专题08 平面向量(押题专练) 2018年高考文数二轮复习精品资料 Word版 含解析
2018高考文科数学平面向量专项100题(WORD版含答案)
2018高考文科数学平面向量专项100题（WORD 版含答案）一、选择题（本题共46道小题）1. 已知与夹角θ=120°，则向量在向量上的投影为（ ）A ．﹣2B ．2C ．D ．2.已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan （α﹣）等于（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．3.已知向量(21)(13)a b =-=，，，，且()a a mb ⊥+，则m = A. 1 B. 5 C. -1 D. -54.如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M 、N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，π3POM ∠=，PON α∠=，[)0,πα∈，()f OM ON α=⋅，则()f α的范围为（ ）． M NPxOvA ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知Rt △ABC ，两直角边AB=1，AC=2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB=60°，设AD =λAB +μAC （λ，μ∈R ），则μλ=（ ）A ．332 B ．33 C ．3 D ．236.已知，是夹角为的单位向量，若=+3， =2﹣，则向量与夹角的余弦值为（ ） A ． B ． C ．D ．7. A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件不等式组，作出可行域如图，化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，由图可知，当直线y=2x ﹣z 过C （2，﹣1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大． ∴z=2×2+1=5． 故选：A ．8.已知向量a =（1，x ），b =（2x+3，﹣x ）（x ∈R ），若a ∥b ，则x 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣2或0 C ．1或﹣3D ．0或29.向量，满足||=1，||=，（ +）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°10.在△ABC中，2AB=3AC，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则（）A．AB•AC=AB+AC B．AB+AC=AB•AC C．AB•A C=AB+AC D．AB+AC=AB•AC 11.在△ABC中，AB=AC=1，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．12.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．613.已知向量， =（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）A．79 B．69 C．5 D．﹣515.已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（）A．B．C．D．16.下列关于零向量的说法不正确的是（）A．零向量是没有方向的向量B．零向量的方向是任意的C．零向量与任一向量共线D．零向量只能与零向量相等17.已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．418.在四边形ABCD中，若，且，则（）A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形19.已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣20.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若，则λ+u=（ ） A ．B ．C ．D ．121. 已知向量，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 满足的条件是（ ） A ．k=﹣16 B ．k=16C ．k=﹣11D ．k=122.已知直角△ABC 中AB 是斜边， =（3，﹣9），=（﹣3，x ），则x 的值是（ ）A ．27B ．1C ．9D ．﹣1 23.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=3π，AB=2，AD=1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足λ==DCNCBC BM ，其中λ∈[0，1]，则AN AM ⋅的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[1，4]C ．[2，5]D ．[1，7]24.已知向量=（cosx ，sinx ），=（），=，则cos （x ﹣）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣25.已知||=||=2， •（﹣）=﹣2，则|2﹣|=（ ） A ．2 B ．C ．4D ．826.已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数λ的值为（）A．B．C．D．27.如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）A．B．C．D．28.已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．29.等腰直角三角形ABC中，斜边BC=6，则•+•+的值为（）A．25 B．36 C．9 D．1830.已知=（x，2），=（1，6），若∥，则x=（）A．B．C．2 D．331.设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（）A．B．C．D．32.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形， =（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．233.设向量=（4，2），=（1，﹣1），则（2﹣）•等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣12 D．1234.已知向量=（1，y），=（﹣2，4），若⊥，则|2+|=（）A．5 B．4 C．3 D．235.若，，均为单位向量，且•=﹣， =x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B． C． D．136.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．637.若A、B、C三点共线，O是这条直线外一点，且满足m﹣2+=，若=λ，则λ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．38.已知等差数列{a n}的前项和为S n，若=a1005O+a1006，且A、B、C三点共线（该直线不经过坐标原点O），则S2010=（）A．1005 B．1010 C．2009 D．201039.如果不共线向量满足，那么向量的夹角为（）A． B． C． D．40.19.C 20.A【名师点睛】世界各地的气候有不同的特点，是气温、降水等气候要素在空间上分布的不均衡，以及时间不同而千变万化的结果，气候类型判断的考察主要是根据气候的两大要素资料来判读。
高考专题---平面向量-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
母题五 平面向量【母题原题1】【2018上海卷，8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则⋅的最小值为______.【答案】3-【解析】依题意设(0,),(0,)E a F b 不妨设a b >，则||2,(1,),(2,),2a b AE a BF b a b -===-=+所以22(1,)(2,)22(2)22(1)3AE BF a b ab b b b b b ⋅=⋅-=-+=-++=+-=+-，故所求最小值为3-.【母题原题2】【2017上海卷，7】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【答案】【母题原题3】【2016上海卷，14】如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_____________.【答案】528【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.【命题意图】考查平面向量的基础知识、基本运算、基本应用；考查运算求解能力以及运用数形结合思想分析与解决问题的能力；考查转化与化归思想的应用.【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．浙江卷涉及模的最值问题考查最多.【答题模板】基于平面向量的双重性，解答平面向量最值问题：一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．【方法总结】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 2.向量数量积的性质（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)（5）|a ·b |≤|a ||b |.3.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．1．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足k ⋅=，当⋅取得最小值时，实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】2．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线 B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D【解析】由 则点必共线，故A正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C 正确；故选D.3．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ， 0AC AD ⋅= ， 0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A.12B. 2C. 4D. 8 【答案】B点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．4．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.5．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】点1F ， 2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =⋅ ，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【解析】设()00,m x y ，由2212x y +=，得()()()120,1,1,0,1,0N F F -，则由2122MN MF MF =⋅ ，可得()222200001222x y x y +-=-+，化为()2214x y ++=，可设002{ 21x sin y sin αα==-，()()12=2cos 1,21,24cos 2,42MF sin MF sin αααα--=+- ， ()1226cos 1,63MF MF sin αα+=+-，122MF MF +==== 6122MF MF +的最大值为66.【方法点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，平面向量的数量积公式，以及三角函数求最值问题，属于难题. 求最值问题常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值；②图象法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化,利用三角换元后往往利用辅助角公式结合三角函数的单调性求解.6．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知向量在向量方向上的投影为，且，则=_______．(结果用数值表示) 【答案】【解析】由题向量在向量方向上的投影为，即即答案为-6.7．【上海市十二校2018届高三联考】在ABC ∆中， 120BAC ︒∠=， 2AB =， 1AC =，D 为线段BC上任一点（包含端点），则AD BC ⋅ 的最大值为________【答案】2∴cos 75AD BC AD BC ADB k ⋅=⨯⨯∠=-，分类讨论：①k =0时,D 与B 重合,由余弦定理得cosABC ∠==， 5AD BC ⋅=- ； ②01k < 时， 5752k -<- ；∴52AD BC -⋅； 则AD BC ⋅的取值范围为[−5,2].其最大值为2.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】在ABC 中,边上的中垂线分别交于点若,则_______【答案】4【解析】设，则，，又，即，故答案为.9．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知向量()1,2a =-， ()3,4b =，则向量a在向量b的方向上的投影为________ 【答案】-110．【上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条侧棱， ()1,2,,16i P i =⋯是上、下底面上其余十六个点，则()1,2,,16i AB AP i ⋅=⋯ 的不同值的个数为__________．【答案】2【解析】 由题意得， i i AP AB BP =+,则()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅ ,因为i AB BP ⊥ ，所以21i AB APAB ⋅== ， 所以()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同的值的个数为1.11．【2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）】已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是 .【答案】12．【2016-2017年上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）】在△ABC 中， D 、E 分别是AB 、AC 的中点， M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2M B M C B C⋅+ 的最小值为 .【解析】因为D、E分别是AB、AC的中点，且M是直线DE上的动点，所以M到直线BC的距离等于A到直线BC的距离的一半，所以1122MBC ABCS S==，则11sin22MBCS MB MC BMC=∠=，所以1sinMB MCBMC=∠，则c o sc o ss i nB M CM B M C M B M C B M CB M C∠⋅=∠=∠，由余弦定理，得当1cos2BMC∠>时，0y'<，当1cos2BMC∠<时，0y'>，即当1cos2BMC∠=时，2cossinBMCyBMC-∠=∠。
2018届高三数学二轮题复习课件：-平面向量
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x，
∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6＝0. ∵0≤x≤π，∴π6≤x＋π6≤76π，∴x＋π6＝π，∴x＝56π. (2)f(x)＝a·b＝3cos x－ 3sin x＝－2 3sinx－π3. ∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，23π，∴－ 23≤sinx－π3≤1， ∴－2 3≤f(x)≤3，
＝－3
2
3，则向量
a，b
π 的夹角为___6_____.
