专题提升以平行四边形为背景计算和证明共27页文档
【精品】中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明
以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE .求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A (－4，2)，B (－1，－2)，▱ABCD 的对角线交于坐标原点O .(1)请直接写出点C ，D 的坐标．(2)写出从线段AB 到线段CD 的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 关于点O 中心对称，∵点A (－4，2)，B (－1，－2)，∴点C (4，－2)，D (1，2)．(2)线段AB 到线段CD 的变换过程是：绕点O 旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A 到y 轴距离为4，点D 到y 轴距离为1，点A 到x 轴距离为2，点B 到x 轴距离为2， ∴S ▱ABCD 的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S ▱ABCD ＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD 中，若AB ＝6，AD ＝10，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长．(第4题图)(第4题图解)解：如解图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝DC ＝6，AD ＝BC ＝10，AB ∥DC .∵AB ∥DC ，∴∠1＝∠3，又∵BF 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC ＝CF ＝10，∴DF ＝CF －DC ＝BF －DC ＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2. 求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE . 求证：四边形BECD 是矩形．(第6题图)证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC ，AD ＝CD .∵四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ，∴BE 綊CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∴▱BECD 是矩形．7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，P 是AD 上的点，且∠PNB ＝3∠CBN .(1)求证：∠PNM ＝2∠CBN .(2)求线段AP 的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴MN ∥BC ，∴∠CBN ＝∠MNB ，∵∠PNB ＝3∠CBN ＝∠MNB ＋∠PNM ，∴∠PNM ＝2∠CBN .(2)如解图，连结AN .根据矩形的轴对称性，可知∠PAN ＝∠CBN ，∵MN ∥AD ，∴∠PAN ＝∠ANM .由(1)知∠PNM ＝2∠CBN ，∴∠PAN ＝∠PNA ，∴AP ＝PN .∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103.∴AP ＝103.8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF ，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积． 解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)?解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32， ∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形， ∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。
平行四边形的性质与证明
平行四边形的性质与证明平行四边形是一种常见的四边形，具有一些特殊的性质和规律。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质，并给予相应的证明。
1. 对角线的性质平行四边形的两条对角线互相平分，并且交点处的四个角相等。
证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
首先证明对角线AC平分了边BD。
由平行四边形的定义可知AB∥CD、BC∥AD，结合平行线的性质，我们得到∠ABC=∠CDA，∠CAB=∠DCA。
又因为三角形ABC与三角形CDA有一个对应角相等，一个对应边共边相等（AB=CD），故两个三角形全等（∠ABC=∠CDA，∠CAB=∠DCA，AB=CD）。
根据全等三角形的性质，我们可以得到∠ACB=∠CAD。
同理可以证明对角线BD也平分边AC。
其次证明四个角相等。
我们已经证明了对角线AC和BD平分了边，那么我们可以得到∠AOC=∠BOC和∠BOD=∠AOD。
再结合平行四边形的定义，我们知道∠AOC+∠BOD=180°，∠BOC+∠AOD=180°。
将两个方程相加得到：∠AOC+∠BOD+∠BOC+∠AOD=360°。
根据角的性质，我们得知∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°。
因此，平行四边形的两条对角线互相平分，并且交点处的四个角相等。
综上，平行四边形的两条对角线互相平分，并且交点处的四个角相等。
2. 边的性质平行四边形的对边是平行且相等的。
证明：设平行四边形ABCD的边AB∥CD和BC∥AD。
首先证明对边AB和CD平行。
根据平行线的性质，我们知道同旁内角相等，则有∠ABC=∠CDA。
而我们已经证明了对角线AC平分边BD，即∠ACB=90°，则∠ABC+∠ACB=∠CDA+∠ACB=180°。
由此可得∠CDA=90°，即AB∥CD。
同理可以证明对边BC和AD平行。
其次证明对边AB和CD相等。
由于平行四边形的对角线AC和BD平分了边，我们可以得到AB=CD和BC=AD。
2021年人教版八年级下册第18章《平行四边形》专题提升：以平行四边形为背景的计算与证明
2021年人教版八年级下册第18章《平行四边形》专题提升以平行四边形为背景的计算与证明角度的计算与证明（一证一求）1．如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）证明：AD=CF．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．（1）求证：FB＝AD．（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．3．如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．4．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．6．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC 上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．7．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交CD于点E，延长BC到F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G．（1）求∠BGF的度数；（2）求证：DE＝CE．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB 的中点，连接MC，MD．（1）求证：MC＝MD；（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．10．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点（点E不与点B、C重合），点B 关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于H，连接AF．（1）求证：AF⊥EH；（2）连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变．你帮助小王求出∠EAH的度数．长度的计算与证明（一证一求）11．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，延长CB到点F，使BF＝，连接BE、AF．（1）完成画图并证明四边形AFBE是平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝8，∠C＝60°，求BE的长．12．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE交AB 于点F．（1）求证：△ADF≌△BEF．（2）连接DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB ＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．（1）试说明AF与DE互相平分；（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是边AC，AB的中点，延长BC到点D，使2CD＝BC，连接DE．（1）如果AB＝10，求DE的长；（2）延长DE交AF于点M，求证：点M是AF的中点．15．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，点E是CD的中点，连接AE，作AF⊥AE，交BC于点F．（1）若AC＝6，BC＝8，求AE的长；（2）若G为BC延长线上一点，且AG+CG＝BC，求证：AF＝2EG．16．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN．（1）若AB＝，AC＝4，求BC的长；（2）求证：AD+AM＝DN．17．如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．18．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．19．已知：如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．（1）试找出图中的等腰三角形，并选择一个加以说明．（2）试说明：AE＝DG．（3）若BG将AD分成3：2的两部分，且AD＝10，求▱ABCD的周长．参考答案角度的计算与证明（一证一求）1．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD；（2）∵∠BAF＝90°，添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．2．【解答】（1）证明∵E为AD的中点，∴DE＝AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠EDC＝∠EAF，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（AAS），∴DC＝F A，∵AD＝2AB，∴AB＝DE＝EA＝F A，∴FB＝AD；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥CB，∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，又∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠ABE＝35°．3．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，∴∠B＝∠AEB，∴∠EAD＝∠AEB，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．4．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝70°，∴∠BDE＝∠EDF＝35°．5．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD（SAS），（2）∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC，∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；又∵∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°．∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∴∠AED＝85°．6．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分对角线BD，∴∠DOE＝∠BOF＝90°，OB＝OD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEO＝∠BFO，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴DE＝BF，∵EF垂直平分对角线BD，∴DE＝BE，BF＝DF，∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形BFDE是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵∠BOF＝90°，∴∠A＝∠BOF＝90°，在Rt△BAE和Rt△BOF中，，∴Rt△BAE≌Rt△BOF（HL），∴AB＝OB，∵AB＝CD，OB＝OD，∴CD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°．7．【解答】解：（1）∵在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BEC＝∠DFC，∵∠BEC+∠CBE＝90°，∴∠CBE+∠DFC＝90°，∴∠BGF＝90°；（2）连接EF，∵BE平分∠DBC，∴∠DBG＝∠CBG，∵BG＝BG，∠BGD＝∠BGF＝90°，∴△BDG≌△BFG（ASA），∴DG＝FG，∴BG垂直平分DF，∴DE＝FE，∵CE2+CF2＝EF2，CE＝CF，∴，∴DE＝CE．8．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，∴MC＝AB，MD＝AB，∴MC＝MD；（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC＝60°，∴∠BMC+∠AMD＝120°，∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，∴∠BAO+∠ABO＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．9．【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC为△FEG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，又∵H是FG的中点，∴FH＝FG，∴BC＝FH．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，∵CE＝CB，∴∠BEC＝∠EBC＝75°，∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，∴∠DAB＝40°．