专题12 面积比例分析-中考数学二次函数压轴题核心考点突破

中物理
面积系列之面积
比例分析
除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或 结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题 中最难的一类．
大部分题目的处理方法可以总结为两种： （1）计算；（2）转化． 下面结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方 法．
y
（2） BCD 的面积等于 AOC 的面积的 3 时，求 m 的值；
C
4
D
A
O
B
x
【分析】
（1）可重设解析式为交点式： y a x 2 x 4 ，展开得： y ax2 2ax 8a ，常数项对
应相等，-8a=6，解得： a 3 ，故抛物线解析式为： y 3 x2 3 x 6 ．
【2019 鞍山中考（删减）】
在平面直角坐标系中，过点 A(3, 4) 的抛物线 y ax2 bx 4 与 x 轴交于点 B(1,0) ，与 y 轴
交于点 C ，过点 A 作 AD x 轴于点 D ． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，连接 PD 交 AB 于点Q ，连接 AP ，
【2018 绵阳中考（删减）】
如图，已知抛物线 y ax2 bx(a 0) 过点 A( 3 ，3) 和点 B(3 3 ，0) ．过点 A 作直线 AC / /x
轴，交 y 轴于点 C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点 Q
，使得 SAOC
1 3 SAOQ
？若存在，求出点 Q
的坐标；若不存在，
O
B
A
M
x
P
联立方程： x2 2x 3 6x 3 ，解得： x1 0 （舍）， x2 8 ． 故 P 点坐标为（8，-45）．
3 策略三：进阶版转化
在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值， 比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比．
“A”字型线段比： SVABD : SVACD BD :CD BA : AM ．
如图，抛物线 y ax2 2x c(a 0) 与 x 轴交于点 A 和点 B （点 A 在原点的左侧，点 B 在原
点的右侧），与 y 轴交于点 C ， OB OC 3 ． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图，连接 BC ，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交 BC 于
SVMCD
1 2
MC
DQ
1 2
8 1
m
4m
4
D
Q
B
C
O
x
P
SVDAC 2SVDCM ， 2m2 18 2 4m 4
解得：m=5 或-1．考虑 D 点在 A、M 之间的抛物线上，故 m=-1． A D 点坐标为（-1,5）．
2 策略二：转化面积比
如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．
在 y 轴上取点 E（0，5），（为何是这个点？因此此时 OC：CE =3：2）
过点 E 作 BC 的平行线交 x 轴于 G 点，
EG 与抛物线交点即为所求 D 点， 根据平行线分线段成比例，OF：FD=OC：CE =3：2． 直线 EG 解析式为：y=-x+5，
y E D1
与抛物线联立方程，得： x2 2x 3 x 5 ，
已知抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A(1,0) 和点 B(3,0) ，与 y 轴交于点C ，点 P 为第二象限
内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图，连接 OP 交 BC 于点 D ，当 SCPD : SBPD 1: 2 时，请求出点 D 的坐标．
AT
AT
AT
过点 P 作 PQ∥AB 交 BD 延长线于 Q 点，可得： TP PQ ，考虑到 AB 是定线段，故只要 AT AB
PQ 最大即可． 但是本题 P 点在圆上运动，故很难分析出点 P 在何位置，PQ 取到最大值，若 P 点换个轨迹 路线，或许就很容易分析了．
Q
P
D
C
T
A
B
【2018 本溪中考（删减）】
根据
OF：DF =3：2，可得
F
点坐标为
3 5
m,
3 5
m2
6 5
m
9 5
，
点 F 在直线 BC 上，将点坐标代入直线 B C 解析式：y=-x+3，
3 m2 + 6 m 9 3 m 3 ， 5 5 55
解得 m1 1， m2 2 ，
故 D 点坐标为（1，4）或（2，3）． 这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由 D 点坐标如何得到 F 点坐标．
44
44
4 5 20
MQ 123 5 41 ， AQ 4 41 9 12 ，
20 3 4
44
故最大值为 AP AQ 12 3 ． AT AB 4
思路 2：构造“8”字型线段比是否可行？
虽然问题是 AP 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“ TP +1”，即求 TP 的最大值，
4
42
（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可
通过面积比推导△BCD 的面积．
SVAOC
=
1 2
2
6=6
，
SVBCD
3 4
SVAOC
36 4
9 2
，
此问题变为面积定值问 题，就不难了．
【小结】利用面积比计 算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的 方法即可解决问题．
1 策略一：运用比例计算类
【2019 陕西中考（删减）】
综合与探究：如图，抛物线 y ax2 bx 6 经过点 A(2,0) ，B(4,0) 两点，与 y 轴交于点C ，
点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m(1 m 4) ．连接 AC ， BC ， DB ， DC ．
（1）求抛物线的函数表达式；
M A
B
D
C
“8”字型线段比： SVABD : SVACD BD :CD AB :CM ．
A
D
Bபைடு நூலகம்
C
M
以 2019 连云港中考填空压轴为例： 【2019 连云港中考】
如图，在矩形 ABCD 中，AB 4 ，AD 3 ，以点 C 为圆心作e C 与直线 BD 相切，点 P 是e C
上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T ，则 AP 的最大值是 ． AT
①AM
：BM
