三角形全等中辅助线的常见类型
全等三角形中常见辅助线的作法
全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。
1. 作法。
- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。
- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。
延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。
2. 原因。
- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。
- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。
二、截长补短法。
1. 截长法。
- 作法。
- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。
- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。
在AB上截取AE = AC，然后连接DE。
- 原因。
- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。
这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。
2. 补短法。
- 作法。
- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。
- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。
- 原因。
- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。
三、作平行线法。
1. 作法。
- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。
- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。
过D作DF∥AC交BC于F。
2. 原因。
- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。
全等三角形作辅助线的常用方法
全等三角形作辅助线的常用方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在解决几何问题时，我们常常会用到全等三角形作为辅助线来辅助推导和证明。
下面介绍几种常用的方法：1. SSS法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
在使用SSS法时，我们要注意较长边对应较长边，较短边对应较短边。
2. SAS法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
在使用SAS法时，我们要注意两个已知边的夹角位置，确保它们对应正确。
3. ASA法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
在使用ASA法时，我们要注意两个已知夹角的边位置，确保它们对应正确。
4. RHS法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则它们是全等三角形。
在使用RHS法时，我们要注意斜边和锐角的位置，确保它们对应正确。
以上四种方法是解决全等三角形问题时常用的方法，根据具体情况选择合适的方法来辅助推导和证明。
除了这些方法，我们还可以利用全等三角形的性质来简化问题。
例如，当我们需要证明两条线段相等时，可以构造一个全等三角形，利用全等三角形的性质得出结论。
同样地，当我们需要证明两个角相等时，也可以构造一个全等三角形来简化问题。
在解决几何问题时，我们经常会遇到一些特殊的情况，例如等腰三角形、全等三角形的性质等。
在这些情况下，我们可以利用全等三角形的性质来推导出一些结论，进而解决问题。
总结一下，全等三角形作为几何问题中常用的辅助线，可以帮助我们推导和证明一些结论。
在解决几何问题时，我们可以根据题目给出的条件选择合适的方法来构造全等三角形，进而简化问题。
熟练掌握全等三角形的性质和常用方法，可以提高解题效率，解决更加复杂的几何问题。
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
三角形全等中辅助线的常见类型
专题:三角形全等中辅助线的常见类型
一、倍长中线法
1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
2．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，
CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，
求证：AE＝2AD.
3．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，
点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.
二、截长补短法
4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD.
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∠D＝60°，AB＝BC，E，F分别在AD，CD上，
且∠EBF＝60°.求证：EF＝AE＋CF.
三、作平行线构造三角形全等
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB 于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.
四、作垂线构造三角形全等
7．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
8．将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B. (1)如图，当另一条直角边与边CD交于点Q时，线段PB 与PQ之间有怎样的大小关系？试说明你的理由；
(2)若另一条直角边与DC的延长线交于点Q时，上面的结论还成立吗？为什么？。
全等三角形的辅助线的常见添法
全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。
在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。
本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。
二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
在全等三角形的证明中，经常使用到中线。
1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。
2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。
三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。
在证明两个直角三角形相似时常用到高线。
1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。
可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。
2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。
由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。
在证明两个三角形相似时常用到角平分线。
1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形几何证明常用辅助线
全等三角形几何证明常用辅助线
辅助线证明三角形全等
一、辅助线定义
辅助线，又称辅助规则，是专门用来证明几何结论的辅助线，它可以
指向几何结论的前提或结果，以更清晰地证明几何结论。
二、辅助线用法
1.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明角的相等性：用一条
辅助线平分角A，然后将辅助线平移到角B上，如果辅助线可以在角B上
的两点重合，则说明角A和角B是相等的。
2.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明边的相等性：用一条
辅助线平分边AB，然后将辅助线平移到边CD上，如果辅助线可以在边CD
上的两点重合，则说明边AB和边CD是相等的。
3.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明两个三角形的相等性：在三角形ABC中画出一条辅助线，然后将该辅助线平移到三角形CDE中，