10．【解答】解：（1）证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，∴AB＝AF，BE＝EF，又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE（SSS），∴∠AFE＝∠B＝90°，∴AF⊥EH；（2）连接AH，如图：由（1）得AB＝AF，AF⊥EH，∴AF＝AD，∠D＝∠AFH＝90°，AH＝AH，∴△AFH≌△ADH（HL），∴∠F AH＝∠DAH，又∵∠BAE＝∠F AE，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝45°．长度的计算与证明（一证一求）11．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又E是AD的中点，，∴AE∥BF，AE＝BF，∴四边形AFBE是平行四边形；（2）过点A作AG⊥BF于G，由▱ABCD可知∠ABF＝∠C＝60°，又AB＝6，AD＝8，∴BG＝3，FG＝1，AG＝，∴BE＝AF＝．12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E又∵BC＝BE，∴AD＝BE，在△ADF和△BEF中，，∴△ADF≌△BEF（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC，由（1）得：△ADF≌△BEF，∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，∵AD＝DB＝5，∴DB＝BE＝5，∴BF⊥DE，在Rt△BEF中，EF＝＝＝4，∴DE＝2EF＝2×4＝8．13．【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝AB．又AB＝2AD，即AD＝AB，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，∴由勾股定理得AC＝＝＝4又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，∴OA＝AC＝．∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，∴由勾股定理得DO＝＝＝．14．【解答】解：（1）连接CF，在Rt△ABC中，F是AB的中点，∴CF＝AB＝5，∵点E，F分别是边AC，AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，∵2CD＝BC，∴EF＝CD，EF∥CD，∴四边形EDCF是平行四边形，∴DE＝CF＝5；（2）如图2，∵四边形EDCF是平行四边形，∴CF∥DM，∵点E是边AC的中点，∴点M是AF的中点．15．【解答】（1）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝10，AD∥BC∴CA⊥AD，∴∠CAD＝90°，∵CE＝ED，∴AE＝CD＝5．（2）证明：延长AE交BC的延长线于M，在CB上取一点N，使得CN＝CG，连接AN．∵AD∥CM，∴∠DAE＝∠M，在△DAE和△MCE中，，∴△DAE≌△MCE（AAS），∴AE＝EM，∵AE＝ED＝EC，∴AM＝CD＝AB，∵AC⊥BM，∴BC＝CM，∵AC⊥NG，CN＝CG，∴AG＝AN，∵AG+CG＝BC，∴BN＝AG＝AN，∵CB＝CM，CN＝CG，∴BN＝GM，∴GA＝GM，∵AE＝EM，∴EG⊥AM，∵F A⊥AM，∴EG∥AF，∵AE＝EM，∴FG＝GM，∴EG＝AF，即AF＝2EG．16．【解答】（1）解：∵∠ACB＝45°，AE⊥BC，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，△ACE是等腰直角三角形，∴∠EAC＝45°，AE＝CE＝＝＝2，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴BC＝BE+CE＝3；（2）证明：延长AD至G，使DG＝AM，连接CG，如图所示：∵AM＝CN，∴DG＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，∴DG∥CN，∴四边形CGDN是平行四边形，∴CG＝DN，∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEA，∴∠BAE＝∠MCE，在△ABE和△CME中，，∴△ABE≌△CME（AAS），∴AB＝CM，∠B＝∠CME，∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，∴∠AMC＝∠GDC，在△ACM和△GCD中，，∴△ACM≌△GCD（SAS），∴∠G＝∠MAC＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∴AG＝CG，∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，∴AD+AM＝DN．17．【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAF＝∠AFB，又∵∠DAF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，同理可得CD＝CE，∴BF＝CE；（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，∵AK∥FC，AF∥CK，∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，∴AF＝CK＝8，∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，∴∠DKI＝∠DCI，∴DK＝DC＝6，∴KI＝CI＝4，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，∴CE＝CD，∵CI⊥DE，∴EI＝DI，∵DI＝＝＝2，∴DE＝2DI＝4．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．19．【解答】解：（1）△ABG，△DCE是等腰三角形．在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC，又BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，∴∠ABG＝∠AGB，即AB＝AG，∴△ABG是等腰三角形；（2）由（1）可得AB＝AG＝CD＝DE，∴AE＝DG；（3）假设AG：GD＝3：2，∵AD＝10，∴AB＝AG＝AD＝6，∴平行四边形的周长为2（10+6）＝32；当AG：GD＝2：3时，则AB＝AG＝AD＝4，∴平行四边形的周长为2（10+4）＝28．所以平行四边形ABCD的周长为32或28．。
考点强化：以四边形为背景的计算与证明
点拨
解
解
证明：∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠PBQ， ∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ. 在△BAP和△BCQ中， BA＝BC，
∵∠ABP＝∠CBQ， BP＝BQ，
1
(3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论． 点拨 过P作PG⊥FQ，交AB于G，证明△PGB≌△QEB，得PG＝EQ，再 由F、A、G、P四点共圆，证明△FPG是等腰直角三角形，可得结论.
点拨
解
解
结论：PF＝EQ.理由如下：
①如图1，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90° ， ∵∠BPQ＝∠BQP＝45° ， ∴∠GPB＝45° ， 在△PGB和△QEB中，
∴△BAP≌△BCQ(SAS)，∴AP＝CQ.
