高等数学教学课件7.6

z
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成
参数 t 的函数:
xx(t) yy(t)
称它为空间曲线的
zz(t) 参数方程.
例如,圆柱螺线 的参数方程为
M O
x y
xaco ts
x a cos
yasi nt
zvt
令t,bv
y a sin z b
当2π时 ,上升高度 h 2πb, 称为螺距 .
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
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例3. 写出圆
x2 y2 z2 8, z2
的参数方程.
解：设圆上任一点P的坐标为 (x, y, z),
作点P在平面 xOy 上的射影Q，
再作点Q 到Ox 轴上的射影 R，
uuur r
由例2，可知QP2k.
记轴Ou u xu r 轴正向到r OQu u 的u r 有向角为r O R 2 c o si,R Q 2 s i n j
F(x,y,z)0
z
两个基本问题 :
S
1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
Oy x
2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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考虑以点 P0(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球面的方程.
设 P(x, y,z)是球面上的任一点, 则 P0P r. 可得方程
所以
u u u r u u u ru u u ru u u r
r rr
O P O R R Q Q P 2 c o si 2 s i nj 2 k
x 2cos 于是参数方程为 y 2sin 0 2
z 2 科学出版社
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 r , 即
( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 r 2(1)
z
反过来, 若点 P(x, y,z)的坐标满足方程(1),
P0
则 P0P r. 即点 P 在球面上. 因此方程(1)是球面的方程.
P
Oy x
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例1. 讨论方程 x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 2 z 3 0 表示 什么曲面?
解: 配方得 (x 1 )2 (y 2 )2 z 1 2 1 2 .
可见此方程表示一个球面 球心为 (2,2,1), 半径为 2 3 注: 下面形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) A ( x 2 y 2 z 2 ) D E x F y G z 0 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
第六节
第七章
曲面与空间曲线
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曲面方程的概念
实例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解: 设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM BM ,即
(x 1 )2 (y 2 )2 (z 3 )2 (x 2 )2 (y 1 )2 (z 4 )2
化简得 2 x 6 y 2 z 7 0 注: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
例2.
考察方程组
x2
y2
z2
8,
所表示的曲线.
z2
解：第一个方程表示半径为 2 2 的球面由于球心O 到平面z = 2的距离为2, 故平面与球面相交,
交线是平面 z = 2上的一个圆, 圆心是(0,0,2), 半径为
822 2.
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空间曲线的参数方程
球面 , 或点 , 或虚轨迹.
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空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F(x,y,z) 0 G(x,y,z) 0
S2
S1
G (x,y,z)0LF(x,y,z)0
例如,方程组 x2 y2 1 2x 3z 6
z 2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
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xO 1y