；满足 x a, x a, x b, x b 的实数 x 的集合分别记做．[a, ),( a,),(, b],(, b)注意：对于集合 { x | a x b} 与区间 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于b，而后者必须a b ．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：① f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tan x 中，x k(k Z ) ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f (x) 的定义域为 [ a, b] ，其复合函数 f [ g( x)]的定义域应由不等式 a g ( x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a( y) x2b( y) x c( y)0 ，则在 a( y)0 时，由于 x, y 为实数，故必须有b2 ( y) 4a( y)c( y)0 ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【 1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（ 6）映射的概念①设 A、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到B 的映射，记作 f : A B ．②给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a A, b B ．如果元素 a 和元素b对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a叫做元素 b 的原象．----〖 1.3 〗函数的基本性质【 1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的图象定义性 质如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量y y=f(X)的值 x 1 、x 2 , 当 x 1 < x 2 时，都f(x 2 )．．．有 f(x 1)<f(x 2 ) ， 那 么 就说．．．．．．．．．f(x 1 )f(x) 在这个区间上是 增函数 ．．．．o1x 2xx函数的单调性如果对于属于定义域I 内某yy=f(X)个区间上的任意两个自变量f(x 1)的值 x 1、 x 2 ，当 x 1 < x 2 时，都．．．判定方法（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性 （ 3）利用函数图象（在有 f(x 1)>f(x 2 ) ， 那 么 就说f(x )．．．．．．．．．2f(x) 在这个区间上是 减函数 ．ox 1x 2．．．x某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③ 对 于 复 合 函 数 yf [ g( x)]， 令u g( x)， 若y f (u)为 增 ，u g( x)为 增 ， 则y f [ g (x)] 为增；若 yf (u) 为减， ug( x) 为减，则 yf [g (x)] 为增；若 y f (u) 为增， ug( x)为 减， 则yf [ g( x)]为 减； 若 yf (u)为 减，ug( x) 为 增， 则 yy f [ g (x)] 为减．（ 2）打“√”函数f ( x) x a (a 0) 的图象与性质xf (x) 分别在 ( ,a ] 、 [ a ,) 上为增函数，分别在ox[a, 0) 、 (0, a ] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义①一般地，设函数y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的 xI ，都有 f ( x)M ；（2）存在 x 0 I ，使得 f (x 0 ) M ．那么，我们称M 是函数 f ( x)的最大值，记作f ( x) M②一般地，设函数y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ，都有f (x)m ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )m ．那么，我们称 m 是函数 f (x) 的最小值，记作f max (x)m．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x，都有f(－x)=－判断定义域是否关于．．．．．．．f(x),那么函数 f(x)叫做奇函原点对称）．．．．．．数．（ 2）利用图象（图象．关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x，都有f(－x)=f(x) ,判断定义域是否关于．．．．．．．．．．那么函数 f(x)叫做偶函数．原点对称）．．．（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）②若函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0处有定义，则 f (0)0．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f ( x)h 0,左移h个单位h0,右移 | h|个单位y f ( x)k 0,上移k个单位k0,下移 | k|个单位②伸缩变换y f (x h) y f (x) ky f ( x)01,伸y f ( x) 1,缩0A1,缩y f ( x) A 1,伸y Af ( x)③对称变换y f ( x)y f ( x)y f ( x)y f ( x) （2）识图x轴f (x)y f (x)y轴f (x)y y原点f ( x)y f ( x)直线y xy f1( x) y去掉y轴左边图象y f (| x |)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y| f ( x) |将x轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。
高中数学必修一知识点整理
高中数学必修一知识点整理高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由一些确定、互异、无序的元素组成。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集。
1.1.2 集合间的基本关系集合间有子集、真子集和集合相等的关系。
子集表示A 中的任一元素都属于B，真子集表示A是B的子集且B中至少有一个元素不属于A，集合相等表示A和B互为子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。
交集表示同时属于A和B的元素组成的集合，并集表示属于A或B的元素组成的集合，补集表示不属于A的元素组成的集合。
补充：含绝对值的不等式的解法是将其化为|x|a的形式进行求解。
含有ax+b的绝对值不等式可以化为|ax+b|c的形式进行求解。
注意：文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此不需要删除和改写。
一元二次不等式的解法：一元二次不等式的判别式为 $\Delta = b^2-4ac$，根据判别式的大小关系可以得到不等式的解集。
对于二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$，它的图象是一个开口朝上的抛物线。
