专题12 面积比例分析-中考数学二次函数压轴题核心考点突破

【中考压轴】二次函数背景下的面积问题，一道题全讲明白，你能拿下吗？

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二次函数压轴之面积问题
面积问题涵盖的题型
1.面积最值问题
2.面积倍分关系问题
3.面积比例及最值问题
经典题解析与方法分析
抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B（3，0），与y 轴交于点C，直线y＝kx-3，经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求PBC面积最大时点P 的坐标；
分析：坐标系背景下的面积问题，主要涉及的方法是面积的求解方法，一般是铅垂法、割补法、平移法，一般铅垂法是通用方法，在解决一些复杂问题时非常实用.
方法简介：铅垂法，一般是求解三角形面积时，找到水平宽和与之对应的铅垂高，其乘积的一增即为三角形的面积.
方法一：铅垂法
点评：设点，再分别求水平宽和铅垂高的表达式，从而得到三角形面积的表达式，通过二次函数的性质求得取最值时的P点坐标方法二:平移法
点评：通过平移至临界位置，面积即可求最值，思路与前面比较新颖，且解决方法比较快捷；
方法三：割补法
点评：割补法思考起来难度不大，但是计算需要一定的耐心，对同学们的计算能力有一定的要求；。

中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)

学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法割补法平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题一、单选题1．如图，已知AB=8，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正方形APCD，以PB 为底作等腰△PBE，连接CE，则△PCE的面积的最大值是（）A．B．4C．4.2D．2．下列函数关系中，是二次函数的为（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径之间的关系3．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（）A．6米B．8米C．12米D．4．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5B．6C．7D．85．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形CDEF的边CD在x轴上，E，F在抛物线上，连结GA ，GB ，ABG 是正三角形，2AB =，则阴影部分的面积为（）A．12 B．3 C．22- D．2-6．如图，点A （1，16），B （2，12），C （3，8），D （4，4）均在函数l 图象上，P 为该函数在第一象限内图象上一点，PE ⊥x 轴于点E ，当△OEP 的面积取最大值时，OE 的长为（）A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.5二、填空题7．如图，2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（在左边）与y 轴交于C 点，P 是线段AC 上的一点，连结BP 交轴于点Q ，连结OP ，当OAP 和PQC 的面积之和与OBQ 的面积相等时，点的坐标为 .A y P8．用长12m 的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是（中间横框所占的面积忽略不计）9．如图所示，用一段长30m 的木栏围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m ，这个矩形菜园的面积最大为 2m ．10．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数213y x =与213y x =-的图象，则阴影部分的面积是．11．如图，菱形ABCD 的两条对角线AC 和BD 满足AC+BD ＝16，则这个菱形的面积最大值是．12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以 cm /s 的速度向点D 运动，过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ，过E 点作EF ⊥BC 于点F ，设△ABP 的面积为S 1，四边形PDFE 的面积为S 2，则点P 在运动过程中，S 1+S 2的最大值为．三、解答题13．如图，用一段30米长的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米.求当平行于墙的边长为多少米时，围成的矩形面积最大，并求出面积的最大值.14．如图，矩形绿地的长、宽各增加 m x ，写出扩充后的绿地的面积y 与x 的关系式．15．如图，二次函数 223y x x =-++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，求 BCD 的面积．16．如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 互相垂直， 10AC BD += ，当、的长是多少时，四边形的面积最大？17．在平面直角坐标系中，若抛物线 22y x = 与直线 1y x =+ 交于点 (,)A a b 和点 (,)B c d ，其中 a c > ，点 O 为原点，求 ABO ∆ 的面积.18．如图所示的正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化（阴影部分），剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所（四边形EFGH ）其中AB=100米，且AE=AH=CF=CG ．则当AE 的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？AC BDABCD19．如图，已知二次函数y=﹣ 12x 2+bx ﹣6的图象与x 轴交于一点A （2，0），与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．20．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x （m 2），种草所需费用y 1（元）与x （m 2）的函数关系式为 ()()11206006001000k x x y k x b x ≤<⎧⎪=⎨+≤≤⎪⎩ ，其图象如图所示：栽花所需费用y 2（元）与x （m 2）的函数关系式为y 2=﹣0.01x 2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k 1、k 2和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W （元），请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．21．已知二次函数y ＝x 2+bx+c.(Ⅰ)若二次函数的图象经过(3，﹣2)，且对称轴为x＝1，求二次函数的解析式；(Ⅱ)如图，在(Ⅰ)的条件下，过定点的直线y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)与(1)中的抛物线交于点M，N，且抛物线的顶点为P，若△PMN的面积等于3，求k的值；(Ⅲ)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.。

专题12 有关函数的计算说理类综合问题 -突破中考数学压轴题学霸秘笈大揭秘(学生版)

专题12 有关函数的计算说理类综合问题【类型综述】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．【方法揭秘】代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．[来源:]如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE =．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+．请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1【典例分析】例1 在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称点P ′为点P 关于⊙C 的反称点．如图1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2, 1)，N3(,0)2，T (1,3)关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线3233y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．例2已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．例3如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB=，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例4已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．例5 如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【变式训练】一、解答题(本大题共20题) 1．已知二次函数（1）该抛物线与轴交于点，顶点为，求点的坐标；（2）在（1）的条件下，轴是否存在一点，使得最短？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由.2．已知抛物线y ＝﹣x 2+2kx ﹣k 2+k +3（k 为常数）的顶点纵坐标为4．（1）求k 的值；（2）设抛物线与直线y＝﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n＝x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（0，3），B（1，0），现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax2+bx+c经过点C．（1）如图1，若抛物线经过点A和D（﹣2，0）．①求点C的坐标及该抛物线解析式；②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点E（2，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO，若符合条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围．4．已知：二次函数满足下列条件：①抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点；②对于任意实数x，a(-x+5)2+b(-x+5)=a(x-3)2+b(x-3) 都成立.（1）、求二次函数y=ax2+bx的解析式（2）、若当-2≤x≤r(r≠0)时，恰有t≤y≤1.5r成立，求t和r的值.5．平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．6．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．7．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过（0，﹣3）．（1）n＝_____________；（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与x 轴有且只有一个交点，求m 值；（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于x 轴的直线y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为；（4）如图，二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过点A（3，0），连接AC，点P 是抛物线位于线段AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．10．如图抛物线y=ax2+bx，过点A（4，0）和点B（6，2），四边形OCBA是平行四边形，点M（t，0）为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）当△AMN的周长最小时，求t的值；（3）如图②，过点M作ME⊥x轴，交抛物线y=ax2+bx于点E，连接EM，AE，当△AME与△DOC相似时．请直接写出所有符合条件的点M坐标．11．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）点D是抛物线上的一动点，是否存在点D，使得tan∠DCB=tan∠ACO．若存在，请求出点D的坐标，若不存在，说明理由．12．已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．（1）求tan∠OPQ的值；（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．①求抛物线C′的解析式；②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．13．如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A 运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．14．如图，抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，3），点D是x轴上一动点，连接CD，将线段CD绕点D旋转得到DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l 于F，连接DF．（1）求抛物线解析式；（2）若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到，求线段DF的长；（3）若线段DE是CD绕点D旋转90°得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数图象上一点，过点M作轴，如果二次函数的图象与关于l成轴对称，则称是关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点M是二次函数图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数是关于点M的伴随函数．若，求的函数表达式．点，在二次函数的图象上，若，a的取值范围为______．过点M作轴，如果，线段MN与的图象交于点P，且MP：：3，求m的值．如图3，二次函数的图象在MN上方的部分记为，剩余的部分沿MN翻折得到，由和所组成的图象记为.以、为顶点在x轴上方作正方形直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．17．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．18．如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L1上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L1沿直线l翻折得到抛物线L2，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．（1）当L1与L2重合时，求点P的坐标；（2）当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出L1与L2中，y均随x的增大而减小时的x的取值范围；（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n=m时，求△PMB的面积．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=k（x﹣ax﹣b），其中a≠b．（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．（2）若此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，求该函数的表达式．（3）若a+b=4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．20．如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+m交x轴于点A，二次函数y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D，已知CD 与x轴平行，且S△ACD：S△ABD=3：5．（1）求点A的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转α°（0°＜α°＜360°）得到线段A'C'（点A，A'是对应点，点C，C'是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax2﹣3a x+c的图象上？若存在，请直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由．。

