2010年全国高考理科数学试题及答案-湖南

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N =2．下列命题中的假命题．．．是 A ．R x ∀∈，120x -＞B ．N x *∀∈，()10x -2＞C ．R x ∃∈，lg ＜1D ．R x ∃∈，tan 2x =3．极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,23x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线4．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4AC =，则AB AC等于A ．16-B ．8-C ．8D ．165．421d x x ⎰等于A ．2ln 2-B ．2ln 2C ．ln 2-D ．ln 26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠=，c =，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a =bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 8．用},mi n{b a 表示a ，b 两数中的最小值，若函数|}||,min{|)(t x x x f +=的图象关于直线21-=x 对称，则t 的值为 A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.9．已知一种材料的最佳加入量在110g 到210g 之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 .10．如图1所示，过⊙O 外一点P 作一直线与⊙O 交于A ，B两点.已知PA=2，点P 到⊙O 的切线长PT=4，则弦AB 的长为 . 11．在区间[-1，2]上随机取一个数x ，则1||≤x 的概率为 .12．图2是求222123+++2…+100的值的程序框图，则正整数n = ． 错误!13．图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．14．过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为，则p = ．15．若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()22sin f x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数)(x f 的零点集合.17．（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （I ）求直方图中x 的值；（II ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图5所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点. （I ）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角的正弦值；（II ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F//平面A 1BE ？证明你的结论.19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线2x =的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km的区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A ，B 两点的距离之和不超过的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段12PP ，23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．20．（本小题满分13分）已知函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意R x ∈，恒有).()('x f x f ≤ （I ）证明：当0≥x 时，;)()(2c x x f +≤（II ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式)()()(22b c M b f c f -≤-恒成立，求M的最小值.21．（本小题满分13分）数列)}({*N n a n ∈中，11,+=n a a a 是函数x a n x n a x x f n n n 22233)3(2131)(++-=的极小值点.（I ）当a=0时，求通项;n a（II ）是否存在a ，使数列}{n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1—4 CBAD 5—8 DABD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上. 9．171.81或48.2 10．6 11．3212．100 13．414．215．2，2n三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I ）因为)2cos 1(2sin 3)(x x x f --=,1)62sin(-+=πx所以，当2262πππ+=+k x ，即)(6Z k k x ∈+=ππ时，函数)(x f 取得最大值1. （II ）解法1 由（I ）及0)(=x f 得21)62sin(=+πx ，所以 6262πππ+=+k x ，或,65262πππ+=+k x 即3,πππ+==k x k x 或 故函数)(x f 的零点的集合为},3,|{Z k k x k x x ∈+==πππ或解法2 由0)(=x f 得,sin 2cos sin 322x x x =于是0sin =x ，或x sin cos 3= 即.3tan =x由πk x x ==可知0sin ；由3tan =x 可知.3ππ+=k x故函数)(x f 的零点的集合为},3,|{Z k k x k x x ∈+==πππ或17．解：（I ）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1, 解得x=0.12.（II ）由题意知，X~B （3，0.1）.因此,243.09.01.0)1(,729.09.0)0(21303=⨯⨯===⨯==C X P C X P .001.01.0)3(,027.09.01.0)2(333223=⨯===⨯⨯==C X P C X P故随机变量X 的分布列为X 的数学期望为EX=3×0.1=0.3.18．解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以1,,AA AD AB 为单位正交基底建立空间直角坐标系.（I ）依题意，得B （1，0，0），E （21,1,0）， A （0，0，0），D （0，1，0），所以).0,1,0(),21,1,1(=-=AD BE在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面 ABB 1A 1，所以AD 是平面ABB 1A 1的一个法向量， 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则.321231||||sin =⨯=⋅=AD BE θ 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.32 （II ）依题意，得)21,1,1(),1,0,1(),1,0,0(11-=-=BA A设),,(z y x n =是平面A 1BE 的一个法向量，则由0,01=⋅=⋅n BA n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-,0210z y x z x 所以.21,z y z x ==取)2,1,2(,2==n z 得 设F 是棱C 1D 上的点，则F （t ，1，1）).10(≤≤t 又),1,0,1(1B 所以).0,1,1(1-=t B D 而⊄F B 1平面A 1BE ，于是B 1F//平面A 1BE ⇔01)1(20)2,1,2()0,1,1(01=+-⇔=⋅-⇔=⋅t t n F BF t ⇔=⇔21为C 1D 1的中点，这说明在棱C 1D 1上存在点F （C 1D 1的中点），使B 1F//平面A 1BE.