如果辅助线可以在三角形CDE中的三个点重合，则说明两个三角形ABC和CDE是相等的。
三、辅助线证明三角形全等的步骤
1.识别出待证明的相关图形，并将其准确地表示在平面上。
2.根据定义，确定三角形全等的前提条件，并假设三角形全等。
3.画出两个三角形之间的辅助线，如果相交点都在两个三角形相交的
边上，证明该辅助线可以同时在两个三角形中存在。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形六种辅助线方法
全等三角形六种辅助线方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在解决与全等三角形相关的问题时，辅助线是一种常用的方法，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
下面将介绍全等三角形的六种辅助线方法。
一、垂直辅助线法垂直辅助线法是指通过某个顶点引一条垂直线与对边相交，从而将三角形分割成两个直角三角形。
利用直角三角形的性质，我们可以更方便地求解各种问题。
二、角平分线法角平分线法是指通过某个顶点引一条角平分线与对边相交，将三角形分割成两个等角的三角形。
利用等角三角形的性质，我们可以更容易地求解各种问题。
三、高线法高线法是指通过某个顶点引一条垂直于底边的线段，将三角形分割成一个直角三角形和一个等腰三角形。
利用这两个三角形的性质，我们可以更快速地解决问题。
四、中线法中线法是指连接三角形的两个顶点和底边中点，将三角形分割成三个相似的三角形。
利用相似三角形的性质，我们可以更高效地解决问题。
五、中垂线法中垂线法是指通过三角形的每条边的中点引一条垂直于对边的线段，将三角形分割成三个直角三角形。
利用直角三角形的性质，我们可以更轻松地解决问题。
六、对称线法对称线法是指通过三角形的某个顶点引一条对称线，将三角形分割成两个全等的三角形。
利用全等三角形的性质，我们可以更直接地解决问题。
通过以上六种辅助线方法，我们可以更灵活地分析和解决与全等三角形相关的问题。
这些方法使得计算更加简便，推理更加直观，提高了问题解决的效率。
同时，这些方法也加深了我们对全等三角形的理解，拓宽了我们的数学思维。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的辅助线方法，以便更好地解决问题。
全等三角形的六种辅助线方法是垂直辅助线法、角平分线法、高线法、中线法、中垂线法和对称线法。
这些方法在解决与全等三角形相关的问题时起到了重要的作用，使我们能够更快速、准确地解决问题。
希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地理解和应用这些方法。
全等三角形常见辅助线
全等三角形常见辅助线作法知识结构图一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（是底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．四．型图（一线三等角）型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用．（1）如图，已知，，，；则，，．（2）型图变化：将向右移动会出现下面两种情况：①如图，已知，，，，，则，；②如图，已知，，，，，则，．题模一中点类全等问题例1.1、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．例1.2、在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例1.3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形______ 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．例1.4、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．（1）如图1，当时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．题模二角平分线类全等问题例2.1、中，AD是的平分线，且．若，则的大小为（）A、40°B、60°C、80°D、100°例2.2、如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F．求证：．例2.3、已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．题模三截长补短类全等问题例3.1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．例3.2、(2013初二上期中人民大学附属中学)如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论例3.3、（1）如图，四边形ABPC中，，，，求证：．（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD内一点，且，求证：．题模四K型图例4.1、如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）连接，求证：．例4.2、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则等于多少度？请说明理由．例4.3、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．随堂练习随练1.1、如图所示，是等腰直角三角形，，是边上的中线，过作的垂线，交于点，交于点，求证：．随练1.2、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AB=4，BD=3，∠B=2∠C，则AC的长为（）A、 6B、 7C、 8D、9随练1.3、如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证：．随练1.4、如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．随练1.5、(2013初二上期末怀柔区)（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．随练1.6、已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．随练1.7、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：随练1.8、如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．随练1.9、在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA=BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．随练1.10、直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC 中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．随练1.11、【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．随练1.12、直线过的顶点，．分别是直线上两点，且．（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若则_______（填“”，“”或“”）；②如图②，若，若使①中的结论任然成立，则与应满足的关系式_______________；（2）如图3，若直线经过的外部，，请探究与三条线段的数量关系，并给予证明．能力拓展拓展1、已知：如图，在中，AD平分，于点D，，若，，求AB的长．拓展2、如图所示，，是的中点，，，求证．拓展3、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?拓展4、已知的顶点C在的平分线OP上，CD交OA于F，CE交OB于G．（1）如图1，若，，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论：__________；（2）如图2，若，，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；（3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件．拓展5、如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．拓展6、如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）；（2）．