解析 (1)建立如图所示坐标系，则 B1t ，0，C(0， t)，A→B＝1t ，0，A→C＝(0，t)，
→→
→ 则AP＝
AB →
＋4→AC＝t1t ，0＋4t (0，t)＝(1，4).
|AB| |AC|
∴点 P(1，4)， 则P→B·P→C＝1t －1，－4·(－1，t－4)
【训练 2】 (1)(2015·福建卷)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点 →→
→ AB 4AC → → P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP＝ → ＋ → ，则PB·PC的最
|AB| |AC|
大值等于( A )
A.13
B.15
C.19
D.21
(2)(2017·郴州二模)已知 a，b 均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)
（x2－x1）2＋（y2－y1）2.
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第4章重点强化课2平面向量Word版含答案
重点强化课(二) 平面向量从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算(1)(2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )图1A.43 B.53 C.158D ．2(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD →＝b,3AN →＝NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)【导学号：31222163】(1)B (2)－34a －14b1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且OA →＝λOB →＋μOC →，则有λ＋μ＝1.设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) 【导学号：31222164】A ．3B ．4C ．5D ．6B重点2 平面向量数量积的综合应用(2016·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足|PM →|＝ 2|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝GA →·GB →，求f (a )的取值范围．(1)设P 的坐标为(x ，y )，则PM →＝(4－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵动点P 满足|PM →|＝2|PN →|， ∴－x2＋y 2＝2－x2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝4.4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，4－a 2)，B (a ，－4－a 2)，∴f (a )＝GA →·GB →＝(0，4－a 2)·(0，－4－a 2)＝a 2－4；6分 (b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2ak 21＋k 2，x 1x 2＝k 2a 2－41＋k2，∴f (a )＝GA →·GB →＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4.10分 ∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点， ∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．(1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A.12 B ．－12C.13D ．－13(1)C (2)A ＝(BA →＋BC →)·＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1.∵AP →＝λAB →，∴λ＝12.故选A.]重点3 平面向量与三角函数的综合应用(2017·合肥二次质检)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈，求f (x )的单调增区间．(1)由m ∥n 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，3分展开变形可得sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3.5分 (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，7分 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z.10分 又因为x ∈，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12分平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA→⊥OB →，则tan α的值为( ) 【导学号：31222165】A ．－43B ．－45C.45D.34A重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( )【导学号：31222166】A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb D2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 A3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 D4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ) 【导学号：31222167】A.π6B.π3C.23π D.56π A ，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( )A ．－12B.12 C ．－34D ．0A 二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．【导学号：31222168】11或－27．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA → －OB →|，其中O 为原点，则正实数a 的值为________．28．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________． －23 三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R ). 【导学号：31222169】(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )A ．－4B ．3C ．－11D ．10C ＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C.]2．(2016·浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．73．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .【导学号：31222170】(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，2分令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分。
2018年高考数学(文)二轮复习：1.4-平面向量题专项练ppt课件(含答案)
-6一、选择题 二、填空题
3.(2017 北京海淀一模,文 6)在△ABC 上,点 D 满足������������ =2������������ − ������������ ,则
B. ������������
解析:因为D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,
所以������������ + ������������=- (������������ + ������������)- (������������ + ������������ )=- (������������ + ������������)= (������������ + ������������ )= ×2������������ = ������������ ,故选 A.
1.4 平面向量题专项练
-2-
1.平面向量的两个定理及一个结论 (1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实 数λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底. (3)三点共线的充要条件:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,使
( D ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上
解析:������������ =2������������ − ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������,如图, 作������������' = ������������,连接 AD',则������������ + ������������ = ������������ + ������������' = ������������' = ������������ ,
2018全国卷高考复习 平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量a－b＝a＋(－b)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .【基础练习】1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →).( )2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R)，则λ＝( )A.2B.3C.－2D.－34.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.考点一 平面向量的概念【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③考点二 平面向量的线性运算【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13bB.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线.【训练3】已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线第二部分 平面向量基本定理与坐标表示1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【基础练习】1.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)2.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)3.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D的坐标为________.考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD → C.12BC → D.BC →【训练1】如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)D.(5，14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________.考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________.第三部分 平面向量的数量积及其应用1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律：(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【基础练习】1.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1B.0C.1D.22.(2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________. 5.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.6.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________.【考点突破】考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A.20B. 15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A.－58B.18C.14D.118【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD →＝________.(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 考点三 平面向量的模及其应用【例3】 (2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )。
高中数学高考二轮复习：平面向量解析版(精炼基础,链接高考)
