高等数学教学课件：w-1-1

高等数学
5.绝对值
a
a a
a0 a0
运算性质: ab a b;
( a 0)
a a; bb
参考书目
高等数学
1.王数禾.数学思想史.北京:国防工业出版社,2003
2.莫里斯.克莱因著,朱学贤等译.古今数学思想(第二
册).上海:上海科学技术出版社,2002
3Βιβλιοθήκη Baidu龚升.简明微积分.
4.Patrick M.Fitzpatrick.高等微积分(英文版).
北京:机械工业出版社,2003
5.刘玉琏等.数学分析(上).北京:高等教育出版社,1994
时间：周一至周四晚 5—7 地点：主 216
（答疑从第三周开始，我在双周二）
微积分介绍
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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、 积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一 个基础学科。
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数
学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是 积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多 数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积 分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量， 理论基础不牢固。直到十九世纪，在柯西和维尔斯特 拉斯建立了极限理论，以及康托尔等建立了严格的实 数理论后，该学科才得以严密化。
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祝贺同学们！ 欢迎同学们！
两个问题：
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1. 你清楚自己的长处和短处吗?
(能力、身体、环境)
2. 四年的大学生活意味着什么?
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新的起点、新的阶段：
1、性 格 2、身 体 3、知 识
走正道 做正事
魏光美： gmwei@buaa.edu.cn
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魏光美：gmwei@buaa.edu.cn 答疑安排
a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
{x a x b} 称为半开区间,
{x a x b} 称为半开区间,
称为有限区间
x 记作 [a,b)
记作 (a,b]
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[a,) { x a x} (a,) {x a x} (, b] {x x b} (,b) {x x b}
(,) {x x R}
称为无限区间
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域
设a与是两个实数 , 且 0.
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数集{ x x a }称为点a的邻域 , 记作U (a). 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a } (a , a )
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U0(a) { x 0 x a } (a , a) (a, a )
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4.常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量.
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微积分学内容主要包括极限、微分学、积分学及 其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化 率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率 等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求 积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通 用的方法。
微积分学这门学科在数学发展中的地位十分重要， 可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个 创造。由于微积分是与实际应用联系着发展起来的， 因而它在天文学、力学、物理、化学、生物学、工程 学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个 分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的出现 更有助于这些应用的不断发展。
无限集(元素个数无限) M { x x所具有的特征}
子 集 若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
常见数集: N----自然数集
高等数学 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
关系 N Z, Z Q, Q R.
相等: 若A B,且B A,就称集合A与B相等.
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第一章 函数与极限
第一节 函 数
一. 实数与区间 二. 函数概念 三. 函数的特性 四. 反函数 五. 小 结
一、实数与区间
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1.集合 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. a M , a属于M; a M, a不属于M.
有限集(元素个数有限) A {a1, a2 ,, an}
6.周明强.数学分析(第一册). 上海:上海科学技术
出版社,2002
7.北大、清华、科技大等编写的《高等数学》教材
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书店介绍 1.北航出版社书店(理工):院内综合楼 2.高等教育出版社书店(理工):成府路口(331,375路)
(北京科技大学北) 3.九章书店(数学):海淀图书城(47路) 4.中关村图书大厦(综合):海淀桥(47路) 5.西单图书大厦(综合):西单文化广场旁(地铁)
例如 A {1,2},
( A B)
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
空集: 不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, {x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
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2.区间 是指介于某两个不等实数之间的全体 实数.这两个实数叫做区间的端点.
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牛顿 (Newton,1642-1727)
莱布尼茨 (Leibniz,1646-1716)
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微积分的应用——海王星的发现
1781年德国的威廉·赫歇尔通过观察，发现了 天王星. 1830年天文学家发现天王星的运行轨道 的观测位置与理论计算位置不符，因而推测在天王 星之外可能还有一颗未知的行星在影响它的运动. 英国天文学家与几何学家亚当斯(J.C.Adams)和法 国天文学家勒维利(Le Verrier)于1845，1846年 先后用严格的数学方法算出了这颗未知行星的运行 轨道. 1846年9月23日晚上在柏林天文台工作的加 勒(Galle)，将望远镜指向秋夜的星空，对准了勒 维利预报的方位，果然找到了这颗新的行星，这就 是海王星.