第五章 常微分方程-自考高等数学(工本)00023 基础课
00023 高等数学(工本)课程考试说明
00023 高等数学（工本）课程考试说明一、本课程使用的教材、大纲高等数学（工本）课程指定使用的教材为：《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，陈兆斗、高瑞主编，北京大学出版社，2006版二、本课程的试卷题型及试题难易程度2.试卷分别针对识记、领会、简单应用、综合应用四个认知及能力层次命制试题，四个层次在试卷中所占的比例大致为识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%。
3.试卷难易度大致可分为容易、中等偏易、中等偏难、难四个等级，根据课程的特点，试卷中不同难易度试题所占的分数比例，大致依次为容易占30分，中等偏易占30分，中等偏难占20分，难占20分。
4.考试形式本课程考试形式为闭卷笔试方式，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格线。
三、各章内容分数的大致分布根据自学考试大纲的要求，试卷在命题内容的分布上，兼顾考核的覆盖面和课程重点，力求点面结合。
教材具体各章所占分值情况如下：四、考核重点及难点第一章 空间解析几何与向量代数重点：向量的运算、平面、直线、柱面、椭球面、圆锥面、旋转抛物面的标准方程及其图形。
难点：向量的向量积及空间曲线在坐标平面上的投影。
第二章 多元函数微分学重点：偏导数（含复合函数及隐函数的偏导数）计算、极值及应用。
难点：复合函数、隐函数偏导数的计算、多元函数极值、条件极值的求法及其应用。
第三章 重积分重点：二重积分、三重积分的计算及其应用。
难点：重积分化为累次积分时坐标系的选取及积分限的确定。
第四章 曲线积分和曲面积分重点：曲线积分和曲面积分的计算、格林公式和高斯公式。
难点：对坐标的曲线、曲面积分的计算、平面曲线积分与路径无关的条件的理解与应用。
第五章 常微分方程重点：三类一阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的解法。
难点：方程类型的识别及二阶常系数线性非齐次微分方程的特解*y 的设法。
第六章 无穷级数重点：常数项级数的审敛、幂级数的收敛区间及用间接法将函数展开成幂级数。
自考高数(工本)讲义00023
自考高数(工本)讲义
课程代码:00023
目录 1.函数与极限 2.导数与微分 3.不定积分 4.定积分及其应用 5.第一章 空间解析几何与向量代数 6.第二章 多元函数的微分学 7.第三章 重积分 8.第四章 曲线积分与曲面积分 9.第五章 常微分方程
1 − cos 2α 2
cos 2 α =
1 + cos 2α 2
二、极限 1、无穷小：极限为 0 的变量称为无穷小 运算法则：(1)有限个无穷小相加是无穷小 (2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ● 有极限的变量与无穷的乘积是无穷小 ● 常数与无穷的乘积是无穷小 ● 有限个无穷小的乘积是无穷小 2、无穷小与函数极限的关系： lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ) ⇔ f ( x ) − A = α ( x )
α − tan 2 α = 1 ；(8) csc2 α − cot 2 α = 1
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan (α ± β ) =
tan α ± tan β 1 ∓ tan α an β
例： ⎨
⎧ x = a(t − sin t ) dy d 2 y ，求 , 。 dx dx 2 ⎩ y = a(1 − cos t )
A ⋅ Δx 称为线性主部，记为 dy。
六、函数的微分 1、定义： Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = A ⋅ Δx + o( Δx) 2、与导数关系：可微 iff 可导
000230000高等数学(工本)课程考试说明
000230000 高等数学（工本）课程考试说明一、本课程使用的教材、大纲高等数学（工本）课程指定使用的教材为：（1）《高等数学（工专）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，吴纪桃、漆毅主编，北京大学出版社，2006版（2）《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，陈兆斗、高瑞主编，北京大学出版社，2006版二、本课程的试卷题型及试题难易程度1.试卷题型结构表2.试卷分别针对识记、领会、简单应用、综合应用四个认知及能力层次命制试题，四个层次在试卷中所占的比例大致为识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%。
3.试卷难易度大致可分为容易、中等偏易、中等偏难、难四个等级，根据课程的特点，试卷中不同难易度试题所占的分数比例，大致依次为容易占30分，中等偏易占30分，中等偏难占20分，难占20分。
三、各章内容分数的大致分布根据自学考试大纲的要求，试卷在命题内容的分布上，兼顾考核的覆盖面和课程重点，力求点面结合。
教材具体各章所占分值情况如下：四、考核重点及难点1.高等数学（工专）教材部分第一章函数重点：基本初等函数、函数的特性。
难点：函数的复合。
第二章极限与连续重点：极限概念、极限运算、两个重要极限、连续性及间断点分类。
难点：两个重要极限及相应的各种变形形式。
第三章导数与微分重点：导数定义、微分概念、导数的几何意义、导数的物理意义、各种求导法则。
难点：复合函数求导、几类特殊函数的求导方法。
第四章微分中值定理与导数的应用重点：三个中值定理的内容、洛必达法则、函数的单调性、凹凸性、极值、最值之判定和实际应用。
难点：综合运用中值定理、函数的特征证明一些不等式或等式。
第五章一元函数积分学重点：不定积分、定积分概念及运算、定积分应用。
难点：不定积分的综合运算和变上限积分的求导数。
2. 高等数学（工本）教材部分第一章空间解析几何与向量代数重点：向量的运算、平面、直线、柱面、椭球面、圆锥面、旋转抛物面的标准方程及其图形。
微积分应用基础第五章常微分方程
微分方程。
例如 dy 2xy ，ysec x y ， (1 x2 ) ydy arctan xdx 0
dx
等等都是可分离变量的微分方程。
形如 y f ( y) 的微分方程称为齐次微分方程。
