初中数学——著名最值问题：古堡朝圣问题
从阿基米德、欧拉,到李明波
从阿基米德、欧拉，到李明波郝锡鹏（2017年1月）提要：介绍三位大数学家，在研究三角形面积和四面体体积方面的历史传承和现代进展。
1、三角形面积公式阿基米德（Archimedes ，古希腊，公元前287年—公元前212年）用三边表三角形面积的公式，人们都知道叫海伦公式，其实该公式属于阿基米德[1]：))()((c p b p a p p S ---=))()()((41c b a c b a c b a c b a -++-++-++= （1） 其中，2/)(c b a p ++=。
2200多年后，李明波明确提出比阿基米德公式更简洁而实用的三角形面积公式[2]、[3]：)(2)(414442222c b a c b a S ++-++= （2） 例如，当2=a ，10=b ，20=c 时，用李明波的公式（2）会明确计算出三角形面积1=S ，而若用阿基米德公式（1）去计算，麻烦可就大了。
2、四面体体积公式欧拉（Leonhard Euler ，俄国，1707年4月15日～1783年9月18日）欧拉受阿基米德工作的启发[4]，完成了用6条棱表四面体体积的工作，欧拉给出了公式：2212121212)()12(a a c b a V -+= 221212121)(b b c a b -++ 221212121)(c c b a c -++))((222221c a b a a --- ))((222221c b a b b --- ))((222221b c a c c ---212121c b a - (3)200多年后，李明波给出用6棱表四面体体积的公式是： ))(()12(2122122122122c c b b a a a a V ++-+=))((212212212212c c b b a a b b +-++ ))((212212212212c c b b a a c c -+++ )(212121222122122122c b a c b a c b a c b a +++- （4）由欧拉公式（3）尾部212121c b a 是图1四面体底面三角形三边之积的平方可知，该公式与四面体的底面选择有关，如法炮制会写出4种不同的公式，所以形式凌乱而不统一。
趣味数学七桥问题
A
C
J
C
D H G F E D
有N个奇点的图形，要N÷2笔才能画成。
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理
小练习
画一画
拓展
透过现象看本质
• 一列火车在穿过一座横跨山谷的大桥时， 火车上的一个旅客从窗口丢下一块石头， 请问，这块石头的落点会在哪里？ 正确答案是——呈抛物线坠落，除了重 力外，石头同时还有与火车同向的初始速 度需要考虑。
在心理地图里面找产前抑郁症相关的问题聪明人不会第一反应就把知识体系和上面提到的整体表征直接定位到气象学去相应的他们会直接定位到心理学甚至能直接精确定位到临床心理学进而增加解决问题的效率
哥 尼斯堡七桥问题
让微积分成长成人 全才数学家 多产数学家 莱昂哈德·欧拉（1707年4月 15日～1783年9月18日）， 瑞士数学家、自然科学家。。
思路清晰，善抓关键点！
根据王珞丹的微博，推测其住址
第一步，信息获取
• 第一，楼体外观和窗框难擦干净的痕迹，说明这是 已经建成一段时间的西式小区。 • 第二，王珞丹家在顶层。 • 第三，小区内有三个在一条直线上大小一样的正方 形花坛。
第二步，区域筛选
• 王珞丹微博1：“四环堵死了，联排迟到了。”——— 她家 在四环外。 • 王珞丹微博2：“演出这么多年，还没有在北京中心地带买 一套房子。”——— 说明她家不在市中心。 • 王珞丹微博3：“爸爸送我和小6去给《无人驾驶》(影评)配 音，光顾着看微博留言，忘记给老爸指路，车都开到中关 村了！(爸爸开始唠叨我说开导航吧)”——— 她家不在中关 村及进城路过中关村的地方。 • 王珞丹微博4：“患了严重的痢疾，20分钟后赶到了附近的 一所小医院。”——— 她家周边无大医院。 • 剩下区域中排除开发晚、多为新建高层小区的南城区域。 分析排除至此，只剩下一个区域被锁定。
第七讲 哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡风景秀美，碧波荡漾的普累 格尔河穿过该城；河中心有一座美丽的小 岛，岛上商业繁荣，普累格尔河及其两条 支流把包含岛在内的全城分为四个区域， 有七座桥横跨普累格尔河及其支流，连接 了这四个区域。这一别致的桥群，古往今 来，吸引着众多的游人。
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当地的居民曾经热衷于下面一个有趣 的问题：能不能找到一条路线了，使得散 步时不重复地走遍这七座桥。