最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)

二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。

【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ．当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。

二次函数压轴题面积比例分析

面积系列之面积比例分析除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类【2019陕西中考（删减）】综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】（1）可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS ⨯⨯， 3396442BCDAOCSS =⨯=⨯=，此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A 3)-和点B 0)．过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B两点坐标代入即可求得解析式：212y x =；（2）由题意可知C 点坐标为（0，-3），故132AOCS=⨯，比例计算：93AOQAOCS S==，再根据面积即可确定Q 点坐标．【小结】再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代入A 点坐标，可得解析式为：228y x x =-++．当x =3时，y =5，故点B 坐标为（3,5），∴直线AB 的解析式为：y =2x -1．（2）铅垂法表示△ACD 的面积：设点D 坐标为()2,28m m m -++，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点，则P 点坐标为(),21m m -，线段DP =-m ²+9，()221492182ACDSm m =⨯⨯-+=-+，面积公式表示△MCD 的面积：过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ =1-m ，()11814422MCDS MC DQ m m =⨯⨯=⨯⨯-=-+ 2DACDCMSS=，()2218244m m -+=-+解得：m =5或-1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m =-1． D 点坐标为（-1,5）．策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．DCBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA【2019毕节中考（删减）】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】（1）223y x x =--+；顶点坐标为（-1,4）．（2）根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B （-3,0）、C （0,3）， ∴D 点坐标为（-1,2）．【2019深圳中考（删减）】如图抛物线经2y ax bx c =++过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【分析】（1）解析式为223y x x =-++，对称轴为直线x =1．（2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAPCBPSS=或:5:3CAPCBPSS=．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBPSSAM BM =①AM ：BM =5：3，点M 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x =-+，联立方程：22323x x x -++=-+，解得：10x =（舍），24x =．故P 点坐标为（4，-5）．②AM ：BM =3：5，点M 坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x =-+，联立方程：22363x x x -++=-+，解得：10x =（舍），28x =．故P 点坐标为（8，-45）．策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例：【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段．构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB =，若要APAT取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=，故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值，过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可．但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ【2018本溪中考（删减）】如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC ==．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】（1）解析式：223y x x =-++（2）显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2）过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2．直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+，解得：11x =，22x =．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+，解得11m =，22m =，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．【2019鞍山中考（删减）】在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式为234y x x =-++ （2）转化面积比为底边比：::2:1AQDAPQDQ PQ SS==，考虑P 、Q 均为动点，故可转化底边之比为“A ”字型线段比：∵BD =4，∴取E （-3,0）满足BE =2，过点E 作AB 平行线，与抛物线交点即为所求P 点，方法同上题．“8”字型同样可解，此处就不再啰嗦了．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：:::ABDACDSSBD CD BM CN ==．MNABCD还是以2019连云港中考题为例【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是． TA BCDP除了转化为“A ”字型线段比之外，亦可构造垂线之比分别过A 、P 向BD 边作垂线，垂足分别记为M 、N ，则TP PNAT AM=，考虑到AM 是定值，故只需PN 最大，比值即最大． MN T ABCD PMNT A BCDP如上右图所示，当PN 过点C 时，PN 取到最大值，即可求出本题的最大值．上述例子并不能代表作垂线的价值，在有些题目中，作垂线会是更优解．【2019营口中考】在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ．（1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．【分析】（1）设解析式为()()13y a x x =+-，去括号为223y ax ax a =--，即c =-3a ．（2）211=22S AO OC OC ⨯⨯=，过点D 作DM ⊥x 轴交x 轴于M 点，11322S OB DM DM =⨯⨯=若1223S S =，即322132DMOC =，29DM OC =，计算到这一步，接下来的问题便是如何将DM 与OC 联系起来？考虑对称的性质，记AD 与BC 交于点E ，E 为OD 中点且E 为垂足，过点E 作EN ⊥x 轴交x 轴于点N ．转化DM ：12EN DM =，故19EN OC =， 13BN =，83ON =，射影定理可求：EN∴9OC EN ==∴a =-如图，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b = ；（2）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【分析】（1）将A （-1,0）代入得：b =2；（2）2PQBQRBSS=转化为PQ =2QR ，但这里PQ 与QR 均不易表示，所以继续转化线段比．过P 点作PF ⊥x 轴，交BD 于E 点，交x 轴于F 点．PQ PE PR PF∴PF ：PE =6：5，设P 点坐标，分别表示PE 、PF ，根据比例即可求出P 点坐标．当P 点在y 轴左侧时，同理，过点P 作PM ⊥x 轴分别交x 轴、BD 延长线于M 、N 两点，此时PR ：PQ =1：2，PR PM =，PQ PN =1:2=，化简得：PN ：PM =5：2，设点P 坐标，分别表示PM 、PN ，代入比例计算可得点P 坐标．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得ADG∆的面积是BDG∆的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式()213y a x =-+，代点B （5,0），解得：316a =-，故抛物线解析式为()231316y x =--+．（2）当点G 在x 轴下方时，如图所示，记DG 与x 轴交点为M 点，化面积比为线段比：::ADGBDGSSAM BM =考虑AM =8，当AM ：BM =3：5时，M 点坐标为（0,0）又D 点坐标为（1,3），故直线DM 解析式为：y =3x ，与抛物线联立方程：23345316816x x x -++=，解得115x =-，21x =（舍）故第1个G 点坐标为（-15，-45）．当点G 在x 轴上方时，如图所示，此时△ADG 和△BDG 共底边DG ，但高并不易求，故可用铅垂法分别算两三角形面积．过点G 作x 轴的垂线分别交AD 、BD 的延长线于M 、N 两点，1422ADGS GM GM =⨯⨯=（A 、D 两点之间水平距离为4） 1422BDGSGN GN =⨯⨯=（B 、D 两点之间的水平距离为4） ∴:3:5ADGBDGSS=，即GM ：GN =3:5，设G 点坐标为23345,16816m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，AD 解析式为：3944y x =+，BD 解析式为：31544y x =-+，故M 、N 坐标分别为39,44m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、315,44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22334539339168164416816GM m m m m m ⎛⎫=-++-+=--+ ⎪⎝⎭ 2231533453915441681616816GN m m m m m ⎛⎫=-+--++=-+ ⎪⎝⎭223393168163915516816m m m m --+=-+，解得：m =0或1（舍）故第2个G 点坐标为450,16⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个计算量是不是有点大，所以，其实，可以，再转化一下：化底边之比为其他线段之比．记AD 、GD 、ND 与y 轴交点分别为P 、Q 、R ，则GM ：GN =QP ：QR放大DNGMP QR可求P 点坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，R 点坐标为150,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，当PQ ：PR =3：5时，Q 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭．接下来根据D 、Q 求G ：由D 、Q 坐标求直线DQ 解析式为：3451616y x =+，与抛物线联立方程：23345345168161616x x x -++=+，解得10x =，21x =（舍），故G 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭，巧了，本题G 、Q 重合．写在最后：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行．。

