2012届高考数学(理)一轮复习定时检测(带详细解析)：1.3单的逻辑联结词、全称量词与存在量(人教A版)

§1.3 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．(2009·天津改编)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是________________________．解析命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．
答案对任意的x∈R,2x>0
2．(2010·镇江模拟)“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是
__ __________________．
答案△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
3．(2009·苏南四市模拟)命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定是__________________．解析已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题．
答案∀x∈R，x>1且x2≤4
4．(2010·石家庄模拟)已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.
下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈p；④綈p∧q.
真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析∵命题p是假命题，命题q是真命题．
∴綈p是真命题，綈q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，
綈p∧q是真命题．
答案①④
5．(2009·济宁模拟)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝
5
2
；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.
给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”
是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是_______________________．解析因p为假命题，q为真命题，故綈p是真命题，綈q是假命题；所以p∧q是假命题，
p∧綈q是假命题，綈p∨q是真命题．
答案②③
6．(2009·潍坊模拟)下列命题中真命题的个数为__________．
①p：∀x∈R，x2－x＋1
4
≥0；
②q：所有的正方形都是矩形；
③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；
④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.
解析x2－x＋1
4
＝(x－
1
2
)2≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故③是假命题；
易知②是真命题，④是假命题．
答案 2
7．(2010·江西三校联考)设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值；
③若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值．
这些命题中，真命题的个数是________．
解析 ②③符合最大值的定义，它们是正确的，而①是错误的．
答案 2
8．(2010·苏州模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0， 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为__________．
解析 因为“p 且q ”是真命题，
所以命题p 、q 均为真命题，
由于∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，
所以a ≤1；又因为∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，
所以Δ＝4a 2＋4a －8≥0，
即(a －1)(a ＋2)≥0，所以a ≤－2或a ≥1，
综上可知，a ≤－2或a ＝1.
答案 a ≤－2或a ＝1
9．(2009·姜堰中学高三综合练习)已知实数a 满足1<a <2，命题p ：函数y ＝log a (2－ax )在[0,1] 上是减函数，命题q ：“|x |<1”是“x <a ”的充分不必要条件，则下面说法正确的是 ________．
①p 或q 为真命题； ②p 且q 为假命题；
③綈p 且q 为真命题；④綈p 或綈q 为真命题．
解析 ∵1<a <2，∴y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，即p 为真．又由1<a <2，可得x <aD ⇒/|x |<1，
又|x |<1⇔－1<x <1⇒x <a ，即q 为真．
答案 ①
二、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．(14分)(2010·徐州模拟)写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假：
(1)若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根；
(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是奇数；
(3)若abc ＝0，则a 、b 、c 中至少有一个为零．
解 (1)否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0
无实数根，是假命题．
命题的否定：若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根，是假命题．
(2)否命题：若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是奇数，是假命题．
命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是奇数，是真命题．
(3)否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为0，是真命题．
命题的否定：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为0，是假命题．
11．(16分)(2009·江苏盐城模拟)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12
x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃ x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，求实数a 的取值范围．
解 ∵∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0， ∴a ≤12
x 2－ln x ，x ∈[1,2]， 令f (x )＝12
x 2－ln x ，x ∈[1,2]， 则f ′(x )＝x －1x ， ∵f ′(x )＝x －1x
>0(x ∈[1,2])， ∴函数f (x )在[1,2]上是增函数．
∴f (x )min ＝12，∴a ≤12
. 又由命题q 是真命题得Δ＝4a 2＋32＋24a ≥0，
解得a ≥－2或a ≤－4.
因为命题p 与q 均为真命题，
所以a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12
]． 12．(16分)(2010·镇江调研卷)已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：|1－x 2
|<1.若p 是真命题，
q 是假命题，求实数x 的取值范围．
解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，
∴x ≥3或x ≤－1；
由|1－x 2|<1，得－1<1－x 2<1，
∴0<x <4.
∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4.
则{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |x ≤0或x ≥4}
＝{x |x ≤－1或x ≥4}．
∴满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－
1]∪[4，＋∞)．。