人教B版数学必修第一册课件函数的奇偶性(1)

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人教版高中数学必修1《奇偶性》PPT课件

• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是
偶函数．
()
•(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数
y＝f(x)一定是奇函数．
()
•(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
()
•A．－1
B．0
•C．1
D．无法确定
• 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a ＝1.
•答案：C
• 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
• 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－ f(x)，所以f(x)＝－x
又 f(0)＝0，所以 f(x)＝x－1x＋x－x，1，x≥x0<，0.
• 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
• 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
• ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
• 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，
• [方法技巧]
• 比较大小的求解策略
• (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
• 3．2.2 奇偶性
明确目标
发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直
奇函数、偶函数图象的特征．
观想象素养．
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根 2.借助函数奇偶性的判断方法，

人教B版必修1函数性质之奇偶性(1)

2.1.4函数的奇偶性（1）【学习目标】1. 结合具体函数，明确函数奇偶性的含义；2. 明确奇偶函数的图象特征；3. 能运用定义判断函数的奇偶性【自学指导】1. 奇函数的定义？2. 偶函数的定义？3. 奇函数的图象特征？举例。

4. 偶函数的图象特征？举例。

5. 如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？【自学检测】1．函数x x x f +=2)(的奇偶性是（）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数2．函数)(x f y =是奇函数，图象上有一点为))(,(a f a ，则图象必过点（）A ． ))(,(a f a - B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a -- D. ))(1,(a f a 3. 下面四个结论①偶函数的图像一定与y 轴相交.②奇函数的图像一定过原点.③偶函数的图像关于y 轴对称.④没有一个函数既是奇函数又是偶函数,其中正确的结论个数是( )A 1B 2C 3D 44. 若函数b x bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为[]a a 2,3-，则=a ，=b5. 设f(x)=ax 5+bx 3+cx －5(a,b,c 是常数)且(7)7f -=,则f （7）= ______.6．判断函数的奇偶性 3)()1(x x x f += 21)()2(x x f -= 2)()3(+=x x f1)()4(2+=x x f []3,1-∈x 0)()5(=x f 331)()6(2-+-=x x x f【能力提升】1. 已知)(x f 是区间(-∞,+∞)上的奇函数, 1)3(,2)1(=-=f f ,则( )A )1()3(->f fB )1()3(-<f fC )1()3(-=f fD )1()3(-f f 与无法比较2.若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则a = ( ) A 21 B 32 C 43 D 1 3. 函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（）A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->-C.)2()0()1(->>f f fD.)0()2()1(f f f >->4. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A )(52R x x y ∈+-=B x y -=C )(3R x x y ∈=D )0,(1≠∈-=x R x xy 5.奇函数)(x f 在区间[1，6]上是增函数且最大值是10最小值是4，则)(x f 在区间[-6,-1]上的最大值是 ,最小值是6.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．思考：请根据以上练习，归纳出几个重要的结论（1）（2）【巩固提高】已知函数)(x f 在R 上的奇函数，而且在（0，+∞）上的减函数，证明：)(x f 在（-∞，0）上是减函数？【课堂小结】1. 奇函数的定义？2.偶函数的定义？3.奇函数的图象特征？4.偶函数的图象特征？5.如何用定义法证明或判断函数的奇偶性？步骤是什么？【课堂小测】1.已知()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数,那么a b +的值是( ) A. 13-B. 13C. 12D. 12- 2.函数()1f x x x =-的图像关于( ) A. y 轴对称 B. 直线y x =-对称 C.坐标原点对称 D.直线y x =对称3. 下列函数中,所有奇函数的序号是________．①()4223f x x x =+②()32f x x x =-③()21x f x x +=④()31f x x =+ 4. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数5. 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.6.判断下列函数是否具有奇偶性。

高中数学人教B版必修第一册函数的奇偶性课件

1 = + 3 + 5
3 =+1
2 = 2 + 1
4 = 2 , ∈ [−1,3]
【解析】 (1)定义域：R
− = − + −
3
+ (−)5
= − + 3 + 5 = −()
所以该函数为奇函数.
(2) 非奇非偶函数 ( − 与()即不相等也不为相反数)
x
O
x
1、对定义域中的每一个
x，-x是也在定义域内；
2、都有f(x)=f(-x)
新课
1.偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，都有
f(-x)= f(x)，
那么称函数y=f(x)是偶函数.
新课
偶函数的判定：
（1）下列说法是否正确，为什么？
① 若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
∴ 3 < (1)
课堂小结
1. 定义：如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有 f(-x)= f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有f(-x)= -f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.
2. 性质： ①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
0
x
0
x
0
x
新课
2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
① 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
② 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
3、奇、偶函数性质：
①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;

