浙江数学专升本

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分） 1．函数()2l g 1-=x y 的定义域是______________________。

2．设xy 3sin 5=，则_________________________________=dx dy。

3．极限_________________________1lim102=+⎰∞→dx x x n n 。

4．积分⎰=+_______________________________sin 1cot dx x x。

5．设,1111xxy -++=则()_______________________5=y 。

6．积分________________________________sin sin 097=-⎰πdx x x 。

7．设()yx ey x u 32sin ++-=，则________________________=du 。

8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解________________________。

二．选择题：（本题共有4个小题，每一个小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 132 11≥<x x ，则1=x 是()x f 的 【 】。

().A 连续点， ().B 跳跃间断点， ().C 无穷间断点， ().D 振荡间断点。

2. 下列结论中正确的是 【 】。

().A 若1lim1=+∞→nn n a a ，则n n a ∞→lim 存在，().B 若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 11==∞→+∞→+∞→n n n n nn n a a a a ， ().C 若A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，则B b n n A a n =∞→)(lim ，().D 若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。

3．设()⎰=xdt ttx 0sin α，()()⎰+=x t dt t x sin 011β，则当0→x 时，()x α是()x β的 【 】。

().A 高阶无穷小， ().B 等价无穷小， ().C 同阶但非等价无穷小， ().D 低阶无穷小。

4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧==tty t tx ln ln ，则=→dx dy e x lim 【 】。

().A 2e ， ().B 21e， ().C 2e - ， ().D 21e -。

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写出答案的不给分，本题共10个小题，每小题7分，共70分）1．设xx y 42ln 1cos ln+=，求dxdy 。

2．由方程22ln arctan y x x y +=所确定的y 是x 的函数，求dxdy 。

3．计算极限xxx cos 1lim 0-+→。

4．计算积分xdx ex cos 2sin 3⎰+。

5．计算积分()⎰+dx e xe x x21。

6．计算积分()⎰+4221tan πdx x e x 。

7．求经过点()1,1,1且平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线方程。

----------------------------------------------------------------8．计算积分⎰⎰-Ddxdy x y ，其中222:a y x D ≤+。

9．任给有理数a ，函数()x f 满足()()10+-=⎰xdt t a f x f ，求()x f10．将函数()xx x f --=31在点10=x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。

四．综合题： （本题共3小题，共20分）1．（本题10分）设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形的面积为1S ，直线1,==x ax y与抛物线2x y =所围成的面积为2S ，当1<a 时，，试确定a 的值，使得21S S S +=最小。

2．（本题6分）证明：()()()⎰⎰⎰-=10210][2dx x f x x dx dy y f x x3．（本题4分）当π<<x 0时，求证πxx >2sin。

《高等数学（一）》答案 一．填空题： 1．()()∞+⋃.33,2 2．5ln 5cos sin 33sin 2'xx x y =3．0 4．C x x++sin 1sin ln5．()()651!52x y-⨯=6．94 7．()()()()dy e y x dx e y x du y x y x 3332cos 2cos 2+++--++-= 8．()C y y x =++222ln二．选择题：1。

A ， 2。

D ， 3。

C ， 4。

D 。

三．计算题：1．解。

()x x y 4ln 1ln 21cos ln 2+-= ()xx x x x x x x y 4343'ln 1ln 2tan 2ln 11ln 421tan 2+--=+⋅--= 2。

解：方程两边对x 求导数，得''22'22'222'222222211yy x y xy y x yy x y x y xy y x y x x y xy x y +=-⇒++=+-⇒++=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+ ()yx yx y y x y y x 2222''-+=⇒+=-⇒。

3．解:令x t =，212sin lim cos 1lim cos 1lim 2==-=-+++→→→t t t t x x o t o t x 4．解：原式＝()⎰+=+++C e x d e x x 2sin 32sin 3312sin 3315．解：()⎰+dx e xe x x21＝()⎰⎰⎰+++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x xx x x 111111)1(2＝()()()C e x e xC e e x e e d e x x x x x x x x+++-+-=++-+-=++-+----⎰1ln 11ln 1111 6．解：()⎰+4221tan πdx x e x ＝()=+=+⎰⎰⎰42442222tan 2sec tan 2secπππxdx e xdx e dx x x ex xx＝＝24024242402tan tan 2tan 2tan πππππe x e xdx e xdx e xexxxx==+-⎰⎰7．解：平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线的方向向量应是→→→→→→→-+-=----=k j i kj iS 37521312所求直线方程为317111--=-=--z y x 8. 解：ay x D dxdy x y I D222:≤+-=⎰⎰令ay x y x 2222sin ,cos ≤=+==ρθρθρ()()()()()[]aaa ad d d d d I a 334542454034024545432203242221123sin cos cos sin cos sin 3sin cos cos sin )sin (cos 3sin cos =+++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰πππππππππππθθθθθθθθθθθθθθθρθθθρ9．解：原方程两边对x 求导数得()()()()()()()()()()()ia f f f x x f x f x f x f x a a f x a f x f x a f x f ±==+='===+''∴-=---=-'-=''-='λλ即对应的特征方程为方程由得由原方程令满足01)2(0)1(100)2(0)()()1(2()()()()()()()xaax x f aac a c a a f c f x c x x f x c x x f c f xc x c x f sin sin 1cos cos sin 1cos sin cos 0cos sin sin cos 110sin cos )2(22222121-+=∴-=∴+==='+-='+===+=∴即得有通解10．解：()()()()31 12121212121111211211100<<-<-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=+∞=∞=∑∑x x x x x x x x x x f n n n n即收敛区间为四、综合题： 1．解：()()()()()()()()()()()()()()6222121S 1 3122312262622-2 310S 0,0.0 0212312623132 ),()0,0( 0 62221 10 02210 21312323132 S S ),((0,0) 10 min min 2333210202122min 23333321202122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==<∴<+=+===≤≤<--='+--=-++-=-+-=+===≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<∴>=''=='-='+-=---+-=-+-=+===<<⎰⎰⎰⎰S S a a S a S S a a a S a a S a a a a a dxax x dx x ax S S S a a x y ax y a S S a a a S a a S a a S a a a a a a a axx dx x ax S a a x y ax y a a a a 时取到的最小值在时在又的最小值为时故在时单调减小在和的交点坐标是与时当时在令和的交点坐标是与时当2．解法一：用二重积分交换积分次序即可证得。

()[]()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤⎩⎨⎧≤≤≤≤=dxx f x x dy y f y y dy dx y f y yx x x y dx dy y f I y y x x 2102101022102210y 10x 积分区域 解法二：用一元函数分部积分法可证得()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()dxx f x x dx dy y f dx x f x dv v f v vdv v vf dx x f x vdvdx v x x v dx x f x du u f u du uu uf dx x f x du udx u x x u dx x f x dx x f x x f x x f x dxx xf x f x x dyy f xddyy f x dx dy y f xxx u x xxxx x2101021021011211010221010 10 21022102210210101012222221212 , , 212221 212212221-=∴==⋅======⋅====-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→令第二个积分令第一个积分从从3证明：令()()()()()()()()πππππππx x x x x f x f x f x f xx x x x x x x x x x x x f xxx f >><<=>∴<'>><<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='-=2sin 12sin0 ,,00 ,22tan ,02cos , 0 2tan 22cos 2sin2cos 212sin 22即即内单调减少在从而时当。