2019-2020年数学必修第一册课件作业函数的概念与性质：第三章3-2-1-2第2课时 函数的最大(小)值(人教A版)
2019-2020学年人教A版必修第一册函数的概念课件（共30张ppt）
2019-2020学年人教A版必修第一册函数的概念课件（共30张ppt）3.1.1函数的概念1、请回忆在初中我们学过那些函数？正比例函数：y=kx(k≠0)反比例函数：一次函数：y=kx＋b(k≠0)二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)3.1.1函数的概念一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.从今天开始,我们将进一步学习函数及其构成要素.下面先看几个实例.2、什么是函数(初中定义)3.1.1函数的概念问题1某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内.列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t这里,t和S是两个变量,而且对于t的每一个确定的值,S都有唯一确定的值与之对应,所以S是t的函数．思考:有人说:“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗?3.1.1函数的概念根据问题1的条件,我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况,所以上述说法不正确.显然,其原因是没有关注到t的变化范围.下面用更精确的语言表示问题1中S与t的对应关系.列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S=350t①其中,t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.对于数集A1中的任一时刻t,按照对应关系①,在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．3.1.1函数的概念问题2某电气维修公司要求工人每周工作至少１天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资, 那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?显然,工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是w=350d②其中,d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}对于数集A2中的任一个工作天数d,按照对应关系②,在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．3.1.1函数的概念问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个函数吗?为什么?S=350t①w=350d②3.1.1函数的概念问题3下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(AirQualityIndex简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数(AQI)的值I?你认为这里的I是t的函数吗？3.1.1函数的概念从图中的曲线可知,t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24},AQI的值I都在数集B3={I｜0＜I＜150}中.对于数集A3中的任一时刻t,按照图中曲线所给定的对应关系,在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此,这里的I 是t的函数．你能根据图找到中午12时的AQI的值吗?3.1.1函数的概念问题4国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高．年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8728.8929.3528.573.1.1函数的概念你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数?年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8728.8929.3528.573.1.1函数的概念这里,y 的取值范围是数集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015};根据恩格尔系数的定义可知,r的取值范围是数集B4={r｜０＜r≤1}.对于数集A4中的任意一个年份y,根据表中所给定的对应关系,在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数狉与之对应.所以,r是y的函数．3.1.1函数的概念归纳上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗?上述问题的共同特征有:(1)都包含两个非空数集,用A,B来表示;(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．事实上,除解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便,我们引进符号f统一表示对应关系.3.1.1函数的概念一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称?:A→B 为从集合A到集合B的一个函数(function).记作:y=f(x),x?A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).3.1.1函数的概念函数符号y＝f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的真子集;在问题4中,值域B4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集B4={r｜0＜r≤1}的真子集．3.1.1函数的概念我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系f把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,值域是B.当a＞0时,;当a<0时,.对应关系f把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数ax2+bx+c(a≠0)．3.1.1函数的概念思考反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么?请用函数定义描述这个函数．3.1.1函数的概念例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系, 可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.3 .1.1函数的概念解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是R,值域是B={y|y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x).如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x|0下情境:长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).探究构建其他可用解析式y=x(10-x)描述其中变量关系的问题情境．3.1.1函数的概念(1)定义域(2)对应法则(3)值域3.1.1函数的概念(1)A,B都是非空数集；(2)f:A→B确定了集合A到集合B上的函数;(3)函数的定义域为A,值域{f(x)|x∈A}?B,而值域{f(x)|x∈A}由定义域、对应关系确定;(4)符号y=f(x)的理解①x是自变量,它是对应关系所施加的对象；②f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象,表格,也可以是文字描述;③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式.(5)常用函数符号:?(x),g(x),h(x),F(x),G(x)等.3.1.1函数的概念1、下列说法中,不正确的是()A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素B。
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈。 下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应 关系。列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关 系是列车行进的路程 S 与运行时间/的对应关系是 S=350t. ①,
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2.函数的三要素
定义域 值域 对应法则f
定义域
决定
值域
对应法则
3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
3.1.2函数的表示法
复习引入
函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对 应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定 义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
显然值域是集合B的子集
复习引入
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
2019-2020学年人教A版必修第一册3.1.1 函数的概念 课件
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求函数定义域的常用方法 1若fx是分式，则应考虑使分母不为零. 2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零. 3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. 4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的 交集. 5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意 义.
