探究性案例分析

4
2
n (5i 1) n(5n 6) 超出了 n(6n 7)
i 1
2
2
4
介绍编题思路：
例2、n N *,求证: 110 219
a
3a b 4
ab 2
n(9n 1) n(6n 7) . 4
b
设a,b R*,
ab
3a b 4
b 9a
取a n , b 9n 1, 则 ab n(9n 1)
n(9n 1) an
Sn
n(6n 7) 4
n 2时，
an Sn Sn1
3n 1 4
n 1时， 10 13 ,也成立。
4
换个角度看看
例2、n N *,求证: 110 219 n(9n 1) n(6n 7) .
4
n(9n 1) 9n2 n
(3n 1)2 1 3n 1
1. 设M (a, ), A(x1, x1 b), B(x2, x2 b)
则kMA kMB ?
2.
y xb
y
2
4 x
x1 x1x2
x2 ? ?
3. 把(2)的结果代入得 kMA kMB ?
( 2)b 2 2a a
kMA kMB 2 b2 2ab 4a a2
2009浙江省调测题回顾
2
(2k
1 3)(2k
1)
1( 1 2 2k 3
1 )(k 2k 1
2)
n
1 5 (n N)
k1 (2k 1)2 3
1 4. (2k 1)2
4k 2
1 4k
1
1 4k 2 4k
1[ 1 4 k 1
1 ](k k
2)
n k 1
1 (2k 1)2
5 (n N ) 4
n
5.
k 1
1 化归为 (2k )2
例1： 已知抛物线y2 4x,设动直线y x b 与抛物线相交于A, B两点， 且这两点位于直线l : y 2两测。 问在直线l上是否存在与b的取
值无关的定点M ,使得AMB总被直线l平分?若
存在， 求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
kMA
kMB
2
( 2)b 2 2a a
b2 2ab 4a a2
日本数学家米山国藏说：学习的数学知识， 若今后不再直接从事数学工作，会很快忘掉， 然后不管从事什么工作，在探究数学的过程 中所领会的数学精神、数学思想方法、推理 方式、甚至经历的挫折，都会随时随地地发 生作用，使人终受益终身。
二、案例选讲
案例一： 不等式证明课堂节选
例1、n N*,求证: 1 2 23 n(n 1) n(n 2) .
6 36
6
比3n 1 更强 4
回头一望
例1、n N*,求证: 1 2 23 n(n 1) n(n 2) .
2
n(n 1) n2 n (n 1 )2 1 n 1
24
2
如果从纯解题的角度来说，当例2应用基 本不等式失败以后，直接讲配方法或数学归法 即可.但从以上片段学生经历的波折、得到的情 感体验同样是十分可贵的.
案例二： 从一次听课中想到的
例： 已知an n(n 1),bn (n 1)2。
n
求证：
1 5.
k1 ak bk 12
(08Leabharlann Baidu宁卷）
分析： 1
1
1 1 (1 1 )
an bn (n 1)(2n 1) 2n(n 1) 2 n n 1
n
1 1 1 (1 1 ) 5 1
5
k1 ak bk 6 2 2 n 1 12 2(n 1) 12
1 4
n k 1
1 k2
案例三： 解析几何中的探究型定值问题教学设计
讲课背景
探究在什么条件下？才能使某个对象为定 值.解析几何中的这类探究型定值问题，由于条 件与定值均需探究，对分析问题和解决问题的能 力提出了更高的要求．同时培养探究性思维也是 新课程的核心理念之一，由此解析几何中的探究 型定值问题，成为近几年高考数学试卷中的新宠 儿．
3a b 3n 1
4
4
3(1 2 n)
,
n
n k 1
k(9k 1) 3n(n 1)
n
k 1
n
(3k 1) 4
n(6n 7)
4
2
4
4
破题策略
例2、n N *,求证: 110 219 n(9n 1) n(6n 7) .
4
n(9n 1) 3n 1 易证，
4
但解题者要识破用此结论证此题则难！
(2 2)b 4 2a 2a 0
改编1：已知抛物线y2 4x,设动直线y x b与
抛物线相交于A, B两点， 问是否存在与b的取值
无关的定点M , 使得kMA kMB 0恒成立?若存在，
求出所有点M的坐标; 若不存在, 说明理由.
y
A
M
x
( 2)b 2 2a a
一、开场白
数学大师高斯一生发现了许多著名的定理和 公式，但很少把这些定理和公式的发现发展过程 呈现给后人。所以人们这样形容高斯：他就像一 只狡猾的狐狸，在穿越沙漠时，用尾巴把足迹扫 得一干二净，使猎手找不到其行踪。
美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾 讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说 只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八 分之七得让读者自己去体会揣摩。小说的表象后 面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背 景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这 些材料。
2
证明: n(n 1) n (n 1) n 1
2
2
左边 (1 1) (2 1) (n 1)
2
2
2
n(n 1) n n(n 2) 22 2
引申碰到了问题
例2、n N *,求证: 110 219 n(9n 1) n(6n 7) .
4
n(9n 1) n (9n 1) 5n 1
1 与 1 均能拆项求和 ， 但前者更妥 。
n2 2n n(n 1)
常见的放大
1.
1 k2
(k
1 1)k
1 k 1
1 k
(k
2)
n k 1
1 k2
2(n N ).
1 1 11 1
2. k 2
k2
1
( 2k
1
k
)(k 1
2)
n k 1
1 k2
7 (n N ). 4
3.
(2k
1
1)
其实
1
1 没有把问题的本质讲透 ，
(n 1)(2n 1) 2n(n 1)
讲到位 。
1
1
(n 1)(2n 1) 2n2 3n 1
1 2n2
3n
1 2n2
2n
n2
1 3n
1 与 1 均能拆项求和， 但前者更妥。
2n2 2n n2 3n
1 (n 1)2
n2
1 2n
1
1 n2 2n
1 n(n 1)