拓展7、已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__，QE与QF的数量关系是__；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．拓展8、在△ABC，∠BAC为锐角，，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明②如图3，若，求∠BAC的度数．拓展9、在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．拓展10、在□ABCD中，，过点D作，且，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．拓展11、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC中，，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．拓展12、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）拓展13、已知△ABC中，M为BC的中点，直线m 绕点A旋转，过B，M，C 分别作BD⊥m于点D，ME⊥m于点E，CF⊥m于点F．当直线m经过点B时，如图1，可以得到．（1）当直线m不经过B点，旋转到如图2，图3 的位置时，线段BD，ME，CF之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想．图2，猜想：；图3，猜想：．（2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明．拓展14、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线L经过点A，BD⊥直线L，CE⊥直线L，垂足分别为点D、E．证明：①△ABD≌△CAE；②DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．。
全等三角形中的辅助线的作法
全等三角形中的辅助线的作法在《全等三角形》的解题中，在解决一些复杂的全等三角形问题中往往需要构造辅助线，本文将对添加辅助线的一些常用方法进行介绍，通常有连线构全等、截长补短法、倍长中线法、角平分线构全等等四种常见辅助线。
一、连线构全等例1：已知，如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：D C ∠=∠分析：此题是一道易错的全等三角形证明题，很多学生会错误地认为需要证明的是ADO ∆和BCO ∆，但条件明显是不能证明的，所以本题的正确解法是连结AB （或者CD ）构造ADB ∆和BCA ∆全等，再得到D C ∠=∠证明：连结AB在ADB ∆和BCA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===BA AB BD AC BC ADADB ∆∴≌BCA ∆ （SSS ）D C ∠=∠∴练习1：如图，CD AB =，DC BC =，求证：D B ∠=∠.练习2：如图，CD AB //，CD AB =，求证：BC AD =练习3：如图，AB=AC ，BD=CD ，M 、N 分别是BD 、CD 的中点，求证：ANC AMB ∠=∠二、截长补短法截长补短法：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：已知在ABC ∆，B C ∠=∠2，21∠=∠，求证：CD AC AB +=分析：本题证明的是线段的和差问题，可考虑利用截长或补短法。
方法一（截长法）：如图1，在AB 上截取AE=AC ，连结BE ，易证ADE ∆≌ADC ∆，从而得DC DE =，AED C ∠=∠，AC AE =又因为B C ∠=∠2所以得B AED ∠=∠2，又因为BDE B AED ∠+∠=∠所以得BDE B ∠=∠可得DE BE =从而得CD AC AB +=方法二（补短法）：如图2，延长AC 到点E ，使得AE=AB ，易证ADE ∆≌ADB ∆，从而得AE AB =，E B ∠=∠又因为B ACB ∠=∠2所以得E ACB ∠=∠2，又因为E CDE ACB ∠+∠=∠所以得E CDE ∠=∠可得CE CD =从而得CD AC AB +=练习1：如图所示，已知BC AD //，AE 平分DAB ∠，BE 平分ABC ∠，线段CD 经过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：AB BC AD =+图1图2练习2：如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点，若AC 平分BAE ∠，︒=∠90ACE ，猜想线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系，并证明。
全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知ABC中， A 60o，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O , 试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60 ,射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关系？3、如图，AD 丄AB, CB丄AB, DM = CM= a , AD= h , CB= k，/AMD =75 ZBMC=45 °，求AB 的长4、已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD= /FAE求证：BE+DF=AE.B D C连结CD 、BE 相交于点 0 .求证： OA 平分 DOE .6、如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为120的等腰三角形, 以D 为顶点作一个60的MDN ，点M 、N 分别在AB 、AC 上, 求AMN 的周长.7、如图所示，在 ABC 中，AB AC , D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一 点，且 BED 2 CED BAC ，求证 BD 2CD .5、以ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边 ABD 、 ACE ,DFCEE8、 五边形 ABCDE 中，AB =AE , BC +DE 二 CD ,/ABC + ZAED =180 °，求证：AD 平分/CDE二、全等与角度1、如图，在ABC 中, 的度数•3、在正 ABC 内取一点 D ，使DA DB ，在 ABC 外取一点 E ，使 DBE DBC ，且BE BA ，求 BED .BAC 60， AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC2、如图所示，在ABC 中，AC BC ，BC 上，且满足 BAN 50 ，C 20，又M 在AC 上，N 在ABM 60，求 NMB .4、如图所示，在ABC中，BAC BCA 44 , M为ABC内一点，使得MCA 30 , MAC 16，求BMC的度数.5、如图：在ABC 内取一点M，使得MBA 30o, MAB 10o.设ACB 80o, AC BC , 求AMC .6、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ABC外角的平分线交于点N , MD与MN有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？D C参考答案：一、截长补短1、BE CD BC,理由是：在BC上截取BF BE，连结OF ,利用SAS证得BEO也BFO，二1 2 ,A 60，•/BOC190o -2A 120°，•/ DOE 120°，A DOE 180o，/• AEO ADO 180°，•/ 1 3 180°，2 4 180 o，•/12，••- 3 4，利用AAS证得CDO 也CFO，二CD CF ,二BC BF CF2、DM MN.过点M 作MG II BD 交AD 于点G , AG AM GD MB 又•••/ ADM DMA 120°, / DMA / NMB 120°/•Z ADMZ NMB，而/ DGM / MBN 120°,二DGM 也MBN ,/• DM MN •3、过点D作BC的垂线，垂足为E.vZ AMD =75。
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∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF
四、作垂线构造三角形全等 7 ．如图， 已知∠ AOB ＝ 90° ， OM 是∠ AOB 的平分线 ， 将三角尺的直 角顶点P 在射线 OM上滑动，两直角边分别与 OA ，OB交于点 C ，D ， 求
证：PC＝PD.