中考数学压轴题分析：二次函数与面积比的最值问题

中考数学压轴题分析：二次函数与面积比的最值问题本文内容选自2021年柳州中考数学压轴题。

以二次函数为背景，考查面积比的最值问题，本质上利用相似得到线段比的最值。

此类题目在往年也出现过。

中考数学压轴题分析：面积比的最值中考数学压轴题分析：同高三角形面积比的最大值【中考真题】（2021·柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B 作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为，△ABN的面积为，求的最大值．【分析】（1）把三点的坐标代入解方程组即可得到解析式。

（2）根据BE=2OE，可以确定直线OE的解析式，然后联立二次函数的解析式即可。

可以过点E作OB的垂线进行转化。

（3）发现两个三角形由公共边BN，那么就可以考虑把面积比转化为底AN与MN的比。

此时就可以考虑构造相似进行求解。

方法1位过点B作AB的平行线与BC相交，得到一组相似进行转化。

方法二则分别过点A与M作AB的垂线，得到一组相似进行转化。

【答案】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，）得：a·1·（﹣3），解得：a，∴；（2）BE＝2OE，P为OB中点，设OE为x，BE＝2x，，，解得：（舍），∴OE，BE，过点E作TF平行于OB，∴△ETO∽△OEB，∴，∴，∴3TE，解得：TE，∴OT，∴E（，），∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，∵OE的延长线交抛物线于点D，∴，解得：（舍），当x＝1时，y＝﹣2，∴D（1，﹣2）；（3）∵，∴，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为yx，当x＝﹣1时，y·（﹣1）2，∴F（﹣1，﹣2），∴AF＝2，设，∴，∴a0，∴，∴．。

中考：二次函数之面积问题

中考：二次函数之面积问题
二次函数之面积问题：
二次函数是中考中压轴题的必考题型，面积问题亦是近几年中考比较常见，面积问题一般难度不会太大，多数学生若掌握相应题型是可以拿到这部分的分数的；面积问题常见的题型有：面积相等问题、面积倍数问题、面积（点）存点性问题等，以上问题的知识起点不会太高，一般的同学都可以动笔写！
一.知识点睛
1二次函数之面积问题的处理思路
（1）分析目标图形的点、线、图形特征；
（2）依据特征，原则对图形进行割补、转化；
（3）设计方案，求解、验证
坐标系下问题处理原则：充分利用横平竖直的线段长
函数特征与几何特征的互转
2二次函数之面积问题常见模型
典型例题：
法一用的是常规方法：充分利用横平竖直线段长，将面积表达式列出，转化成二次函数最值问题；
法二用的是解析方法：当直线平移至与抛物线只有一个交点时直线距离最远，即三角形面积取最大值，此时即联立方程时的一元二次方程有两个相等的实根，进而求到面积最大值；。

初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题

初中数学二次函数面积最值问题的4种解法…掌握不再惧怕压轴题初中数学二次函数面积最值问题一般是指给出一个二次函数，要求求出其在一定范围内的面积最大值或最小值。

这类问题可以通过四种不同的解法来求解，分别是代数解法、几何解法、导数解法和平移法。

下面我来详细介绍这四种解法。

1.代数解法：代数解法是通过代数方法来解决问题。

对于给定的二次函数，首先根据题目要求找出变量的限制条件，然后可以利用一些代数的技巧，如配方法、因式分解等，将问题转化为求最值的问题。

通过求取顶点，得到函数的极值点，进而求得面积的最值。

代数解法的优点是原理简单，容易理解和掌握；缺点是计算量大，需要一些代数技巧和计算能力。

2.几何解法：几何解法是通过几何图形的性质和关系来解决问题。

对于给定的二次函数，可以画出函数的图像，然后根据几何图形的性质，找出切线、直线和坐标轴的交点，进而得到问题的解。

几何解法的优点是直观简单，理论基础较弱；缺点是需要具备较好的几何直观和空间想象能力。

3.导数解法：导数解法是通过求函数的导数，对函数的变化情况进行分析，进而求出极值点。

对于给定的二次函数，可以求出其导数，并令导数为零，求得顶点的横坐标，再代入函数中求得纵坐标，从而得到问题的解。

导数解法的优点是简单快捷，通用性强；缺点是需要一些微分的知识和运算能力。

4.平移法：平移法是通过对函数进行平移变换，将求最值的问题转化为求一些形状固定的函数的最值问题。

对于给定的二次函数，可以通过平移到一些特定位置，使得问题的解变为该函数的最值。

平移法的优点是逻辑清晰，简单明了；缺点是需要一些平移变换的知识和运算能力。

这四种解法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法。

在解决二次函数面积最值问题时，可以结合代数、几何、导数和平移四种解法，综合运用，可以更快更准确地解决问题。

掌握了这些解法，就不再害怕压轴题了。

中考数学：二次函数的面积问题考点梳理

中考数学：二次函数的面积问题考点梳理中考数学压轴题全揭秘精品：二次函数的面积问题
【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【点睛】此题主要考查二次函数的应用，(1)(2)题相对简单，(3)
题要分情况进行讨论方法解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．
【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
(2)过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；
(3)根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.。