=5：3，点
M
坐标为
3 2
,
0
，
根据 C、M 坐标求解直线 CM 解析式： y 2x 3 ，
联立方程： x2 2x 3 2x 3 ，解得： x1 0 （舍）， x2 4 ．
y C
故 P 点坐标为（4，-5）．
②A
M：BM
=3：5，点
M
坐标为
1 2
,
0
，
根据 C、M 坐标求解直线 CM 解析式为： y 6x 3 ，
【2019 通辽中考（删减）】
已知，如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点为 M (1,9) ，经过抛物线上的两点 A(3, 7)
和 B(3,m) 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式．
（2）在抛物线上 A 、 M 两点之间的部分（不包含 A 、 M 两点），是否存在点 D ，使得
设点 D 坐标为 m,m2 2m 8 ，过点 D 作 DP⊥x 轴交 AB 于 P 点，
y M
则 P 点坐标为 m, 2m 1 ，线段 DP=-m²+9，
SVACD
1 4 2
m2 9
2m2 18 ，
面积公式表示△MCD 的面积：
过点 D 作 DQ⊥MC 交 MC 于点 Q，则 DQ=1-m，
【分析】
AP、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段．
构造“A”字型线段比：
过点 P 作 PQ∥DB 与 AB 的延长线交于点 Q，
D
P C
P
T
D
C
T
A
B
A
B
Q
由平行得： AP AQ ，若要 AP 取到最大值，只要 AQ 最大即可．
AT AB
AT
P
D C
T
A
M
B
Q
BC=3， BM 3 3 9 ， CM 3 5 15 ， PM 15 12 123 ，
∵B D=4，∴取 E（-3,0）满足 BE=2， 过点 E 作 AB 平行线，与抛物线交点即为所求 P 点，方法同上题．
“8”字型同样可解，此处就 不再啰嗦了．
转化为垂线： 共底，面积之比化为高之比： SVABD : SVACD BD : CD BM : CN ．
A
N
B
D
C
M
P
D
C
T
还是以 2019 连云港中考题为例 【2019 连云港中考】
请说明理由．
y
【分析】
（1）将 A、B 两点坐标代入即可求得解析式： y 1 x2 3 3 x ；
2
2
O
Q
B
x
CA
（2）由题意可知 C 点坐标为（0，-3），
故 SVAOC
1 3 2
33 3 ， 2
比例计算：
SVAOQ
3SVAOC
93 2
，
再根据面积即可确定 Q 点坐标．
【小结】再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！
转化为底：
共高，面积之比化为底边之比：则 SVABD : SVACD BD : CD ．
A
B
D HC
更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD，连接 BC，与 AD 交于点 E，则 SVABD : SVACD BM :CN BE :CE ．
A
N
E
C
B
D
M
【2019 毕节中考（删减）】
点 F ，当 SCOF : SCDF 3 : 2 时，求点 D 的坐标．
y
【分析】 （1）解析式： y x2 2x 3
C
D
F
（2）显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．
OF : DF SVCOF : SVCDF 3 : 2 ，
AO
B
x
思路 1：转化底边之比为“A”字型线段比
当 SAQD 2SAPQ 时，求点 P 的坐标．
y
【分析】 （1）抛物线解析式为 y x2 3x 4
C
A
P Q
BO
D
x
（2）转化面积比为底边比： DQ : PQ SVAQD : SVAPQ 2 :1 ， 考虑 P、Q 均为动点，故可转化底边之比为“A”字型线段比：
y
C
A
P Q
E
BO
D
x
y
SDAC 2SDCM ？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
M
【分析】
B
（1）设顶点式，代入 A 点坐标，可得解析式为： y x2 2x 8 ．
C
当 x=3 时，y=5，故点 B 坐标为（3,5），∴直线 AB 的解析式为：y=2x-1． O
x
A
（2）铅垂法表示△ACD 的面积：
A
B
如图，在矩形 ABCD 中，AB 4 ，AD 3 ，以点 C 为圆心作e C 与直线 BD 相切，点 P 是e C
上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T ，则 AP 的最大值是 ． AT
除了转化为“A ”字型线段比之外，亦可构造垂线之比 分别过 A、P 向 BD 边作垂线，垂足分别记为 M、N， 则 TP PN ，考虑到 A M 是定值，故只需 PN 最大，比值即最大．
也可以构造水平“8”字，过点 D 作 DG∥x 轴交 BC 于点 G，则 OF OB ，又 OB=3，∴ FD DG
DG=2 即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．
y
C
D
G
F
AO
B
x
其实本题分析点的位置也能解：
思路 3：设点 D 坐标为 m,m2 2m 3 ，
如图抛物线经 y ax2 bx c 过点 A(1,0) ，点 C(0,3) ，且OB OC ．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 P 为抛物线上一点，连接 CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求 点 P 的坐标．
y
【分析】
C
（1）解析式为 y x2 2x 3 ，对称轴为直线 x=1．
【分析】
y
（1） y x2 2x 3 ；顶点坐标为（-1,4）．
P C
（2）根据 SCPD : SBPD 1: 2 可得 CD：BD=1：2，
D
故 D 点是线段 B C 靠近点 C 的三等分点，又 B（-3,0）、C（0,3），
∴D 点坐标为（-1,2）．
B
A
O
x
【2019 深圳中考（删减）】
O A
B x
P
（2）连接 CP，可将四边形 CBPA 分为△CAP 和△CBP ． 即 SVCAP : SVCBP 3 : 5 或 SVCAP : SVCBP 5 : 3 ．
考虑△CAP 和△CBP 共底边 CP，记 CP 与 x 轴交于点 M ，则 SVCAP : SVCBP AM : BM
C
D2
解得： x1 1 ， x2 2 ．
F
故 D 点坐标为（1，4）或（2，3）．
AO
B
Gx
思路 2：转化底边之比为“8”字型线段比
y
C AO
D
F
G
B
x
过点 D 作 DG∥y 轴交 BC 边于点 G，则 OF OC ，又 OC=3，故点 G 满足 DG=2 即可．这 FD DG
个问题设 D 点坐标即可求解．