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$，它的根可以通过公式 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 求得，其中$\Delta=b^2-4ac$，当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根；当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$ 时，方程没有实根。
对于一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$，它的解集为$\{x|xx_2\}$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 分别是方程$ax^2+bx+c=0$ 的两个实根，且 $x_10)$ 时，它的解集为$\{x|x_10)$ 时，它的解集为 $\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$。
高中数学 第1章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系课件 a必修1a高一必修1数学课件
4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A. (2)对于集合 A，B，C， ①若 A⊆B，且 B⊆C，则 A⊆C； ②若 A B，B C，则 A C. (3)若 A⊆B，A≠B，则 A B.
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[基础自测] 1．思考辨析 (1)空集中只有元素 0，而无其余元素．( ) (2)任何一个集合都有子集．( ) (3)若 A＝B，则 A⊆B 或 B⊆A.( ) (4)空集是任何集合的真子集．( )
2．若集合 A＝{x|1<x<b}，试结合 b 的取值，指出 A 集合中的元素．
提示：当 b≤1 时，A＝∅；当 b>1 时，A 中的元素是由满足不等式 1<x<b 的实 数组成的．
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例 3 已知集合 A＝|x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B A，求实数 m 的取值范围. 思路探究： B＝{x|m＋1≤x≤2m－1} ―分―B结＝―合∅―数和―轴B―≠→∅
∴∴2m2m2mmm＋＋－ －－1111≤ ≤ 1>≥>－－mm5＋＋，22，，11，，
即即mmmmmm≥>≤≥ ≤ >22－ 3，3－，，，33，， ∴∴mm不不存存在在．．
即即不不存存在在实实数数
m m
使使
AA⊆ ⊆BB..
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[规律方法] 1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含
参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需
特别注意端点问题．
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB(1)AA子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2)A(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则ABA(B)BA或真子集AB（或BA）AB，且B中至少有一元素不属于AA（A为非空子集）（1）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等AB A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n它有22非空真子集. （8）交集、并集、补集1【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图AB 交集{x|x A,且（1）AAA（2）AAB（3）ABAxB}ABBAB 并集{x|x A,或（1）AAA（2）AAAB（3）ABAxB}ABB1A(e U A)2()AeAUU补集e U A{x|xU,且xA} 痧U(A B)(U A)(?U B)痧U(AB)(U A)(?U B)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)x|xa或xa}把axb看成一个整体，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxcaO的图象一元二次方程20(0)axbxcax1,22bb4ac2abxx122a无实根（其中x1x2)的根20(0) axbxca的解集b{x|xx或xx2}{x|x}12aR 220(0)axbxca的解集{x|xxx}12〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且ab，满足a xb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|axb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，()xkkZ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2a(y)xb(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有byaycy，从而确定函数的值域或最值．2()4()()0④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的定义图象判定方法性质 如果对于属于定义域I 内某（1）利用定义个区间上的任意两个自变量 的值x2,当x ． 1、x 1．<．x ．2．时，都y y=f(X) f(x)2（2）利用已知函数的 单调性有f ．(x ．．．)．<．f(．x ．．．)．，那么就说 12 f(x)在这个区间上是增函数． ．．．f(x)1（3）利用函数图象（在 某个区间图o x 1x 2x 象上升为增）函数的（4）利用复合函数 单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I 内某yy=f(X)（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量 11、x ．<．x ．的值x2，当x ．2．时，都 有f ．(x ．．12．)．，那么就说f(x) 1f(x) 2单调性 （3）利用函数图象（在 某个区间图f(x)在这个区间上是减函数． ．．．o xx 12x象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则y f[g(x)]为增；若yf(u)为 增，ug(x)为减，则y f[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yyf[g(x)]为减．a（2）打“√”函数()(0)fxxax的图象与性质 f(x)分别在(,a ]、[a ,)上为增函数，分别在ox[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作0f max(x)M．5②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f max(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x．．)=．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函．原点对称）数．．（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(－．x．．)=．f．(x．)．．,．．判断定义域是否关于那么函数f(x)叫做偶．函．数．．原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yfxyfxh()h0,h()左移个单位右移|个单位h0,h|yfxyfxk()kk()0,上移个单位下移|个单位k0,k|变换②伸缩01,伸yf(x)yf(x)1,缩6yfxyAfx()0A1,缩()A1,伸③对称变换x轴yf(x)y轴yf(x)yf(x)yf(x)原点直线1yxyf(x)yf(x)yf(x)yf(x)去掉轴左边图象yyf(x)yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留轴上方图象yfxyfx()x|()|将轴下方图象翻折上去x（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。