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，∴∠PEC＝∠PFD＝ 90°.∵OM 是∠AOB 的平分线， ∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°， ∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠ PDO ＝360 °－90 °－ 90°＝180 °，而∠PDO ＋∠PDF ＝ 180 ∠PCE＝∠PDF， °，∴∠PCE＝∠PDF.在△PCE 和△PDF 中，∠PEC＝∠PFD，∴△PCE≌ PE＝PF， △PDF(AAS)，∴PC＝PD
8．将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，一条直角边始终经过点B. (1)如图，当另一条直角边与边CD交于点Q时，线段PB与PQ之间有怎样 的大小关系？试说明你的理由；
(2)若另一条直角边与DC的延长线交于点Q时，上面的结论还成立吗？为
什么？
解： (1)PB ＝ PQ. 理由：过点 P 作 PE⊥BC 于 E ， PF⊥CD 于 F ， ∠ PEB ＝
∠ C ＝∠ NBM ， ∠ ABN ＝∠ ABC ＋∠ C ＝ 180°－∠ BAC ＝∠ EAD. 又 ∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE＝NA，又 ∵AM＝MN，∴DE＝2AM
二、截长补短法
4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∠EBF.在△BMF 和△BEF
MF＝EF，∵MF＝MC＋CF，∴EF＝AE＋CF
三、作平行线构造三角形全等 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点， CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.
证明：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝ ∠ACE.∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE＋∠DCE＝∠ADC＋∠DCE＝ 90°，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD＝ ∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直 角△ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BG∥AC，∴∠GBF＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠DBF，又∵BF＝BF，BG＝BD，∴△GBF≌△DBF(SAS)，
∠ACE，再证△ACM≌△ACE，∴AE＝AM，∴AE＝2AD
3．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，
求证：DE＝2AM.
解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM
＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，
专题课堂(四)
三角形全等中辅助线的常见 类型
一、倍长中线法
1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
解：(1)延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，由SAS可证△ADC≌△EDB， 则AC＝BE，在△ABE中，AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD (2)由(1)可
求证：AC＝AE＋CD.
解：在 AC 上取 AF＝AE，连接 OF.∵AD 平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO， 在△AEO 和△AFO 中，AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AEO≌△ AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF.∵AD，CE 分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠ECA 1 1 1 1 ＋∠DAC＝2∠ACB＋2∠BAC＝2(∠ACB＋∠BAC)＝2(180°－∠B)＝60°，则 ∠AOC＝180°－∠ECA－∠DAC＝120°， ∴∠AOC＝∠DOE＝120°， ∴∠AOE ＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF.在△FOC 与△ DOC 中， ∠COF＝∠COD， CO＝CO， ∠FCO＝∠DCO， ∴△FOC≌△DOC(ASA)， ∴DC＝FC.∵AC＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC，
E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°.求证：EF＝AE＋CF.
证 明 ： 延 长 DC 至 M ， 使 CM ＝ AE. 在 △ ABE 和 △ CBM 中 ， AE＝CM， ∴BE＝BM， ∠ABE＝∠CBM. ∠A＝∠BCM＝90°，∴△ABE≌△CBM， AB＝CB， ∵∠D＝60°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC＝360°－60°－90°×2＝120 °.∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠CBF＝∠ABC－∠EBF＝120°－60°＝ 60°，∴∠MBF＝∠MCB＋∠CBF＝∠ABE＋∠CBF＝60°，∴∠MBF＝ BM＝BE， 中，∠MBF＝∠EBF，∴△BMF≌△BEF，∴ BF＝BF，
知 ， BE ＝ AC ＝ 3 ， 则 在 △ ABE 中 ， 5 － 3<AE<5 ＋ 3 ， 即 2<AE<8 ， ∴1<AD<4
2 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 中 线 ， 点 E 在 BC 的 延 长 线 上 ， CE ＝ AB ， ∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD. 解：延长AD至M，使DM＝AD，由SAS可证△ABD≌△MCD，∴∠B＝ ∠ MCD ， ∵∠ BAC ＝∠ BCA ， ∠ ACE ＝∠ B ＋∠ BAC ， ∴∠ ACM ＝
∠PFQ＝90°，又∵AC为对角线，∴PE＝PF.在四边形PBCQ中，∠BPQ
＝∠ BCQ ＝ 90° ， ∴∠ PBC ＋∠ PQC ＝ 180° ， 又∵PQF ， ∴△PBE≌△PQF ， ∴ PB ＝ PQ