函数的奇偶性 2022-2023学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

f ( x) g( x)h( x)
g( x) x x3是奇函数
h( x) 2|xb| 是偶函数
利用奇偶性求分段函数解析式的一般过程：
(1)取范围: 将x取在需要求对应关系时的范围；
(2)调范围: 把含有x式子调整到已知对应关系时的范围；
(3)代入: 将调整后式子代入已知的解析式；
(4)求出f(x): 根据奇偶性求出该范围的解析式；
(5)作结论：写成分段函数的形式
练习
已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x+1。 (1)求f(-3); (2)求f(x)的解析式，并画出函数f(x)图象的大致形状.
0”,对应的运算量如何?
2a( x) b 2ax b
( x)2 1
x2 1
2a(x) b 2ax b 0 ( x)2 1 x2 1
即 -2ax b -2ax b
x2 1
x2 1
2b 0 ( x)2 1
2ax b 2ax b
b 0
2ax
b 0, f ( x) x2 1 .
对于它们各自定义域内的任意x ，都有 f ( x) f ( x)，g( x) g(x)
对于函数f ( x) g( x)，有 f ( x)+g( x) f ( x) g( x) [ f ( x) g( x)]
f ( x) g( x)为奇函数。同理f ( x) g( x)为奇函数。
对于函数f ( x)g( x)，有 f ( x)g( x) [ f ( x)][ g( x)] f ( x)g( x)
f ( x)g( x)偶函数。
同理，f ( x) 为偶函数。 g( x)
问题3：已知函数f ( x)和g( x)具有奇偶性，则由它们的和、差、积、商得到的新函数的奇偶性如何？

高中数学人教B版必修第一册函数的奇偶性(1) 课件1

归纳、抽象的能力，参透数开结合的数学思想 . 3. 情
态与价值∶
四．通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的
概括归纳问题的能力
问题1.用描点法画出下列函数的草图，并指出它们具有何种对称性.
= 2 − 2;
=
1
.

分析 f (x)的定义域为 , g(x)的定义域为 ∈ ≠ 0 .
1 = −
1
;

2 =
1
2 − 1
.
分析根据定义判断: ∀ ∈, ①− ∈; ② − = − 或 − = .
1
(1) = −

解的定义域 = ∈ ≠ 0 , ∀ ∈, − ∈.
y
1
1
又 ∵ − = − −
∵ = 2时, − = −2 ∉ ,
y
∴ ℎ 不是偶函数.
O
－1
注: 偶函数的定义域关于原点对称.
1
－2
2
x
问题3. 画出下列函数的草图，并指出它们具有何种对称性.
= 3,
1
= −

=
1
= −

3
y
y
P(x,f(x))
Q(－x,g(－x))
O
O
x
1
－1
∴ 存在既奇又偶函数, 比如:
= 0, ∈ −1,1 .
函数 = 0, ∈ −1,1 的图像
y
－1
O
1
x
注: 既是奇函数也是偶函数的函数, 称为既奇又偶函数.
例 2. 设奇函数的定义域为 D, 若0 ∈, 求 0 的值.

新教材高中数学第三章函数3.1.3函数的奇偶性(第1课时)函数奇偶性的概念课件新人教B版必修第一册

已知函数 y＝f(x)是的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：选 D.因为 f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四个交点，所
以这四个交点每组两个关于 y 轴一定是对称的，故所有实根之
和为 0.
利用函数的奇偶性求参数
(1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且定义域为
第三章函数
3．1.3 函数的奇偶性
第 1 课时函数奇偶性的概念
第三章函数
考点
函数奇偶性的判断
奇、偶函数的图像奇、偶函数的应用
学习目标结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系会利用函数的奇偶性解决简单问题
核心素养数学抽象、
(2)作出函数在 y 轴另一侧的图像，如图所示．
观察图像可知 f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，f(－1)<f(－3)，所以 f(1)<f(3)．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．
即有－1≤x≤1 且 x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为 f(－x)＝
1－(－x)2 －x
＝－ 1－x x2＝－f(x)．
所以 f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当 x>0 时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．

第三章-3.1.3-函数的奇偶性高中数学必修第一册人教B版

若 + + ⋅ = 4,则下列结论错误的是( C
A.
1
−
2
=0
C.函数
1
−
2
B.
是偶函数
1
2
)
= −2
D.函数
1
+
2
是减函数
1
2
≠ 0，
【解析】令 =
又
令
0
1
2
1
,
2
= 0，则有
1
2
+
1
2
× 0 =
1
2
[1 + 0 ] = 4 ×
图3.1.3-1
例7（1）已知函数 , ∈ ，若∀, ∈ ，都有( + ) = + ，求证：
为奇函数.
【解析】令 = 0，则 = 0 + ,
∴ 0 = 0.
令 = −, = ,则 0 = − + ，
∴ − = − . ∴ 是奇函数.
【解析】∵ 为奇函数，∴ 的图象关于原点对称，而 − 1 的图象是将
的图象向右平移1个单位长度得到的，∴ − 1 的图象关于点 1,0 对称,故A正确.
令 = − 1，则由 + 1 = − 1 可知， = ( + 2)，即 = + 2 ,
对于C， = 0，定义域为[−1,1]时,该函数既是奇函数又是偶函数，因此 ⇏ .由
= 0， ∈ ，只要A关于原点对称，都可以得到既是奇函数又是偶函数，
所以是的必要不充分条件，故C为假命题.
对于D，由于是奇函数，且定义域为，所以对任意的 ∈ 都有 − = − ,