例如 y yx tan y ，y 2dx (x 2 xy)dy 0 为齐次微
为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。 方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程
的阶。
第五章 常微分方程
例如 y x2 1 ，2 y 3xy x2 0 是一阶微分方程 d 2s 1 ，y py q f (x) 是二阶微分方程 。
案例1【跳伞规律】 求高空跳伞者的速度随时间的变化规律。（设阻力与
降落速度成比）
解 假设质量为m的物体在降落伞张开后降落时所受的空气
阻力与速度成正比，开始降落时速度为零。
当降落伞降落速度为ν (t )时，降落伞所受重力mg的 方向与ν (t )的方向一致，并受阻力-kν （k为比例系数，
与降落伞的受风面积有关，且大于0），负号表示阻力的
第五章 常微分方程
解 设w表示 圆桶重量，这里为239.456千克，V表示圆桶 体积,这里为0.208立方米，B表示海水浮力，这里为 1025.94V=213.396千克，k表示圆桶下沉时的阻力系数， 这里为0.12，v表示圆桶下沉时的速度，D表示圆桶下沉时 的阻力，这里为kv，t表示圆桶离开海平面下沉的时间，单 位为秒，y(t)表示圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米。
dt2 2
阶微分方程的一般形式为：
F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
成人自考00023《高等数学（工本）》考点成人自考00023《高等数学（工本）》的考点主要包括以下内容：1. 函数与极限：函数的概念、函数的性质、函数的极限、无穷小与无穷大、极限存在准则、函数的连续性等。
2. 导数与微分：导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点等。
4. 不定积分与定积分：不定积分的概念与性质、基本积分表、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。
5. 微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
6. 无穷级数：数列极限的概念与性质、数列极限存在准则、无穷级数的概念与性质、正项级数的审敛法、交错级数的审敛法、幂级数的收敛半径等。
7. 空间解析几何：空间直线的方程与位置关系、平面的方程与位置关系、空间曲线的方程与位置关系、空间曲面的方程与位置关系、空间直线与平面的位置关系等。
8. 多元函数微分学：偏导数与全微分、多元函数的极值与条件极值、隐函数与参数方程的偏导数、多元函数的泰勒公式等。
9. 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、二重积分的计算方法、三重积分的概念与性质、三重积分的计算方法、曲线积分的概念与性质、曲线积分的计算方法等。
以上是成人自考00023《高等数学（工本）》的主要考点，考生在备考过程中应重点掌握这些内容，并进行大量的练习和习题的解析，以提高自己的理解和应用能力。
00023高等数学(工本)
00023 高等数学（工本）引言高等数学是一门基础性的数学课程，它的内容和方法贯穿于各个学科的研究中。
本文档将介绍高等数学的一些基本概念和方法，帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。
一、函数与极限1.1 函数的概念函数是数学领域中一种基本的数学对象，它描述了输入和输出之间的关系。
函数可以用多种方式表示，包括数学表达式、图形或者数据集合等。
1.2 极限的定义极限是高等数学中一个重要的概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过极限的概念，可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。
二、微积分2.1 导数与微分导数和微分是微积分的基本概念，它们描述了函数在某个点处的变化率。
通过导数和微分，可以研究函数的最值、拐点和曲线的切线等问题。
2.2 积分与不定积分积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某个区间上的累积效应。
通过积分，可以求解曲线下的面积、求解物理学中的平均值等问题。
三、级数3.1 数项级数数项级数是一种特殊的数列，它的每一项都是一个数。
通过对数项级数的求和，可以研究级数的收敛性和发散性，以及求解级数的和的问题。
3.2 函数项级数函数项级数是一种特殊的函数序列，它的每一项都是一个函数。
通过对函数项级数的求和，可以研究函数项级数的收敛性和发散性，以及求解函数项级数的和的问题。
四、微分方程微分方程是描述变量之间关系的方程，它是自然科学和工程技术中一种常见的数学模型。
通过求解微分方程，可以预测和分析各种现象和问题，如物体的运动、电路的行为等。
结论高等数学是一门基础性的数学课程，它具有广泛的应用领域和深远的影响。
本文档介绍了高等数学的一些基本概念和方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。
参考文献1.Stewart, J. (2008). Calculus: Early Transcendentals.Cengage Learning.2.Cao, W. (2013). 微积分学教程. 北京大学出版社.以上文档使用Markdown格式编写，方便阅读和编辑。
《常微分方程》课程标准6页word文档
《常微分方程》课程标准一、课程概述常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课。
它不但是数学的基础课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。
在教学当中，教师应加强基本理论的教学，同时也要注意运算技能的培养和训练；通过典型例子、做练习题这些环节，帮助培养、提高解题能力和技巧。
二、课程目标1、通过学习，使学生知道《常微分方程》在数学基础课中的地位与作用，知道本学科的研究范围、研究方法和学科进展情况。
2、通过本课程的学习，使学生掌握《常微分方程》的基本概念、基本原理和基本方法。
3、要求学生学会运用基本方法和基本运算和技能，把所学到的基本原理应用到具体的实际事件中去，去发现、分析和解决一些日常生活中遇到的实际问题。
