黑龙江省大庆实验中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理

大庆实验中学2020学年度下学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数23()1i i-=+ ( ) A ．34i - B ．34i -+ C ．34i -- D ．34i + 2．设集合11<-=x x M ，(){}03<-=x x x N ，则（ ）A ．M N M =IB ．N N M =I C.φ=N M I D ．M N M =Y 3．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致 4．二项式6(x )x-的展开式中常数项为 ( ) A ．15- B ．15 C ．20- D ．205.在同一坐标系中画出函数log ,,xa y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是( )6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( )A ．24B ．72C ．60D ．487．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，(n)f =1+1112321n++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1 B ．21k+ C ．2k D ．21k- 8．随机变量ξ的概率分布规律为(x )(n 1,2,3,4)(n 1)aP n n ===+，其中a 为常数，则913(x )44P <<的值为 ( )A ．23 B ．34 C ．45 D ． 5489．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1010a b +=( )A ．28B ．76C ．123D ．199 10.下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．“21x =”是“1=x ”的充分不必要条件B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是 ( )A ．18125 B ． 36125 C ． 44125 D ． 8112512．如下四个结论中，正确的有（ ）个①当实数12k ≤时，21(x 0)x e x kx ≥++≥恒成立 ②存在实数k 使得方程21ln 02x x x k -+=有两个不等实根③存在实数k 使得：当(0,1)x ∈时，21ln 2x x x k >-；(1,)x ∈+∞时，21ln 2x x x k <-④存在实数k 使得函数2()ln f x x x kx k =-+有最大值 A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设(z)f z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 14．若函数()e e x x a f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数，则a =__________．15．函数()ln f x x x x =-的单调增区间为____________．16．设集合{1,2,3,4}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，使得A 中最大的数不大于B 中最小的数，则可组成不同的子集对(,)A B __________个．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．18．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分, 未中奖则不得分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 19．（本小题满分12分）设直角坐标系原点与极坐标极点重合， x 轴非负半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点F 1、F 2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为22(,).2x t t y ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩R 为参数 （I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）求曲线C 上的动点P 到直线l 的最大距离。

20.（12分）已知函数f(x)＝12x 2－alnx(a∈R )．(1)若f(x)在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间.21.(本小题满分12分)某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10], (10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. P(K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.879附:K 2=22．（本小题满分12分） 已知函数221)(x e x f x-=，其导函数为)('x f . （1） 求)('x f 的最小值；（2） 证明：对任意的),0[,21+∞∈x x 和实数0,021≥≥λλ且121=+λλ，总有)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+；（3） 若321,,x x x 满足：0,0,0321≥≥≥x x x 且3321=++x x x ， 求)()()(321x f x f x f ++的最小值.参考答案：1-5 C A A B D 6-10 B C D C D 11-12 B A 13. 4＋3i 14. 1 15. (0,1) 16. 4917.解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．18.解 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件， 因为P(X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P(X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P(X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E(X 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E(X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X 1)>E(X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 19．解：（I）直线l 普通方程为2y x =-…………3分椭圆C 的普通方程为221.43x y += …………6分（II ）由椭圆的普通方程可以得到其参数方程为2cos ()x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数则动点(2cos ):2P l y x θθ=-到直线的距离为tand φ===其中………8分 由于max 1sin()1,2d θφ+-≤-≤==则有 …………10分20.解：(1)f′(x)＝x －ax，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0.所以a ＝4.此时f′(x)＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x .因为f(x)的定义域是{x|x>0}，所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以当a ＝4时，x ＝2是f(x)的极小值点．所以a ＝4. (2)因为f′(x)＝x －ax，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a)(x ＋a)x ，令f′(x)>0有x>a ，所以函数f(x)的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f′(x)<0有0<x<a ，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，a)．21.解：(1)300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得2×(0.150+0.125+0.075+0.025)=0.75, 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300名学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下:平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4个小时 453075每周平均体育运动时间超过4个小时16560225总计21090300结合列联表可算得K 2的观测值k==≈4.762>3.841.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 22解：（1）x e x f x -=)('，1)(''-=x e x f当)0,(-∞∈x 时，01)(''<-=x e x f ，即)('x f 在区间)0,(-∞上为减函数； 当),0[+∞∈x 时，01)(''≥-=x e x f ，即)('x f 在区间),0[+∞上为增函数；于是)('x f 的最小值为1)0('=f .（2）不妨设21x x ≤，构造函数)()()()(221221x f x f x x f x K λλλλ--+=（],0[2x x ∈） 则有0)()()()(222122212=--+=x f x f x x f x K λλλλ则))()(()()()('221'1'1221'1'x f x x f x f x x f x K -+=-+=λλλλλλλ0)()1(22221221≥-=+-=-+x x x x x x x λλλλλ由（1）知)('x f 在区间),0[+∞上为增函数，于是0)()('221'≥-+x f x x f λλ 即0)('≥x K ，于是0)()(2=≤x K x K 即)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≤+.（3）先证对任意的),0[,,321+∞∈x x x 和实数0,0,0321≥≥≥λλλ且1321=++λλλ，总有)()()()(332211332211x f x f x f x x x f λλλλλλ++≤++)))((()(332212121121332211x x x f x x x f λλλλλλλλλλλλ+++++=++)()()(332212121121x f x x f λλλλλλλλλ+++++≤)())()(()(332212121121x f x f x f λλλλλλλλλ++++⋅+≤=)()()(332211x f x f x f λλλ++令31321===λλλ，有))()()((31)3(321321x f x f x f x x x f ++≤++ 当0,0,0321≥≥≥x x x 且3321=++x x x 时，有233)1(3)3(3)()()(321321-==++≥++e f x x x f x f x f x f .。