高中数学人教B版2019必修第一册教案函数的奇偶性

函数的奇偶性【第1课时】【教学过程】一、新知初探思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．二、初试身手1．下列函数是偶函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0，1]答案：B解析：选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B．2．下列图像表示的函数具有奇偶性的是（）ABCD答案：B解析：B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性．3．函数y＝f（x），x∈[－1，a]（a>－1）是奇函数，则a等于（）A．－1B．0C ．1D ．无法确定答案：C解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝0，即a ＝1． 4．若f （x ）为R 上的偶函数，且f （2）＝3，则f （－2）＝________．答案：3解析：∵f （x ）为R 上的偶函数，∴f （－2）＝f （2）＝3．三、合作探究类型1：函数奇偶性的判断例1：判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝x 3＋x ；（2）f （x ）＝1－x 2＋x 2－1；（3）f （x ）＝2x 2＋2xx ＋1；（4）f （x ）＝⎩⎨⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.解：（1）函数的定义域为R ，关于原点对称．又f （－x ）＝（－x ）3＋（－x ）＝－（x 3＋x ）＝－f （x ），因此函数f （x ）是奇函数．（2）由⎩⎨⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1．因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f （1）＝f （－1）＝－f （－1）＝0，所以f （x ）既是奇函数又是偶函数．（3）函数f （x ）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（4）函数f （x ）的定义域为R ，关于原点对称．f （－x ）＝⎩⎨⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f （－x ）＝⎩⎨⎧－（x ＋1），x >0，0，x ＝0，－（x －1），x <0.于是有f（－x）＝－f（x）．所以f（x）为奇函数．规律方法判断函数奇偶性的两种方法（1）定义法：（2）图像法：跟踪训练1．下列函数中，是偶函数的有________．（填序号）①f（x）＝x3；②f（x）＝|x|＋1；③f（x）＝1x2；④f（x）＝x＋1x；⑤f（x）＝x2，x∈[－1，2]．答案：②③解析：对于①，f（－x）＝－x3＝－f（x），则为奇函数；对于②，f（－x）＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（－x）＝1－x2＝1x2＝f（x），则为偶函数；对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（－x）＝－x－1x＝－f（x），则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．类型2：奇偶函数的图像问题例2：已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图像如图所示．（1）画出在区间[－5，0]上的图像；（2）写出使f（x）<0的x的取值集合．解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图像关于原点对称．由y＝f（x）在[0，5]上的图像，可知它在[－5，0]上的图像，如图所示．（2）由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）．母题探究（变条件）将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．解：（1）如图所示（2）由（1）可知，使函数值y<0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2，5）．规律方法巧用奇、偶函数的图像求解问题1．依据：奇函数⇔图像关于原点对称，偶函数⇔图像关于y轴对称．2．求解：根据奇、偶函数图像的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题．跟踪训练2．如图是函数f （x ）＝1x 2＋1在区间[0，＋∞）上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f （x ）在定义域内的图像，并说明你的作图依据．解：因为f （x ）＝1x 2＋1，所以f （x ）的定义域为R ．又对任意x ∈R ，都有f （－x ）＝1－x 2＋1＝1x 2＋1＝f （x ），所以f （x ）为偶函数．所以f （x ）的图像关于y 轴对称，其图像如图所示．类型3：利用函数的奇偶性求值探究问题1．对于定义域内的任意x ，若f （－x ）＋f （x ）＝0，则函数f （x ）是否具有奇偶性？若f （－x ）－f （x ）＝0呢？提示：由f （－x ）＋f （x ）＝0得f （－x ）＝－f （x ）， ∴f （x ）为奇函数．由f （－x ）－f （x ）＝0得f （－x ）＝f （x ），∴f （x ）为偶函数．2．若f （x ）是奇函数且在x ＝0处有定义，则f （0）的值可求吗？若f （x ）为偶函数呢？提示：若f （x ）为奇函数，则f （0）＝0；若f （x ）为偶函数，无法求出f （0）的值．例3：（1）若函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＝________，b ＝________；（2）已知f （x ）＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f （－3）＝－3，则f （3）＝________．思路点拨答案：（1）13；0（2）7解析：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13．又函数f （x ）＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b ＝0．（2）令g （x ）＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，则g （x ）是奇函数， ∴f （－3）＝g （－3）＋2＝－g （3）＋2，又f （－3）＝－3， ∴g （3）＝5．又f （3）＝g （3）＋2，所以f （3）＝5＋2＝7．规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略1．定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．2．解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数即可求解．