平面向量解析版（精炼基础，链接高考）例题讲解在ABC △中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN分别交,AB AC 于点,M N ，若,A M xA B A N yA C == ，则4x y +的最小值是（ ） A ．94B ．2 CD ．1【解析】若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系．由,,M H N 共线可想到“爪”字型图，所以AH m AM n AN=+，其中1m n +=，下面考虑将,m n 的关系转为,x y 的关系．利用条件中的向量关系：12A H A D = 且()12AD AB AC =+ ，所以()14A H AB AC =+，因为,AM x AB AN y AC== ，所以AH mxAB nyAC =+，由平面向量基本定理可得：11441144m mx x n ny y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以111144m n x y +=⇒+=，所以()11144414444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而44y x x y +=≥，所以944x y +≥．【答案】A近年高考中几乎每年高考都会有一题考察平面向量，平面向量作为一个解题工具，在高考中也是不可忽视的一个考点．平面向量位于必修4． 规范训练 一、选择题1．若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c === ，则a b c++ 等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D【解析】首先由,,a b c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c 同向（此时夹角均为0），则a b c ++为5，另一种情况为两两夹角2π3，以1a b == 为突破口，由平行四边形法则作图得到a b + 与,a b 夹角相等，1a b a +== （底角为60︒的菱形性质），且与c反向，进而由图得到2a b c ++=，选C ．【答案】C2．已知()2,6,2a b a b a ==⋅-= ，R λ∈，则a b λ-的最小值是（ ）A ．4 B ．C ．2 D 【解析】由条件可得()2226a b a a b a ⋅-=⇒⋅=+= ，所以考虑将a b λ- 模长平方，从而转化为数量积问题，代入,,a b a b ⋅的值可得到关于λ的二次函数，进而求出最小值．∵()222a b a a b a ⋅-=⇒⋅-= ，∴226a b a ⋅=+= ，∴()()22222222361246133a b a b a a b b λλλλλλλ-=-=-⋅+=-+=-+ ≥，∴mina bλ-=【答案】D3．若,,a b c 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅- ≤，则a b c +-的最大值为（ ） A1B ．1CD ．2【解析】()()200a c b c a b b c a c c -⋅-⇒⋅-⋅-⋅+ ≤≤······①∵0,1a b c ⋅== ，∴①转化为101b c a c b c a c -⋅-⋅+⇒⋅+⋅≤≥，∴()()222222221112a b c a b ca b c a b a c b c b c a c+-=+-=+++⋅-⋅-⋅=++-⋅+⋅ 321-=≤， ∴1a b c +-≤．【答案】B4．如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE △内（包括边界）的一个动点，设()AP AB AF λμλμ=+∈R，，则λμ+的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]2,3C ．[]2,4D ．[]3,4FC【解析】因为P 为动点，所以不容易利用数量积来得到,λμ的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，可得：()((33131,,1,3,2222B D E ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，则()11,0,2AB AF ⎛==- ⎝⎭，所以设(),P x y ，则由AP AB AF λμ=+可得：12P λμ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为P 在CDE △内，且:3,CE x CD y +=+=所以P所满足的可行域为3x y y ⎧⎪⎪⎨+≥≤，代入可得：322λμμλ+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，通过线性规划可得：[]3,4λμ+∈．【答案】D5．如图，在ABC △中，13A N N C =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．211【解析】观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN=+ ，且1m n +=，由13A N N C = 可得14A N A C =，所以14AP mAB nAC =+ ，由已知211AP mAB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =． 【答案】C6．在ABC △中，π,66B AB BC ∠===，设D 是AB 的中点，O 是ABC △所在平面内的一点，且320OA OB OC ++=，则DO的值是（ ）A ．12B ．1CD ．2【解析】本题的关键在于确定O 点的位置，从而将DO与已知线段找到联系，将320OA OB OC ++= 考虑变形为()323OA OB OC OA OB OB OC CB +=-⇒+=-=，即13O A O B C B += ，设O E O A O=+，则,,O D E 三点共线，且OE BC ∥，所以由平行四边形性质可得：11126OD OE CB ===．【答案】B7．如图，在ABC △中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE ⋅ 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】在本题中已知,AB AC 及两个向量的夹角，所以考虑将,AB AC作为一组基底．则考虑将,BF DE 用,AB AC 进行表示，再做数量积即可，则：()11111111132222223264BF BD DF BA DE BA AE AD AB AC AB AC AB⎛⎫=+=+=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，且1132DE AE AD AC AB =-=-，所以有：22131111364321838BF DE AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由已知可得：2216,36,cos 12AB AC AB AC AB AC BAC ==⋅=⋅∠=，∴4BF DE ⋅=．【答案】C8．菱形ABCD 边长为2，120BAD ∠=︒，点,E F 分别在,BC CD 上，且,BE BC DF DCλμ== ，若31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=- ，则λμ+=（ ） A ．12B ．32C ．54D ．712【解析】本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=-所涉及的向量用菱形的边和,λμ进行表示，进而列出关于,λμ的方程，解出方程便可求出λμ+．AE AB BE AB BCλ=+=+ ，AF AD DF AD DC μ=+=+，()1CE CB λ=- ，()1CF CD μ=- ，∴()()AE AF AB BC AD DC AB AD BC AD DC AB BC DC λμλμλμ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2442λμλμ=-++-，()()()()1121CE CF CB CD λμλμλμ⋅=--⋅=--++，∴()()()()()3242152243121124λμλμλμλμλμλμλμλμλμλμ⎧-++-=⎧+-=⎧⎪+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--++=-⎪⎪⎪=-+=-⎩⎩⎪⎩． 【答案】C9．如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC的中点，点P 是ABC △内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______．B【解析】直角三角形直角边已知，且P 为图形内动点，所求MP不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理．设(),P x y，从而可得1524AN MP x ⋅=-+ ，而P 所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解，以,AC BC 为轴建立直角坐标系，(()11,1,0,,,,0222A B M N ⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭，设(),P x y ，∴11,,,22AN MP x y ⎛⎛==-- ⎝⎝⎭，∴11152224AN MP x y x ⎛⎫⋅=-=+ ⎪⎝⎭⎭ ， 数形结合可得：77,44AN MP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ ．【答案】77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则A DB E ⋅=__________．【解析】观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：11,,0,,022A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令(),E x y，∴11,,22CE x y CA ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 由3CA CE =，可得：111322332x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴13E ⎛ ⎝⎭，∴50,,6AD BE ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭，∴14AD BE ⋅=- ．【答案】14。
专题08 平面向量(押题专练)-2018年高考理数二轮复习精品资料(解析版)
1．在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B若△ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即不一定等于0；若，则AB⊥BC，故角B为直角，即△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是的必要不充分条件．2．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足则点P的轨迹的曲线类型为()A．双曲线B．抛物线C．圆D．椭圆3．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(a x＋b)2(x∈R)是()A．既是奇函数又是偶函数B．非奇非偶函数C．偶函数D．奇函数解析：选C因为a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(a x＋b)2＝|a|2x2＋2a·b x＋|b|2＝|a|2x2＋|b|2，所以函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数．4．若非零向量且则△ABC为()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形解析：选C 知，角A 的平分线与BC 垂直，∴||＝||；由知，cos A ＝12，∴A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．5．在△ABC 中，满足||＝||，(－3)⊥，则角C 的大小为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π66．设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝13＋13，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：选C 取BC 的中点D ，连接AD ，则＋＝2.由题意得3＝2，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°.7．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(＋)·＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象如图所示．由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32.8．已知A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，且＋＝，其中O 为坐标原点，则的面积等于________．答案：329．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求角C ；(2)已知c ＝72，S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解：(1)因为向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝cos C 2，－sin C2， 所以m ·n ＝cos 2 C 2－sin 2 C2，|m |＝cos 2C 2＋sin 2C2＝1，|n |＝cos 2 C2＋⎝⎛⎭⎫－ sin C 22＝1， 又m 与n 的夹角为π3，所以cos π3＝m ·n |m ||n |＝cos 2C 2－sin 2 C 2＝cos C ＝12，因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，所以34ab ＝332，所以ab ＝6， 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即12＝a ＋b 2－2ab －c 22ab＝a ＋b 2－12－⎝⎛⎭⎫72212，解得a ＋b ＝112.学科@网10．在△ABC 中，若·＝·＝2，则边AB 的长等于________．解析：由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴||＝2.答案：211．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________． 解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案：2π312．设向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a ＋b 与a －2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.答案：1413．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2S △ABC ＝3·.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求a ＋c 的取值范围．解：(1)由已知得ac sin B ＝3ac cos B ，∴tan B ＝3， ∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)法一：由余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即4＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22(当且仅当a ＝c 时取等号)，解得0<a ＋c ≤4.又a ＋c >b ，∴2<a ＋c ≤4，∴a ＋c 的取值范围是(2,4]． 法二：由正弦定理得a ＝43sin A ，c ＝43sin C ， 又A ＋C ＝2π3，∴a ＋c ＝43(sin A ＋sin C )＝43[sin A ＋sin(A ＋B )]＝43⎝⎛⎭⎫sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝4⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，∴a ＋c 的取值范围是(2,4]．14．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的值域．15．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(m ，cos x )，b ＝(1＋sin x ，1)，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2. (1)求实数m 的值； (2)求函数f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝a·b ＝m (1＋sin x )＋cos x ， 由f ⎝⎛⎭⎫π2＝m ⎝⎛⎭⎫1＋sin π2＋cos π2＝2，得m ＝1. (2)由(1)，得f (x )＝sin x ＋cos x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，f (x )取得最小值1－ 2. 16．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →. (1)记函数f (α)＝PB →·CA →，α∈⎝⎛⎭⎫－π8，π2，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域；(2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值．因为α∈⎝⎛⎭⎫－π8，π2，所以2α＋π4∈⎝⎛⎭⎫0，5π4所以函数f (α)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫π8，π2，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8，π8.因为sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，所以函数f (α)的值域为[－2，1)． (2)由O ，P ，C 三点共线，可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)， 解得tan α＝43.所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425，于是|OA →＋OB →|＝（sin α＋cos α）2＋1＝2＋sin 2α＝745.17．如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．(2)∵B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45.∴cos(α＋θ0)＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－35×22－45×22＝－7210.学科@网18．在△ABC 中，若|AC →|＝23，且AB →·cos C ＋BC →·cos A ＝AC →·sin B . (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)因为AC →＝AB →＋BC →，所以AB →·cos C ＋BC →·cos A ＝AC →·sin B ＝(AB →＋BC →)·sin B ， 即(cos C －sin B )AB →＋(cos A －sin B )·BC →＝0. 而向量AB →，BC →是两个不共线向量，(2)由(1)知，则A ＝C ＝π6，由正弦定理得，|AC →|sin 2π3＝|BC →|sin π6，所以|BC →|＝2，S △ABC ＝12|AC →||BC →|sin π6＝12×23×2×12＝ 3.。
2018年全国各地高考数学模拟试题《平面向量》解答题试题汇编(含答案解析)
2018年全国各地高考数学模拟试题《平面向量》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•兰州模拟）已知向量，，函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为5，求m的值．2．（2018•海拉尔区校级二模）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若∠A为锐角且f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．3．（2018•新疆一模）已知向量=（1，sinx），=（sinx，﹣1），=（1，cosx），x∈（0，π）．（Ⅰ）若（+）∥，求x；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B为（Ⅰ）中的x，2sin2B+2sin2C﹣2sin2A=sinBsinC，求sin（C﹣）的值．4．（2018•咸阳模拟）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点，b、a、c成等差数列，且•=9，求a的值．5．（2018•江苏一模）已知向量，．（1）若角α的终边过点（3，4），求•的值；（2）若∥，求锐角α的大小．6．（2018•南京一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．7．（2018•市中区校级二模）已知函数，其中，，x∈R．（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．8．（2018•黑龙江模拟）已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．9．（2018•瓦房店市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，．（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．10．（2018•河南一模）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4acosB ﹣bcosC=ccosB．（1）求cosB的值；（2）若，，求a和c的值．11．（2018•玉溪模拟）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）．（1）若，求的值；（2）若角，求函数f（x）=的值域．12．（2018•黄浦区一模）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．13．（2018•浙江三模）已知向量=（cosx，sinx），=（﹣，），x∈[0，π]．（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．14．（2018•雅安模拟）已知函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若b+c=2a，且，求a的值．15．（2018•盐城三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．（1）若a=4，b=2，AD=1，求边c的长；（2）若，求角B的大小．16．（2018•历城区校级一模）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a 的值．17．（2017•榆林一模）如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量，表示．（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．18．（2017•海南模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积，求a的值．19．（2017•阜宁县校级模拟）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．20．（2017•山东模拟）已知f（x）=，其中．（I）求f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f（A）=﹣1，a=，且向量垂直，求边长b和c的值．21．（2017•五模拟）已知向量，函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，a=2，求b+c的取值范围．22．（2017•泰州模拟）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．23．（2017•长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．24．（2017•江西模拟）已知点P（，﹣1），Q（sin2x，cos2x），O为坐标原点，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；（2）若A为△ABC的内角，a，b，c分别为角A，B，C的对边，f（A）=2，a=5，求△ABC周长的取值范围．25．（2017•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c ﹣2a）=c•（1）求B的大小；（2）已知f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B），求函数f（x）的单调递减区间．26．（2017•保定一模）已知=（sinx，﹣cosx），=（cosx，﹣cosx），f（x）=2•．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求a的值．27．（2017•菏泽一模）已知向量=（sinx，mcosx），=（3，﹣1）．（1）若∥，且m=1，求2sin2x﹣3cos2x的值；（2）若函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，求函数f（2x）在[，]上的值域．28．（2017•山东模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=，sinA=（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若BD的长为，求△ABC的面积．29．（2017•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin=，•=6．（1）求△ABC的面积；（2）若c+a=8，求b的值．30．（2017•吉州区校级一模）已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ）（1）若|θ﹣φ|=，求|﹣|的值；（2）若θ+φ=，记f（θ）=•﹣λ|+|，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．31．（2017•六安模拟）已知=（3，﹣1），•=﹣5，=x+（1﹣x）．（Ⅰ）若⊥，求实数x的值；（Ⅱ）若||=，求||的最小值．32．（2017•苏州二模）已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．33．（2017•张家界一模）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．34．（2017•南通模拟）在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），其中A，B为△ABC的两个内角．（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：B为锐角．35．（2017•湖北模拟）已知向量，，函数（1）求函数f（x）的最大值及最小正周期；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在上的值域．36．（2017•南京三模）已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．37．（2017•甘肃模拟）已知△ABC的面积为S，且•=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC边中线AD的长．38．（2017•潍坊三模）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．39．（2017•全国二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC 的周长．40．（2017•南京一模）如图，在平面直角坐标系xOy上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（θ+）的值；（2）若+=，=，求cos（﹣θ）．参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据向量的数量积公式和两角和的正弦公式可化简可得f（x）=，再根据周期的定义即可求出，（2）根据正弦函数的性质即可求出m的值．【解答】（1）由题意知：f（x）=cos（2x，sin2x）•（，1）==，所以f（x）的最小正周期为T=π．（2）由（1）知：，当时，．所以当时，f（x）的最小值为．又∵f（x）的最小值为5，∴，即．【点评】本题考查了向量的数量积和三角函数的化简和性质，考查了运算能力，属于基础题．2．【分析】利用向量的数量积求出函数的解析式并化简三角函数式，利用三角函数的性质解得本题．【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，因为∠A为锐角，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=．【点评】本题考查了向量的数量积公式、三角函数式的化简以及三角函数性质和解三角形，属于中档题．3．【分析】（Ⅰ）由已知结合向量的坐标加法求得（+），再由（+）∥列式求x；（Ⅱ）由已知等式结合正弦定理及余弦定理求得cosA，进一步得到sinA，由sin （C﹣）=sin（）=sin（），展开两角差的正弦求解．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinx），=（sinx，﹣1），=（1，cosx），∴，∵（+）∥，∴（1+sinx）cosx=sinx﹣1，则sinxcosx=sinx﹣cosx﹣1，令sinx﹣cosx=t，得t=，∵x∈（0，π），∴，即．sinxcosx=，t∈（﹣1，]，则t2+2t﹣3=0，解得t=1．∴sinx﹣cosx=1，于是，sin（x﹣）=．可得x=；（Ⅱ）∵2sin2B+2sin2C﹣2sin2A=sinBsinC，∴2b2+2c2﹣2a2=bc，∴，即cosA=，得sinA=．又B=，∴sin（C﹣）=sin（）=sin（）=sin=．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，考查三角形的解法，是中档题．4．【分析】（1）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用函数的周期以及正弦函数的单调区间求解即可．（2）求出A，利用等差数列以及向量的数量积求出bc，通过三角形的面积以及余弦定理求解a即可．【解答】解：==，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的单调递增区间为：；（6分）（2）由可得：所以，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，（8分）而，•=bccosA==9，∴bc=18，，∴．（12分）【点评】本题考查向量以及数列与三角函数相结合，考查数量积的求法，两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力．5．【分析】（1）由三角函数的定义求出sinα、cosα，再根据平面向量数量积的定义计算•的值；（2）根据∥，列方程求出α的三角函数值以及锐角α的值．【解答】解：（1）角α的终边过点（3，4），∴r==5，∴sinα==，cosα==；∴•=sinα+sin（α+）=sinα+sinαcos+cosαsin=×+×+×=；（2）若∥，则，即，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1﹣sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角．【点评】本题考查了三角函数求值与平面向量的数量积计算问题，是中档题．6．【分析】（1）由正弦定理，得sinC=sinB．又C=2B，即2sinBcosB=sinB．cosB=．（2）由=，可得cbcosA=bacosC，b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c，求得从而cosB，sinB即可．