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第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
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1.1.2 集合间的基本关系
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．已知M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则有( )
A ．M ⊆N
B ．N M
C ．N ∈M
D ．M ＝N
解析：由子集的概念可知N M .
答案：B
2．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝( )
A ．0或 3
B ．0或3
C ．1或 3
D ．0或1或 3 解析：(1)m ＝3，此时A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A .
(2)m ＝m ，即m ＝0或m ＝1.
①m ＝0时，A ＝{0,1,3}，B ＝{0,1}，满足B ⊆A ；
②m ＝1时，A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不满足互异性，舍去．
答案：B
3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是(
) A ．1 B ．－1
C ．－1或0或1
D ．0或1
解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，
(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设；
(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0Δ＝4－4a 2＝0得
a ＝±1. 答案：C
4．已知集合A ＝{x |x ＝k
2＋1
4，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋1
2，k ∈Z}，则A 与B 的关系为(
) A ．A B B ．B A
C ．A ＝B
D ．以上答案都不对
解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系． 集合A 中：x ＝k 2＋1
4＝2k ＋1
4；
集合B 中：x ＝k 4＋12＝k ＋2
4；
而{2k ＋1}表示奇数集，{k ＋2}表示整数集，
∴A B.
答案：A
5．满足{x|x2＋1＝0}A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.
答案：C
6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．
解析：M中的元素满足{x＋y＜0xy＞0，即{x＜0y＜0，∴M＝P.
答案：M＝P
7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所
以a≤－2.
答案：a≤－2
8．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．
答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}
9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得{m≥2m＋1≥－2，2m－1≤5
解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.
[B组能力提升]
1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是( ) A．A B B．B A
C．A＝B D．不确定
解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.
答案：C
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．
答案：D
3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.
答案：N M
4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；
当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；
当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；
∴A*B＝{2,3,4,5}．
故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.
答案：5 16
5．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．
解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．
若B＝∅，则a2－4(a2－12)<0，即a2>16，解得a>4或a<－4.
若B＝{－2}，则(－2)2－2a＋a2－12＝0且Δ＝a2－4(a2－12)＝0，解得a＝4.
若B＝{4}，则42＋4a＋a2－12＝0且Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
此时a无解；
若B ＝{－2,4}，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.
所以a ＝－2.
综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．
6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，
(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围；
(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围；
(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．
∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m －6≤2m －1，－2≤m －6，2m －1≤5，解得－5≤m
≤3.
由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3.
(2)若A ⊆B ，则依题意应有
⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ m >－5，
m ≤4，
m ≥3，故3≤m ≤4.
(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －6＝－2，
2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝B .。