《高等数学教学课件》9-5

d dx
x y
y x
(1 dy )( y x) ( x y)(dy 1)
dx
( y x)2
dx
2( (
x2 y2) y x)3
求隐函数的高阶导数时，要注意一阶导函数中仍含有隐函数 变量，求导过程中注意区别哪是自变量，哪是因变量即可；
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在点 P0( x0 , y0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个
连续且具有连续导数的函数 y f ( x)，它满足条
件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式(1)
公式推导：因为函数y =f（x）， F[ x, f ( x)] 0
两边求x导数得：
Fx
Fy
dy dx
Fx
Fz
z x
0
Fy
Fz
z y
0
Fz 连续，且 Fz ( x0, y0, z0 ) 0
U(P0, ),使得 Fz 0
于是
z Fx x Fz
z Fy y Fz
【证完】
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【例
3】 设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
13
【解】 令 F( x, y, z) x2 y2 z2 4z,
2. F ( x, y, z) 0
【隐函数存在定理 2】设函数F ( x, y, z)在点
P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域①内有连续的偏导数， ②且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，③Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程
F ( x, y, z) 0在点 P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函
z z u z v ， z z u z v x u x v x y u y v y
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3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】
2
【定理3 】 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 变量关系为：
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【思考题】已知 x ( y)，其中 为可微函数，
25
zz
求 x z y z ?
【思考题解答】x y
记F(x, y, z) x ( y),
zz
则 Fx
1， z
Fy
(
y) z
1 z
z Fx x Fz x
,
z
y
Fz ( y) ,
x z2
z y
( y)
【思路】 把z看成 x, y的函数对 x求偏导数得 z ，
x
把 x看成z, y的函数对 y 求偏导数得 x ，
y
把 y看成 x, z的函数对 z求偏导数得 y . z
z Fx x Fz
x Fy y Fx
y Fz z Fy
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【解】 令 F( x, y, z) z f ( x y z, xyz) 则 Fx f1 f2 yz, Fy f1 f2 xz,
【例 2】已知ln
x2 y2 arctan y ，求 x
d2y. dx2
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【解】 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
则
Fx ( x,
y)
x x2
y y2
,
dy dx
Fx Fy
x y
y x
.
Fy( x,
y)
y x2
xx
y2
,
d2y dx2
d dx
Fx Fy
数z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有
z Fx ，
z Fy .
x Fz
y Fz
隐函数的求导公式(2)
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公式推导如下
由于 F ( x, y, z) 0
z f (x, y)
F ( x, y, f x, y) 0 两端分别对x和y求导得
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(P86)
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
Fy Fv
y J ( y, v)
Fu Fv Gy Gv
Gu Gv
J (F,G) (u, v)
v 1 (F,G) x J (u, x)
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx Gu Gx
定理F证u 明F略v . 仅推G导u 偏G导v 数公式如下：
dx2
dy dx
8
Fx Fy
x Fx
yx
x Fy
yx
则
dFx dx
Fxx
Fxy
dy dx
代入上式化简.
同理
dFy dx
Fyx
dy Fyy dx
(该法比较常用)
【此即】先用商的求导公式,再用复合函数求导法则.
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【说明】若F
(
x,
y
)的二阶偏导数仍连续，欲求 x
d2 dx
练习: 求 u , v y y
答案:
由题设 J x y x2 y2 0 yx
u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
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三、小结
隐函数的求导法则 （分以下两种情况） (1) F ( x, y) 0 (2) F( x, y, z) 0
Fx Gx
Fu Gu
uuxxyvGFvv
1v(F0, Jvx(u0, x
G) y)
21
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例4. 设
xu yv 0,
y u x v 1, 求
u , u , v ,
v
22
.
x y x y
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x u y v u x x
y u x v v x x
定理3. 设函数 ① 在点 导数；
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满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0,v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
③
J
P
( F , G) (u, v)
P
0
,
则方程组
F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点( x0 , y0 , u0 , v0 )
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
且有偏导数公式 :
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu Fv
Fx Fv Gx Gv
Fz 1 f1 f2 xy,
z Fx f1 yzf2 , x Fz 1 f1 xyf2
x Fy f1 xzf2 ,
y Fx
f1 yzf2
y Fz 1 f1 xyf2 .
z Fy
f1 xzf2
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
三、小结 思考题
目的要求：了解隐函数存在定理，会求一个方程 确定的隐函数的导数，知道方程组确定隐函数的 导数的求法。
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一、一个方程的情形
6
1. F ( x, y) 0
【隐函数存在定理 1】 设函数F ( x, y)在点
P0( x0 , y0 )的某一邻域①内具有连续的偏导数，且 ② F ( x0 , y0 ) 0，③Fy ( x0, y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0
z f u f .
y u y y
1
z f u f x u x x
z2 x y 3
把 z f (u, x, y)
中 yx 的 看 作 不 变 而 对 xy
的偏导数
把 z f (u, x, y) 中
的u 及 xy 看作不变而对yx
的偏导数
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【练习2】设z f (sin x,cos y,e x y ),求 z , 2z . x xy
v y
1 J
(F,G) (u, y )
1 Fu Fv Gu Gv
Fu Fy Gu Gy
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设方程组
F( G(
x, x,
y,u, y,u,
v) v)
0 0
有隐函数组
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则
两边对 x 求导得
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Baidu Nhomakorabea
Fv Gv
v x v x
0 0
这是关于 u , v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内
1. 【中间变量均为一元函数】
1
【定理 1】若u (t)及v (t )都在点t 可导，z f (u,v) 在 对 应 点 (u,v) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数
z f [ (t ), (t )]在对应点t 可导，且其导数可用下列公
式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2
z) x (2 z)2
z x
(2
z) (2
x 2
z)2
x
z
z z(x, y)
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
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【例 4】设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
2. 【中间变量均为多元函数】
【定理 2】若u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)具有对 x
和 y 的偏导数，且z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个
偏导数存在，且可用下列公式计算
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比 行列式.
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【解】
z x
f1 cos x
f3 e x y
2z ( z ) xy y x
cos x[ f12 ( sin y) f13 e x y ]
[ f32 ( sin y) f33 e x y ] e x y f3 e x y
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一、一个方程的情形
x x
Fx Fv
系数行列式 J Fu Gu
Fv Gv
0,
故得
u x
Gx
Fu Gu
Gv
Fv Gv
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u 1 (F,G) x J ( x, v ) v 1 (F,G) x J (u, x )
同样可得
u 1 (F,G) y J ( y , v )
y
2
9
【法II】
dy ( Fx )
dx
Fy
yx
d2y dx2
x
(
Fx Fy
)
y
(
Fx Fy
)
dy dx
FxxFy Fyx Fx Fy2
FxyFy Fyy Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fyy Fx2
【此即】先用复合函数求导法则，再用商的求导公式.
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dy Fx x y . dx Fy y x
【解2】据上册P113-116复合函数的求导法则
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【说明】若F ( x 【法I】 d 2 y
dx2
, y)的二阶
d ( Fx ) dx Fy
偏导数仍连续，欲求d 2 y
dFx dx
Fy Fy2
Fx
dFy dx
0
dy dx
Fx Fy
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【例 1】 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy .
x
dx
【解1】令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
x
则
Fx ( x, y)
x x2
y y
2
,
Fy( x, y)
y x x2 y2 ,
z Fy
Fz
( y)
z2
,
z
(
y
)
z
x y ( y
)
,
z
z
于是 x z y z z. x y
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作业
P89 2，8，9，10（1，3）
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