寻找满意路线的问题引起了许多人的 兴趣，但结果却没有一个人能够做到。不 是少走了一座桥，就是重复走了一座桥。
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多次尝试失败后，有人写信求教于当 时的数学家欧拉。欧拉在亲自观察了哥尼 斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能 成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就 无解呢？这位年轻的瑞士数学家独具慧眼， 看出了这个似乎是趣味几何问题的本质。
有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”。
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三、拓扑学
平面上的欧拉公式：V+F-E=1。 空间中的欧拉公式：V+F-E=2。 利用多面体的欧拉公式可以证明：正 多面体有且只有五种：正四面体、立方体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。
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本讲结束
谢谢！
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笔不重复的画出过此七条线的问题了。
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理论上需要解决的问题是： 找到“一个图形是一笔画” 的充分必要条件，并对是一 笔画的图形给出一笔画的方 法。
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欧拉把图形上的点分成两类：如果以 某点为端点的线有偶数条，就称此点为偶 结点，如果以某点为端点的线有奇数条， 就称此点为奇结点。
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要想不重复地一笔画出某图形，除去 起始点和终止点两个点外，其余每个点， 如果画进去一条线，就一定要画出来一条 线，从而都必须是偶结点。
初中数学最值问题01专题-将军饮马模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
有趣味的逻辑推理题目
有趣味的逻辑推理题目1、洞里的球一个乒乓球掉在了一个很深很紧的管里-大概有30厘米长，管子埋在了水泥地里，只有1厘米露出地上面，所以你不可以移动它。
管子只是比乒乓球宽那么一点点，所以你不能把手伸进去。
你怎样才能把它完好无损地拿出来呢？2、在电梯里的男人有个男人住在十楼。
每天他会乘电梯下到大堂，然后离开。
晚上，他会乘电梯上楼，如果有人在电梯里-或者那天下雨，他会直接坐到他的那层。
否则，他会坐到第七层，然后他会走三层到他的公寓。
你能解释为什么吗？（这个可能是最有名的一条从侧面入手的逻辑推理题。
）3、球你怎样才能把一个球尽量大力地抛出去，然后球又会折回来，甚至它没有碰到任何东西，也没有任何牵制物，也没有人接到再抛回来。
4、磁铁这是一个在美国科学杂志上发表的逻辑推理题。
你在一个除了两根铁针就没有其它金属的房间里。
只有一根铁针是磁铁。
你怎样鉴定呢？5、城堡有一座正方形的中世纪的城堡坐落在一个正方形的岛上，被包围了。
岛的周围有10米宽的护城河。
但是征服者只能造出9.5米宽的脚桥。
虽然如此，一个智者还是想出了怎样过那座护城河。
你知道他的主意吗？（对面有一个地方可以搭桥不对着陡峭的城墙。
护城河是方角的-那里有14.1米宽。
）6、生物学让我们来看看一些原始的有机体分解，每一分钟都分裂成同原来相同体积的两部分。
在12点的时候，容器里是满的，那在什么时候容器是一半满的？7、酋长的遗产一个阿拉伯酋长要求他的两个儿子比骑骆驼到远方的城市去，看看谁骑得慢，谁就可以继承他的遗产。
两兄弟在徘徊了多天后，决定去问智者的意见。
当听完智者的一番建议后，他们跳上了骆驼，能多快有多快地跑去哪个城市了。
究竟智者说了些什么？8、哲学家的钟这是一个很古老的逻辑推理题。
一个哲学家有一个钟，但是他老是忘了上发条。
他没有其他钟表了，或者收音机，电视，电话或者其它东西可以告诉他时间。
所以每次当他的钟停了，他就会去他的朋友那里（从一家到另一家只是平路而已），住在他朋友家一个晚上，然后他回家就知道正确的时间了。
2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析
重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。
1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。
现代数学三大难题之二的最新进展
现代数学三大难题之二的最新进展郝锡鹏提要 2008年10月2日，李明波对现代数学三大难题之二的研究取得重大进展，他证明：当x 、y 、z 中有两个是正整数时，不定方程 z y x z y x =+ 无正代数数解。
一 现代数学三大难题之二的历史法国律师费马（Fermat ，1601~1665）的“大定理”，是近代数学三大难题之一，该命题于1995年已被英国数学家A.Wiles 证明。
中国建筑工程师李明波，在紧接其后的1997年辽宁省数学年会上，公开了自己的系列数论猜想，其一便是他在1995年提出的： 不定方程 z y x z y x =+ 无正代数数解。
从外表上看，李明波方程z y x z y x =+与费马方程 n n n z y x =+，2 n 类似，但是，仔细推敲起来却大相径庭。
李明波怕数学家们没题可作，就擅自将该猜想提名为“现代数学三大难题之二”，以便让他们小歇再战。
李明波早已证明的一个结果是：定理1 不定方程 z y x z y x =+ 无正整数解。
二 李明波的最新结果李明波刚刚证明了如下两个定理：定理2 设w 为正整数，若方程 w zz = 无正整数解，那么z 是超越数。
证明 当w 为正整数时，设方程 w z z = 无正整数解。
假设z 是有理数，并设baz =，其中a 、b 为正整数且1),(=b a 。
因w b a b a=)(，故b a w ba =)(，ab a b w a =，a b |a a ，b |a ，得1=b ，故w a a =，从而知方程w z z =有解a z =，但此解与前提条件 w z z = 无正整数解相矛盾，所以z 不是有理数，故必为无理数。
再假设z 为无理代数数，由著名的盖尔丰德（A.O.Γелъфонд,1906-1968）定理可知，w z z =该为超越数，但这与w 是正整数矛盾。
所以z 不是无理代数数，故必为超越数。
证毕。
定理3 当x 、y 、z 中有两个是正整数时，不定方程z y x z y x =+ 无正代数数解。
诗歌中的数学家李明波
诗歌中的数学家李明波（一）孙淑艳提要介绍诗人笔下的李明波，和李明波笔下的诗人。
李明波（含笑的波浪）神算洛阳牡丹古有运筹诸葛，今有神算明波；景润罗庚又一秀，环宇能出几个？年少才华横溢，不惑知识渊博；代数几何通四海，天下第一帅哥！李明波（含笑的波浪）神笔洛阳牡丹帅哥文采高，没人比得了；神笔点史标，李杜也折腰。
洛阳牡丹李明波洛阳牡丹香，美名扬四方；姑娘提起笔，没谁敢来装。
赞好友李明波秋叶数学王国任尔游含笑波浪震神州高才俊子将你赞后辈学用待封侯秋叶李明波秋叶好才华妙笔生百花高山长流水呼啸写天涯波浪赞一翼璐顺风波浪才华翩，笑傲网屏前。
数学摘明珠，诗词震文坛。
诚交天下友，自律胸怀宽。
高雅幽兰韵，松梅君子贤。
波浪赞二翼璐顺风才子李明波，时光不蹉跎。
数学王冠戴，诗赋精还多。
世上无人比，红尘朋友和。
风雅皆赞叹，潇洒著学说。
翼璐顺风李明波翼展诗坛颠璐美问世间顺天留美名风过赏平川波浪赞才子李明波，确实学识多；难得这奇才，样样都渊博。
独奏琴箫李明波南国工程哥，闲来作诗歌；文武两头叫，不服马上说。
诗赠“含笑的波浪”香橙子神算李明波名人学识博诗文别有味风趣笑声多香橙子李明波南国出香橙佛在心中恒施善红尘事不服怎能行不老松赞李明波大事小事都别说不老松前全哆嗦哥爱发妻用一世小三再好也不摸不老松回复李明波不老松大事小事尽管说知己不怕说话多四海朋友千千万为何偏爱李明波李明波依@之恋李工字明波，会的实在多；头衔工程师，闲暇写诗歌；字画也内行，栩栩笔如活；才子形容他，一点不为过。
春常在李明波依恋心儿醉青春永不褪为啥不见老孙子已六岁诗赠李明波花落伤情处明眸远视天地宽胸怀壮志好儿男运筹帷幄雄心展才华横溢建家园花伤李明波春去飘余香花落底蕴藏但问人间事悲欢几多伤李明波 简介：男，出生于1963年12月14日，辽宁鞍山甘泉人，建筑专业高级工程师。
1980年9月1在中国第三冶金建设公司参加工作做力工，1982年9月1日考入鞍钢工学院工业与民用建筑系，毕业后一直从事建筑行业的技术工作，包括施工方、甲方、监理、设计。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是数学史上具有重要意义的问题之一，它以其简单的描述和深刻的解决方法而闻名于世。
在这篇文章中，我将从探讨欧拉的哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义开始，逐步深入讨论其解答过程和所带来的启示，从而帮助您更全面、深刻和灵活地理解这一经典问题。
1. 哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义哥尼斯城堡七桥问题最早出现在康托尔夫的信末提及的题，它涉及到了一座连接着市区两岸的岛屿与河岸的七座桥，问题是：是否存在一条路径，可以恰好经过每座桥一次且只一次？这个问题看似简单，实质上却涉及了数学中的图论问题，是一道离散数学的经典问题。
通过解答这个问题，我们不仅能够深入理解图论的基本概念，还能够从中感受到数学家们的奇妙思维和深刻见解。
2. 哥尼斯城堡七桥问题的解答过程让我们来看看欧拉是如何解答这一问题的。
欧拉通过巧妙的建模与抽象，将问题转化为了图论中的一个基本问题——欧拉回路的存在性问题。
他发现，只有当每个顶点的度数都是偶数时，才可能存在欧拉回路。
而对于哥尼斯城堡的七座桥来说，其中有两座桥的度数是奇数，因此不可能存在符合要求的路径。
这一广义化的解答方法，为后来图论领域的发展奠定了基础，也引发了人们对数学方法和思维方式的深刻思考。
3. 哥尼斯城堡七桥问题的启示从欧拉的解答过程中，我们不仅能够感受到他对数学方法的精妙应用，还能从中领悟到解决问题的普适性原则。
欧拉的解决方法不依赖于特定的桥的数量和位置，而是基于对整个图结构的抽象分析，这种抽象的思维方式为解决其他复杂问题提供了有益的启示。
欧拉的解答方法还向我们展示了数学家们的严谨和求真精神，这种精神对于我们解决其他领域的问题同样具有深远的影响。
4. 个人观点和理解对于欧拉的哥尼斯城堡七桥问题，我深感敬佩。
欧拉通过对具体问题的抽象分析，不仅解决了问题本身，还奠定了图论领域的基础，为后人提供了解决其他复杂问题的方法和思路。
在我看来，欧拉的解答方法不仅展现了数学的美感，更启示我们在解决其他问题时应该注重抽象思维和普适性原则，追求真理的精神。
连续统假设的终结
连续统假设的终结————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ连续统假设的终结李明波(中国辽宁鞍山)提要：在以康托尔（Ｃaｎtｏr）等数学家建立的集合论基础理论前提下，证明了实数集合是可数集合,并指出了康托尔证明实数集合不可数的错误所在。
数学史上的连续统假设，其实是个根本不该存在的问题。
一、实数集合可数性的证明在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[1，２,３］前提下，本文首先概括出所需的4个公设:1、实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。
2、两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系;能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。
3、数轴上的所有点和全体实数一一对应;所有实数都可看成10进制数；无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；有限小数也可看成是后面有无穷多个0 或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。
4、数轴上全部10进制实数的生成过程如下：在规定长度单位1和数轴原点后,从数轴原点开始在数轴正向（负向同理)作出间距为１的刻度点0，1,2,3,…，n,… ;将每段长度为1的线段进行10等分,加密到间距为0.1的刻度点;再将每段长度为0.1的线段进行10等分,加密到间距为0.０１的刻度点；…;将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点;以此循环往复,次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的刻度点位置，便与全体非负10进制实数一一对应。
证明:第４条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后３位小数、…、小数点后m位小数、…,以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数,从0起趋于无穷)，写成数阵如下: 0列1列 2列 3列…，n 列…0行:0, 1/10^０, 2／10＾0，３/10^0, …, n／10^0,…1行： 0， 1/1０^１, 2/10^1, ３/１0＾1，…, ｎ／10^１,…2行：０, 1/1０＾2，2/10＾２， 3/１0^2，…, n/１0^2，…３行： 0, １/１0^3，２/10^３, 3／10＾3，…，ｎ/1０＾３，………………………m行： 0, 1／10^m，2/10^m, 3／10^ｍ，…, n/10＾ｍ，………………………例如:0行中有０,1行中有０.3和0.４，2行中有０.33和０．34,３行中有0.３33和０.3３4,…,所以该数阵0、1、2、3、…行中依次含有有限小数数列｛０, 0.３，0.３3, 0.33３,… }和{ 0, 0．4, 0.34，0.３3４，…｝中的各个项,而数列｛０，0.3, ０.３3, 0.33３, …}和｛ 0， 0.４, 0.34, 0.334，…｝的极限,都是同一无限小数0.３３3…=1/3。