三、教学内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。
理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。
学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
（一）绪论（一）课时安排与教学建议《常微分方程》是数学与应用数学专业的必修课，也是主干课程。
在第三学期或第四学期开设为宜，每周安排3节，共60学时完成本课程的教学。
具体课时安排如下：1、 应以标准教学班为主要教学组织，班级授课制是本课程教学的主要组织形式。
2、 应注意教学方法、教学手段的综合运用，教学过程中，可以用如讨论、提问、声像、多媒体 教学等手段开展教学活动以激发学生学习兴趣。
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组共32页
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
高等数学慕课版常微分方程
06
学习常微分方程的建议
重视基础知识的掌握
熟练掌握基本概念
常微分方程涉及到许多基本概念，如导数 、微分、不定积分、定积分等，需要反复 学习和理解。
VS
理解基本原理
常微分方程的求解方法涉及到许多数学原 理，如极限原理、连续性定理、解的存在 唯一性定理等，需要深入理解并掌握。
加强数学思维的培养
培养数学分析能力
泛函微分方程
泛函微分方程的概念
泛函微分方程是一种由未知函数及其 导数和参数所组成的方程，是微分方 程的一种重要类型。
泛函微分方程的分类
根据不同的分类标准，泛函微分方程 可以分为线性非线性、自治非自治等 。
泛函微分方程的研究 内容
研究泛函微分方程的解法、解的性质 、解的个数等，以及在物理、化学、 生物、工程等方面的应用。
常微分方程的求解过程需要运用数学分析的方法，如化归、转化、构造函数等，需要培养数学分析的能力。
培养逻辑思维能力
常微分方程的求解过程需要有较强的逻辑思维能力，如推理、归纳、演绎等，需要加强训练。
坚持理论与实践相结合
学习基本解法
常微分方程的求解方法有分离变量法、降 维法、参数变量代换法等，需要学习并掌 握这些基本解法。
R语言
使用专用包如deSolve等可以求解常微分方程，适用于统计分析、数据模拟等方面。
04
常微分方程的应用
经济领域的应用
经济学中一些重要的变化过程，如商 品价格的变化、投资回报的变化、人 口增长等，都可以用常微分方程来描 述。
常微分方程可以描述商品价格的动态 变化过程，这种过程通常会受到许多 因素的影响，如需求和供应、市场结 构、货币政策等。
02
常微分方程还可以描述信号处理中的一些现象，如滤波器和频
常微分方程自学考试大纲
《常微分方程》(B)自学考试大纲课程代码：8488目录一、课程性质与设置目的二、课程内容与考核内容第一章绪论§1.1 常微分方程模型§1.2 基本概念1.2.1 常微分方程基本概念第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1 变量分离方程2.1.2 可化为变量分离方程的类型§2.2 线性方程与常数变易法§2.3 恰当方程与积分因子2.3.1 恰当方程2.3.2 积分因子§2.4 一阶隐方程与参数表示2.4.1 可以解出y（或x）的方程2.4.2 不显含y（或x）的方程第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理3.1.2 近似计算与误差估计§3.2解的延拓第四章高阶微分方程§4.1. 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法§4.2 常系数线性方程的解法4.2.1 复值函数与复值解4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程4.2.3 非齐次线性微分方程，比较系数法§4.3 高阶方程的降阶解法4.3.1 可降阶的一些方程的类型第五章线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理§5.2. 线性微分方程组的一般理论5.2.1 齐次线性微分方程组5.2.2 非齐次线性微分方程组§5.3 常系数线性微分方程组5.3.1 矩阵指数Aexp的定义5.3.2基解矩阵的计算公式三、有关说明和实施要求附录：题型举例一、课程性质与设置目的：常微分方程是数学的一个重要分支，是数学和实际相联系的重要渠道之一，它是和微积分同时产生和发展的。
现代科学技术和数学各分支的发展，为常微分方程提供了众多的数学摸型、研究方法和广阔的应用领域，使得常微分方程的理论日益丰富多彩，富有生命力。
高等数学慕课版常微分方程
高等数学慕课版常微分方程xx年xx月xx日•常微分方程的基本概念•常微分方程的解法•常微分方程的定性理论•常微分方程的数值解法目•常微分方程的应用实例•常微分方程与慕课教学的思考与展望录01常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个或多个变量变化的导数与自变量之间的关系的等式。
通常表示为 y' = f(x,y) 或 f(x,y') = 0 的形式。
常微分方程的定义常微分方程的分类方程中未知函数的项为一次或多次的线性组合。
线性常微分方程非线性常微分方程一阶常微分方程高阶常微分方程方程中未知函数的项为一次或多次的非线性组合。
只含有一个自变量的一阶导数。
含有两个或两个以上自变量的一阶或高阶导数。
常微分方程的应用如牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程等。
物理中的应用如价格变化、供需关系等。
经济学中的应用如人口增长、传染病模型等。
生物医学中的应用如数值计算、算法优化等。
计算机科学中的应用02常微分方程的解法分离变量的方法是求解常微分方程的一种重要方法，适用于具有某些特定形式的方程组。
详细描述分离变量的方法是将两个或多个变量的微分方程简化成只含有一个变量的常微分方程，从而更容易求解。
通常，这种方法的步骤是先将方程组化简为形式简单的方程组，然后将各个方程中相同的未知数分离出来，最后对每个方程分别求解。
总结词分离变量的方法VS线性微分方程的解法总结词线性微分方程是一类常见的微分方程，它的解法相对比较简单。
详细描述线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间存在线性关系。
