(数学)高考数学一轮复习：(理数)第1章 集合与常用逻辑用语

理数第1章集合与常用逻辑用语1-1a[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·北京高考]已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 答案 C解析由题意得A＝(－2,2)，A∩B＝{－1,0,1}，选C.2．[2016·山东高考]设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{2,6} B．{3,6} C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}答案 A解析∵A∪B＝{1,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}，故选A.3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知{a1，a2}⊆M，且a3∉M.又M⊆{a1，a2，a3，a4}，则{a1，a2}⊆M⊆{a1，a2，a4}．故M的个数即{a4}的子集个数．显然M有21＝2个子集．4．[2017·南京模拟]设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x2>0}，B＝{y|y ＝e x＋1}，则A∪B等于()A．{x|x<2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>1} D．{x|x>0} 答案 D解析先求出集合A，B，再求并集．由2x－x2>0得0<x<2，故A＝{x|0<x<2}，由y＝e x＋1得y>1，故B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>0}，故选D.5．已知集合A＝{0,1，m}，B＝{x|0<x<2}，若A∩B＝{1，m}，则m的取值范围为()A．(0,1) B．(1,2) C．(0,1)∪(1,2) D．(0,2)答案 C解析 因为A ＝{0,1，m }，所以m ≠0且m ≠1，因为A ∩B ＝{1，m }，B ＝{x |0<x <2}，所以0<m <1或1<m <2.6．[2017·南昌模拟]已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于________．答案 7解析 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，m ＋n ＝7.7．设U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x －3x －2>1，B ＝{x ∈R |0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝________. 答案 {x |1≤x <2}解析 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}．8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a ∈A 时，必有6－a ∈A .则具有性质P 的集合A 的个数是________．答案 7解析 由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共7个．9．已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解 由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2,1}，A ∩B ＝{1，－3}．故a ＝0舍去．②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．10．设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}．(1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }．(1)如图，若A∩B＝∅，则a≥3，所以a的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在如图，由A∩B＝{x|0≤x<3}得a＝0，A∪B＝{x|x>－2}．[B级知能提升](时间：20分钟)11．设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0} C．{x|－1≤x<0}D．{x|x<－3}答案 C解析因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}，故选C.12．[2017·金版创新]已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B ＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 D解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m ≤－2，故选D.13．已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________. 答案 0或14解析 由于A ＝{2，a ，b }，B ＝{2a,2，b 2}，因A ∩B ＝A ∪B ，故A ＝B ，因此A ，B 中的元素对应相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.14．已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}． 又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．理数 第1章 集合与常用逻辑用语 1-2a[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·安徽模拟]“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 “x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，选B.2．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．3．[2015·天津高考]设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|<1解得1<x <3.因为“1<x <2”能推出“1<x <3”，“1<x <3”推不出“1<x <2”，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分而不必要条件．4．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A 解析 取x ＝y ＝－1，排除B 、C ；取x ＝－2，y ＝－1，排除D.故选A.5．[2017·株洲模拟]设a ，b ∈R ，那么“e a b >e”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由e a b >e ，得a b >1，解得a >b >0或a <b <0，所以“e a b >e”是“a >b >0”的必要不充分条件．6．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为____________．答案 2解析 原命题显然是真命题，所以逆否命题也是真命题．原命题的逆命题是“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题，因为当c ＝0时，命题不成立，所以否命题也是假命题，所以这4个命题中，真命题的个数为2.7．[2017·贵阳模拟]下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．8．若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________．答案 －2解析 不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m )是(－∞，－2)∪(4，＋∞)的真子集，故有m ≤－2，即m 的最大值为－2.9．[2017·苏州模拟]已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是⌝q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是⌝q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.10．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝{x ||4x －3|≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A ⊂B ，∴⎩⎨⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎨⎧ a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. [B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·金版创新]已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以⌝p ：x ＋y ＝－2，⌝q ：x ＝－1且y ＝－1，因为⌝q ⇒⌝p 但⌝p ⇒/ ⌝q ，所以⌝q 是⌝p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.12．[2015·重庆高考]“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由log 12(x ＋2)<0可得x ＋2>1，即x >－1，而{x |x >1} {x |x >－1}，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分不必要条件．13．给出下列条件：①f (x )＝a x 在R 上单调递增；②a (a －1)≥0；③(a ＋3)2(a －1)>0.其中能作为“a >1”的必要不充分条件的是________．答案 ②解析 ①③是a >1的充要条件，②是a >1的必要不充分条件．14．[2017·天津大港模拟]已知集合A ＝{ y | y ＝x 2－32x ＋1，x ∈ ⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.理数第1章集合与常用逻辑用语1-3a[A级基础达标](时间：40分钟)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是() A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B项．2．[2017·太原模拟]下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，e x>0 B．∀x∈R，x2≥0C．∂x0∈R，sin x0＝2 D．∂x0∈R,2x0>x20答案 C解析对∀x∈R，sin x≤1<2，所以C选项是假命题，故选C. 3．[2015·湖北高考]命题“∂x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是() A．∂x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 B．∂x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1 C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 D．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1 答案 C解析特称命题的否定是全称命题，故该命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.选C.4．如果命题“⌝(p∨q)”为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题答案 C解析因为命题“⌝(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．5．[2017·桂林模拟]若命题“∂x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案 D解析 因为命题“∂x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.6．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．7．[2017·太原十校联考]已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.8．[2015·山东高考]若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1，∴实数m 的最小值为1.9．设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解 对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x ＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x ＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.10．给定两个命题：p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，q ：函数y ＝3x －a 在x ∈[0,2]上有零点，如果(⌝p )∧q 为假命题，⌝q 为假命题，求a 的取值范围．解 若p 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0， 即0≤a <4，故当p 为真命题时，0≤a <4.若q 为真命题时，方程3x －a ＝0在x ∈[0,2]上有根．∵当x ∈[0,2]时，有1≤3x ≤9，∴1≤a ≤9，即当q 为真命题时，1≤a ≤9.∵(⌝p )∧q 为假命题，∴⌝p ，q 中至少有一个为假命题．又∵⌝q 为假命题，∴q 为真命题．∴⌝p 为假命题，p 为真命题．∴当p ，q 都为真时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，1≤a ≤9，即1≤a <4.故所求a 的取值范围是1≤a <4.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·皖南八校联考]下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 答案 C解析 对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．12．[2017·唐山统考]已知命题p ：∀x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：∂x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－ 2.则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(⌝p )∧qC ．p ∧(⌝q )D ．(⌝p )∧(⌝q )答案 B解析 若x 3<x 4，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题；若sin x －cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2，则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴⌝p ∧q 为真命题．13．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、⌝p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于⌝p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.14．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1. 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。