A．[－1，＋∞)
B．[－1,0)
C．(－1，＋∞)
D．(－1,0)
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2．若 f(x)＝1－1 x2，则 f(3)＝ ________.
12
－18 [f(3)＝1－1 9＝－18.]
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13
3．用区间表示下列集合：
(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为 区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为
提示：[1,2]是自变量x的取值范围． 函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．
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【例3】 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝2＋x－3 2；
(2)f(x)＝(x－1)0＋ x＋2 1； (3)f(x)＝ 3－x· x－1； (4)f(x)＝xx＋＋112－ 1－x. [思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开 方数大于等于0即可．
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3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符 号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x 的乘积”.
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( ) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定 了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对 应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
新人教版高中数学必修第一册函数的概念ppt课件及课时作业
2.下列图形中不是函数图象的是
√
A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集 合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数 图象，B，C，D均符合函数定义.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
例2 (1) 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 {_x_|_－__2_≤_ _x_≤__4_或__5_≤__x_≤__8_}__，值域为_{_y_|－__4_≤__y_≤__3_}_.
根 据 y ＝ f(x) 的 函 数 图 象 可 看 出 ， f(x) 的 定 义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为 {y|－4≤y≤3}.
1234
3.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 022的公共点有
A.0个
√C.0个或1个
B.1个 D.以上答案都不对
1234
4.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为_{_－__2_,0_,_4_}_.
1234
课时对点练
基础巩固
1.(多选)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有
注意点： (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B， 而是集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非 空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在 性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积， f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件：第三章 函数的概念与性质 3.2.1
题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题] 例 3 已知函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，4]上是减 函数，求实数 a 的取值范围． 【解析】 ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴 x＝1－a 必须在直线 x＝4 的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得 a≤－3. 故 a 的取值范围为(－∞，－3]．
第二十一页，编辑于星期日：点 分。
状元随笔 首先求出 f(x)的单调减区间，求出 f(x)的对称轴为 x＝1－a，利 用对称轴应在直线 x＝4 的右侧或与其重合求解.
第二十二页，编辑于星期日：点 分。
解析：由于①中的 x1，x2 不是任意的，因此①不正确；②③④ 显然不正确．
答案：A
第九页，编辑于星期日：点 分。
2．函数 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则( )
A．m>12
B．m<12
C．m>－12 D．m<－12
解析：使 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则 2m－1<0，即
解析：∵f(x)在 R 上是增函数，且 f(x1)>f(x2)，∴x1>x2. 答案：x1>x2
第十二页，编辑于星期日：点 分。
题型一 利用函数图象求单调区间[经典例题] 例 1 已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为 () A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1) C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)
第一页，编辑于星期日：点 分。
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
高中数学第三章函数的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1函数的单调性与最值课件湘教版必修第一册
答案：C
解析：∵a2－a＋1＝
－a＋1)≤f
3
4
.故选C.