2024年中考数学专题复习—二次函数面积定值比例问题以及米勒角

2024年中考数学专题复习—⼆次函数⾯积定值、比例问题以及米勒⾓⼀、⾯积定值与等值问题1 .定值问题【问题描述】如图，抛物线223y x x与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上⽅部分取⼀点P，连接PB、PC，若△PBC⾯积为3，求点P坐标．思路1：铅垂法列⽅程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为2,23m m m，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），222333PQ m m m m m ，213332PBCS m mV，分类讨论去绝对值解⽅程即可得m的值．思路2：构造等积变形P QABC同底等⾼三⾓形⾯积相等．取BC 作⽔平宽可知⽔平宽为3，根据△PBC ⾯积为3，可知铅垂⾼为2，在y 轴上取点Q 使得CQ =2，过点Q 作BC 的平⾏线，交点即为满⾜条件的P 点．当点Q 坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y =-x +5，联⽴⽅程：2235x x x，解之即可．当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y =-x +1，联⽴⽅程：2231x x x，解之即可．2 . 等值问题【问题描述】如图，抛物线223y x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线上存在⼀点P 使得△PBC 的⾯积等于△BOC 的⾯积，求点P 坐标．思路1：铅垂法计算出△BOC ⾯积，将“等积问题”转化为“定积问题”，⽤铅垂法可解．思路2：构造等积变形过点O 作BC 的平⾏线，与抛物线交点即为所求P 点，另外作点O 关于点C 的对称点M ，过点M 作BC 平⾏线与抛物线的交点亦为所求P 点．先求直线解析式，再联⽴⽅程即可求得P点坐标．⼆、⾯积比例问题1、⽅法突破除了三⾓形、四边形⾯积计算之外，⾯积⽐例也是中考题中常见的条件或结论，对⾯积⽐例的分析，往往⽐求⾯积要复杂得多，这也算是⾯积问题中最难的⼀类．⼤部分题⽬的处理⽅法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．策略⼀：运⽤比例计算类策略⼆：转化⾯积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD ⾯积之⽐．CBA转化为底：共⾼，⾯积之⽐化为底边之⽐：则::ABD ACD S S BD CD V V ．B更⼀般地，对于共边的两三⾓形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABD ACD S S BM CN BE CE V V．策略三：进阶版转化在有些问题中，⾼或底边并不容易表⽰，所以还需在此基础上进⼀步转化为其他线段⽐值，⽐如常见有：“A ”字型线段⽐、“8”字型线段⽐．“A ”字型线段⽐：:::ABD ACD S S BD CD BA AM V V ．“8”字型线段⽐：:::ABD ACD S S BD CD AB CM V V．转化为垂线：共底，⾯积之⽐化为⾼之⽐：:::ABD ACD S S BD CD BM CN V V ．B总结：⾯积能算那就算，算不出来就转换；底边不⾏就作⾼，还有垂线和平⾏．三、米勒⾓问题（最⼤张⾓）【问题描述】1471年，德国数学家⽶勒向诺德尔提出这样⼀个问题：如图，点A、B直线l的同⼀侧，在直线l上取⼀点P，使得∠APB最⼤，求P点位置．l【问题铺垫】这样顶点在圆外，两边和圆相交的⾓叫圆外⾓．圆外⾓：如图，像∠APB相关结论：圆外⾓等于这个⾓所夹两条弧的度数差（⼤减⼩）的⼀半．如图，»»2AB CDP ACB PBC．换句话说，对同⼀个圆⽽⾔，圆周⾓>圆外⾓．【问题解决】结论：当点P 不与A 、B 共线时，作△P AB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠APB 最⼤．l证明：在直线l 上任取⼀点M （不与点P 重合），连接AM 、BM ，∠AMB 即为圆O 的圆外⾓，∴∠APB >∠AMB ，∠APB 最⼤．∴当圆与直线l 相切时，∠APB 最⼤．特别地，若点A 、B 与P 分别在⼀个⾓的两边，如下图，则有2OP OA OB．（切割线定理）证明：∵∠POA =∠BOP ，∠OP A =∠OBP （弦切⾓定理）∴△AOP ∽△POB ，∴OA OPOP OB ，∴2OP OA OB ．即可通过OA 、OB 线段长确定OP 长，便知P点位置．【题型1】作铅垂⾼解决⾯积定值问题例1－1湖北武汉市·中考真题1．抛物线L ：2y x bx c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x ＝1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线 40y kx k k 与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的⾯积等于1，求k的值．【分析】（1）解析式：221y x x；（2）考虑到直线过定点Q （1，4），且M 、N 均为动点，故考虑⽤割补法．BMN QBN QBMS S S V V V ，分别过M 、N 作对称轴的垂线，垂⾜分别记为G 、H ，11112222BMN N M S QB NH QB MG QB NH MG QB x x V ，考虑N M x x ：联⽴⽅程：2214x x kx k ，化简得 2230x k x k ，N M x x，∴1212BMN S V ，解得：13k，23k （舍）．故k 的值为－3．2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）2．如图，抛物线2722y x x 上的点A ，C 坐标分别为 0,2， 4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上⼀点，且2OM，连接AC ，CM ，点P 是抛物线位于第⼀象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PACACM S S △△时，求点P 的坐标【答案】2,5P【分析】过点P 作PF x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，⽤待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x ，设点P 的横坐标为 04p p ，则27,22P p p p，1,22E p p ，故24(04)PE p p p ，先求得8ACMS △，从⽽得到212882PAC S PE OC p p △，解出p 的值，从⽽得出点P 的坐标；【详解】解：过点P 作PF x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为 0y kx m k ，将0,2A ， 4,0C 代⼊y kx m，得240m k m ，解得122k m，∴直线AC 的解析式为122y x 设点P 的横坐标为04p p则27,22P p p p，1,22E p p，∴2271224(04)22PE p p p p p p∵8ACMS △，∴212882PAC S PE OC p p △，解得122p p ，∴ 2,5P 南通·中考真题3．定义：若⼀个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x ，2y x x 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0)y x x ，y x b的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x 轴，垂⾜为C ．当ABC 的⾯积为3时，求b 的值；解：（1）在2y x中，令2x x ，得02 不成⽴，函数2y x的图象上不存在“等值点”；在2y x x 中，令2x x x ，解得：10x，22x ，函数2y x x 的图象上有两个“等值点” (0,0)或(2,2)；（2）在函数3(0)y x x 中，令3x x，解得：xA ，在函数y x b 中，令x x b ，解得：12x b，1(2B b ，1)2b ，BC x Q 轴，1(2C b，0)，1||2BC b ，ABC Q 的⾯积为3，111|||3222b b ，当0b时，2240b ，解得b当0b2240b ，Q △2(4124840，⽅程2240b没有实数根，当b 时，2240b，解得：bb 的值为 2023·⼭东泰安·中考真题4．如图1，⼆次函数24y ax bx的图象经过点(4,0),(1,0)A B ．(1)求⼆次函数的表达式；(2)若点P 在⼆次函数对称轴上，当BCP V ⾯积为5时，求P 坐标；(3)⼩明认为，在第三象限抛物线上有⼀点D ，使90DAB ACB ∠∠；请判断⼩明的说法是否正确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．【答案】(1)254y x x(2)5,42 或5,162【分析】（1）直接运⽤待定系数法求解即可；（2）⾸先求出直线BC 解析式，然后通过设P 点坐标，并表⽰对应Q 点坐标，从⽽利⽤“割补法”计算BCP V 的⾯积表达式并建⽴⽅程求解即可；【详解】（1）解：将(4,0),(1,0)A B 代⼊24y ax bx 得：1644040a b a b ，解得：15a b，∴抛物线解析式为：254y x x ；（2）解：由抛物线254y x x可知，其对称轴为直线52x， 0,4C ，设直线BC 解析式为：y kx c ，将 1,0B ， 0,4C 代⼊解得：44k c，∴直线BC 解析式为：44y x，此时，如图所⽰，作PQ x ∥轴，交BC 于点Q，∵点P 在⼆次函数对称轴上，∴设5,2P m ，则4,4m Q m，∴456424m m PQ ，∴ 116642242BCP C B m m S PQ y yV ，∵要使得BCP V ⾯积为5，∴652m ，解得：4m 或16m ，∴P 的坐标为5,42 或5,162【题型2】作平⾏线解决⾯积问题例2－1⼭东省临沂市·中考真题5．在平⾯直⾓坐标系中，直线2y x与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a 经过点A 、B ．（1）求a 、b 满⾜的关系式及c 的值．（2）如图，当1a时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB 的⾯积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A 坐标为（－2，0），点B 坐标为（0，2），代⼊解析式可得：c ＝2，4a －2b +2＝0（2）考虑A 、B ⽔平距离为2，△P AB 的⾯积为1，故对应的铅垂⾼为1．当a ＝－1时，可得b ＝－1，抛物线解析式为y ＝－x ²－x +2．取点C （0，3）作AB 的平⾏线，其解析式为：y ＝x +3，联⽴⽅程－x ²－x +2＝x +3，解得x ＝－1，故点1P坐标为（－1，2）取点D （0，1）作AB 的平⾏线，其解析式为：y ＝x +1，联⽴⽅程－x ²－x +2＝x +1，解得11x，21x ．点2P坐标为1 、点3P坐标为1 ．