这类方程的解法通常是通过求解特征方程或使用待定系数法来得到通解，然后再根据初始条件求出特解。
求解线性微分方程时需要注意初始条件的设定和求解方法的适用性。
非线性微分方程的解法相对复杂，需要针对不同类型的方程采用不同的方法。
总结词非线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间不存在线性关系。
这类方程的解法通常需要采用数值方法和解析方法相结合的方式，如幂级数法、摄动法、迭代法等。
常微分方程及其应用共22页文档
第5章 常微分方程及其应用习题5.21．求下列各微分方程的通解：（1）02=+ydy dx x ； （2）0ln =-'y y y x ； （3）0)()(22=-++dy y x y dx x xy ； （4）03=-'xy y ； （5）xe y y =-'2； （6）x x y y cos tan +='．2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： （1）yx ey -='2，0)0(=y ； （2）011=+-+dy xy dx y x ，1)0(=y ； （3）x y y cos =-'，0)0(=y ； （4）x x y y sec tan =-'，0)0(=y ； （5）xx x y y sin =+'，1)(=πy ； （6）()0122=+-+dx x xy dy x ，0)1(=y ． 5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入 求微分方程x y 6=''的通解． 解 两边积分，得1236C x xdx y +=='⎰两边再积分，得 ()213123C x C x dx C xy ++=+=⎰所以，原方程的通解为213C x C x y ++=，其中21C C 、为任意常数．5.3.1 可降阶微分方程 1. 形如)()(x f yn =的微分方程特点：方程右端为已知函数)(x f ． 解法：对)()(x f yn =连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解．2. 形如),(y x f y '=''的微分方程 特点：方程右端不显含未知函数y ．解法： 令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为),(p x f p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C x x p ϕ=，即),(1C x y ϕ='．两边积分，即可得原方程通解21),(C dx C x y +=⎰ϕ，其中21C C 、为任意常数．3. 形如),(y y f y '=''的微分方程 特点：方程右端不显含自变量x ． 解法：令)(y p y ='，则dydp p dy dp y dx dy dy dp y ='=⋅=''．于是，原方程可化为 ),(p y f p p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C y y p ψ=，即 ),(1C y dx dyψ=．分离变量，得dx C y dy =),(1ψ．然后两边积分，即可得原方程通解 21),(C x C y dy+=⎰ψ，其中21C C 、为任意常数．例5-7 求微分方程x x y cos sin -='''的通解．解 两边积分，得12sin cos )cos (sin C x x dx x x y +--=-=''⎰两边再积分，得()2112cos sin 2sin cos Cx C x x dx C x x y +++-=+--=⎰第三次积分，得()322121sin cos 2cos sin C x C x C x x dx C x C x x y ++++=+++-=⎰所以，原方程的通解为3221sin cos C x C x C x x y ++++=，其中321C C C 、、为常数．例5-8 求微分方程0='-''y y x 的通解．解 令)(x p y ='，则)(x p y '=''．原方程可化为0=-'p p x ，即01=-'p xp ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为：x C e C eC x p x dxx 1ln 111222)(==⎰=，即x C y 12='．两边积分，即得原方程通解22112C x C dx x C y +==⎰，其中21C C 、为任意常数．例5-9 求微分方程x xe y xy -='-''1的通解． 解 令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为x xe p xp -=-'1．这是关于p p ',的一阶线性非齐次微分方程．其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰--1112)(C dx e xe e x p dx xx dx x ()1ln ln 2C dx e xee x xx +=⎰--()12C dx exx+=⎰-()12C e x x +-=-即()12C ex y x+-='-．两边积分，即得原方程通解()()⎰⎰+-=+-=--dx x C xedx C e x y xx 1122()21x C e xd x +=⎰-21x C dx e xe x x +-=⎰--221)1(C x C e x x +++=-其中21C C 、为任意常数．例5-10 求微分方程()02='-''y y y 的通解．解 令)(y p y ='，则)(y p p y '=''．于是，原方程可化为02=-'p p yp ，即01=-'p yp ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为 y C e C eC y p y dyy 1ln 111)(==⎰=，即y C y 1='．所以原方程通解为x C dxC e C e C y 1122=⎰=，其中21C C 、为任意常数．5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 定义5.4 形如常数 0为、，q p qy y p y =+'+'' （5-5） 的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程．1. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1 如果函数)(1x y 和)(2x y 是方程（5-5）的两个解，那么为任意常数)()(212211C C x y C x y C y 、，+= （5-6） 也是方程（5-5）的解．（证明略）定理 5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性．那么叠加起来的解)()(2211x y C x y C y +=就是通解吗？不一定．例如，设函数)(1x y 是方程（5-5）的一个解，则函数)(2)(12x y x y =也是方程（5-5）的一个解．由定理5.1可知，)()2()(2)(1211211x y C C x y C x y C y +=+=是方程（5-5）的解．但C C C =+212仍是一个任意常数，所以)()()2(1121x Cy x y C C y =+=不是方程（5-5）的通解．那么在什么条件下才能保证)()(2211x y C x y C y +=就是通解呢？定义5.5 设)(1x y 和)(2x y 是定义在某区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数1k 和2k ，使0)()(2211=+x y k x y k 在区间I 上恒成立，则称函数)(1x y 与)(2x y 在区间I 上线性相关，否则称线性无关．由定义5.5可知，判断函数)(1x y 与)(2x y 线性相关或线性无关的方法： 当=-=2112)()(k k x y x y 常数时，)(1x y 与)(2x y 线性相关．当≠)()(12x y x y 常数时，)(1x y 与)(2x y 线性无关．定理 5.2 如果函数)(1x y 和)(2x y 是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么 （5-6）是方程（5-5）的通解．（证明略）2. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程（5-5）的两个线性无关的特解．猜想方程（5-5）有形如rx e y =的解，其中r 为待定常数．将rxe y =代入该方程，得0)()()()(22=++=++=+'+''rx rx rx rx rx rx rx e q pr r qe pre e r e q e p e ，由于0≠rx e ，所以只要r 满足方程为常数、，q p q pr r 02=++ （5-7）即当r 是方程（5-7）的根时，函数rxe y =就是方程（5-5）的解．定义5.6 方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程．特征方程的根称为特征根． 设21r r 、为特征方程（5-7）的两个特征根．根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况：（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根21r r ≠，则xr e y 11=和xr ey 22=是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为x r xr e C e C y 2121+=，其中21C C 、为任意常数．（2）若方程（5-7）有两个相等实根221p r r r -===，则仅得到一个特解rxe y =1，利用常数变易法可得到与rxe y =1线性无关的另一个特解rxxe y =2，故方程（5-5）的通解为x r xr xe C eC y 21+=，其中21C C 、为任意常数．（3）若方程（5-7）有一对共轭复根βαi r +=1与βαi r -=2，则xi ey )(1βα+=和x i e y )(2βα-=是方程（5-5）的两个复数特解．为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解x exβαcos 和x e x βαsin ．故方程（5-5）的通解为)s in cos (21x C x C e y x ββα+=，其中21C C 、为任意常数．由定理5.1可知，以上两个函数x e xβαcos 和x e x βαsin 均为方程（5-5）的解，且它们线性无关．上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，称为特征根法．一般步骤：第一步 写出所给微分方程的特征方程；第二步 求出特征根；第三步 根据特征根的三种不同情形，写出通解．（特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1 特征根与通解的关系特征方程02=++q pr r 的两个根21r r ， 微分方程0=+'+''qy y p y 的通解一 两个不相等实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+=二 两个相等实根221pr r r -=== x r e x C C y )(21+=三一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2)sin cos (21x C x C e y x ββα+=例5-11 求微分方程032=-'-''y y y 的通解．解 该方程的特征方程0322=--r r 的特征根为11-=r ，32=r （21r r ≠）． 所以，方程的通解为x xe C eC y 321+=-．例5-12 求微分方程02=+'+''y y y 满足初始条件0)0(=y ，1)0(='y 的特解． 解 该方程的特征方程0122=++r r 的特征根为121-==r r ．所以方程的通解为x e x C C y -+=)(21上式对x 求导，得： x xe x C C eC y --+-=')(212将0)0(=y ，1)0(='y 代入上两式，解得01=C ，12=C ．因此，所求特解为xxey -=．例5-13 求微分方程052=+'-''y y y 的通解．解 该方程的特征方程0522=+-r r 的特征根为i r 211+=，i r 212-=． 所以，方程的通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x+=．5.