a−
1 2 3
＋
2
4
≥
3
.又函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数，∴f(a2
4
状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对
应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2 解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实
值范围是( C )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪ 3， + ∞
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为
6
________．
3
(4)已知函数f(x)＝
，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
2x−1
解析：(4)先证明函数f(x)＝
递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是
相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定
要仔细读题，明确条件含义．
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
x1 −1
x
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递
增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．( √ )
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是(
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
3
高中数学3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
A．f (m)<f (1)
C．f (m)≤f (1)
B
)
B．f (m)>f (1)
√
D．f (m)≥f (1)
∵函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，∴m－1>0，解得m>1，
则f (m)> f (1)，故选B．
− 2 + 4， ≤ 1，
1
• (1)f (x)＝－ ；
[解] 函数f
1
(x)＝－ 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，
0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．
2 + 1， ≥ 1，
• (2)f (x)＝ቊ
5 − ， < 1；
[解] 当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)
(2a－1)，求实数a的取值范围．
思路导引： 1 − < 2 − 1
建立的不等关系
在定义域 −1，1 上
是减函数
−1 < 1 − < 1，
2
• [解] 由题意知ቐ−1 < 2 − 1 < 1，解得0<a< ，
3
1 − > 2 − 1，
• 即所求a的取值范围是 0，
• 知识点1 增函数与减函数的定义
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，
f (x1)<f (x2)
都有___________
f (x1)>f (x2)
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2.2分段函数课件新人教A版必修第一册
解得 x＝2 或 x＝－2(舍去)．
综上可得，所求 x 的值为－4 或 2.
[答案] －4 或 2
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型二 分段函数的图象
【典例 2】 (1)作出下列分段函数的图象：
①y＝1x，0<x<1， x，x≥1；
②y＝|x＋1|.
(2)如图所示，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P，
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[解] 若 x≤－1，则 x－3<0，x＋1≤0， f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4； 若－1<x≤3，则 x－3≤0，x＋1>0， f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2； 若 x>3，则 x－3>0，x＋1>0， f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型四 分段函数在实际问题中的应用 【典例 4】 某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一 种适宜生长温度为 15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开 启到关闭及关闭后，大棚里温度 y(℃)随时间 x(h)变化的函数图 象，其中 AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线 y＝xk的一部分，请根 据图中信息解答下列问题：
课标A版·数学·必修第一册
第
三
函数的概念与性质
章
第三章 函数的概念与性质
课标A版·数学·必修第一册
函数的概念及其表示
3.1
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
3.1.2
课标A版·数学·必修第一册
函数的表示法
第三章 3.1 3.1.2 第2课时
新人教版高中数学必修第一册函数的概念与性质课件
数学 必修 第一册 A
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第三章 函数的概念与性质
[微思考] (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ 提示：不一定，两个集合必须是非空的数集. (2)什么样的对应可以构成函数关系？ 提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．
第三章 函数的概念与性质
[变式探究] 将本例(1)改为 y＝xx＋＋112－ 1－x2，其定义域如何？ 解 由1x＋－1x2≠≥00，， 解得{x|－1＜回导航
第三章 函数的概念与性质
[方法总结] 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第三章 函数的概念与性质
课程标准
核心素养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函
数的基础上，用集合语言和对应关系刻画 通过对函数概念的学习，提升“
函数，建立完整的函数概念，体会集合语 数学抽象”、“逻辑推理”、“
言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，能求简单函数
数学运算”的核心素养.
的定义域.
数学 必修 第一册 A
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3.1.1 《函数的概念》 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(精品)
x
要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念．
02
新知探索
New Knowledge explore
函数的概念
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时． （1）这段时间内列车行进的路程S（单位：km)，与运行时间t(单位:h)的关 系如何表示？这是一个函数吗？为什么?
函数的概念
如果让你用函数的定义重新认识一次函数，二次函数与反比例函数，那 么你会怎样表述这些函数？
一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系f把R中的任意一个数x， 对应到R中唯一确定的数ax+b．
二次函数 y ax2 bx c,(a 0) 的定义域是R,记值域为B，
显然，工资W一周工作天数d的函数，其对应关系是：W=350d ②
d的变化范围是数集A2={1，2，3，4，5，6}， W的变化范围是数集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}，
对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都
有唯一确定的工资W与它对应.