2023·四川⽢孜·中考真题6．已知抛物线2y x bx c与x 轴相交于 10A ，，B 两点，与y 轴相交于点 03C ，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第⼀象限抛物线上⼀点，PBC V 的⾯积与ABC V 的⾯积相等，求直线AP 的解析式【答案】(1)2,3.b c，(2)1y x (3)存在，点P的坐标为12 或12 【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）PBC ABCS S △△得到AP BC ∥，即可求解；（3）由题意的：,AEP AEP P E PE，即可求解．【详解】（1）由题意，得10,3.b c c2,3.b c（2）由（1）得抛物线的解析式为2=23y x x ．令0y ，则2230x x ，得1213x x -=，．∴B 点的坐标为30，．PBC ABC S S Q △△，∴AP BC ∥．∵ 3003B C ，，，-，∴直线BC 的解析式为3y x ．∵AP BC ∥，∴可设直线AP 的解析式为y x m．∵10A（-，）在直线AP 上，∴01m．∴1m．∴直线AP 的解析式为1y x．四川凉⼭州·中考真题7．如图，抛物线2y ax bx c的图象过点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在⼀点P ，使得PAC 的周长最⼩，若存在，请求出点P 的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上⽅的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线解析式为：y ＝－x ²+2x +3；（2）将军饮马问题，作点C 关于对称轴的对称点C ’（2，3），连接AC ’，与对称轴交点即为所求P 点，可得P 点坐标为（1，2），△P AC 的周长亦可求．（3）过点C 作AP 平⾏线与抛物线交点即为M 点，联⽴⽅程得解；记AP 与y 轴交点为Q 点，作点C 关于Q 点的对称点点D ，过点D 作AP 的平⾏线，与抛物线在x 轴上⽅部分的交点即为所求M 点，联⽴⽅程得解．连云港·中考真题8．如图，抛物线22(3)(69)y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上⼀点，若PBC ABCS S ，请直接写出点P 的坐标；解：（1）将(3,0)B 代⼊22(3)(69)y mx m x m ，化简得，20m m，则0m （舍)或1m ，1m ，243y x x ．(0,3)C ，设直线BC 的函数表达式为y kx b ，将(3,0)B ，(0,3)C 代⼊表达式，可得，033k b b ，解得，13k b，直线BC 的函数表达式为3y x ．（2）如图，过点A 作1//AP BC，设直线1AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得到直线23P P．由（1）得直线BC 的表达式为3y x ，(1,0)A ，直线AG 的表达式为1y x ，联⽴2143y x y x x ，解得10x y ，或21x y，1(2,1)P 或(1,0)，由直线AG 的表达式可得(0,1)G ，2GC ，2CH ，直线23P P 的表达式为：5y x ，联⽴2543y x y x x，解得，3272x y，或，3272x y，23(2P，72，33(2P，7)2 ，；综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1)，(1,0)，3(2，7)2 ，3(2，722023·⿊龙江·中考真题9．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于 3,0,1,0A B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在⼀点P ，使得12PBC ABCS S V V ，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x (2)存在，点P 的坐标为2,3 或3,12 【分析】（1）采⽤待定系数法，将点A 和点B 坐标直接代⼊抛物线23y ax bx，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段AB 的中点D ，且与BC 平⾏的直线上的点与点B ，点C 连线组成的三⾓形的⾯积都等于12ABC S V ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联⽴，即可求得答案．【详解】（1）解：因为抛物线23y ax bx 经过点 30A ,和点 10B ,两点，所以933030a b a b，解得12a b，所以抛物线解析式为：223y x x．（2）解：如图，设线段AB 的中点为D ，可知点D 的坐标为1,0 ，过点D 作与BC 平⾏的直线l，假设与抛物线交于点1P， 2P （1P 在2P的左边），（2P在图中未能显⽰）．设直线BC 的函数解析式为 10y kx b k ．因为直线BC 经过点10B ,和 0,3C ，所以1103k b b，解得133k b，所以，直线BC 的函数解析式为：33y x．⼜12//PP BC ，可设直线12PP的函数解析式为23y x b ，因为直线12PP经过点D 1,0 ，所以230b ．解得23b ．所以，直线12PP的函数解析式为33y x ．根据题意可知，12DBC ABCS S V V ．⼜12//PP BC ，所以，直线12PP 上任意⼀点P 与点B ，点C 连线组成的P BCV 的⾯积都满⾜12P BC ABCS S V V ．所以，直线12PP 与抛物线223y x x 的交点1P ，2P 即为所求，可得23323x x x ，化简，得260x x ，解得1232x x ，，所以，点1P的坐标为 2,3 ，点2P 的坐标为 3,12 ．故答案为：存在，点P 的坐标为2,3 或 3,12 ．江苏徐州·中考真题10．如图，点A 、B 在214y x 的图象上．已知A 、B 的横坐标分别为2 、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA 、OB ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求AOB 的⾯积；（3）若函数214y x 的图象上存在点P ，使PAB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，则这样的点P 共有个．解：（1）Q 点A 、B 在214y x 的图象上，A 、B 的横坐标分别为2 、4，(2,1)A ，(4,4)B ，设直线AB 的解析式为y kx b， 2144k b k b ，解得122k b，直线AB 为122y x ；（2）在122y x 中，令0x ，则2y ，C 的坐标为(0,2)，2OC ，112224622AOB AOC BOC S S S ．（3）过OC 的中点，作AB 的平⾏线交抛物线两个交点1P、2P ，此时△1P AB 的⾯积和△2P AB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，作直线12PP 关于直线AB 的对称直线，交抛物线两个交点3P 、4P ，此时△3P AB 的⾯积和△4P AB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，所以这样的点P 共有4个，故答案为4．【题型3】⾯积比例问题的转化定值问题或函数表达式例3－1内蒙古通辽市·中考真题11．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a 的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A 和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S 若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代⼊A 点坐标，可得解析式为：228y x x．当x ＝3时，y ＝5，故点B 坐标为（3，5），∴直线AB 的解析式为：y ＝2x －1．（2）铅垂法表⽰△ACD 的⾯积：设点D 坐标为2,28m m m ，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点，则P 点坐标为 ,21m m ，线段DP ＝－m ²+9，221492182ACD S m m V ，⾯积公式表⽰△MCD 的⾯积：过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ ＝1－m ，11814422MCD S MC DQ m m V 2DAC DCM S S V V ， 2218244m m解得：m ＝5或－1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m ＝－1．D 点坐标为（－1，5）．2023·辽宁盘锦·中考真题12．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于点 10A ，， 30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，点E 是第⼀象限内⼀点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S △△，求PAB V ⾯积．【答案】(1)223y x x ，(2) 23Q ，，(3)72【分析】（1）将点 10A ，， 30B ，代⼊抛物线23y ax bx 得到309330a b a b，解⽅程组即可得到答案；（2）设4MN m，3BN m ，则5BM QM m ，则9QN m ，33ON m ，从⽽表⽰出点Q 的坐标为339m m ，，代⼊抛物线解析式，求出m 的值即可得到答案；（3）求出直线AP 的表达式，利⽤AFEABE S S △△，得到 1122A E E DF x x AB y ，求出点P 的坐标，再根据12PAB PS AB y V 进⾏计算即可得到答案．【详解】（1）解：Q 抛物线23y ax bx 与x 轴交于点 10A ，， 30B ，，309330a b a b，解得：12a b，抛物线的解析式为：223y x x ；（2）解：设点 223m m P m ，，直线AP 的解析式为y kx b ，Q 10A ，，2023k b km b m m，解得： 33k m b m ，直线AP 的解析式为 33y m x m ，当0x 时， 33y m m ， 03m ，，3OD m ，3CF OD m ，在抛物线223y x x 中，当0x 时，3y ， 03C ，，3OC ，  33323DF OC OD CF m m m ，设点E 的坐标为 33t m t m ，，Q 10A ，， 30B ，，4AB ，Q AFE ABE S S △△， 1122A E E DF x x AB y ， 1123143322m t m t m ，解得：52m ，点P 的坐标为5724，，117742242PAB P S AB yV ．13．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上⼀点，且在直线AB 的上⽅．