高等数学教学课件：w-1-1
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.1 函数
对数函数 = ( > 0, ≠ 1)的定义域为(0, +∞)，值域为(−∞, +∞).
⑸ 三角函数
函数 = , = , = , = , = , = 依次叫做
正切函数 = 在区间
− ,
2 2
上的反函数称为反正切函数，记作 = .
余切函数 = 在区间 0, 上的反函数称为反余切函数，记作 = .
2．复合函数
函数 = ( 1 + 2 )是基本初等函数吗？
定义
设函数 = (), = (), ∈ . 存在的某个非空子集1 ，对于每
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
例如，函数 = () = 0, ∈ 就是一个既是奇函数又是偶函数的函数；
= 2 和 = 都是偶函数； = 3 和 = 都是奇函数； = 既
不是奇函数也不是偶函数.
2．函数的周期性
定义4
2 )是复合函数.
根据定义我们知道Y = [()]是由函数 = ()与 = ()复合而成，
那[()]和 是否相同？
显然是不相同的，例如() = 与() = 2 复合，如若将()看成外
值，记作|=0 = (0 ). 当取遍定义域内的所有值，对应的函数值
的集合 = {| = (), ∈ }称为函数 = ()的值域.
函数 = ()中的符号“”表示与之间的对应法则，它也可以
用其它字母表示，如 = (), = ℎ(), = (), = ()等.
2
5
有意义，必有5 2 + 2 ≠ 0，解得 ≠ 0且 ≠ − .
高等数学教学课件PPT
注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
《高等数学》教学课件：第1章 曲线与曲面 第2节
1
1
2
2x py z 6 0
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
2.1.两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（介于0与 间）叫做两直线的夹角
2cos s1 s2 Nhomakorabea| m1m2 n1n2 p1 p2 |
| s1 || s2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
问题：两直线平行、重合？两直线垂直(相交、 不交)?
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
直线L的位置就完全确定下来
参数的含义？方程的
特殊形式？
x x0 tm,
y
y0
tn,
tR
z z0 tp.
参数方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
对称式方程
点向式方程
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
二、空间直线及其方程 10
1、空间直线的方程 1.2.直线的一般方程
4
1、平面方程 法向量(normal vector):与一平面垂直的向量(vector)称为该平面的法向 量(normal vector).
一般方程
Ax By Cz D 0
它是三元一次方程.事实上任何三元一次方程在三维几 何空间都表示平面.因此对于任给的三元一次方程，其 三个未知量的系数就是该方程所表示平面的一个方向量
第一章 曲线与曲面
第一节 空间形式概述 第二节 平面与空间直线的方程 第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
高等数学教学课件：w-3-1
费尔马定理 设 f ( x)在区间I 有定义, x0 I , 若f ( x) 在x0可导, 且x0是 f ( x)的极值点,则f ( x0 ) 0.
高等数学
y
y f (x)
证法
o
x
不妨设x0是极大点, 只需证明:
lim f ( x) f ( x0 ) 0.
x x0
x x0
2. 罗尔 ( 1652--1719，法国 ) 定理
x
的
0
某
邻
域U
(
x
0
)
I ,x U ( x0 ), 有f ( x)
f (x0 )
[ f (x)
f
(Hale Waihona Puke x0)],
则
称x
是
0
f ( x)的极大点[极小点],
f ( x0 )称为极大值[极小值], 极大点极小点统称为
极 值 点, 极 大 值 极 小 值 统 称 为 极值.
注：极值点必在区间内部，区间内的最值点必是极值点.
高等数学
第 三 章 导数的应用
第一节 微分学中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
重点与难点：中值定理的理解与应用
一、罗尔 ( Rolle ) 定理
高等数学
1. 费尔马 ( Fermat, 1601—1665,法国 ) 定理
定义 设函数 f ( x)在区间I 有定义,若x0 I ,且存在
水平的.
o a 1
高等数学
y f (x)
2 b x
高等数学 证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
高等数学教学课件：w-11-4
定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
规定 (1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛区间x 0;
(2) 幂级数对一切 x都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题: 如何求幂级数的收敛半径?
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注: 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是 数项级数的收敛问题.
高等数学
§11-4 幂级数
例1
求级数
(1)n (
1
)n 的收敛域.
n1 n 1 x
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n ) un ( x) n 1 1 x 1 x
n0
n0
高等数学
§11-4 幂级数
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
• • •• • • ••• • •
发散区域 R o
x R 发散区域
问题: 是否一定存在一个划分收敛与发散的分界数?
