人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.2-2.2.3独立重复试验与二项分布Word版含解析

两种大树移栽的成活率分别为 56和45，且各棵大树是否成活互不影响，
求移栽的 4 棵大树中．
(1)至少有 1 棵成活的概率；
(2)两种大树各成活 1 棵的概率．
解：设 Ak 表示第 k 棵甲种大树成活， k＝1，2，Bl 表示第 l 棵乙种
大树成活， l＝1，2，
5 则 A1， A2， B1， B2 相互独立，且 P(A1)＝P(A2)＝ 6， P(B1)＝ P(B2) ＝45.
A． 1－ pk
B． (1－ p)kpn－k
C． 1－ (1－ p) k
D
．
C
k n
(1－
p)
kpn
－k
—
—
解析：A 出现 1 次的概率为 1－p，由二项分布概率公式可得 A 出
现 k 次的概率为
C
k n
(1－
p)
kpn－
k
.
答案： D
4．若 X～ B(10，0.8)，则 P(X＝8)等于 ( )
A． C810×0.88× 0.22
160
20
4
1
P 729 243 243 729 243 243 729
B 级 能力提升
1．在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大
于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取
值范围是 ( )
A． 0.4， 1)
B．(0， 0.4]
C． 0.6， 1)
解： 依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红
灯的概率都是 13，且每次试验结果都是相互独立的，所以
1 X～B 6，3 .
故
P(X＝ k)＝ Ck6
1 3
k
1 1－ 3
6－ k
＝ Ck6
1 3
k
2 3
6－k
，k＝0，1，2，…， 6.
因此所求 X 的分布列为：
X0
1
2
3
4
5
6
64
64
80
(2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；
若比赛结果为 3∶2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分．求乙队得分 X 的
分布列．
解： (1)记“甲队以 3∶0 胜利 ”为事件 A1，“甲队以 3∶1 胜利 ”
为事件 A2，“甲队以 3∶2 胜利 ”为事件 A3.
由题意，各局比赛结果相互独立，
3
2 故 P(A1)＝ 3
＝ 287，
P(A2)＝ C23
2 3
2
2 1－ 3
28 ×3＝ 27，
P(A3)＝ C24
2 3
2
2 1－ 3
2
14 × 2＝27.
所以，甲队以
3∶0 胜利、以
3∶ 1 胜利的概率都为
8 27.
以
3∶2 胜利的概率为
4 27.
(2)设“乙队以 3∶2 胜利 ”为事件 A4，
1 2.
其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率是 ________．
解析： 设事件 A 表示 “甲选做第 14 题”，事件 B 表示 “乙选做
——
第 14 题”，则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为 “AB＋ A B ”，
且事件 A，B 相互独立．
所以
—
—
P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P( A
A． 0.648
B． 0.432
C． 0.36
D ． 0.312
解析：根据独立重复试验公式得， 该同学通过测试的概率为 C230.62
×0.4＋ 0.63＝ 0.648.
答案： A
2．某电子管正品率为 34，次品率为 14，现对该批电子管进行测试，
设第 ξ次首次测到正品，则 P(ξ＝3)＝( )
A
．
—
)P( B
)＝ 12×12＋
1 1－2
1 1－2 ＝
1 2.
答案：
1 2
3．甲、乙两支排球队进行比赛， 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，
比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 12外，其余每局比赛甲队获
胜的概率都是
2 3.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以 3∶0，3∶1，3∶ 2 胜利的概率；
一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 ξ
次球，则 P(ξ＝12)等于 (
A
．
C
9 12
3 8
10
5 8
2
C
．
C
9 11
5 8
10
3 8
2
)
B．
C
9 11
3 8
10
5 8
2
D ．C911
3 8
9
5 8
2
解析： 当 ξ＝ 12 时，表示前 11 次中取到 9 次红球，第 12 次取到
92
红球，所以
P(ξ＝12)＝
C
9 11
3 8
53 8 8.
答案： B
二、填空题
6．下列例子中随机变量 ξ服从二项分布的有 ________．
①随机变量 ξ表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是 3 的倍数
的次数；
②某射手击中目标的概率为 0.9，从开始射击到击中目标所需的射
击次数 ξ；
③有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用有放回抽取方法，
第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布
一、选择题
A 级 基础巩固
1．(2019 ·课标全国 Ⅰ卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次
才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是
否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( )
3 P(X＝3)＝ 1－P(X＝0)－P(X＝ 1)－P(X＝2)＝27.
故 X 的分布列为：
X0
1
2
3
16
4
4
3
P 27
27
27
27
B． C810× 0.82× 0.28
C． 0.88×0.22
D．0.82× 0.28
解析： 因为 X～ B(10，0.8)，所以 P(X＝ k)＝ Ck100.8k(1－ 0.8)10－k， 所以 P(X＝ 8)＝ C810× 0.88× 0.22.
答案： A
5．一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知， 所求概率为 P＝C12
5 6
1 6
·
C
1 2
4 5
1 5
＝
1306×
285＝ 98000＝445.
10. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有 6 个交通
岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，
并且概率都是
1 3.
设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列．
p)2＝ 59，解得 p＝13.又 Y～B(3，p)，所以 P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03
(1－
p)
3＝
19 27.
答案：
19 27
8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸
－1，第 n次摸取红球， 取一个球，定义数列 {an}：an＝ 1，第 n次摸取白球， 如果 Sn 为数列
D ．(0， 0.6]
解析： 由条件知 P(ξ＝ 1)≤P(ξ＝2)， 所以 C14p(1－ p)3≤ C24p2(1－p) 2， 2(1－p)≤3p， 所以 p≥0.4.
又 0≤p＜1，所以 0.4≤p＜1.
答案： A
2．在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题．规定每位考
生必须且只需在其中选做一题． 设 4 名考生选做这两题的可能性均为
C
2 3
1 4
2×34
B．
C
2 3
3 4
2×41
C.
1 4
2×43
D.
3 4
2 ×
1 4
解析： 前两次测到的都是次品，第三次测到的是正品，
2
113 1 3 所以 P(ξ＝3)＝ 4×4×4＝ 4 ×4.
答案： C
3．在某次试验中，事件 A 出现的概率为 p，则在 n 次独立重复试
—
验中 A 出现 k 次的概率为 ( )
ξ表示 n 次抽取中出现次品的件数 (M ＜N)；
④有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法，
ξ表示 n 次抽取中出现次品的件数．
解析： 对于 ①，设事件 A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是 3 的倍
数”，P(A)＝13.而在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生了 k 次(k＝0，
由题意，各局比赛结果相互独立，所以
P(A4)＝ C24
2 1－3
2
×
2 3
2
×
2 1－3
＝
4 27.
由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1， 2，3.
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝ P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1267；
P(X＝1)＝ P(A3)＝247；
P(X＝2)＝ P(A4)＝247；
抽取，显然 ④中 n 次试验是不独立的，因此 ξ不服从二项分布，对于
③有： ①③
7．设随机变量 X～B(2，p)，随机变量 Y～B(3，p)，若 P(X≥1)
＝59，则 P(Y≥1)＝________． 解析： 因为 X～ B(2，p)，所以 P(X≥1)＝1－P(X＝ 0)＝1－ C02(1－