跟踪训练3．若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝________．答案：4解析：法一：f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，f（－x）＝（－x＋a）（－x －4）＝x2－（a－4）x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．法二：f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f（x）＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4．四、课堂小结1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f（x）定义域内的每一个值x，都有f（－x）＝－f（x）（或f（－x）＝f（x）），才能说f（x）是奇函数（或偶函数）．2．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．五、当堂达标1．思考辨析（1）函数f（x）＝x2，x∈[0，＋∞）是偶函数．（）（2）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y＝f（x）一定是奇函数．（）（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．（）（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．（）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2．函数f（x）＝|x|＋1是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案：B解析：∵f（－x）＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f（x），∴f（x）为偶函数．3．已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______．答案：0解析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＋f（x）＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0．4．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图像，如图所示．（1）请补充完整函数y＝f（x）的图像；（2）根据图像写出函数y＝f（x）的增区间；（3）根据图像写出使f（x）<0的x的取值集合．解：（1）由题意作出函数图像如图：（2）据图可知，单调增区间为（－1，0），（1，＋∞）．（3）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）．【第2课时】奇偶性的应用【教学目标】【核心素养】1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养．【教学过程】一、合作探究类型1：用奇偶性求解析式例1：（1）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；（2）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝1x－1，求函数f（x），g（x）的解析式．思路点拨：（1）设x<0，则－x>0―――――→当x>0f x＝－x＋1求f－x―――→奇函数得x<0时f x的解析式―――→奇函数的性质f0＝0――――→分段函数f x的解析式（2）f x ＋gx ＝1x －1――――――→用－x 代式中x得f－x ＋g －x＝1－x －1―――→奇偶性得fx －gx ＝－1x ＋1――――→解方程组得fx ，g x 的解析式解：（1）设x <0，则－x >0， ∴f （－x ）＝－（－x ）＋1＝x ＋1，又∵函数f （x ）是定义域为R 的奇函数， ∴f （－x ）＝－f （x ）＝x ＋1， ∴当x <0时，f （x ）＝－x －1．又x ＝0时，f （0）＝0，所以f （x ）＝⎩⎨⎧－x －1，x <0，0，x ＝0，－x ＋1，x >0.（2）∵f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数， ∴f （－x ）＝f （x ），g （－x ）＝－g （x ）．由f （x ）＋g （x ）＝1x －1，①用－x 代替x 得f （－x ）＋g （－x ）＝1－x －1，∴f （x ）－g （x ）＝1－x －1，②（①＋②）÷2，得f （x ）＝1x 2－1；（①－②）÷2，得g （x ）＝xx 2－1．母题探究把本例（2）的条件“f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数”改为“f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数”，再求f （x ），g （x ）的解析式．解：∵f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数， ∴f （－x ）＝－f （x ），g （－x ）＝g （x ），又f （x ）＋g （x ）＝1x －1，①用－x 代替上式中的x ，得f （－x ）＋g （－x ）＝1－x －1，即f （x ）－g （x ）＝1x ＋1．②联立①②得f （x ）＝x x 2－1，g （x ）＝1x 2－1．规律方法利用函数奇偶性求解析式的方法1．“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设． 2．要利用已知区间的解析式进行代入．3．利用f （x ）的奇偶性写出－f （x ）或f （－x ），从而解出f （x ）．提醒：若函数f （x ）的定义域内含0且为奇函数，则必有f （0）＝0，但若为偶函数，未必有f （0）＝0．类型2：函数单调性和奇偶性的综合问题探究问题1．如果奇函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递增，那么f （x ）在（－b ，－a ）上的单调性如何？如果偶函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减，那么f （x ）在（－b ，－a ）上的单调性如何？提示：如果奇函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递增，那么f （x ）在（－b ，－a ）上单调递增；如果偶函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减，那么f （x ）在（－b ，－a ）上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f （x ）在（－∞，0）上单调递增，那么f （3）和f （－2）的大小关系如何？若f （a ）>f （b ），你能得到什么结论？提示：f （－2）>f （3），若f （a ）>f （b ），则|a |<|b |．