(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时， 3 CE＝ BC； 8
点拨
证明△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据已知 3 条件CE＝ BC，可得y的长，代入关系式解方程可得x的值； 8
点拨 解答
解
∵四边形ABCD是正方形，
考点强化六
以四边形为背景的计算与证明
四边形中的计算通常涉及勾股定理、相似三角形、锐角三角函数、
图形的变换(平移、对称、旋转)等知识，解题时注意分类讨论思想、方
程思想的运用．特殊四边形中的计算和证明是常见的题型，熟练掌握特
殊四边形的判定和性质是解题的关键．
难度值 0.60
例题1
阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问 题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其
平行四边形的性质及其证明
平行四边形的性质及其证明平行四边形是一种特殊的四边形，其具有一些独特的性质。
本文将介绍平行四边形的性质，并给出相应的证明。
性质一：对边平行平行四边形的两组对边是平行的。
设平行四边形ABCD的对边AB与CD，以及对边BC与AD。
为了证明对边平行，可以利用平行线的性质来推导。
首先，连接AC和BD两条对角线。
根据平行四边形的定义，可以得出∠ABC = ∠CDA和∠ABD = ∠CDB。
由此，我们可以得出∠ABD + ∠CDA = 180°和∠ABC + ∠CDB = 180°。
再加上AC与BD是相交直线，根据内角和定理可知∠CDA + ∠CDB = 180°。
将以上两个等式相加，得到∠ABD + ∠ABC + ∠CDA + ∠CDB = 360°，即四个角的和为360°。
但是，由平行四边形的性质可知，∠ABD + ∠ABC= 180°，∠CDA + ∠CDB = 180°。
因此，∠ABD + ∠ABC + ∠CDA +∠CDB = 360°等式成立，推导得证。
性质二：对角线相等平行四边形的对角线相等。
设平行四边形ABCD的对角线AC和BD。
为了证明对角线相等，可以利用三角形的性质来推导。
根据前面的证明，∠ABC = ∠CDA和∠ABD = ∠CDB。
又因为平行四边形的对边平行，所以∠BAD = ∠CBA和∠CBD = ∠ADC。
根据AA相似性质，可以得出△ABC与△CDA相似，以及△ABD与△CDB相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出下面的比例关系：AB/CD = BC/AD和AD/BC = CD/AB。
这两个比例关系可以合并为AB × AD = BC × CD，说明对角线的乘积相等。
因此，平行四边形的对角线相等，证明完成。
性质三：对角线平分平行四边形的对角线互相平分。
设平行四边形ABCD的对角线AC和BD。
初中数学专题第3课时 以平行四边形为背景的证明与计算
1．[2019·湖州]如图，已知在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB， BC，AC 的中点，连接 DF，EF，BF.
(1)求证：四边形 BEFD 是平行四边形； (2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形 BEFD 的周长．
(1)证明：∵D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
4．[2019·安徽]如图，点 E 在 ABCD 内部，AF∥BE，DF
∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF； (2)设 ABCD 的面积为 S，四边形 AEDF 的面积为 T，求TS的 值．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
(2)证明：如答图，作 DF⊥AB，垂足为 F，
∴∠DFA＝∠CEB＝90°.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠CBE.
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△BCE(AAS)，
答图
∴AF＝BE＝95，BF＝5－95＝156，DF＝CE＝152，
∵AF∥BE，
∴∠EBA＋∠BAF＝180°， ∴∠CBE＝∠DAF， 同理得∠BCE＝∠ADF. 在△BCE 和△ADF 中，
∠CBE＝∠DAF， ∵ BC＝AD，
∠BCE＝∠ADF，
∴△BCE≌△ADF(ASA)．
(2)解：∵点 E 在 ABCD 内部， ∴S△BEC＋S△AED＝12S ABCD. 由(1)知，△BCE≌△ADF，
△DEH(AAS)，BG＝DE.
(2)解：如答图，连接 EG.在菱形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝
中考数学精英复习课件(毕节)专题四特殊平行四边形的证明与计算(共26张PPT(完整版)9
解：(1)矩形； (2)①证明：∵AD＝5，S▱ABCD＝15， ∴AE＝3. ∵在图 2 中 ，EF＝4， ∴在 Rt△AEF 中，
AF＝ AE2＋EF2＝ 32＋42＝5， ∴AF＝AD＝5.又由△AEF 平移得到△DE′F′， ∴AF∥DF′，AF＝DF′， ∴四边形 AFF′D 是平行四边形， ∵AD＝AF， ∴四边形 AFF′D 是菱形．
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°， ∴∠EDB＝∠EBD＝30°， ∴EB＝ED， 又∵四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形．
(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AE＝DF. (2)解：四边形AEDF是菱形． 理由如下：∵四边形AEDF是平行四边形， ∴∠EAD＝∠FDA， 又AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠FDA， ∴AF＝DF， ∴平行四边形AEDF为菱形．
毕节地区
专题四 特殊平行四边形的证明与计算
数学
菱形的性质与判定
【例1】(2015·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交 AB于点E，DF∥AB交AC于点F. (1)求证：AE＝DF； (2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 思路点拨：(1)证明四边形AEDF为平行四边形； (2)▱AEDF为菱形，证明∠DAF＝∠FDA即可．
OF＝12CD，OE＝12BC，OE∥BC， 在△BCE 和△DCF 中，
B∠EB＝＝D∠F，D， BC＝DC，
∴△BCE≌△DCF(SAS)；
平行四边形的性质与证明方法
平行四边形的性质与证明方法平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和证明方法。
本文将探讨平行四边形的性质，并介绍一些常用的证明方法。
一、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的任意两条对角线互相平分，即将平行四边形的两个对角点相连，得到的线段互相平分。
2. 对边性质：平行四边形的对边相等，即平行四边形的对边长度相等。
3. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度，即平行四边形的四个内角之和等于360度。
4. 外角性质：平行四边形的相邻外角互补，即相邻外角的和为180度。
5. 底角性质：平行四边形的底角（与底边相对的内角）相等。
二、平行四边形的证明方法1. 平行线法：当两条边分别平行时，可根据平行线之间的性质，如余角、内错角、同旁内角等来进行证明。
通过利用平行线的特性可以得出平行四边形的存在和性质。
2. 对角线法：利用平行四边形对角线互相平分的性质进行证明。
通过证明对角线的相互平分可以推出平行四边形的性质。
3. 相等法：利用平行四边形对边相等的性质进行证明。
通过证明四边形的对边相等可以推出平行四边形的性质。
4. 夹角法：利用平行四边形内角和为360度的性质进行证明。
通过证明四个内角之和等于360度可以推出平行四边形的存在。
5. 相补法：利用平行四边形相邻外角互补的性质进行证明。
通过证明相邻外角的和为180度可以推出平行四边形的存在和性质。
通过以上的证明方法，可以有效地证明平行四边形的存在和性质。
在实际应用中，理解和掌握这些证明方法对于解决几何问题具有重要意义。
总结：平行四边形是一个常见的几何概念，具有对角线平分、对边相等、内角和为360度等性质。
通过平行线法、对角线法、相等法、夹角法和相补法等证明方法，我们可以证明平行四边形的存在和性质。
在实际问题中，熟练掌握这些证明方法对于解决几何问题非常有帮助。
（以上内容仅供参考，具体写作时请根据实际情况补充完善。
）。
中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明 (2)
以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE . 求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC＝∠DCF，AE ＝CF ，∠AEB＝∠CFD，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE＝∠CED，∠AOD＝∠COE，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x 轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明。
中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明
以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE .求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A (－4，2)，B (－1，－2)，▱ABCD 的对角线交于坐标原点O .(1)请直接写出点C ，D 的坐标．(2)写出从线段AB 到线段CD 的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 关于点O 中心对称，∵点A (－4，2)，B (－1，－2)，∴点C (4，－2)，D (1，2)．(2)线段AB 到线段CD 的变换过程是：绕点O 旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A 到y 轴距离为4，点D 到y 轴距离为1，点A 到x 轴距离为2，点B 到x 轴距离为2， ∴S ▱ABCD 的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S ▱ABCD ＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD 中，若AB ＝6，AD ＝10，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长．(第4题图)(第4题图解)解：如解图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝DC ＝6，AD ＝BC ＝10，AB ∥DC .∵AB ∥DC ，∴∠1＝∠3，又∵BF 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC ＝CF ＝10，∴DF ＝CF －DC ＝BF －DC ＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2. 求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE . 求证：四边形BECD 是矩形．(第6题图)证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC ，AD ＝CD .∵四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ，∴BE 綊CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∴▱BECD 是矩形．7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，P 是AD 上的点，且∠PNB ＝3∠CBN .(1)求证：∠PNM ＝2∠CBN .(2)求线段AP 的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴MN ∥BC ，∴∠CBN ＝∠MNB ，∵∠PNB ＝3∠CBN ＝∠MNB ＋∠PNM ，∴∠PNM ＝2∠CBN .(2)如解图，连结AN .根据矩形的轴对称性，可知∠PAN ＝∠CBN ，∵MN ∥AD ，∴∠PAN ＝∠ANM .由(1)知∠PNM ＝2∠CBN ，∴∠PAN ＝∠PNA ，∴AP ＝PN .∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103.∴AP ＝103.8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积． 解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)?解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32， ∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形，∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。
人教版八下数学 专题3 以平行四边形为背景的计算与证明