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积及三角函数恒等变换的应用，属于中档题，7．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差化简函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．（2）利用（1）函数的解析式求出A，然后利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：（1）=，解得，k∈Z，函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（2）∵f（A）=2，∴，即，又∵0＜A＜π，∴，∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①∵sinB=2sinC，∴b=2c，②由①②得，∴．【点评】本题考查余弦定理以及向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．8．【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示结合降幂公式及辅助角公式化简求得f（x），进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的x的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（B）=求得B，再由余弦定理求得b，最后由正弦定理得答案．【解答】解：（Ⅰ）由=（sin，1），=（cos，），得f（x）=•===，∴，此时，即．（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=，得，∴，∵0＜B＜π，∴，则，则B=．又a=2，c=3，∴，则b=．由，得．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，训练了正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．9．【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直的坐标运算可求tanx的值；（2）分别取出||、||，代入数量积公式，结合x的取值范围求解．【解答】解：（1），，若，则，即，得sinx=cosx，∴tanx=1；（2）∵，，∴若与的夹角为，则，即，则，∵，∴，则，即，∴x的值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题．10．【分析】（1）由正弦定理即可由4acosB﹣bccosC=ccosB得到4sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，进而得出4sinAcosB=sinA，从而得出cosB的值；（2）由即可得出ac=12，而由余弦定理即可得出a2+c2=24，联立ac=12即可解出a，c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB；∴4sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA；∵sinA≠0；∴；（2）由得accosB=3，ac=12；由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=24，所以可得．【点评】考查正弦定理和余弦定理，以及数量积的计算公式，两角和的正弦公式．11．【分析】（1）由求得tanx=2，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f（x）==sin （2x+）+，再由x的范围，求出f（x）的值域．【解答】解：（1）由可得，∴tanx=2．∴=sinxcosx+cos2x===．（2）∵角，函数f（x）==sinxcosx+cos2x=+=sin（2x+）+，∴2x+∈，sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[1，]，即f（x）的值域为[1，]．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．12．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．13．【分析】（Ⅰ）根据平面向量时•=0，列方程求得x的值；（Ⅱ）由平面向量的数量积化f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最大、最小值以及对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）平面向量=（cosx，sinx），=（﹣，），若，则•=0，即﹣cosx+sinx=0，∴tanx=，又x∈[0，π]，∴x=；（Ⅱ）f（x）==﹣cosx+sinx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），又x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]；x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值为2；x﹣=﹣，即x=0时，f（x）取得最小值为﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．14．【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和两角和差的正弦公式即可得出f（x）=，从而可求出其最小正周期和单调递增区间；（2）根据f（A）=即可求得，由即可求得bc=12，这样由b+c=2a 及即可求出a的值．【解答】解：（1）=；∴f（x）的最小正周期：；由得：；∴f（x）的单调递增区间为：；（2）由可得：，或；而A∈（0，π），所以；又因为2a=b+c；而，∴bc=12；∴=；∴．【点评】考查二倍角的余弦公式，两角和差的正弦公式，以及余弦定理，数量积的计算公式．15．【分析】（1）在△ADC中根据余弦定理计算cosC，再在△ABC中计算c；（2）把代入化简即可得出bcosA=c，故AB⊥BC．【解答】解：（1）在△ADC中，因为，由余弦定理：．故在△ABC中，由余弦定理，得，所以．（2）因为AD为边BC上的中线，所以，所以=，∴c=bcosA．∴AB⊥BC，∴B=90°．【点评】本题考查了余弦定理解三角形，平面向量的应用，属于中档题．16．【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；（2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理和向量的数量积公式即可求出【解答】解：（1）将曲线C的方程化为x2+y2﹣2ax﹣y=0，∴（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+，可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．（2）△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0，得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），在曲线C方程中令x=0，得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值），（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=x1x2+y1y2=5x1x2+8（x1+x2）+16=﹣，即（80a﹣80﹣16a2﹣128a+64+80a）=﹣，即2a2﹣5a+2=0，解得a=2或a=，当a=2或时，都满足△＞0，故a=2或【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，韦达定理，向量的数量积，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的线性表示与运算法则，用，表示出即可；（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式，求出||即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE；∴=，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+；（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，则=+2×ו+=×62+×6×4×cos60°+×42=7，∴||=，即线段DE的长为．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目．18．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，列出方程，通过两角和与差的三角函数，化简求解角A的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积，求出c，然后利用余弦定理求解a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA•cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，∴2cosAsinC=sin（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0∴2cosA=1，即又0＜A＜π∴，（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴，，∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴．【点评】本题考查向量与三角函数相结合求解三角形的几何量，考查余弦定理的应用，是基础题．19．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣．（2）∵cos2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin（α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍），∵，∴β=．【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积化简f（x）为余弦型函数，求出f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间即可；（Ⅱ）根据f（A）=﹣1求出A的值，利用平面向量的数量积和正弦、余弦定理，即可求出b、c的值．【解答】解：（Ⅰ）；∴f（x）==2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2cos（2x+）+1，令﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，当k=0时，﹣≤x≤﹣，当k=1时，≤x≤，∴f（x）在区间[﹣π，π]上的单调递增区间是[﹣，﹣]和[，]；（Ⅱ）△ABC中，f（A）=﹣1，∴2cos（2A+）+1=﹣1，∴cos（2A+）=﹣1，∴2A+=π，解得A=；又a=，向量垂直，∴•=2sinB﹣3sinC=0，由正弦定理得：2b﹣3c=0，∴b=c；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即=c2+c2﹣2×c2×，解得c=1；∴b=．【点评】本题考查了平面向量的数量积和三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．21．【分析】（Ⅰ）由已知结合数量积的坐标运算得到f（x），降幂后利用辅助角公式化简，由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由求得角A，再由余弦定理结合基本不等式求得求b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵====．∴．由，得，即，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）由，得，∴，∴或，即，或A=π+2kπ，k∈Z，∵0＜A＜π，∴．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，∴，即b+c≤4．又∵b+c＞a=2，∴2＜b+c≤4．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了三角形的解法，是中档题．【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出，（2）根据向量的模求出（m+n）2=16，再根据基本不等式和向量的数量积即可求出【解答】解：（1）m=3，n=﹣1时，=（1，3），=（2，﹣1），∴+λ=（1+2λ，3﹣λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=1+2λ+3（3﹣λ）=0，解得λ=10，（2）∵=（1，m），=（2，n），∴+=（3，m+n），•=2+mn，∵|+|=5，∴9+（m+n）2=25，∴（m+n）2=16，∴•=2+mn≤2+（m+n）2=6，当且仅当m=n=2或m=n=﹣2时取等号，故•的最大值6．【点评】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模和基本不等式，属于基础题23．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．24．【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合辅助角公式化积，再由y=Asin（ωx+φ）型函数的性质求解；（2）由（1）及f（A）=2求得角A，再由正弦定理把b，c用含有角B的代数式表示，作和后利用三角函数的最值得答案．【解答】解：（1）∵P（，﹣1），Q（sin2x，cos2x），∴f（x）==．由2x﹣，得x=，k∈Z．∴函数f（x）的对称中心为（）；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的单调增区间为[﹣，]，k∈Z；（2）由f（A）=2，得，即．又2A∈（），∴，则A=．∵a=5，∴，c=．∴△ABC周长L=5+=5+×=．∵0，∴B+∈（），则sin（B+）∈（，1]．∴L∈（10，15]．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与三角函数最值的求法，是中档题．25．【分析】（1）根据向量的数量积定义和三角恒等变换化简即可求出cosB，得出B 的值；（2）化简f（x）的解析式，根据f（B）为f（x）的最大值求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调区间列不等式解出．【解答】解：（1）∵（c﹣2a）=c•，即（c﹣2a）accos（π﹣B）=abccosC，∴2accosB=bcosC+ccosB，∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．（2）f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣φ），∵对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B）=f（），∴sin（﹣φ）=1，∴φ=，∴f（x）=sin（2x﹣），令，解得≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间是[，+kπ]，k∈Z．【点评】本题考查了平面向量的数量积，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．26．