角度一：比较大小问题例2：函数y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x ＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A ．f （1）<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f （1）<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f （1）D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f （1）<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72思路点拨：y ＝f x ＋2是偶函数―→fx 的图像关于x ＝2对称――――→[0，2]上递增比较大小答案：B解析：∵函数f （x ＋2）是偶函数，∴函数f （x ）的图像关于直线x ＝2对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f （x ）在[0，2]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f （1）<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f （1）<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52．规律方法比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上．（1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；（2）不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练1．设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则f （－2），f （π），f （－3）的大小关系是（）A ．f （π）＞f （－3）＞f （－2）B ．f （π）＞f （－2）＞f （－3）C ．f （π）＜f （－3）＜f （－2）D ．f （π）＜f （－2）＜f （－3）答案：A由偶函数与单调性的关系知，若x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则x ∈（－∞，0）时，f （x ）是减函数，故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f （π）＞f （－3）＞f （－2），故选A ．角度二：解不等式问题例3：已知定义在[－2，2]上的奇函数f （x ）在区间[0，2]上是减函数，若f （1－m ）<f （m ），求实数m 的取值范围．解：因为f （x ）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f （x ）在[－2，2]上为减函数．又f （1－m ）<f （m ），所以⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12.解得－1≤m <12．故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12．规律方法解有关奇函数f （x ）的不等式f （a ）＋f （b ）<0，先将f （a ）＋f （b ）<0变形为f （a ）<－f （b ）＝f （－b ），再利用f （x ）的单调性去掉“f ”，化为关于a ，b 的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f （x ）＝f （|x |）＝f （－|x |）将f （g （x ））中的g （x ）全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f ，使不等式得解．跟踪训练2．函数f （x ）是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，f （3）<f （2a ＋1），则a 的取值范围是（）A ．a >1B ．a <－2C ．a >1或a <－2D ．－1<a <2答案：C解析：因为函数f （x ）在实数集上是偶函数，且f （3）<f （2a ＋1），所以f （3）<f （|2a ＋1|），又函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以3<|2a ＋1|，解得a >1或a <－2．故选C ．二、课堂小结1．具有奇偶性的函数的单调性的特点（1）奇函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性．（2）偶函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．2．利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f （－x ）＝－f （x ）或f （－x ）＝f （x ），但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x （另一个已知区间上的解析式中的变量），通过适当推导，求得所求区间上的解析式．3．偶函数的一个重要性质：f （|x |）＝f （x ），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论．三、当堂达标1．思考辨析（1）奇函数f（x）＝1x，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（－∞，0）上的解析式也相同．（）（2）对于偶函数f（x），恒有f（x）＝f（|x|）．（）（3）若存在x0使f（1－x0）＝f（1＋x0），则f（x）关于直线x＝1对称．（）（4）若奇函数f（x）在（0，＋∞）上有最小值a，则f（x）在（－∞，0）上有最大值－a．（）答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2．已知偶函数在（－∞，0）上单调递增，则（）A．f（1）>f（2）B．f（1）<f（2）C．f（1）＝f（2）D．以上都有可能答案：A解析：∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（1）>f（2），故选A．3．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）<f（b），则一定可得（）A．a<b B．a>bC．|a|<|b|D．0≤a<b或a>b≥0答案：C解析：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，∴由f（a）<f（b）可得|a|<|b|．]4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，求f（x），g（x）的表达式．解：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）－g （x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x．。