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 定义5.7 形如常数 )(为、，q p x f qy y p y =+'+'' （5-8）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理5.3 如果函数)(x y *是方程（5-8）的一个特解，)(x Y 是该方程所对应的线性齐次方程（5-5）的通解，那么)()(x y x Y y *+= （5-9）是方程（5-8）的通解．定理5.4 如果函数)(1x y *是方程)(1x f qy y p y =+'+''的特解，函数)(2x y *是方程)(2x f qy y p y =+'+''的特解，那么)()(21x y x y y ***+= （5-10）就是方程)()(21x f x f qy y p y +=+'+''的特解．2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理 5.3，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解．以下介绍当自由项)(x f 为几类特殊函数时求特解的方法：（1）xn e x P x f λ)()(=，)(x P n 是x 的n 次多项式，λ是常数微分方程的特解可设为⎪⎩⎪⎨⎧====*2,1,0,)(k k k e x Q x y x n k 是二重特征根时是单特征根时不是特征根时，λλλλ其中)(x Q n 是与)(x P n 同次待定多项式．（2）x x P x f n ωcos )()(=（或x x P n ωsin )(），)(x P n 是x 的n 次多项式，ω是常数 微分方程的特解可设为⎩⎨⎧==+=*10]sin )(cos )([k i k i x x R x x Q x y n n k是特征根时，非特征根时，，ωωωω 其中)(x Q n 和)(x R n 是与)(x P n 同次待定多项式．（3）x ex f xωλcos )(=（或x e x ωλsin ），λ与ω均为常数微分方程的特解可设为⎩⎨⎧=+=++=*1]sin cos [k i k i x B x A e x y x k 是特征根时，非特征根时，，ωλωλωωλ （4）当)(x f 为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可． 例5-14 求微分方程132+='-''x y y 的通解．解 方程02='-''y y 的特征方程022=-r r 的特征根为21=r ，02=r ．于是方程02='-''y y 的通解为221C e C y x +=又因为13)(+=x x P n ，0=λ是单特征根，所以原方程的特解可设为)()(B Ax x x xQ y n +==*代入原方程，解得43-=A ，45-=B ．故原方程的通解为 x x C e C y x 45432221--+=．例5-15 求微分方程xe y y y 23=+'+''的一个特解．解 方程0=+'+''y y y 的特征方程012=++r r 的特征根为i r 23211+-=，i r 23212--=．x e x f 23)(=，2=λ非特征根，所以原方程的特解可设为 x Ae y 2=*代入原方程，解得73=A ．故所求特解为x e y 273=*． 例5-16 求微分方程xxey y y 223-=+'+''的一个特解．解 方程023=+'+''y y y 的特征方程0232=++r r 的特征根为21-=r ，12-=r ．x xe x f 2)(-=，x x P n =)(，2-=λ是单特征根，所以原方程的特解可设为x e B Ax x y 2)(-*+=代入原方程，解得21-=A ，1-=B ．故所求特解为xe x x y 2)12(-*--=． 例5-17 求微分方程x y y sin =+''的通解．解 方程0=+''y y 的特征方程012=+r 的特征根为i r =1，i r -=2．于是方程0=+''y y 的通解为x C x C y sin cos 21+=又因为x x f sin )(=，i i =+ωλ是特征根，所以原方程的特解可设为)sin cos (x B x A x y +=*代入原方程，解得21-=A ，0=B ．故原方程的通解为 x x x C x C y cos 21sin cos 21-+=．例5-18 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解 方程0=+''y y 的特征方程012=+r 的特征根为i r =1，i r -=2．x x x f 2cos )(=，i i 2=+ωλ不是特征根，所以原方程的特解可设为x D Cx x B Ax y 2sin )(2cos )(+++=*代入原方程，解得31-=A ，0=B ，0=C ，94=D ．故所求特解为x x x y 2sin 942cos 31+-=*．例5-19 求微分方程x e y y y x2cos 3=-'+''的一个特解．解 方程03=-'+''y y y 的特征方程0132=-+r r 的特征根为213231+-=r ，213232--=r ．x e x f x2cos )(=，i i 21+=+ωλ不是特征根，所以原方程的特解可设为)2sin 2cos (x B x A e y x +=*代入原方程，解得1011-=A ，10110=B ．故所求特解为 )2sin 101102cos 1011(x x e y x +-=*．例5-20 求微分方程x e y y y xsin 212+=+'-''的一个特解．解 方程02=+'-''y y y 的特征方程0122=+-r r 的特征根为121==r r ．xe xf 21)(1=，x x f sin )(2=，1=λ是二重特征根，i i =ω不是特征根，所以两个分解方程的特解可分别设为x e Ax y 21=*与x C x B y sin cos 2+=*分别代入两个分解方程，解得41=A ，21=B ，0=C ．故所求特解为x e x y x cos 21412+=*．习题5.31．求下列各微分方程的通解：（1）x x y sin +=''； （2）xxe y ='''； （3）0='+''y y x ； （4）x xe y xy ='-''1；（5）2)(1y y '+=''； （6）0)(122='-+''y yy ． 