【分析】（1）根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；（2）根据f（A）=2计算A，根据面积计算c，再利用余弦定理求出a．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．（2）∵f（A）=2sin（2A+）+1=2，∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．=sinA==，∴S△ABC∴c=2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴a=．【点评】本题考查了三角函数恒等变换，余弦定理解三角形，属于中档题．27．【分析】（1）根据向量平行列出方程，解出sin2x，cos2x即可；（2）化简f（x）解析式，根据对称轴得出m的值，从而得出f（2x）的解析式，利用正弦函数的性质计算f（2x）的值域．【解答】解：（1）当m=1时，=（sinx，cosx），=（3，﹣1）．∵，∴sinx=﹣3cosx．又sin2x+cos2x=1，∴sin2x=，cos2x=．∴2sin2x﹣3cos2x=2×﹣3×=．（2）f（x）==3sinx﹣mcosx=sin（x﹣φ），其中tanφ=．∵函数f（x）=•的图象关于直线x=对称，∴sin（﹣φ）=1或sin（﹣φ）=﹣1．∴φ=+2kπ，或φ=﹣+2kπ．∴m=3tanφ=，①当φ=+2kπ时，f（x）=3sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（2x）=2（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣，2]．②当φ=﹣+2kπ时，f（x）=2sin（x+）=2cos（x+），∴f（2x）=2cos（2x+），∵x∈[，]，∴2x+∈[，]．∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣2，]．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，正弦函数的图象与性质，属于中档题．28．【分析】（1）在△ABC中，•=⇒bccosA=cacosB，即bcosA=acosB，利用正弦定理可得sin（A﹣B）=0，即A=B，再由sinA=，求得cosA=，于是可求sinC的值；（2）D为AC的中点，BD的长为，则由=（+）⇒a2+c2+ac=153①；在△ABD中，利用余弦定理由|BD|2=|AB|2+|AD|2﹣2|AB|•|AD|cosA⇒c2+﹣2c•×=②联立①②，可解得：a=5，c=8，从而可求得△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵•=，∴bccosA=cacosB，即bcosA=acosB，由正弦定理得：sinBcosA=sinAcosB，即sin（A﹣B）=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形．又sinA=，∴cosA==，∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（π﹣2A）=sin2A=2sinAcosA=2××=；（2）∵D为AC的中点，|BD|=，∴=（+），∴=（+2•+），即=（c2+2accosB+a2），整理得：a2+c2+ac=153①；在△ABD中，由余弦定理得：|BD|2=|AB|2+|AD|2﹣2|AB|•|AD|cosA，即c2+﹣2c•×=②联立①②，解得：a=5，c=8，=acsinB=×5×8×=12．∴△ABC的面积S△ABC【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查正弦定理与余弦定理的应用，考查数形结合思想与函数方程思想及综合运算能力，属于难题．【分析】（1）根据二倍角公式求出cosB，再求出sinB，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案．【解答】解；（1）∵sin=，∴cosB=1﹣2sin2=1﹣=，∴sinB=，∵•=6，∴•=||•||•cosB=6，∴||•||=10，=||•||•sinB=10×=4；∴S△ABC（2）由（1）可知ac=10，又c+a=8，又余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac×=64﹣×10=32，∴b=4．【点评】本题考查了余弦定理三角形的面积公式和向量的数量积的运算，以及三角函数的化简，属于中档题．30．【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos （θ﹣）﹣1，令t=cos（θ﹣），根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ），∴﹣=（cosθ﹣cosφ）+（sinθ﹣sinφ），∴|﹣|2=（cosθ﹣cosφ）2+（sinθ﹣sinφ）2=2﹣2cos（θ﹣φ）=2﹣2cos=2﹣∴|﹣|=1；（2）•=cosθcosφ+sinθsinφ=cos（θ﹣φ）=cos（2θ﹣），∴|+|==2|cos（θ﹣）|=2cos（θ﹣），∴f（θ）=•﹣λ|+|=cos（2θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos （θ﹣）﹣1令t=cos（θ﹣），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2﹣2λt﹣1=2（t﹣）2﹣﹣1，又1≤λ≤2，≤≤1∴t=时，f（t）有最小值﹣﹣1，∴f（θ）的最小值为﹣﹣1．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．31．【分析】（Ⅰ）由已知向量的坐标求得||，结合⊥列关于x的方程求得x值；（Ⅱ）求出的最小值，开方得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵=（3，﹣1），∴，又•=﹣5，=x+（1﹣x），且⊥，∴，即，解得：x=；（Ⅱ）由=x+（1﹣x），得：==10x2﹣10x（1﹣x）+5（1﹣x）2=5（5x2﹣4x+1）．∴当x=时，，则||的最小值为1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，训练了二次函数最值的求法，是中档题．32．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，属于中档题．33．【分析】（1）根据⊥，结合正弦定理和余弦定理求出B的值即可，（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥，∴（sinB﹣sinC）•（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）•sinA=0，∴b2=a2+c2﹣ac，∴2cosB=1，∴B=；（2）∵⊥，∴△ABC是RT△，而B=，故A=，由==2R，得：==2，解得：a=1，b=，=••1=．故S△ABC【点评】本题考察了向量数量积的运算，考察三角恒等变换，是一道中档题．34．【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合两角和的余弦公式和诱导公式即可得证；（2）运用两向量共线的条件和两角和的正弦公式和诱导公式即可得证．【解答】证明：（1）向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），若，则=0，即cosAcosB﹣sinAsinB=0，即有cos（A+B）=0，即cos（π﹣C）=0，则cosC=0，即有C为直角．（2）若∥，则sinAcosB=﹣3cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=﹣2cosAsinB，sin（A+B）=﹣2cosAsinB，即sinC=﹣2cosAsinB，由sinB＞0，sinC＞0，则cosA＜0，由sinA＞0，sinB＞0，则cosB＞0，则有B为锐角．【点评】本题考查向量的垂直和共线的条件，主要考查三角函数的化简和两角和差公式的运用和诱导公式的运用，属于中档题和易错题．35．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期以及最值．（2）利用函数的图象变换求出函数的解析式，然后求解函数的值域．【解答】解：（1）==．所以f（x）的最大值为1，最小正周期为π．（2）由（1）得．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象．因此，又，所以，．故g（x）在上的值域为[﹣，1]．【点评】本题考查向量与三角函数相结合，两角和与差的三角函数，考查三角函数的图象与性质以及计算能力．36．【分析】（1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得sinα=，cosα=，进而得到t的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量为实数，若，则（2cosα﹣2sinα，sin2α﹣t）=（，0），可得cosα﹣sinα=，平方可得sin2α+cos2α﹣2cosαsinα=，即为2cosαsinα=1﹣=，（cosα＞0，sinα＞0），由sin2α+cos2α=1，解得cosα+sinα===，即有sinα=，cosα=．则t=sin2α=；（2）若t=1，且，即有4cosαsinα+sin2α=1，即有4cosαsinα=1﹣sin2α=cos2α，由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα==，则tan2α===，===．【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．37．【分析】（Ⅰ）根据△ABC的面积，结合平面向量的数量积求出tanB的值，再求tan2B的值；（Ⅱ）根据tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，从而求出sinC=sinB，判断△ABC是等腰三角形，求出底边上的中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为S，且•=S；∴accosB=acsinB，解得tanB=2；∴tan2B==﹣；（Ⅱ）∵|﹣|=2，∴||=2，又tanB==2，sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=；又cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；∵sinB=sinC，∴B=C，∴AB=AC=2，∴中线AD也是BC边上的高，∴AD=ABsinB=2×=．【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，也考查了同角的三角函数关系与应用问题，是综合题．38．【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：（1）向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）•=（sinx+cosx，）•（sinx，﹣1）=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由题意可得g（x）=sin（2（x+）﹣）=sin2x，g（）=sinA=，即sinA=，cosA=±=±，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=，由正弦定理=，可得b===3．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．39．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出f（x），即可得出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据f（A）=4求出A的值，再根据△ABC的面积和余弦定理求出b+c的值，即可求出周长．【解答】解：（Ⅰ）点P（，1），Q（cosx，sinx），∴=（，1），=（﹣cosx，1﹣sinx），函数f（x）=•=（﹣cosx）+（1﹣sinx）=3﹣cosx+1﹣sinx=﹣（sinx+cosx）+4=﹣2sin（x+）+4；∴函数f（x）的最小正周期为T=2π；（Ⅱ）A为△ABC的内角，f（A）=4，∴﹣2sin（A+）+4=4，∴sin（A+）=0，∴A+=π，解得A=；又BC=a=3，∴△ABC的面积为：S=bcsinA=bcsin=，解得bc=3；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos=b2+c2+bc=32=9，∴b2+c2=6；∴（b+c）2=b2+c2+2bc=6+6=12，∴b+c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3+2．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角恒等变换与余弦定理的应用问题，是综合题．40．【分析】（1）利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；（2）利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．【解答】解：（1）由点B（﹣，），∴sinθ=，，tanθ=﹣．∴tan（θ+）===﹣；（2）∵+=，∴=（1+cosθ，sinθ）．=，∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos2θ+sin2θ=cosθ+1=，解得cosθ=，∵0＜θ＜π，∴=．∴cos（﹣θ）==+=．【点评】本题考查了三角函数的定义、向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
(全国各地名校好题集锦)2018年高考二轮复习理科数学专题-----平面向量综合应用