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB ⾯积是△P AB ⾯积的2倍，求点P 的坐标【答案】(1)241633y x x，(2)存在，162,3 或（3，4）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为41633y x，过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E ．可得PAB PNB PNAS S S△△△32PN，设2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．由2416416833333PN m m m ，解⽅程求得m 的值，进⽽即可求解；【详解】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代⼊2y ax bx，得16404a b a b ，解得43163a b ．所以抛物线的解析式为241633y x x ．（2）设直线AB 的解析式为0y kx t k ，将A （4，0），B （1，4）代⼊y kx t，得404k t k t，解得43163k t ．所以直线AB 的解析式为41633y x．过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E．所以PAB PNB PNAS S S△△△1122PN BE PN AM 12PN BE AM 32PN ．因为A （4，0），B （1，4），所以14482OAB S △．因为△OAB 的⾯积是△P AB ⾯积的2倍，所以3282PN ，83PN．设 2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．所以2416416833333PN m m m ，即24201683333m m ，解得12m ，23m ．所以点P 的坐标为162,3或（3，4）．zz2022·福建·统考模拟预测14．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx 经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上⼀点，且在直线AB的上⽅．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB ⾯积是△P AB ⾯积的2倍，求点P 的坐标；【答案】(1)241633y x x(2)存在，162,3或（3，4）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为41633y x，过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E ．可得PAB PNB PNAS SS△△△32PN，设2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．由2416416833333PN m m m ，解⽅程求得m 的值，进⽽即可求解；【详解】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代⼊2y ax bx，得16404a b a b ，解得43163a b．所以抛物线的解析式为241633y x x ．（2）设直线AB 的解析式为0y kx t k ，将A （4，0），B （1，4）代⼊y kx t，得404k t k t，解得43163k t．所以直线AB 的解析式为41633y x．过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E．所以PAB PNB PNAS S S△△△1122PN BE PN AM 12PN BE AM 32PN ．因为A （4，0），B （1，4），所以14482OAB S △．因为△OAB 的⾯积是△P AB ⾯积的2倍，所以3282PN ，83PN．设 2416,1433P m m m m ，则416,33N m m ．所以2416416833333PN m m m，即24201683333m m ，解得12m ，23m ．所以点P 的坐标为162,3或（3，4）．【题型4】⾯积比例问题的转化为线段比例4－115．如图，抛物线22(0)y ax x c a 与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上⽅抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S时，求点D的坐标．【分析】（1）解析式：223y x x （2）显然△COF 和△CDF 共⾼，可将⾯积之⽐化为底边之⽐．::3:2COF CDF OF DF S S V V ，思路1：转化底边之⽐为“A ”字型线段⽐在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE ＝3：2）过点E 作BC 的平⾏线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平⾏线分线段成⽐例，OF ：FD ＝OC ：CE ＝3：2．直线EG 解析式为：y ＝－x +5，与抛物线联⽴⽅程，得：2235x x x，解得：11x，22x ．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之⽐为“8”字型线段⽐过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG ，⼜OC ＝3，故点G 满⾜DG ＝2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造⽔平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG，⼜OB ＝3，∴DG ＝2即可．但此处问题在于⽔平线段不如竖直线段易求，⽅法可⾏但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为2,23m m m ，根据OF ：DF ＝3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ，点F 在直线BC 上，将点坐标代⼊直线BC 解析式：y ＝－x +3，23693+35555m m m ，解得11m，22m ，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的⽅法要求能理解⽐例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．深圳市中考真题16．如图抛物线经2y ax bx c过点(1,0)A ，点(0,3)C ，且OB OC ．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的⾯积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【分析】（1）解析式为223y x x，对称轴为直线x ＝1．（2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAP CBP S SV V 或:5:3CAP CBP S S V V ．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBP S S AM BMVV ①AM ：BM ＝5：3，点M 坐标为3,02，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x，联⽴⽅程：22323x x x，解得：10x （舍），24x ．故P 点坐标为（4，－5）．②AM ：BM ＝3：5，点M 坐标为1,02，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x，联⽴⽅程：22363x x x，解得：10x （舍），28x ．故P 点坐标为（8，－45）．牡丹江中考真题17．抛物线2y x bx c经过点(3,0)A 和点(0,3)C ．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）若过顶点D 的直线将ACD 的⾯积分为1:2两部分，并与x 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为．注：抛物线2(0)y ax bx c a 的顶点坐标24(,)24b ac b a a解：（1）把点(3,0)A 和点(0,3)C 代⼊2y x bx c 得：9303b c c，解得：23b c ，223y x x ，2223(1)4y x x x Q ，顶点(1,4)D ．（2）取线段AC 的三等分点E 、F ，连接DE 、DF 交x 轴于点1Q 、2Q ，则：:1:2DAE DEC S S ，:2:1DAF DFC S S ，Q 点(3,0)A ，点(0,3)C ，(2,1)E ，(1,2)F ，DF x 轴于点2Q ，2(1,0)Q ，设直线DE 的解析式为：(0)y kx b k，把点(1,4)D ，(2,1)E 代⼊，得：421k b k b，解得：37k b，直线DE 的表达式为：37y x，当0y时，73x，17(3Q ，0)．故答案为：17(3Q，0)，2(1,0)Q．2022·四川内江中考真题18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)211242y x x，(2)点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【分析】（1）运⽤待定系数法即可解决问题；（2）过点D 作DH ⊥AB 于H ，交直线AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，可⽤待定系数法求出直线AC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，则点G 的横坐标也为m ，从⽽可以⽤m 的代数式表⽰出DG ，然后利⽤cos cos EDG CAO得到5DE DG，可得出关于m 的⼆次函数，运⽤⼆次函数的最值即可解决问题【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．∴16404202a b c a b c c，解得：14122a b c，∴抛物线的解析式为211242y x x ；（2）如图，设直线CP 交x 轴于点E，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，⼜∵S△PCB：S△PCA＝11::22C P C PEB y y AE y y EB AE，则EB：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代⼊直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或2 3，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，联⽴⽅程组22211242y xy x x或222311242y xy x x，解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．2023·四川泸州中考真题19．