2014届高三数学二轮专题复习课后强化作业 7-3排列、组合与二项式定理(理) Word版含详解]

基本素能训练一、选择题1．(2013·福建理，5)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10[答案] B[解析]①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，∴b＝－1,0,1,2，∴(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个，即b＝－1,0,1,2，a＝1时，b的取值有3个，即b＝－1,0,1，a＝2时，b的取值有2个，即b＝－1,0，∴(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．2．(2012·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种[答案] C[解析] 当第一组开关有一个接通时，电路接通为C 12(C 13＋C 23＋C 33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C 22(C 13＋C 23＋C 33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.3．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] D[解析] (1＋ax )(1＋x )5＝(1＋ax )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，展开式中x 2的系数为5a ＋10＝5，所以a ＝－1.4．(2012·长宁模拟)由数字0、1、2、3、4、5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个[答案] B[解析] 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有C 15A 552＝300(个)．5．(2012·烟台诊断)从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这个3个点为顶点构成直角三角形的概率为( )A.67B.57C.47D.23[答案] A[解析] 由于每个面上有直角三角形C 34＝4(个)，每对相对棱形成的对角面上有直角三角形C 34＝4(个)，因此直角三角形共有6×4＋6×4＝48(个)，故所求概率P ＝48C 38＝67.6．(2012·菏泽模拟)有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为( )A ．112B ．100C ．92D ．76[答案] B[解析] 甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有C 14·C 33＋C 24C 22A 22＝7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7×A 22＝14；若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方法数是C 24，分到三项比赛上去的分配方法数是A 33，故共有方案数C 24A 33＝36.根据两个基本原理共有方法数2×(14＋36)＝100(种)．7．(2013·金华十校模拟)在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] C[解析] 二项式的展开式的前三项的系数分别为：1，C 1n ·12，C 2n ·(12)2，由其成等差数列可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·(12)2⇒n ＝1＋n (n －1)8，∴n ＝8，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 8(12)r，若为有理项，则有4－3r4∈Z ，∴当r ＝0,4,8时为有理项，∴展开式中有理项的项数为3.8．(2012·温州适应性测试)将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有不同放法( )A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种[答案] B[解析] 由于每个盒子中小球数各不相同，且1＋2＋6＝9,1＋3＋5＝9,2＋3＋4＝9，故不同放法共有3A 33＝18种．二、填空题9．(2013·浙江理，11)设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.[答案] －10[解析] T r ＋1＝C r 5 (x )5－r ·(－13x)r ＝(－1)r，令52－5r6＝0得r ＝3，所以A ＝C 35(－1)3＝－10.10．(2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．[答案] 35[解析]6节课随机安排共有A66＝720种方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课分为以下三类：第一类：三节文化课连排，共有A33A44＝144种；第二类：文化课与艺术课相间排列，共有2A33A33＝72种；第三类：仅有两节相邻文化课之间有艺术课，先选一节艺术课，有C13种选法，再在语、数、英形成的两个空位中，选一个放入选出的艺术课，有C12种选法，将语、数、英及插入的一节艺术课作为一个整体与其余2节艺术课随机排列，因此共有排法C13C12A33A33＝216种，故所求概率P＝144＋72＋216720＝35.能力提高训练一、选择题1．(2012·龙岩模拟)12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25[答案] C[解析]要完成这件事，可分两步走：第一步可先从后排8人中选2人共有C28种；第二步可认为前排放6个座位，先选出2个座位让后排的2人坐，由于其他人的顺序不变，所以有A26种坐法．综上，由分步乘法计数原理知不同调整方法种数为C28A26种．2.(2013·潍坊模拟)如图，M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有() A．8种B．12种C．16种D．20种[答案] C[解析]把四个小岛看作四个点，可以两两之间连成6条线段，任选3条，共有C36种情形，但有4种情形不满足题意，∴不同的建桥方法有C36－4＝16种，故选C.3．(2013·太原模拟)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为() A．36 B．48C．72 D．120[答案] A[解析]第一步，将3个奇数全排列有A33种方法；第二步，将2个偶数插入，使它们之间只有一个奇数，共3种方法；第三步，将2个偶数全排列有A22种方法，所以，所有的方法数是3A33A22＝36.4．(2013·四川理，8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a、b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是() A．9 B．10C ．18D ．20[答案] C[解析] 从1,3,5,7,9中取两个数计算lg a －lg b ＝lg ab . 共有A 25＝20种取法．但是lg 31＝lg 93.lg 13＝lg 39.故共有20－2＝18个不同值．5．(2013·陕西理，8)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ， x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[答案] A[解析] 当x >0时，f (x )＝－x <0，∴f [f (x )]＝f (－x )＝(－x ＋1x )6＝(x －1x )6，展开式中通项为T r ＋1＝C r 6(x )6－r (－1x)r ＝C r 6(－1)r x 3－r，令r ＝3，T 4＝C 36(－1)3＝－20，故选A.6．(2013·江西八校联考)若二项式(3tan 2x ＋1tan 2x )n 的展开式的第四项是209，而第三项的二项式系数是15，则x 的取值为( )A.k π3(k ∈Z ) B ．k π－π3(k ∈Z ) C ．k π＋π3(k ∈Z ) D ．k π±π3(k ∈Z )[答案] D[解析] 二项式(3tan 2x ＋1tan 2x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝Cr n·(3tan 2x )n－r(1tan 2x )r ＝Cr n·(tan 2x )n 3－43r .依题意有⎩⎨⎧C 2n ＝15C 3n ·(tan 2x )n 3－43×3＝209，解得n ＝6，tan x ＝±3，x ＝k π±π3，其中k∈Z ，选D.7．若(x 2－1ax )9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 等于( )A ．1－cos2B ．2－cos1C ．cos2－1D ．1＋cos2[答案] A [解析] 由题意得T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r (－1)r(1ax )r＝(－1)rC r 9x 18－3r 1ar ，令18－3r ＝9得r ＝3， 所以－C 391a3＝－212，解得a ＝2，所以⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20＝－cos2＋cos0＝1－cos2.8．(2012·吉林省实验中学模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有( )A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种[答案] C[解析] 先将标号为1,2的小球放入一个盒子中有C 13种方法，再将其余4个小球中选取2个放入一个盒子中，有C 24种方法，余下的2个小球放入剩下的一个盒子中，∴共有C 13C 24＝18种方法．9．(2013·河南五市联考)研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A 、B 、C 、D 、E 五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D 实验，下午不能做E 实验，则不同的安排方式共有( )A ．144种B ．192种C ．216种D ．264种[答案] D[解析] 根据题意得，上午要做的实验是A ，B ，C ，E ，下午要做的实验是A ，B ，C ，D ，且上午做了A ，B ，C 实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E 实验，其余三人分别做A 、B 、C 实验，有C 14·A 33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E 实验的同学下午选D 实验，另三位同学对A 、B 、C 实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N 1＝1×2＝2种；②上午选E 实验的同学下午选A 、B 、C 实验之一，另外三位从剩下的两项和D 一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N 2＝C 13·3＝9种．于是，不同的安排方式共有N ＝24×(2＋9)＝264种．故选D.二、解答题10．(2013·宁德模拟)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56.(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．[解析] 根据题意，设该项为第r ＋1项，则 有⎩⎨⎧C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1， 即⎩⎨⎧C r n ＝C r －1n ，C r n＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.(1)令r ＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187. 所有项的二项式系数之和为27＝128. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r x r 2，r ≤7且r ∈N .于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理数，即有理数项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ， T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝488x 3.。