高一数学人教B版必修1：2.1.4 函数的奇偶性(一) 学案

2.1.4函数的奇偶性(一)自主学习学习目标1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．自学导引1．阅读课本内容填写下表：奇函数f(x)偶函数g(x)定义域的特点关于________对称关于________对称图象特点关于________成中心对称图形关于________成轴对称图形解析式的特点2.(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝________.(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．对点讲练知识点一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝2x2＋2x x＋1；(3)f(x)＝1－x2＋x2－1；(4)f(x)＝4－x2 |x＋2|－2.规律方法(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．(2)奇(偶)函数的性质①f(x)为奇函数，定义域为D，若0∈D，则必有f(0)＝0；②在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数＋奇函数＝奇函数；偶函数＋偶函数＝偶函数；奇函数×奇函数＝偶函数；偶函数×偶函数＝偶函数．变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－|x|；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝x－1＋1－x.知识点二分段函数奇偶性的证明例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3 (x <0)－x 2＋2x －3 (x >0)，判断f (x )的奇偶性．规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x 与－x 所满足的对应关系，如x >0时，f (x )满足f (x )＝－x 2＋2x －3，－x <0满足的不再是f (x )＝－x 2＋2x －3，而是f (x )＝x 2＋2x ＋3；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f (－x )＝－f (x )，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．变式迁移2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1(x >0)，0(x ＝0)，x ＋1(x <0)的奇偶性．知识点三抽象函数奇偶性的判断例3 已知函数f (x )，x ∈R ，若对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．求证：f (x )为奇函数．规律方法抽象函数奇偶性的判定是根据定义，即寻求f (x )与f (－x )的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．变式迁移3 函数f (x )，x ∈R ，且f (x )不恒为0.若对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)．求证：f (x )为偶函数．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x ∈D ，－x ∈D ，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．2．解题中可以灵活运用f (x )±f (－x )＝0对奇偶性作出判断．3．奇函数f (x )若在x ＝0处有意义，则必有f (0)＝0.课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝1x 2(x ≠0)，则这个函数( ) A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )的图象必过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎫a ，f ⎝⎛⎭⎫1a 3．函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．如图是一个由集合A 到集合B 的映射，这个映射表示的是( )A ．奇函数而非偶函数B ．偶函数而非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数5．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.7．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0 (x ∈R )；④偶函数的图象关于y 轴对称，其中正确的命题有______个．8．已知f (x )＝ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝__________.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－2 (x <0)； (4)f (x )＝x 3－x 2x －1.10．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x ，y ，f (x )都满足f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．2．1.4 函数的奇偶性(一)答案自学导引1．原点原点原点 y 轴 f (－x )＝－f (x )f (－x )＝f (x )2．(1)0 (2)有，例如f (x )＝0，x ∈[－1,1]．对点讲练例1 解 (1)函数定义域为R .f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠－1}．不关于原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0x 2－1≥0，得x ＝±1，此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．变式迁移1 解 (1)既是奇函数，又是偶函数．∵f (x )＝0，f (－x )＝0.∴f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )．(2)函数的定义域为R ，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，1－x ≥0，知x ＝1，∴函数f (x )的定义域为{1}，不关于原点对称．故f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．例2 解 ①当x <0时，－x >0.f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )．②当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )，综上可知f (x )为奇函数．变式迁移2 解当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －1＝－(x ＋1)＝－f (x )，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)＝－f (x )，而f (0)＝0，∴f (x )是奇函数．例3 证明设a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0. 又设a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )．∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．变式迁移3 证明令x 1＝0，x 2＝x ，则得f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )①又令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (x )f (0)②由①、②得f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．课时作业1．C [∵x ≠0，∴f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．]2．C [∵y ＝f (x )是奇函数，过(－a ，f (－a ))点，而f (－a )＝－f (a )∴y ＝f (x )过点(－a ，－f (a ))．]3．C [结合选项，当a ＝1时，y ＝x 2－1，显然为偶函数．]4．C [因为f (x )＝0，x ∈{－2,2}，满足f (－x )＝±f (x )．所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．]5．A [∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴b ＝0，此时g (x )＝ax 3＋cx (a ≠0)，由于g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．]6.130 解析 ∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b .∴b ＝0. 7．1解析 ①错误，如偶函数f (x )＝1x2的图象与纵坐标轴不相交．②错误，如奇函数f (x )＝1x不过原点． ③错误，如f (x )＝0，x ∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数． ④正确．8．－26解析 ∵f (－x )＋f (x )＝－16，∴f (2)＋f (－2)＝－16， ∴f (2)＝－26.9．解 (1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称．该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数．(3)定义域为R ，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称．所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数． 10．解 (1)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，令x ＝y ＝1时，有f (1·1)＝1·f (1)＋1·f (1)，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1时，有f [(－1)·(－1)]＝(－1)·f (－1)＋(－1)·f (－1)，∴f (－1)＝0.(2)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝y ·f (x )＋x ·f (y )，∴令x ＝t ，y ＝－1，有f (－t )＝－f (t )＋t ·f (－1)．将f (－1)＝0代入得f (－t )＝－f (t )，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上为奇函数．。

人教B版高中数学必修一《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的概念)

(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B 中元素对应．
24
[解] (1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 ±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
43
1．判断两个函数相同函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
44
2．对函数定义的再理解 (1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如 y＝ 11－x＋ x－3就不是函数；集合 A 中的元素是实数，即 A≠∅且 A⊆R.
5若 fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
34
2．下列函数的定义域不是 R 的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝x2
C．y＝1x
D．y＝2x
C [A 中为一次函数，B 中为二次函数，D 中为正比例函数，定
义域都是 R；C 中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是 R.]
35
17
(1)C [选项 A 中，由于 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝x 两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；
选项 B 中，由于 f(x)＝x 的定义域为 R，g(x)＝xx2的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项 C 中，f(x)＝3 x3＝x，g(x)＝x 的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；