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知抛物线2y ax2x c与坐标轴分别相交于点A，B，0,6C三点，其对称轴为2x．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第⼀象限的⼀个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD CE时，求CD 的长；②若CAD V ，CDE V ，CEF △的⾯积分别为1S ，2S ，3S ，且满⾜1322S S S ，求点F 的坐标．【答案】(1)21262y x x(2)①8 ；②4,6F 【分析】（1）根据抛物线对称轴为2x ，可得222a，求得12a ，再将 0,6C 代⼊抛物线，根据待定系数法求得c ，即可解答；（2）①求出点B ，点A 的坐标，即可得到直线BC 的解析式为6y x，设CD a ，则 0,6D a ，求得AD 的解析式，列⽅程求出点E 的坐标，最后根据CD CE列⽅程，即可求出CD 的长；②过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I ，根据1322S S S ，可得2AD EF DE ，即13DE AF ，证明DEI AFB △∽△，设21,262F h h h ，得到直线AF 的解析式，求出点D 的坐标，即可得到点E 的坐标，将点E 的坐标代⼊6y x解⽅程，即可解答．【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为2x ，得222a，解得12a，将0,6C 代⼊抛物线可得6c，抛物线的解析式为21262y x x ；（2）解：当0y 时，得210262 x x ，解得16x ，22x ，2,0A ， 6,0B ，设CB 的解析式为y kx b，将 0,6C ， 6,0B 代⼊y kx b ，得606b k b，解得16k b，CB 的解析式为6y x，设CD a，则 0,6D a ，设AD 的解析式为11y k x b，将 0,6D a ， 2,0A 代⼊11y k x b ，得111602a b k b，解得11626a k b a，AB 的解析式为662ay x a，联⽴⽅程6662y x a y x a，解得284888a x a a y a，根据CD CE，得a解得18a28a ，经检验，18a28a 是⽅程的解，Q 点F 是该抛物线上位于第⼀象限的⼀个动点，D 在y 轴正半轴，6a，8a即CD的长为8 ；②解：如图，过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I，1322S S S Q ，2AD EF DE ，13DE AF，设21,262F h h h，则2AH h ，,EG AB FH AB Q ，EG FH ∥，DEI AFB  ，DI EG Q ，90DIE  ，DEI AFB △∽△，112333DI AB h ，即点D 的横坐标为1233h，21122363EI FH h h ，设AF 的解析式为22y k x b ，将 2,0A ，21,262F h h h，代⼊得22222021262k b h h k h b，解得221326k h b h ，AF 的解析式为1362y h x h ，0,6D h ，即6DO h ，90DOG Q ，四边形DOGI 是矩形，6IG DO h ，211863EG EI IG h h ，即21211,83363E h h h ，将21211,83363E h h h 代⼊6y x ，得21112866333h h h ，解得14h ，240h （舍去）， 4,6F ．2022·四川内江中考真题20．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)211242y x x(2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【分析】（1）运⽤待定系数法即可解决问题；（2）根据S△PCB：S△PCA＝11():():,22C P C PEB y y AE y y BE AE即可求解．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴1640 4202a b ca b cc，解得：14122abc，∴抛物线的解析式为211242y x x；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的⾯积分为1：5两部分，⼜∵S△PCB：S△PCA＝11::22C P C PEB y y AE y y EB AE，则EB：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代⼊直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或2 3，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，联⽴⽅程组22211242y xy x x或222311242y xy x x，解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【题型5】⽶勒⾓（最⼤张⾓问题）例题5-121．如图，在平⾯直⾓坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最⼤值为45°，求直线l的解析式．【分析】考虑到直线l未知但∠APB的最⼤值已知为45°，故构造圆．记△ABP外接圆圆⼼为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，故可确定M点位置．根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），连接MC 、MP ，考虑到圆M 与直线CP 相切，故MP ⊥CP ，△CPM 是直⾓三⾓形．∵MC =4，MP =MA=，∴CP△CPM 是等腰直⾓三⾓形，易求P 点坐标为（1，4），⼜C 点坐标为（-1，2），可求直线l 的解析式为y =x +3．⼭东烟台中考真题22．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于A （-1，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y轴交抛物线于另⼀点D ，作DE ⊥x 轴，垂⾜为点E ，双曲线 60y x x经过点D ，BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC ⽅向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD的度数最⼤？（请直接写出结果）【分析】（1）考虑到点D 纵坐标与点C 相同，为3，代⼊反⽐例解析式，可得D 点坐标为（2，3），根据A 、D 坐标可得抛物线解析式：223y x x ．（2）求t 即求P 点位置．思路2：切割线定理延长BD 交y 轴于M 点，则当2MP MD MB 时，∠BPD 最⼤．考虑到B （3，0）、D （2，3），可得直线BD 解析式：39y x，故直线BD 与y 轴交点M 点坐标为（0，9），MD，MB ，∴260MP MD MB，∴MP∴P点坐标为 0,9 ，故t的值为9 2023·四川宜宾中考真题23．如图，抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 4,0A 、 2,0B ，且经过点 2,6C．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上⽅的抛物线上任取⼀点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q ，求APQ △的⾯积；(3)点M 是y 轴上⼀动点，当AMC 最⼤时，求M 的坐标．【答案】(1)233642y x x (2)814APQ S V(3) 0,12M 【分析】（1）设抛物线的解析式为42y a x x ，代⼊点C 的坐标，确定a 值即可．（2）设233,642N m m m，直线AN 的解析式为y kx b ，直线BN 的解析式为y px q ，表⽰出P ，Q ，Q 的坐标，进⽽计算即可．（3）当M 是y 轴与经过A ，C ，M 三点的圆的切点是最⼤计算即可.【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 4,0A 、 2,0B ，∴设抛物线的解析式为42y a x x ，∵经过点 2,6C ，∴ 62422a ，解得34a ，∴ 3424y x x ，∴233642y x x ．（2）如图，当点N 在对称轴的右侧时，∵22333627+4+1424y x x x ，∴对称轴为直线=1x，设233,642N m m m，直线AN 的解析式为y kx b ，直线BN 的解析式为y px q ，∴224020,3333664242k b p q mk b m m mp q m m 解得2222333366424224,33123624242m m m m p k m m m m m m b q m m ，∴直线AN 的解析式为2243363624442y m m x m m m m ，直线BN 的解析式为22233363124222y x m m m m m m ，当=1x 时，  2223399618362912444444242m m m m m m y m m m m ，  22233399631218422914422224y m m m m m m m m m m ，∴ 91,24P m ， 91,44Q m ，91,44Q m ，∴992724442PQ m m ，∴127813224APQ S V ．如图，当点N 在对称轴的左侧时，∵22333627+4+1424y x x x ，∴对称轴为直线=1x ，设233,642N m m m ， 91,24P m ， 91,44Q m ，91,44Q m ，∴992724442PQ m m ，∴127813224APQ S V ．综上所述，814APQ S V ．（3）当AMC V 的外接圆与OM 相切，切点为M 时， AMC 最⼤，设外接圆的圆⼼为E ，Q 是异于点M 的⼀点，连接QA ，QC ，QA 交圆于点T ，则AMC ATC，根据三⾓形外⾓性质，得ATC AQC ，故AMC AQC ，∴AMC 最⼤，设OA 与圆交于点H ，连接MH ，ME ，根据切线性质，∴90EMO MOA ，作直径HN ，连接MN ，∴90HMN ，MNH MAH，∵EM EH ，∴EMH EHM，∴9090EMH EHM，∴OMH MNH MAH，∴OMH OAM V V ∽， ∴OM OH OA OM ，∴2OM OA OHg ，设,OM y OH x ，则AH 4x，∴24y x，∴y过点E 作EF OA ，垂⾜为F ，过点C 作CG OA ，垂⾜为G ，交EM 于点P ，根据垂径定理，得42x AF FH ，四边形EMOF 是矩形，∴4422x x EC EM OF x ，根据 2,6C ，得2CD PM OG ，6CG ∴4222P x E EM PM x ，∴6CP CG PG CG OM在直⾓三⾓形PEC 中，∴2224()(6(22x x ，∴16x∴22(16)x ，∴21122560x x，解得156x 2564x （舍去），∴ 2612y故12OM ∴当AMC 最⼤时， 0,12M ．。