高等数学
§11-4 幂级数
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在 x 0一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全
确定的正数 R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
高等数学
§11-4 幂级数
大一高数课件第一章 1-1-1
第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
重大社2024《高等数学》教学课件第三章 1、2、3节
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
高等数学高职高专完整全套教学课件(1)
高等数学高职高专完整全套教学课件一、教学内容1. 第一章：函数与极限函数的概念、性质与图像极限的定义、性质及运算无穷小与无穷大的概念及其关系2. 第二章：导数与微分导数的定义、运算法则及求导公式微分的概念及其运算法则高阶导数的概念及其求法二、教学目标1. 理解并掌握函数、极限、导数与微分的基本概念及性质。
2. 能够运用求导公式和法则进行导数的计算，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：函数与极限的概念，导数的求法，微分的应用。
2. 教学重点：函数的性质与图像，导数的计算，微分的基本概念。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：教材、笔记本、文具等。
五、教学过程1. 引入：通过实际问题，引导学生了解函数在现实生活中的应用。
2. 知识讲解：讲解函数的定义、性质与图像，配合实例进行分析。
介绍极限的概念、性质及运算，通过例题进行讲解。
阐述导数与微分的定义、运算法则，配合求导公式进行讲解。
3. 随堂练习：针对每个知识点，设计相应的练习题，巩固所学内容。
六、板书设计1. 黑板左侧：列出本节课的主要知识点、公式及例题。
2. 黑板右侧：展示解题过程和答案，方便学生对照学习。
七、作业设计1. 作业题目：求下列函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x，lim(x→∞)(1+1/x)^x。
求函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x 1的导数。
求函数f(x) = e^x在x=1处的微分。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生了解极限、导数与微分在物理学、工程学等领域的应用。
推荐相关学习资料，帮助学生深入理解高等数学的知识体系。
重点和难点解析1. 教学内容的选取与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的区分4. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解5. 板书设计的信息布局6. 作业设计的题目选取与答案提供7. 课后反思与拓展延伸的实际操作一、教学内容的选取与组织教学内容应紧密结合高职高专学生的学习基础和实际需求。
高等数学教学课件
高等数学的发展历程
早期发展
高等数学的发展可以追溯到古希腊时期，当时的数学家开始研究变 量和函数的概念。
中期发展
随着欧洲文艺复兴和科学革命的兴起，高等数学得到了快速的发展， 涌现出了一批杰出的数学家和数学成果。
现代发展
现代高等数学的研究领域更加广泛，涉及的分支也更加多样化，如微 分方程、实分析、复分析等都是现代高等数学的重要分支。
02
高等数学基础知识
极限理论
1 2
极限的定义与性质
极限是高等数学中的基本概念，它描述了函数在 某一点的变化趋势。极限的性质包括唯一性、有 界性、局部保号性等。
极限的运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加 减乘除的运算规则和复合函数的极限运算法则。
3
极限存在准则
极限存在准则包括夹逼准则、单调有界准则、柯 西收敛准则等，这些准则是判断函数极限存在的 常用方法。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
01
不定积分是求函数原函数的运算，其性质包括线性性、可加性、
积分区间的可加性等。
定积分的概念与性质
02
定积分是求曲线下面积的运算，其性质包括线性性、可加性、
区间可加性等。
定积分的应用
03
定积分的应用非常广泛，例如求曲线下面积、求变速直线运动
的路程等。
空间解析几何
经济学中的高等数学应用
总结词
经济学中高等数学的应用有助于建立更 精确的模型和预测
VS
详细描述
经济学中有很多问题需要用到高等数学的 知识，如计量经济学、数理经济学、金融 数学等领域。通过应用高等数学，经济学 家们可以建立更精确的模型和预测，更好 地理解和解决经济问题。
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
本章主要内容包括多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
具体教学内容如下：1. 多元函数的求导法则：主要包括偏导数的定义及其求导法则，如四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
2. 隐函数求导：主要讲解如何利用偏导数求解隐函数的导数，包括直接求解和间接求解两种方法。
3. 泰勒公式：介绍泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，重点讲解如何利用泰勒公式展开多元函数。
4. 多元函数的极值问题：包括极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法。
二、教学目标1. 理解并掌握多元函数的求导法则，能够熟练运用各种法则求解多元函数的导数。
2. 学会隐函数求导的方法，能够独立求解复杂的隐函数导数问题。
3. 掌握泰勒公式的应用，能够利用泰勒公式展开多元函数并进行简化。
4. 理解多元函数极值的概念，学会使用极值判定方法和求解方法解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数求导、泰勒公式的应用以及多元函数极值的求解。
2. 教学重点：多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、签字笔、直尺、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引入多元函数的求导问题。
2. 讲解多元函数的求导法则：通过示例，讲解四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
3. 隐函数求导方法讲解：以具体例子为例，讲解直接求解和间接求解两种方法。
4. 泰勒公式的介绍与应用：讲解泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，通过示例让学生掌握泰勒公式的运用。