（全国各地名校好题集锦）2018年高考二轮复习理科数学专题-----平面向量综合应用一、选择题1．【2018河北武邑中学调研二】已知向量()2,1a =-，()1,3b =- ，则（ ）A. a bB. a b ⊥C. ()a a b -D.()a ab ⊥- 【答案】D2.【2018河北武邑中学调研二】如图，在平行四边形ABCD 中， AC ， BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE BA BD λμ=+（R λμ∈，），则λμ+=（ ）A. 1B. 34C. 23D. 12【答案】B【解析】∵E 为线段AO 的中点，∴11111112222224BE BA BO BA BD BA BD BA BD λμ⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭∴113244λμ+=+= 故选：B3.（2018江西赣州红色七校联考】已知点M 是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则MA ·MB 的取值范围是（ ） A. [-1，0] B. [-1，2] C. [-1，3] D. [-1，4] 【答案】C4．【2018吉林百校联盟联考】已知单位向量1e 与2e的夹角为3π,向量122e e + 与122e e λ+ 的夹角为23π，则λ=（ ） A. 23-B. 3-C. 23-或3- D. 1- 【答案】B【解析】依题意可得：122e e +== ，同理：122e e λ+=而()()121252242e e e e λλ++=+ ，又向量122e e + 与122e e λ+ 的夹角为23π，可知：()()1212121254221222e e e e e e e e λλλ+++==-++，由此解得：23λ=-或3-，又5402λ+<,∴3λ=-. 故选：B5．【2018超级全能生全国联考】在ABC ∆中，4,6,,2AB BC ABC D π==∠=是AC的中点，E 在BC 上，且AE BD ⊥，则AE BC ⋅=（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4- 【答案】A6．【2018辽宁省沈阳育才中学一模】已知平面向量()1,a m =， ()3,1b =- 且()2//a b b +，则实数m 的值为（ ）A.13 B. 13- C. 23 D. 23- 【答案】B【解析】()2//a b b + ()()1,21//3,1m ⇒-+-()132113m m ⇒-+=-⇒=-,选B.7．【2018贵州遵义航天高级中学一模】如图所示，向量OA a = ，OB b = ，OC c =，A ，B ，C 在一条直线上，且3AC CB =-则( )A. 13+22c a b =B. 3122c a b =-C. 2c a b =-+D. 2c a b =+【答案】B【解析】3AC CB =- ()31322OC OA OB OC OC OB OA ⇒-=--⇒=-,选A.二、填空题8．【2018湖南永州一模】已知a =(x ,1)，b =(5,−3)，a •b =7，则x =__________． 【答案】2【解析】由a =(x ,1)，b =(5,−3)，a •b =7得：5x +1× −3 =7，解得x =2，故答案为2.9．【2018广西柳州市一模】已知向量a = 1,2 ,b = x ,1 ,u =a +2b ,v =2a −b ，且u //v ，则实数x 的值是__________． 【答案】1210．【2018湖南两市九月调研】已知向量,a b满足()1,2,1,3a b a b ==+= ，记向量,a b的夹角为θ，则tan θ=__________． 【答案】【解析】因为(1,2,a b a b ==+=，所以()211514212cos 4cos ,44a bsin θθθ+=++⨯⨯=⇒=-=，所以tan 15θ=- ，故答案为15-.11．【2018广东珠海市摸底】设单位向量a ，b的夹角为θ，27a b += ，则θ=____________. 【答案】3π【解析】由2a b += 得,2214147a b +⨯+⋅= , 12a b ⋅= ， 1cos ,2θ=3πθ=，故答案为3π. 12．【2018吉林长春市一模】已知平面内三个不共线向量a ,b ,c 两两夹角相等，且|a |=|b |=1，|c |=3，则|a +b +c |=__________． 【答案】2【解析】因为平面内三个不共线向量a ,b ,c 两两夹角相等，所以由题意可知，a ,b ,c的夹角为120°，又知|a |=|b |=1，|c |=3，所以a .b =−12 ，a ⋅c =b ⋅c =−32，|a +b +c |= 1+1+9+2× −12 +2× −32 +2× −32 =2 故答案为2.13．【2018广东珠海市九月摸底】向量,a b的夹角为θ，2,2,a b a b =+=，则θ=____________【答案】3π 【解析】由223a b b += ，得： 2224412a a b b b ++=，又2a b =所以2a b b =， 1cos 2a b a b θ== ，即3πθ=故答案为：3π14．【2018贵州遵义航天高级中学一模】设向量()2,1a = ，()1,1b =- ，若a b-与ma b +垂直，则m 的值为_____【答案】14【解析】a b - 与ma b +垂直()()()()101,221,10212204a b ma b m m m m m ⇒-⋅+=⇒⋅+-=⇒++-=⇒=15．【2018宁夏石嘴山三中三模】已知向量,b 满足2a =， ()•3a b a-=- ，则向量b在方向上的投影为__________．【答案】12【解析】()243a b a a b a a b -=⋅-=⋅-=- , 1a b ⋅=, 则向量b 在方向上的投影为1cos ,2a b a b b a b b a a b⋅⋅〈〉===⋅.16．【2018黑龙江省哈尔滨九中二模】已知向量()()1,2,4,3a b ==，且()a t ab ⊥+ ，则实数t =__________． 【答案】-2【解析】()()051002a ta b a ta b t t ⊥+∴⋅+=⇒+=⇒=-17．【2018四川成都龙泉中学一模】若两个非零向量a ,b 满足 a +b = a −b =2 a ，则向量a +b 与b −a 的夹角为，____. 【答案】π318．【2018四川成都七中一模】已知向量()()3,0,2,1,==-⊥a b b c ，且t =+a b c ，则t =_________. 【答案】2-。
2018年全国高考数学考前押题文科数学题卷二及答案解析
2018年高考数学考前押题文科数学题卷2（满分150分。
考试用时120分钟。
）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，若，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．在下列函数中，最小值为的是（ ） A ． BC ．D ． 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为（）A ．B ．C ．D ．4．函数的部分图象大致为（ ）A ．B ．21y x x=+2y =122x xy =+50A 0.9A 30252220sin 21cos xy x=+C ．D ．5．已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为（ ）A ．3B ．C ．D ．66．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（ ） A ．16B ．18C ．25D ．308．已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（ ） A ．B ．C ．D ．9．在如图所示的程序框图中，若输入的，输出的，则判断框内可以填入的条件是（ ）{}n a n n S 233215S S -={}n a 4-5-13122356()()()()2128122f x m x n x m =-+-+>[]2,1--mn ()sin cos f x a x b x =+x ∈R 0x x =()f x 0tan 2x =()a b ，20x y -=20x y +=20x y -=20x y +=A ．B ．C ．D ．10．函数的图像如图所示，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．111．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，间的距离为2，动点与，，当，，不共线时，面积的最大值是（） A ．BCD 12．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）A ．B ． C．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年数学(文科)高考题分类 真题与模拟题 平面向量
F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算7.F1[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A . 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B . 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C . 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D . 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.A [解析] 如图,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .8.F1、F3[2018·天津卷]在如图1-2的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图1-2A .-15B . -9C . -6D . 08.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C .F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 13.F2[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c ∥(2a+b ),则λ= . 13.12[解析] 2a+b=(4,2),由c ∥(2a+b )可得14=λ2,即λ=12.20.H8,F2[2018·全国卷Ⅲ] 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m>0). (1)证明:k<-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,证明:2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 20.证明:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k=0.由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k=-34m.由题设得0<m<32,故k<-12. (2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P (1,-32),|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x12.同理|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x22. 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 12.F2,F4[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 12.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3.F3 平面向量的数量积及应用4.F3[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a ,b 满足|a|=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b )= ( ) A . 4 B . 3C . 2D . 04.B [解析] a ·(2a-b )=2a 2-a ·b=2-(-1)=3,故选B .9.F3[2018·北京卷] 设向量a=(1,0),b=(-1,m ).若a ⊥(ma-b ),则m= .9.-1 [解析] ∵a=(1,0),b=(-1,m ),∴ma-b=(m+1,-m ),又∵a ⊥(ma-b ),∴a ·(ma-b )=m+1=0,即m=-1.8.F1、F3[2018·天津卷]在如图1-2的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图1-2A . -15B . -9C . -6D . 08.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C .F4 单元综合 9.F4[2018·浙江卷] 已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A . √3-1 B . √3+1 C . 2 D . 2-√39.A [解析] 建立平面直角坐标系,设e=(1,0),向量a 与e 的夹角为π3,则向量a 的终点在射线y=√3x (x>0)上.设向量b=(x ,y ),则x 2+y 2-4x+3=0,即(x-2)2+y 2=1,则|a-b|表示圆上任意一点P 到射线y=√3x (x>0)上任意一点A 的距离,显然当A ,P ,C 三点在同一条直线上,即AC 垂直于射线y=√3x (x>0)时,|a-b|取得最小值,最小值为|AC|-1=√3-1,故选A .12.F2,F4[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 12.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3.1.[2018·莱芜期末] 在平行四边形ABCD 中,∠A=60°,AB=2,AD=1,若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点(包括端点),且满足|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A .[1,3]B .[1,5]C .[2,4]D .[2,5] 1.D[解析] 设|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,λ∈[0,1],则AM ⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗ )=(AB⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗ )·[AD ⃗⃗⃗ +(1-λ)AB ⃗⃗⃗ ]=(1-λ)AB ⃗⃗⃗ 2+λAD⃗⃗⃗ 2+(1+λ-λ2)AB ⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗ =4(1-λ)+λ+12(1+λ-λ2)×2×1=-λ2-2λ+5∈[2,5],故选D .2.[2018·衡阳八中月考] 设向量a=(1,cos θ)与向量b=(-1,2cos θ)垂直,则sin (5π2+2θ)=( )A . √22B . 1C . 0D . -1 2.C[解析] ∵a ⊥b ,∴-1+2cos 2θ=0,即cos 2θ=12,则sin(5π2+2θ)=cos2θ=2cos 2θ-1=2×12-1=0,故选C . 3.[2018·广元期末] 在△ABC 中,AB=2AC=6,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,若点P 是△ABC 所在平面内一点,则当PA ⃗⃗⃗⃗ 2+PB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ 2取得最小值时,AP ⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = . 3.-9 [解析] ∵BA⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗ 2,∴BA ⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗ =0,∴BA ⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗ .以A 为坐标原点,AB ,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B (6,0),C (0,3).设P (x ,y ),则PA ⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗ 2+PC⃗⃗⃗ 2=x 2+y 2+(x-6)2+y 2+x 2+(y-3)2=3x 2-12x+3y 2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],∴当x=2,y=1时,PA⃗⃗⃗ 2+PB⃗⃗⃗ 2+PC⃗⃗⃗ 2取得最小值,此时AP⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗ =(2,1)·(-6,3)=-9.。
【高三数学试题精选】2018年高考数学(文)押题卷2(有答案和解释)