人教版八下数学专题3 以平行四边形为背景的计算与证明1.如图，在平行四边形ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则∠AMB的度数为( )A．100∘B．95∘C．90∘D．85∘2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=12，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为．3.已知在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为(0,2)，(−1,0)，(2,0)，则当点D的坐标为时，以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形．4.如图，在△ABC中，AM是中线，D是AM所在直线上的一个动点（不与点A重合），DE∥AB交AC所在直线于点F，CE∥AM，连接BD，AE．BC到了△EDC的位置，(1) 如图①，当点D与点M重合时，观察发现：△ABM向右平移12此时四边形ABDE是平行四边形，请你给予证明；(2) 如图②③④，是当点D不与点M重合时的三种情况，你认为△ABM应该平移到什么位置？直接在图中画出来，此时四边形ABDE还是平行四边形吗？请你选择其中一种情况说明理由．5.如图①，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20．沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD，CB重合）形成一个对称图形戊，如图②，则图形戊中的四边形的两条对角线的长度和为( )A．29B．26C．24D．25，点D，E分别是BC，AD的中点，6.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=4，tan∠ACB=23AF∥BC，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为．7.顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，有下列四个条件：① AB∥CD，② BC= AD，③ ∠A=∠C，④ ∠B=∠D．从中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )A．5种B．4种C．3种D．1种8.如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，线段EF的长( )A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．与P点的位置有关9.如图，平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于E，F．(1) 求证：AE=CF；(2) 若AE=BC，试探究线段OC与线段DF之间的关系，并说明理由．。
以平行四边形为背景的计算和证明(解析版)
八下数学思维解法技巧培优小专题专题12 以平行四边形为背景的计算和证明【典例1】（2019•南岸区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若CM＝MG，求证：EG＝2MN．【点拨】（1）利用勾股定理求出EC，BE即可解决问题．（2）如图2中，延长GM到H，使得MH＝MG，连接CH，BH．想办法证明EG＝BH，BH＝2MN即可解决问题．【解析】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EC⊥BC，∴AD⊥EC，∴∠BCE＝∠CED＝90°，∵∠ECD＝30°，CD＝2，∴CE＝CD•cos30°=√3，在Rt△BCE中，BE=√(√3)2+42=√19，∵BC＝CF＝4，∴EF＝BE﹣BF=√19−4．（2）证明：如图2中，延长GM到H，使得MH＝MG，连接CH，BH．∵CM＝MG＝MH，CM⊥GH，∴∠HCG＝90°，CH＝CG，∴∠HCG＝∠BCE，∴∠BCH＝∠ECG，∵CB＝CE，∴△BCH≌△ECG（SAS），∴BH＝EG，∠CHB＝∠CGE＝45°，∵∠CHG＝45°，∴∠BHG＝90°，∴∠BHG＝∠CMG＝90°，∴MN∥BH，∵HM＝HG，∴BN＝NG，∴BH＝2MN，∴EG＝2MN．【典例2】（2019•沙坪坝区模拟）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连结DN．（1）若AB=√10，AC＝4，求BC的长；（2）求证：AD +AM =√2DN ．【点拨】（1）证出△ACE 是等腰直角三角形，得出∠EAC ＝45°，AE ＝CE ＝2√2，由勾股定理得：BE =√AB 2−AE 2=√2，即可得出结果；（2）延长AD 至G ，使DG ＝AM ，证出四边形CGDN 是平行四边形，得出CG ＝DN ，证明△ABE ≌△CME ，得出AB ＝CM ，∠B ＝∠CME ，再证明△ACM ≌△GCD ，得出∠G ＝∠MAC ＝45°，证出△ACG 是等腰直角三角形，得出AG =√2CG ，即可得出结论．【解析】（1）解：∵∠ACB ＝45°，AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°，△ACE 是等腰直角三角形，∴∠EAC ＝45°，AE ＝CE =2=2=2√2， 由勾股定理得：BE =√AB 2−AE 2=√10−8=√2，∴BC ＝BE +CE ＝3√2；（2）证明：延长AD 至G ，使DG ＝AM ，连接CG ，如图所示：∵AM ＝CN ，∴DG ＝CN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝∠ADC ，∴DG ∥CN ，∴四边形CGDN 是平行四边形，∴CG ＝DN ，∵CF ⊥AB ，∴∠CFB ＝90°＝∠AEB ＝∠CEA ，∴∠BAE ＝∠MCE ，在△ABE 和△CME 中，{∠AEB =∠CEM ∠BAE =∠MCE AE =CE ，∴△ABE≌△CME（AAS），∴AB＝CM，∠B＝∠CME，∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，∴∠AMC＝∠GDC，在△ACM和△GCD中，{AM=DG∠AMC=∠GDCCM=CD，∴△ACM≌△GCD（SAS），∴∠G＝∠MAC＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∴AG=√2CG，∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，∴AD+AM=√2DN．巩固练习1．（2019•肥城市模拟）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CD于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC=√10，求EF的长度；（2）求证：CE+√2BE＝AB．【点拨】（1）根据勾股定理得到CG =√BG 2+CG 2=3，推出BG ＝EG ＝1，得到CE ＝2，根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，于是得到结论；（2）延长AE 交BC 于H ，根据平行四边形的性质得到BC ∥AD ，根据平行线的性质得到∠AHB ＝∠HAD ，推出∠GAE ＝∠GCB ，根据全等三角形的性质得到AG ＝CG ，于是得到结论．【解析】解：（1）∵CG ⊥AB ，∴∠AGC ＝∠CGB ＝90°，∵BG ＝1，BC =√10，∴在Rt △BGC 中，CG =√BG 2+CG 2=3，∵∠ABF ＝45°，∴BG ＝EG ＝1，∴CE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠GCD ＝∠BGC ＝90°，∠EFG ＝∠GBE ＝45°，∴CF ＝CE ＝2，∴EF =√2CE ＝2√2；（2）如图，延长AE 交BC 于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠AHB ＝∠HAD ，∵AE ⊥AD ，∴∠AHB ＝∠HAD ＝90°，∴∠BAH +∠ABH ＝∠BCG +∠CBG ＝90°，∴∠GAE ＝∠GCB ，在△BCG 与△EAG 中，{∠AGE =∠CGB =90°∠GAE =∠GCB GE =BG，∴△BCG ≌△EAG （AAS ），∴AG ＝CG ，∴AB ＝BG +AG ＝CE +EG +BG ，∵BG ＝EG =√22BE ，∴CE +√2BE ＝AB ．