高一数学人教版必修一函数的奇偶性 PPT课件图文

猜想： f(x)f(x)
x ..3.2 1 0 1 2 3..
... f (x) x2
941
0
14
9..
偶函数的定义
一般地，如果对函数 f (x) 的定义域内任意一个 x, 都有f (x) f (x)，那么函数 f (x)就叫偶函数 .
类比&探究
f(1)f(1) f(2)f(2) f(3)f(3)
1.3.2函数的奇偶性
必修1（人教版）
故宫
女子跳水10米跳台决赛，正反跳映衬对称美
数学&生活
生活中的对称美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？
请同学们观察下列函数图形，说出他们各有怎样的对称性？
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？哈哈，我来回答
以上函数图像都关于y轴对称
把图像关于y轴对称函数称为偶函数
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？
以上函数图像都关于原点对称
把图像关于原点对称函数称为奇函数
根据下列函数图象,判断其奇偶性.
y
y
o
奇函数
x
o
x 偶函数
y
b
oLeabharlann x 偶函数yo
x 奇函数
观察 & 发现
f(1)1f(1)
f(2)4f(2)
f( 3)9f(3) ……
2.两个性质:
一个函数为奇函数它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数它的图象关于y 轴对称。
3. 判断函数奇偶性的方法和步骤
我来总结
判断函数的奇偶性，注意定义域优先
1.
课堂小结
f ( x )是函数f (x)的图像对函数 f (x)的定义

高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性

高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。

这一节我们继续学习函数的另一个性质。

请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。

图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。

大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。

教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。

即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。

（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。

3.1.3函数的奇偶性课件高一上学期数学人教B版

y
(-x,f(-x))
(x,f(x))
-x 0
x
x
定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。
定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。
问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 9 4 1 0 1 4 9
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 2 1 0 -1 0 1 2
观察下图，思考并回答以下问题：
（3）对函数 f(x)=x2 ,当我们在定义域内任取一对相反数x和-x时，所对应的函数值什么关系？
（4）通过观察，能否给出偶函数的定义？
（定义域关于原点对称）
问题2：为什么强调任意和都有？
（说明具有一般性，避免特殊性）
问题3：偶函数的图像有什么特点？
（偶函数图像关于y轴对称）
f(x)为偶函数
f(x)的图像关于y轴对称
问题：如何判断一个函数是偶函数？
1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易画出的函数） 2 数----利用定义（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称（2）确定 f (x)与f (x)的关系（3）若 f (x) f (x) ，则 f ( x) 是偶函数
函数的奇偶性
高银枝
复习
什么叫做轴对称图形?
一个图形沿一条直线折起来,直线两侧部分能够互相重合
什么叫做中心对称图形?
一个图形绕某一点旋转180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合
观察下列图像
观察下图，思考并回答以下问题：

新教材人教B版必修第一册 3.1.3.1 函数的奇偶性课件(50张)

【思路导引】1.利用f(2 019)=3求出未知式子的值,再求f(-2 019)的值. 2.利用奇偶函数的定义,构造f(x)+g(x)后求值.
【解题策略】利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.
角度2 利用奇偶性求函数值【典例】1.已知函数f(x)=ax3+bx-2,f(2 019)=3,则f(-2 019)= ( ) A.-7 B.-5 C.-3 D.-2 2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则 f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3
它们在x∈[0,3]上的图像如图所示,则不等式 f x <0的解集是________. gx
【思路导引】根据图像的对称性⇒画出y=f(x),y=g(x)在[-3,0]上的图像⇒结
合图像可以得出使得f(x),g(x)大于零或小于零的区间⇒求 f x <0的解集. gx
【解题策略】巧用奇偶性作函数图像的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图像. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图像.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)奇函数的图像一定过原点. ( ) (2)如果定义域内存在x0,满足f(-x0)=f(x0),函数f(x)是偶函数. ( ) (3)若对于定义域内的任意一个x,都有f(x)+f(-x)=0,则函数f(x)是奇函数.

12.函数的奇偶性

三案导学· 高中数学必修一（人教B 版）
函数的奇偶性
学习目标
• 1.准确理解奇函数、偶函数的定义和性质，熟练掌握函数奇偶性的判断和证明. • 2.小组合作、探究证明函数奇偶性的规律和方法. • 3．以积极的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
基础知识梳理
偶函数与奇函数的有关概念
1.偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为D,如果对D 内的任意一个x，都有 x D ，且 f(－x)=f(x) 则 f(x)就叫做偶函数．
展示问题例1（1）（2）例1（3）（4）例3
展示方式及位置前黑板前黑板前黑板
展示小组 2组 4组 10组
例3 例2
深化4 深化提高2
前黑板后黑板
后黑板后黑板
8组 5组
3组 1组
例1思考3
例1思考1
后黑板
后黑板
8组
9组
（1）展示人规范快速，总结规律（用彩笔）。（2）其他同学讨论完毕总结完善，A层注意拓展，不浪费一分钟。（3）小组长要检查、落实，力争全部达标。
2. 奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x ，都有 x D ，且 f(－x)=-f(x).则f(x)就叫做奇函数． 3. 具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于 y轴对称；奇函数的图像关于原点对称.
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1).函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。
注意：奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性.
课堂评价
学科班长：1.回扣目标总结收获 2.评出优秀小组和个人
课后完成进一步的整理巩固注意典型习题本的运用