2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）x e y 2='''，0)1()1()1(=''='=y y y ；（2）0)(32='-''y y ，0)0(=y ，1)0(-='y ．3．判断下列各函数组是线性相关还是线性无关：（1）x 与2x ；（2）x e 2与x e 26；（3）x 与x xe ；（4）x e x cos 与x e xsin ． 4．求下列各微分方程的通解：（1）0='-''y y ； （2）04=+''y y ；（3）02510=+'-''y y y ； （4）0=+'+''y y y ．5．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）034=+'-''y y y ，6)0(=y ，10)0(='y ；（2）044=+'-''y y y ，1)0(=y ，4)0(='y ．6．求下列各微分方程的一个特解：（1）1332+=-'-''x y y y ； （2）x ey y y 244=+'-''； （3）x e y y y x sin 22-=+'-''； （4）x x y y sin 14++=+''．7．求下列各微分方程的通解：（1）22x y y y =+'-''； （2）xe y y y =-'+''32；（3）x e y y x cos +=+''； （4）x x y y y 2cos 2+=-'-''．8．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）523=+'-''y y y ，1)0(=y ，2)0(='y ；（2）x xe y y 4=-''，0)0(=y ，1)0(='y ．5.4 微分方程应用举例微分方程在实践中有着广泛的应用．在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际问题中的未知函数．而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面的知识．本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用．例5-21 曲线L 上点),(y x M 处的法线与x 轴的交点为N ，且线段MN 被y 轴平分．求曲线L 的方程．解 如图5-2，设曲线的方程为)(x y y =．先建立法线MN 的方程．设法线上的动点坐标为),(Y X ，由于法线MN 的的斜率为y k '-=1法，于是法线MN 的方程为 )(1x X yy Y -'-=- 又因为线段MN 被y 轴平分，从而MN 与y 轴交点坐标为)2,0(yP ，代入上式，得 )0(12x y y y -'-=-，即x y y 2-=' 用分离变量法解得C y x =+222，其中C 为任意正数． yy M （x ，y ）L xN O x图5—2例5-22 设有一C R 电路如图5-3所示，电阻Ω10=R ，电容F C 1.0=，电源电压)(sin 10V t u =，开关K 闭合前，电容电压0=C u ，求开关K 闭合后电容电压随时间而变化的规律)(t u C ．KuCiR图5-3解 设开关K 闭合后电路中的电流为)(t i ，电容极板上的电荷为)(t q ，则有C Cu q =，dtdu C dt Cu d dt dq i C C ===)(， 根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即u Ri u C =+，于是有u dtdu RC u C C =+．将10=R ，1.0=C ，t u sin 10=代入，得t u u C C sin 10=+'．又因为开关K 闭合前，电容电压0=C u ，即0)0(=C u ．从而问题转化为初值问题：⎩⎨⎧==+'0)0(sin 10CC C u t u u 用通解公式求得通解)c o s (s i n5t t Ae u t C -+=- 将初始条件0)0(=C u 代入通解，求得5=A ．所以，所求特解为)cos (sin 55t t e u t C -+=-此即为所求规律)(t u C 的表达式．例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比（比例系数为常数0>k ），起跳时的速度为0．求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系．解 这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律ma F =建立微分方程．设跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系为)(t v v =，则加速度)(t v a '=．由于跳伞员在下落过程中所受外力只有重力和空气阻力，于是有kv mg F -=，由牛顿第二定律ma F =可得速度)(t v v =应满足的微分方程为v m kv mg '=-．又因为起跳时的速度为0，即其初始条件为0)0(=v ．所以，这个运动问题可化为初值问题：⎩⎨⎧='=-0)0(v v m kv mg 用分离变量法求出通解为t m k Ce kv mg -=-．将初始条件为0)0(=v 代入通解，解得mg C =．因此，所求特解为)1(t m k e kmg v --=，T t ≤≤0（T 为降落伞着地时间），此即为所求函数关系．例5-24 物体冷却过程．将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为C ︒24，在时刻0=t 时，测得其温度为C ︒150，10分钟后测得温度为C ︒100．已知牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的温差成正比．求物体的温度与时间的函数关系，并计算20分钟后该物体的温度．解 设物体的温度与时间的函数关系为)(t T T =．因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率（温度的变化速度）0)(<'t T ，而物体和空气的温差恒为正．所以，根据牛顿冷却定律可得)24(--=T k dtdT ．又因为在时刻0=t 时，测得其温度为C ︒150，即有150)0(=T ．从而问题转化为初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=--=150)0()24(T T k dt dT ，其中0>k 为比例常数． 用分离变量法或通解公式解得t k e T -+=12624．