高等数学上册不定积分421全(2)精品PPT课件

解 (2x1)8dx 12(2x1)8d(2x1)
令u2x1
原式 1u 8 d u 1u 9 C 1(2 x 1 )9 C .
2
18 18
5
例3 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx 2six n(dsix)n six n 2C;
sinx dx cosx
co1xsdcoxs
lncoxsC.
所以 taxn d x ln co x sC .
类似地 co xtd lxn six n C .
一般地，有
fsixn coxsdx fsixn dsixn ,
fcoxssixndx fcoxsdcox.s
10
常用的几种配元形式:
1
1)f(axb)dxa
解
x1x
1 1x2,
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1) x
x1
e x
C.
13
例12. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(x2
a
2
)
3 2
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
f
(axb)
d(axb)
2) f(xn)xn1dx1 f (xn) d x n n
3) f(xn)1dx1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
4 )f(sinx)co sxdx f (sinx)dsinx
5 )f(co sx)sinxdx f (coxs) dcosx
11
6 )f(tx ) a sn 2 e x d x c f (tanx)dtanx 7)f(x e)exdx f (ex) d e x
8
例5 求 ln 2 x dx ln2xdlnx
原令 式u lnux2d x u1u3C1ln 3xC .
一般地，有
3
3
1 xfln xd xfln xdln x.
1
例6 求 e x x2
一般地，有
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dx
e1xd1e1x C. x
9
f1 xx 12d xf1 xd1 x.
例7
求
tanxdx
8)
f(lnx)1dx x
f (lnx) dln x
例8
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22llnxnx)
1ln12lnxC 2
12
例9. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 xC
例10 求 3(1x12)ex1xdx.
dx 4 x2
1 2
d( 2x ) 1 (2x)2
(4)
x2 4 x2
dx
144x2dx
(5)
4
dx x2
1 4
1 1 dx
2x 2x
(6)
dx
4xx2
d(x2) 4(x 2)2
16
2. 求下列积分:
1) x2 1 dx1 1 d(x31) x31 3 x31
2 x31C 3
2)
f[(x)d](x)u(x)[ f(u)d]u u(x)
由此可得换元法定理
2
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式
说明 使用此公式的关键在于将
凑
u (x )
g( x)dx
f[(x )] (x )d x f(u )du
2x3 dx 12xx2
(22x)5dx 12xx2
d(12xx2) 5 d(x1)
12xx2
2(x1)2
212xx25arcsxin1C 2
17
3. 求不定积分 2sixn2 cosxsi1 2n xsi2nxdx.
解：利用凑微分法 , 得
2 sin x cos x dx
原式 =
1 sin2 x 2 sin2 x
解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
为什么不一样？
6
例22
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
d(1sin2x)
令 t 1si2nx
d sin 2 x dx d cos 2 x dx
2t 2 1 t 2
d
t
2
(111t2)dt
2t 2arc t tC an
2 1 s2 i x n ar1 c st 2 i x a n C n
§2. 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
1
一、第一类换元法
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
dF[(x) ]F (u )(x)d x f[(x )] (x )d x
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
u (x )
难
(也称配元法 , 凑微分法)
易
3
16
例1
求
3
1 dx. 2x
解
一般地
4
3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx
1 2312xd(32x)
1 2
1du u
1lnuC 2
1ln3(2x)C. 2
f(axb)dxa1f(axb)d(axb)
1[
a
f(u)du]uaxb
例2 求 (2x1)8dx
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
7
例4 求 x ( a 2 x b ) m dx ( a 0 ,m 1 )
解 原式 1 a2xbmda2xb 2a
令uax2b
原式 1 umdu
1 um1 C
2a
2a(m1)
1 a2xbm1C.
一般地，有
2a(m1)
x n fa n 1 x b d x1 fa n 1 x b d a n 1 x b . a ( n 1 )
x2a2
a2 C
x2 a2
14
作业
P207 2 (4) , (5) , (9) , (10),(11) ,(14), (16) , (19) ,
(21) ,
15
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
d(44xx)
(3)
x 4x2
dx
1 2
d(4 x2) 4 x2
(2)