函数的概念
【解析】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，
所以f：A→B是从A到B的函数， 定义域A={1，2，3，4，5}， 值域C={2，3，4，5}．
值域是集
合B吗？
函数的概念
函数的解析式是舍弃问题的实际背景，而抽象出来的它所反映的两个 量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律， 例如正比例函数y=kx (k不等于零)，可以用来刻画匀速运动中路程与时间的 关系，一定密度的物体的质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等．
2019新教材数学人教A版必修第一册作业课件：第三章函数概念和性质3.2 3.2.1 课时作业21
知识对点练
课时综合练
答案
解析
第二十五页，编辑于星期日：点 四十一分。
三、解答题 9．已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x) ＝f1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解 F(x)＝f1x在(0，＋∞)上为减函数． 证明如下：任取 x1，x2，使 0<x1<x2，则 F(x2)－F(x1)＝f1x2－f1x1＝ffx1x1－ffx2x2.
④函数 y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0 个
B．1 个 C．2 个 D．3 个
答案 B
知识对点练
课时综合练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 四十一分。
解析 ①若任意 x1，x2∈I，当 x1<x2 时，fxx11－ －fx2x2＜0，则 y＝f(x)在 I 上是减函数，这是减函数的定义，故①正确；②函数 y＝x2 在(－∞，0)上是 减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数 y＝－1x在(－∞，0)上是 增函数，在(0，＋∞)上是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误； ④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④ 错误．故选 B.
知识对点练
课时综合练
第十七页，编辑于星期日：点 四十一分。
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝5－x B．y＝x2＋2
C．y＝1x
D．y＝－|x|
答案 B
解析 A，C，D 中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数 y＝x2＋2 在(0,2) 上是增函数．
知识对点练
课时综合练
解析 要使 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足 3 个条件： ①g(x)＝(3a－1)x＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h(x)＝－x＋1 在[1，＋∞)上为减函数； ③g(1)≥h(1)．
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第2课时函数的最大(小)值
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．
2．会借助单调性求最值．
3．掌握求二次函数在闭区间上的最值．
1．最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
①∀x∈I，都有f(x)≤M；
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．
2．最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
①∀x∈I，都有f(x)≥M；
②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．
温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素．
(2)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝1
x，既没有最大值，
也没有最小值．
(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最
值．
1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的x 的值．
[答案] f (x )的最小值为－1，此时x ＝－2； f (x )的最大值为2，此时x ＝1
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )
(3)函数f (x )＝－x 在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( ) (4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一 图象法求函数的最大(小)值
【典例1】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2，－1≤x ≤1，
1x ，x >1.
求f (x )的最大
值、最小值；
(2)画出函数
f (x )＝⎩⎨⎧
－2x
，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)
的图象，并写出
函数的单调区间，函数的最小值．
[思路导引] 作出函数f (x )的图象，结合图象求解．
[解](1)作出函数f(x)的图象(如图1)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
图象法求最大(小)值的步骤
[针对训练]
1．利用图象求下列函数的最大值和最小值．
(1)y＝－
2
x，x∈[1,3]；
(2)y＝|x＋1|－|x－2|.
[解](1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3，－
2
3，也有最低点(1，－2)，所以函数y＝－
2
x，x∈[1,3]有最大值－
2
3，最小值－2；
(2)y＝|x＋1|－|x－2|
＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧3，x≥2，
2x－1，－1<x<2，
－3，x≤－1.
作出函数的图象，由右图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.
题型二利用单调性求函数的最大(小)值
【典例2】已知函数f(x)＝x＋
1
x.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝
x1＋1
x1－x2－
1
x2＝(x1－x2)·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
x1x2＝
(x1－x2)(x1x2－1)
x1x2. ∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，
又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)·
(x1x2－1)
x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，
∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又f(2)＝2＋
1
2＝
5
2，f(4)＝4＋
1
4＝
17
4，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为
17
4，最小值为
5
2.
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，
b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．
[针对训练]
2．已知函数f(x)＝x
x－1
，x∈[2,5]，判断函数f(x)的单调性，并求函数f(x)的最大值和最小值．
[解]任取2≤x1<x2≤5，。