将100)10(=T 代入，求得051.076126ln 101≈=k ．故物体的温度与时间的函数关系为t e T 051.012624-+=．将20=t 代入，得)(6412624)20(20051.0C e T ︒≈+=⨯-．例5-25 弹簧振动问题．设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m 的物体．当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反．设给物体一个初始位移0x ，初速度0v ，则物体便在其平衡位置附近上下振动．已知阻力与其速度成正比，求振动过程中位移x 的变化规律．Ox图5-4解 建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点．位移x 是时间t 的函数)(t x x =．物体在振动过程中受到弹簧恢复力f 与阻力R 的作用．由虎克定律，有kx f -=，其中0>k 为弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反；v R μ-=，其中0>μ为比例系数（或称阻尼系数），负号表示阻力与速度方向相反．根据牛顿第二定律ma F =，可得v kx ma μ--=．又因为)(t x a ''=，)(t x v '=，记m n μ=2，mk =2ω，0>n ，0>ω，所以上述弹簧振动问题化为初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==++0022)0(,)0(02v x x x x dt dx n dt x d ω 这是一个二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为0222=++ωnr r ，特征根为222,1ω-±-=n n r ．具体情况讨论如下：（1）大阻尼情形，即ω>n ．这时，特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为t n n t n n e C e C x )(2)(12222ωω-+----+=．（2）临界阻力情形，即ω=n ． 这时，特征根n r r -==21，所以方程的通解为nt e t C C x -+=)(21．（3）大阻尼情形，即ω>n ． 这时，特征根是一对共轭复根i n n r 222,1-±-=ω，所以方程的通解为)sin cos (222221t n C t n C e x nt -+-=-ωω．上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定．这类振动问题均会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由振动．习题5.41．设过点)1,1(的曲线L 上任意点),(y x M 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且线段AB 被点M 平分．求曲线L 的方程．2．在如图5-5所示的C R 电路中，已知开关S 闭合前，电容上没有电荷，电容两端电压为零，电阻为R ，电容为C ，电源电压为E ．把开关S 合上，电源对电容充电，电容电压C u 逐渐升高．求电容电压C u 随时间t 变化的规律．S ECiR图5-53．将温度为C ︒100的沸水注入杯中，放在室温为C ︒20的环境中自然冷却，min 5后测得温度为C ︒60．求水温与时间的函数关系，并计算水温自C ︒100降至C ︒30所需时间．4．设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为kg 025.0的物体．先将物体用手拉到离平衡位置m 04.0处，然后放手，让物体自由振动．若物体所受的阻力大小与运动速度成正比，方向相反，弹簧的弹性系数m N k /625.0=，阻尼系数m s N /2.0⋅=μ．求物体的运动规律．知识拓展：马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯（Malthus ）模型是最简单的生态学模型．给定一个种群，我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间发展变化的．为此，我们作出如下假设：模型假设：1.初始种群规模已知0)0(x x =，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；2.种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；3.种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等；4.环境资源是无限的．确定变量和参数：为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数：t ：时间（自变量），)(t x ：t 时刻的种群密度，b ：瞬时出生率，d ：瞬时死亡率． 模型的建立与求解：考察时间段],[t t t ∆+（不失一般性，设0>t ∆），由物质平衡原理，在此时间段内种群的数量满足：t t ∆+时刻种群数量t -时刻种群数量t ∆=内新出生个体数t ∆-内死亡个体数， 即t t dx t t bx t x t t x ∆∆∆)()()()(-=-+亦即)()()()(t x d b tt x t t x -=-+∆∆ 令0→t ∆，可得 )(:)()()(t x t x d b dtt dx λ=-= 满足初始条件0)0(x x =的解为t t d b e x e x t x λ0)(0)(==-于是有0>λ时，即d b >，则有+∞=∞→)(lim t x t ， 0=λ时，即d b =，则有0)(lim x t x t =∞→， 0<λ时，即d b <，则有0)(lim =∞→t x t ． 马尔萨斯（Malthus ）模型的积分曲线)(t x 呈“J ”字型，因而种群的指数增长又称为“J ”型增长．人也是一种生物种群，人口预测问题就是在马尔萨斯（Malthus ）模型的基础上通过修改而得以解决。
自考高等数学(一)精讲第五章共34页文档
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C 为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。