2．（2019•沙坪坝区校级月考）在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，点E ，F 分别CD 、AC 边上的点，且AF ＝CE ，BF 的延长线交AE 于点G ．（1）若DE ＝2√2，AD ＝8，求AE ．（2）若G 是AE 的中点，连接CG ，求证√22AE +CG ＝BG ．【点拨】（1）证明△ABC 是等腰直角三角形，得出CD ＝AB ＝AC =√22BC ＝4√2，求出CE ＝CD ﹣DE ＝2√2，由勾股定理即可得出答案；（2）证明△ABF ≌△CAE （SAS ），得出BF ＝AE ，∠ABF ＝∠CAE ，取BF 的中点H ，连接AH ，由直角三角形斜边上的中线性质得出AH =12BF ＝BH ，CG =12AE ＝AG ，得出∠ABF ＝∠BAH ，证出∠BAH ＝∠CAE ，证出∠GAH ＝∠BAF ＝90°，得出AH ＝AG ＝BH ＝CG ，因此△GAH 是等腰直角三角形，得出GH =√2AG =√22AE ，即可得出结论．【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ＝8，∵∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴ACD ＝∠BAC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴CD ＝AB ＝AC =√22BC ＝4√2， ∵DE ＝2√2，∴CE ＝CD ﹣DE ＝2√2，∴AE =√AC 2+CE 2=√(4√2)2+(2√2)2=2√10；（2）证明：在△ABF 和△CAE 中，{AF =CE∠BAF =∠ACE AB =AC，∴△ABF ≌△CAE （SAS ），∴BF ＝AE ，∠ABF ＝∠CAE ，取BF 的中点H ，连接AH ，如图所示：∵∠BAF ＝90°，AH =12BF ＝BH ，∴∠ABF ＝∠BAH ，∴∠BAH ＝∠CAE ，∴∠GAH ＝∠BAF ＝90°，∵∠ACF ＝90°，G 是AE 的中点，∴CG =12AE ＝AG ，∴AH ＝AG ＝BH ＝CG ，∴△GAH 是等腰直角三角形，∴GH =√2AG =√22AE ，∴√22AE +CG ＝GH +BH ＝BG ．3．（2019•南岸区期中）如图．在平行四边形ABCD 中（BC ＞AB ），过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，过C 作CH⊥AB ，垂足为H ，交AF 于G ，点E 为FC 上一点，且GE ⊥ED ．（1）若FC ＝2BF ＝4，AB ＝2√5，求平行四边形ABCD 的面积；（2）若AF＝FC，F为BE中点，求证：ED=√22（AD+AG）．【点拨】（1）由勾股定理求出AF=√AB2−BF2=4，由平行四边形面积公式即可得出答案；（2）证明△ABF≌△CGF（ASA），得出AB＝CG，BF＝GF，证出AG＝CE，连接AC，证明△AGC≌△ECD（SAS），得出AC＝ED，由等腰直角三角形的性质得出ED＝AC=√2CF，进而得出结论．【解析】（1）解：∵FC＝2BF＝4，∴BF＝2，∴BC＝BF+FC＝2+4＝6，∵AF⊥BC，∴AF=√AB2−BF2=√(2√5)2−22=4，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AF＝6×4＝24；（2）证明：∵AF⊥BC，CH⊥AB，∴∠AFB＝∠CFG＝∠AHG＝90°，∠BAF+∠ABF＝∠GCF+∠ABF＝90°，∴∠BAF＝∠GCF，在△ABF和△CGF中，{∠AFB=∠CFG AF=CF∠BAF=∠GCF，∴△ABF≌△CGF（ASA），∴AB＝CG，BF＝GF，∵F为BE中点，∴BF＝EF＝GF，∵AF＝CF，∴AG＝CE，连接AC，如图所示：∵GE⊥ED，∴∠GCD＝90°，∵∠AGC＝∠AHG+∠BAF＝90°+∠BAF，∠ECD＝∠GCD+∠GCF＝90°+∠GCF，∴∠AGC＝∠ECD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∴CG＝DC，在△AGC和△ECD中，{AG=CE∠AGC=∠ECD CG=DC，∴△AGC≌△ECD（SAS），∴AC＝ED，∵AF⊥BC，AF＝CF，∴△ACF是等腰直角三角形，∴ED＝AC=√2CF，∵AD+AG＝BC+CE＝CF+BF+CE＝CF+EF+CE＝2CF，∴CF=12（AD+AG），∴ED=√2CF=√22（AD+AG）．4．（2019•九龙坡区校级模拟）在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE，交对角线BD于点F，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点G，过B作BH垂直于CE，垂足为点H，交CD于点P，2∠1+∠2＝90°．（1）若PH＝2，BH＝4，求PC的长；（2）若BC＝FC，求证：GF=√2PC．【点拨】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠BCH＝∠2，证明∠BCP＝∠BPC，得出BC＝BP＝BH+PH＝6，由勾股定理得出CH2＝BC2﹣BH2＝20，PC=√PH2+CH2=2√6；（2）易证四边形ABPD是等腰梯形，则∠DAB＝∠PBA，证明AD＝FC，∠CBF＝∠CFB，∠ADG＝∠CFD，由ASA证得△DAG≌△FCD得出AG＝CD＝AB，DG＝FD，推出△ABG是等腰直角三角形，则∠DBA＝∠G＝45°，作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，易证△DMF是等腰直角三角形，得出DM＝FM，DF=√2FM，证明∠1＝∠PBN，由AAS证得△CFM≌△BPN得出FM＝PN，推出PN＝CN，则PC＝2PN ＝2FM=√2DF，即可得出结论．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BCH＝∠2，∴∠BCP＝∠2+∠1，∵2∠1+∠2＝90°．∴∠BCP＝90°﹣∠1，∵BH⊥CE，∴∠BPC+∠1＝90°，∴∠BPC＝90°﹣∠1，∴∠BCP＝∠BPC，∴BC＝BP＝BH+PH＝4+2＝6，∴CH2＝BC2﹣BH2＝62﹣42＝20，∴PC=√PH2+CH2=√22+20=2√6；（2）证明：由（1）得：BC＝BP＝AD，∴四边形ABPD是等腰梯形，∴∠DAB＝∠PBA，∵CD∥AB，∴∠PBA＝∠BPC，∵BH⊥CE，∴∠1＝90°﹣∠BPC＝90°﹣∠PBA＝90°﹣∠DAB＝∠DAG，∵AD＝BC，BC＝FC，∴AD＝FC，∠CBF＝∠CFB，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∴∠EDF＝∠CFB＝∠EFD，∴∠ADG＝∠CFD，在△DAG和△FCD中，{∠DAG=∠1AD=CF∠ADG=∠CFD，∴△DAG≌△FCD（ASA），∴AG＝CD＝AB，DG＝FD，∵AG⊥AB，∴△ABG是等腰直角三角形，∴∠DBA＝∠G＝45°，作FM⊥CD于M，BN⊥CD于N，如图所示：∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠DBA＝45°，∴△DMF是等腰直角三角形，∴DM＝FM，DF=√2FM，∵BN⊥CD，BH⊥CE，∴由三角形内角和定理得：∠1＝∠PBN，在△CFM和△BPN中，{∠CMF=∠BNP=90°∠1=∠PBNFC=BP，∴△CFM≌△BPN（AAS），∴FM＝PN，∵BC＝BP，BN⊥CD，∴PN＝CN，∴PC＝2PN＝2FM=√2DF，∴√2PC＝2DF，∴GF＝2DF=√2PC。
中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明
以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE . 求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x 轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．(第6题图)证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE綊CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN.(2)求线段AP的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM，∴∠PNM＝2∠CBN.(2)如解图，连结AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM.由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN.∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103. ∴AP ＝103. 8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF ，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积．解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)? 解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .11 ∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32，∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形， ∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。
中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明
以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE . 求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x 轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)(第4题图解)解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．(第6题图)证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE綊CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN.(2)求线段AP的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM，∴∠PNM＝2∠CBN.(2)如解图，连结AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM.由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN.∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103. ∴AP ＝103. 8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF ，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积．解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)? 解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .11 ∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32，∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形， ∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。
中考数学总复习 专题提升九 以特殊四边形为背景的计算与证明
以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE . 求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x 轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．(第6题图)证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE綊CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN.(2)求线段AP的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM，∴∠PNM＝2∠CBN.(2)如解图，连结AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM.由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN.∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103. ∴AP ＝103. 8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF ，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积．解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)? 解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .11 ∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32，∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形， ∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。