解法2（I ）如图（a ）所示，取AA 1的中点M ，连结EM ，BM.因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 2为正方形，所以EM//AD.又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角. 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，.3122222=++=BE 于是，在BEM Rt ∆中，.32sin ==∠BE EM EBM 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.32（II ）在棱C 1D 上存在点F ，使B 1F//平面A 1BE.事实上，如图（b ）所示，分别取C 1D 1和CD 的中点为F ，G ，连结EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1//B 1C 1//BC ，且A 1D 1=BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此，D 1C//A 1B.又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG//D 1C ，从而EG//A 1B ，这说明A 1，B ，G ，E ，共面，所以BG ⊂平面A 1BE.因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG//C 1C//B 1B ，且FG=C 1C=B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F//BG ，而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F//平面A 1BE. 19．解：（I ）设边界曲线上点P 的坐标为).,(y x当2≥x 时，由54||||=+PB PA 知，点P 在以A ，B ，为焦点，长轴长为542=a 的椭圆上，此时短半轴长.24)52(22=-=b 因而其方程为.142022=+y x 故考察区域边界曲线（如图）的方程为).2(1420:)2(536)4(:222221<=+≥=+-x y x C x y x C 和（II ）设过点P 1，P 2的直线为1l ，过点P 2，P 3的直线为2l ，则直线21,l l 的方程分别为.6,143=+=y x y设直线l 平等于直线1l ，其方程为,3m x y +=代入椭圆方程,142022=+y x 消去y ，得0)4(53101622=-++m mx x 由,0)4(5164310022=-⨯⨯-⨯=∆m m 解得m=8，或m=-8从图中可以看出，当m=8时，直线l 与C 2的公共点到直线1l 的距离最近，此时直线l 的方程为1,83l l x y 与+=之间的距离为.331|814|=+-=d又直线2l 到C 1和C 2的最短距离3',5566'>-=d d 而，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式，得312)12(2.0≥--n ，所以.4≥n 故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.20．解：（I ）易知.2)('b x x f +=由题设，对任意的,2,2c bx x b x R x ++≤+∈即0)2(2≥-+-+b c x b x 恒成立，所以0)(4)2(2≤---b c b ，从而.142+≥b c 于是.0)(2|,|142,12>-+=-=⨯≥≥b c c b c b b c c 因此且故当0≥x 时，有0)1()2()()(2≥-+-=-+c c x b c x f c x 即当0≥x 时，.)()(2c x x f +≤（II ）由（I ）知，.||b c ≥当||b c >时，有.2)()(2222222c b b c b c b bc b c b c v f c f M ++=--+-=--≥ 令.1122,11,tc b b c t c b t +-=++<<-=则 而函数)11(112)(<<-+-=t t t g 的值域是).23,(-∞ 因此，当||b x >时，M 的取值集合为.,23⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞ 当||b c =时，由（I ）知，.2,2=±=c b此时,0,08)()(22=--=-b c b f c f 或从而)(23)()(22b c b f c f -≤-恒成立. 综上所述，M 的最小值为.2321．解：易知).)(3(2)3()(2222n x a x a n x n a x x f n n n n --=++-='令.,3,0)(221n x a x x f n n ==='得（1）若,32n a n <则 当)(,0)(,3x f x f a x n n n >'<时单调递增； 当)(,0)(,32x f x f n x a n n n <'<<时单调递减； 当)(,0)(,2x f x f n x n n >'>时单调递增.故2)(n x x f n =在取得极小值.（2）若,32n a n >仿（1）得，)(x f n 在n a x 3=取得极小值. （3）若)(,0)(,32x f x f n a n n n ≥'=则无极值.（Ⅰ）当0=a 时，.13,0211<=a a 则由（1）知，.1122==a因,23322<=a 则由（1）知，.4223==a因为233123>=a ，则由（2）知，43334⨯==a a . 又因为,436324>=a 则由（2）知，.433245⨯==a a 由此猜测：当3≥n 时，.343-⨯=n n a下面先用数学归纳法证明：当3≥n 时，.32n a n > 事实上，当3=n 时，由前面的讨论知结论成立.假设当23,)3(k a k k n k >≥=时成立，则由（2）知，213k a a k k >=+，从而012)2(2)1(3)1(32221>-+-=+->+-+k k k k k k a k ，所以.)1(321+>+k a k 故当3≥n 时，23n a n >成立.于是由（2）知，当3≥n 时，4,331==+a a a n n 而，因此.343-⨯=n n a 综上所述，当a=0时，).3(34,1,0321≥⨯===-n a a a n n （II ）存在a ，使数 列}{n a 是等比数列，事实上，由（2）知，若对任意的n ，都有23n a n >，则.31n n a a =+ 即数列}{n a 是首项为a ，公比为3的等比数列，且.31-⋅=n n a a而要使23n a n >，即*23N n n a n∈>⋅对一切都成立，只需n n a 32>对一切*N n ∈都成立.记,31,94,31,33212====b b b n b n n 则…令x x y 32=，则)2(31)3ln 2(31'22x x x x y x x -<-=，因此，当2≥x 时，0'>y ，从而函数x x y 32=在[)+∞,2上单调递减，故当2≥n 时，数列}{n b 单调递减，即数列}{n b 中最大项为.942=b 于是当94>a 时，必有.32n n a >这说明，当),94(+∞∈a 时，数列}{n a 是等比数列. 当,243.34,94,942221=====a a a a 而可得时 由（3）知，)(2x f 无极值，不合题意.当9431<<a 时，可得,12,4,3,4321====a a a a a a …，数列}{n a 不是等比数列. 当,113,312===a a 时由（3）知，)(1x f 无极值，不合题意.当,12,4,1,,314321====<a a a a a a 可得时…，数列}{n a 不是等比数列.综上所述，存在a ，数列}{n a 是等比数列，且a 的取值范围为).,94(+∞。