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解：(1)证明：定义在 R 上的函数 f(x)，对任意的实数 x，y，恒有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
令 x＝y＝0，则 f(0)＝0，令 y＝－x，则 f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
(2)证明：令 x＋y＝x1，y＝x2 且 x1>x2，x＝x1－x2>0，当 x>0 时，f(x)<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，故 f(x)在 R 上是减函数． (3)因为 f(1)＝－23，所以 f(2)＝－43，f(3)＝－2，f(－3)＝2，所以函数 f(x)在[－3,3]上的值域为[－2,2]．
三、解答题共计 40 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
10．(10 分)设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减，若 f(m)＋f(m－1)>0，求实数 m 的取值范围．
解：由 f(m)＋f(m－1)>0，得 f(m)>－f(m－1)，即 f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴ f(x)在[－2,2]上为减函数，
6．设函数 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且有 f(－
3)＝0，则 xf(x)<0 的解集是( D )
A．{x|－3<x<0 或 x>3} B．{x|x<－3 或 0<x<3} C．{x|x<－3 或 x>3} D．{x|－3<x<0 或 0<x<3}
解析：根据已知条件，可画出 f(x)的大致图像，如图，从图中可得 xf(x)<0 的解集为{x|－3<x<0 或 0<x<3}．故选 D.
(2)结合函数 f(x)的图像，可知不等式 xf(x)>0 的解集是(－2,0) ∪(0,2)．
12．(15 分)定义在 R 上的函数 f(x)，对任意的实数 x，y，恒有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当 x>0 时，f(x)<0.又 f(1)＝－23.
(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在 R 上是减函数； (3)求函数 f(x)在[－3,3]上的值域．
9．定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间[0，＋∞)的图像与 f(x)的图像重合，设 a>b>0，给出下列不等式，其
中成立的是 ①③ .
①f(b)－f(－a)>g(－b)－g(a)； ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)； ③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)．
8．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝ x＋1，则当
x<0 时，f(x)＝－－x－1 .
解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝ x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－( －x＋1)，即 x<0 时，f(x)＝－( －x＋1)＝－－x－1.
解析：由已知得 g(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，根据偶函数的定义知 g(x)在区间(－∞，0]上为减函数，则 f(b)>f(－a)， g(a)>g(b)＝g(－b)，所以 f(b)＋g(a)>f(－a)＋g(－b)，即 f(b)－f(－ a)>g(－b)－g(a)．因为 a>0>－b，则 f(a)>f(－b)，又 g(－b)<g(－ a)，所以 f(a)＋g(－a)>f(－b)＋g(－b)，即 f(a)－f(－b)>g(－b)－ g(－a)＝g(b)－g(－a)．
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
4．已知函数 y＝f(x)为偶函数，其图像与 x 轴有四个交点，
则方程 f(x)＝0 的所有实根之和是( A )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：由于偶函数的图像关于 y 轴对称，所以偶函数的图像与 x 轴的交点也关于 y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半轴上，另两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为 0.
－2≤1－m≤2， ∴－2≤m≤2，
1－m>m，
－1≤m≤3，即－2≤m≤2，
m<12，
解得－1≤m<12.
因此实数 m 的取值范围是－1，12.
11．(15 分)定义在 R 上的奇函数 f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．
(1)补全 f(x)的图像； (2)解不等式 xf(x)>0.
解：(1)描出点(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－ 2,0)，则可得 f(x)的图像如图所示．
5．f(x)是定义在 R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是
(D )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(－x)·f(x)≤0 D.ff－xx＝－1 解析：∵f(x)为 R 上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－ x)＝－[f(x)]2≤0，故 A，B，C 正确．当 x＝0 时，由题意知 f(0) ＝0，故 D 错误．
2．下列函数中，既是奇函数又是偶函数的为( D )
Байду номын сангаас
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝1x
D．y＝0(x∈R)
解析：选项 A 不是偶函数也不是奇函数，选项 A 不正确；选项 B、C 不是偶函数．故选 D.
3．已知函数 f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋1x，则 f(－
1)等于( A )
课时作业25 函数的奇偶性(1)
时间：45 分钟分值：100 分一、选择题每小题6分，共计36分 1．下列说法中，不正确的是( B ) A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B．奇函数的图像一定经过原点 C．偶函数的图像若不经过原点，则它与 x 轴交点的个数一定是偶数 D．图像关于 y 轴成轴对称的函数一定是偶函数解析：由奇、偶函数图像的性质可知，A、C、D 正确．而对于 B，若奇函数在 x＝0 处无定义，则其图像不过原点，故 B 不正确．选 B.
二、填空题每小题8分，共计24分 7．已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，则 f(2)等
于－26 .
解析：∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令 g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则 g(x)为奇函数． ∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18， ∴g(2)＝－18， ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.