5. 多元函数极值问题的讲解：介绍极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法，并通过实例进行分析。
6. 随堂练习：布置具有代表性的题目，让学生现场解答，检验学习效果。
六、板书设计1. 多元函数的求导法则：四则法则、链式法则、反函数求导法则。
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分、积分等基本概念及其计算方法；2. 能够运用所学知识解决实际问题，如物理、几何、经济等领域的问题；3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点难点：极限的概念、导数的计算规则、积分的应用、微分方程的解法。
重点：极限与连续的关系、导数的应用、不定积分与定积分的计算、级数的收敛性判断。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过实际案例，如物体运动、几何图形的面积等，引出极限、导数、积分等概念；2. 例题讲解：详细讲解典型例题，分析解题思路和方法；3. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识；5. 课堂讨论：针对学生遇到的问题，进行讨论和解答；6. 课后作业布置：布置具有代表性的作业题目，巩固课堂所学。
六、板书设计1. 采用粗体字，突出重点；2. 例题：用红色粉笔标注关键步骤和易错点；3. 知识点：用蓝色粉笔书写，清晰易懂；4. 课堂讨论：用不同颜色的粉笔记录学生的观点和疑问。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求函数在一点的极限；（2）计算函数在某一点的导数；（3）求函数的不定积分和定积分；（4）解微分方程；（5）判断级数的收敛性。
2. 答案：详细给出每个题目的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生学习相关数学软件（如MATLAB、Mathematica等），提高数学计算和建模能力；推荐阅读相关数学书籍，拓宽知识面。
重点和难点解析1. 教学内容的难点与重点；2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习；3. 板书设计；4. 作业设计；5. 课后反思及拓展延伸。
一、教学内容的难点与重点（1）极限的概念：要详细解释函数在一点处极限的定义，以及极限的性质，如唯一性、局部有界性等；（2）导数的计算规则：重点讲解导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则等；（3）积分的应用：详细介绍积分在几何、物理、经济等领域中的应用，如求面积、体积、质心、曲线弧长等；（4）微分方程的解法：详细讲解常见微分方程的解法，如可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
高等数学教学课件：w-1-7
注意 可去间断点只要改变或者补充间断 处函数的定义, 则可使其变为连续点.
如例5中, 令 f (1) 2,
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
高等数学
y
2 1
o1
x
高等数学
例6
讨论函数
f
(x)
1 , x
x 0,在x 0处的连续性.
又lim ( x) a, x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
高等数学
恒有( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时, f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
定义高等数学高等数学sinlim高等数学高等数学内每一点处都连续在其定义域证明指数函数时的极限先考虑高等数学高等数学limlimlimlimlimlimlimlim连续在定义域内每一点处都所以指数函数高等数学高等数学是函数处连续高等数学高等数学高等数学高等数学的增量称为自变量在点内有定义的增量相应于称为函数高等数学高等数学定义2设函数内有定义如果当自变量的增量趋向于零时对应的函数的增量就是高等数学高等数学连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续
lim[
x 0
f (x0
x)
f ( x0 )]
0,那末就称函数
f ( x)在点 x 连续, x 称为 f ( x)的连续点.
0
0
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
高等数学教学课件：w-8-1
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合． 注: 点集E为闭集的充要条件是 E的聚点都属于E． 定理(外尔斯特拉斯): 有界数列必有收敛子列. 外尔斯特拉斯, Weierstrass, 德国, 1815--1897
• P0
（2）内点
高等数学
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的
一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ，
则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
（3）外点
• P3 •P1 • P2
如果存在点 P 的邻域 U (P， ) E ，则称 P期 新气象！
第八章
高等数学
多元函数微分学
第一节 多元函数的极限与连续
一、多元函数的概念 二、平面点集的一些概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
重点：多元函数的相关概念
难点：多元函数的极限
一、多元函数的概念
高等数学
实例
1 E 1 mv 2 , E : 动能, m : 质量, v : 速度; 2
空间两点间的距离．
高等数学
二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
说明：
n维空间的记号为 Rn; 这里的空间是实数空间，即点的坐标为实数.
高等数学
n维空间中两点间距离公式 设两点为 P( x1, x2 ,, xn ), Q( y1, y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
高等数学教学课件：w-1-1
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
y
函数 y f ( x)
y0
W
o
x0
D
高等数学
y
反函数 x ( y)
y0
W
xo
x0
x
D
y 反函数y ( x)
高等数学
Q(b, a )
高等数学
祝贺同学们！ 欢迎同学们！
两个问题：
高等数学
1. 你清楚自己的长处和短处吗?
(能力、身体、环境)
2. 四年的大学生活意味着什么?