初中数学模型、数学定理、著名数学问题(共43个)
数学高手解题定理库......................................................................................................................................3 定理 1 共边模型.....................................................................................................................................3 定理 2 鸟头模型...................................................................................................................................10 定理 3 蝴蝶模型...................................................................................................................................17 定理 4 燕尾模型...................................................................................................................................25 定理 5 沙漏模型........................................பைடு நூலகம்.....................
基本不等式求最值问题(精选)PPT文档57页
பைடு நூலகம் 谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
基本不等式求最值问题（精选）
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
古堡朝圣问题的思考
求圆上一点P同圆外两点A，B所成线段长度和的最小值。
可以发现基本就是上课给出的例题。下面先给出结论。
当圆上点P满足OP延长线平分∠APB（即右图中α等于βห้องสมุดไป่ตู้时，|AP|+|PB|最小。
以下给出两种证明：
1.（初中做法）如左图。
在圆上另任取一点P'，关于过P的切线作A的对称点A'，则α=β=γ，则A'PB共线，|AP'|+|BP'|=|A'F|+|FP'|+|P'B|>|A'P|+|PB|=|AP|+|PB|得证。
古堡朝圣问题的思考
by开哥（2020.2.19）
【从一道网课例题讲起】
已知点B（4，0），动点C在x2+y2=4上，动点Q在x2=8(y-2)上，Q在x轴上的射影为E，求：
（1）1/2|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
（2）|BC|+|CQ|+|QE|的最小值
首先很自然地由抛物线定义把|QE|转化为|QF|，第一问是典型的的阿氏圆问题（作业和上课例题大多都是，本文不详细展开），由|OC|2=|OD|·|OB|找到点D（1，0），此时恰有|CD|=1/2|BC|，两点之间线段最短，则|DF|即为最小值 。
2.（高中做法）
同例题，考虑以A、B为焦点的椭圆与圆相切时椭圆最小，长轴长最小，两线段和最小。如右图。
结合椭圆的光学性质（从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线汇聚于椭圆的另一个焦点上），用数学语言表述为：椭圆上任一点切线的法线平分该点与两焦点所成角。故可得此时α=β。
【背景探源】
第二十三讲 平面几何的定值与最值问题(含解答)-
第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。