2018年高考数学（文）押题卷2（有答案和解释）
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科数学（二）
本试题卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则错误！未指定书签。
（）
A． B． c． D
2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点在（）
A．第一、二象限B．第三、四象限c．实轴D．虚轴
3．为了得到函数的图像，可将函数的图像（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
c．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
4．某司准备招聘了一批员工．有20人经过初试，其中有5人是与司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，第一个人已面试后，则第二次选到与司所需专业不对口的概率是（）
A． B． c． D．
5．《九算术》中“开立圆术”曰“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，式为．如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（）
A． B． c． D．
6．若变量满足不等式组，则的整数解有（）
A．6B．7c．8D．9。
最新-2018届高考数学二轮专题 平面向量针对训练 理 精
平面向量一、选择题1．若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A.因为a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，所以2a ＋b ＝(－1,4)，a －m b ＝(1＋3m,2)，又因为(2a ＋b )∥(a －m b )，所以(－1)×2＝4(1＋3m )，解得m ＝－12.2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析：选A.由BD →＝2DC →得AD →－AB →＝2(A C →－AD →)， 所以有AD →＝13(2AC →＋AB →)＝13(2b ＋c )，故选A.3．(2018年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3，a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3，()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.4．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2D ．与P 的位置有关解析：选B.如图，∵AB →＋AC →＝AD →＝2AO →，△ABC 为正三角形，∴四边形ABDC 为菱形，BC⊥AO ，∴AP →在向量AD →上的投影为AO →，又|AO →|＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝|AO →|·|AD →|＝6，故选B.5．(2018年高考辽宁卷)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：选B.由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0，得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1.∴|a ＋b －c |≤1. 二、填空题6．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，λ)，且a 与b 共线，则|a ＋b |的值为________． 解析：由a 与b 共线，得λ＋23＝0，所以λ＝－23，所以b ＝(－2，－23)，则a ＋b ＝(－1，－3)，所以|a ＋b |＝1＋3＝2.答案：27．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a ·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a ·b ＝1.又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.答案：π38．(2018年高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{}AB →，AC →，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.答案：－14三、解答题9．已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a 、m 的值； (2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值． 解：(1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )， 所以AD →＝12()AB →＋AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或13.10．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，⎝⎭42又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.11．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)∵m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2 x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， 又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且 sin A ≠0，∴2sin A cos B ＝sin A ，cos B ＝12，B ＝π3，∴0<A <2π3，∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，⎝⎭262∴函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2018届高考数学(文)大一轮复习重点强化课2平面向量Word版含答案
重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( )【导学号：31222166】A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5A3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ) 【导学号：31222167】A.π6B.π3C.23π D.56π A ，所以θ＝π6.] 5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB→的值是 ( )A ．－12 B.12C ．－34D ．0A二、填空题 6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．【导学号：31222168】11或－27．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则正实数a 的值为________．28．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________． －23三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R ). 【导学号：31222169】(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)， ∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分 (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )A ．－4B ．3C ．－11D ．10C ＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0，即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C.]2．(2016·浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．73．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .【导学号：31222170】(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，2分令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分 (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②可得b ＝3，c ＝2.12分。
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1．在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】选B若△ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即不一定等于0；若，则AB⊥BC，故角B为直角，即△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是的必要不充分条件．
2．已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足则点P 的轨迹的曲线类型为()
A．双曲线B．抛物线
C．圆D．椭圆
3．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(a x＋b)2(x∈R)是()
A．既是奇函数又是偶函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．奇函数
【解析】选C因为a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(a x＋b)2＝|a|2x2＋2a·b x＋|b|2＝|a|2x2＋|b|2，所以函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数．
4．若非零向量且则△ABC为()
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰非等边三角形 【解析】选C
知，角A 的平分线与BC 垂直，∴|
|
＝||；由
知，cos A ＝1
2，∴A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．
5．在△ABC 中，满足||＝||，(－3)⊥，则角C 的大小为( )
A.π3
B.π6
C.2π3
D.5π6
6．设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝13
＋13
，则∠BAC 的度数
等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 【解析】选C 取BC 的中点D ，连接AD ，则
＋
＝2
.由题意得3
＝2
，
∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°.
7．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(
＋
)·
＝( )
A ．－32
B ．－16
C ．16
D ．32
【解析】选D 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象如图所示．由f (x )＝0，解得x
＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以
＋
＝2
，所以(
＋
)·
＝2
·
＝2|
|2＝2×42＝32.
8．已知A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，且
＋
＝
，其中O 为坐标原点，则
的面积等于________．
【答案】3
2
【解析】如图所示，由||＝|
|＝|
|＝1知，▱OACB 是边长为1的菱形，且∠AOB
＝120°.
∴S ▱OACB ＝|
||
|sin 120°＝1×1×32＝3
2.
9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，
n ＝⎝⎛⎭
⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.
(1)求角C ；
(2)已知c ＝72，S △ABC ＝33
2，求a ＋b 的值．
即12＝ a ＋b 2－2ab －c 22ab ＝ a ＋b 2
－12－⎝⎛⎭
⎫72212
，
解得a ＋b ＝112. 10．在△ABC 中，若·
＝·＝2，则边AB 的长等于________．
【答案】2 【解析】由题意知·
＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴||
＝2.
11．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．
【答案】2π
3
【解析】由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－1
2，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
12．设向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若以向量a ＋b 与a －2b 为邻边所作的平行四边形是菱形，则cos(β－α)＝________.
【答案】1
4
【解析】由题意知，|a ＋b |＝|a －2b |，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－4a ·b ＋4b 2，所以2a ·b ＝b 2，即4cos (β－α)＝1，所以cos(β－α)＝14.
13．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2S △ABC ＝3·
.
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝2，求a ＋c 的取值范围．
取等号)，解得0<a ＋c ≤4.
又a ＋c >b ，∴2<a ＋c ≤4，∴a ＋c 的取值范围是(2,4]．
法二：由正弦定理得a ＝
43sin A ，c ＝4
3
sin C ， 又A ＋C ＝2π3，∴a ＋c ＝43(sin A ＋sin C )＝4
3[sin A ＋sin(A ＋B )]＝
43⎝
⎛⎭⎪⎫sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
32sin A ＋12cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π6≤1，∴a ＋c 的取值范围是(2,4]．
14．已知向量a ＝⎝⎛⎭
⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)．
(1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；
(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎡⎦
⎤－π2，0上的值域．。