高等数学
新的起点、新的阶段：
1、性 格 2、身 体 3、知 识
走正道 做正事
魏光美： gmwei@
高等数学
魏光美：gmwei@ 答疑安排
0 x 1,求函数 f ( x 3)的定义域. 1 x2
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微积分学内容主要包括极限、微分学、积分学及 其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化 率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率 等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求 积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通 用的方法。
微积分学这门学科在数学发展中的地位十分重要， 可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个 创造。由于微积分是与实际应用联系着发展起来的， 因而它在天文学、力学、物理、化学、生物学、工程 学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个 分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的出现 更有助于这些应用的不断发展。
直接函数y f ( x)
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称为无限区间
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域
设a与是两个实数 , 且 0.
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数集{ x x a }称为点a的邻域 , 记作U (a). 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a } (a , a )
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U0(a) { x 0 x a } (a , a) (a, a )
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4.常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量.
时间：周一至周四晚 5—7 地点：主 216
（答疑从第三周开始，我在双周二）
微积分介绍
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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、 积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一 个基础学科。
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数
学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是 积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多 数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积 分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量， 理论基础不牢固。直到十九世纪，在柯西和维尔斯特 拉斯建立了极限理论，以及康托尔等建立了严格的实 数理论后，该学科才得以严密化。
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祝贺同学们！ 欢迎同学们！
两个问题：
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1. 你清楚自己的长处和短处吗?
(能力、身体、环境)
2. 四年的大学生活意味着什么?
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新的起点、新的阶段：
1、性 格 2、身 体 3、知 识
走正道 做正事
魏光美： gmwei@
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魏光美：gmwei@ 答疑安排
例如 A {1,2},
( A B)
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
空集: 不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, {x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
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2.区间 是指介于某两个不等实数之间的全体 实数.这两个实数叫做区间的端点.
无限集(元素个数无限) M { x x所具有的特征}
子 集 若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
常见数集: N----自然数集
高等数学 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
关系 N Z, Z Q, Q R.
相等: 若A B,且B A,就称集合A与B相等.
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5.绝对值
a
a a
a0 a0
运算性质: ab a b;
( a 0)
a a; bb
6.周明强.数学分析(第一册). 上海:上海科学技术
出版社,2002
7.北大、清华、科技大等编写的《高等数学》教材
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书店介绍 1.北航出版社书店(理工):院内综合楼 2.高等教育出版社书店(理工):成府路口(331,375路)
(北京科技大学北) 3.九章书店(数学):海淀图书城(47路) 4.中关村图书大厦(综合):海淀桥(47路) 5.西单图书大厦(综合):西单文化广场旁(地铁)
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
{x a x b} 称为半开区间,
{x a x b} 称为半开区间,
称为有限区间
x 记作 [a,b)
记作 (a,b]
Hale Waihona Puke 高等数学[a,) { x a x} (a,) {x a x} (, b] {x x b} (,b) {x x b}
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牛顿 (Newton,1642-1727)
莱布尼茨 (Leibniz,1646-1716)
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微积分的应用——海王星的发现
1781年德国的威廉·赫歇尔通过观察，发现了 天王星. 1830年天文学家发现天王星的运行轨道 的观测位置与理论计算位置不符，因而推测在天王 星之外可能还有一颗未知的行星在影响它的运动. 英国天文学家与几何学家亚当斯(J.C.Adams)和法 国天文学家勒维利(Le Verrier)于1845，1846年 先后用严格的数学方法算出了这颗未知行星的运行 轨道. 1846年9月23日晚上在柏林天文台工作的加 勒(Galle)，将望远镜指向秋夜的星空，对准了勒 维利预报的方位，果然找到了这颗新的行星，这就 是海王星.
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第一章 函数与极限
第一节 函 数
一. 实数与区间 二. 函数概念 三. 函数的特性 四. 反函数 五. 小 结
一、实数与区间
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1.集合 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. a M , a属于M; a M, a不属于M.
有限集(元素个数有限) A {a1, a2 ,, an}
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微积分学内容主要包括极限、微分学、积分学及 其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化 率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率 等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求 积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通 用的方法。
微积分学这门学科在数学发展中的地位十分重要， 可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个 创造。由于微积分是与实际应用联系着发展起来的， 因而它在天文学、力学、物理、化学、生物学、工程 学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个 分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的出现 更有助于这些应用的不断发展。
参考书目
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1.王数禾.数学思想史.北京:国防工业出版社,2003
2.莫里斯.克莱因著,朱学贤等译.古今数学思想(第二
册).上海:上海科学技术出版社,2002
3.龚升.简明微积分.
4.Patrick M.Fitzpatrick.高等微积分(英文版).
北京:机械工业出版社,2003
5.刘玉琏等.数学分析(上).北京:高等教育出版社,1994