二次函数压轴题面积比例分析

面积系列之面积比例分析除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类【2019陕西中考（删减）】综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】（1）可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS ⨯⨯， 3396442BCDAOCSS =⨯=⨯=，此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A 3)-和点B 0)．过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B两点坐标代入即可求得解析式：212y x =；（2）由题意可知C 点坐标为（0，-3），故132AOCS=⨯，比例计算：93AOQAOCS S==，再根据面积即可确定Q 点坐标．【小结】再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代入A 点坐标，可得解析式为：228y x x =-++．当x =3时，y =5，故点B 坐标为（3,5），∴直线AB 的解析式为：y =2x -1．（2）铅垂法表示△ACD 的面积：设点D 坐标为()2,28m m m -++，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点，则P 点坐标为(),21m m -，线段DP =-m ²+9，()221492182ACDSm m =⨯⨯-+=-+，面积公式表示△MCD 的面积：过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ =1-m ，()11814422MCDS MC DQ m m =⨯⨯=⨯⨯-=-+ 2DACDCMSS=，()2218244m m -+=-+解得：m =5或-1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m =-1． D 点坐标为（-1,5）．策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．DCBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA【2019毕节中考（删减）】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】（1）223y x x =--+；顶点坐标为（-1,4）．（2）根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B （-3,0）、C （0,3）， ∴D 点坐标为（-1,2）．【2019深圳中考（删减）】如图抛物线经2y ax bx c =++过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【分析】（1）解析式为223y x x =-++，对称轴为直线x =1．（2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAPCBPSS=或:5:3CAPCBPSS=．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBPSSAM BM =①AM ：BM =5：3，点M 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x =-+，联立方程：22323x x x -++=-+，解得：10x =（舍），24x =．故P 点坐标为（4，-5）．②AM ：BM =3：5，点M 坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x =-+，联立方程：22363x x x -++=-+，解得：10x =（舍），28x =．故P 点坐标为（8，-45）．策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例：【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段．构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB =，若要APAT取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=，故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值，过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可．但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ【2018本溪中考（删减）】如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC ==．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】（1）解析式：223y x x =-++（2）显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2）过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2．直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+，解得：11x =，22x =．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+，解得11m =，22m =，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．【2019鞍山中考（删减）】在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式为234y x x =-++ （2）转化面积比为底边比：::2:1AQDAPQDQ PQ SS==，考虑P 、Q 均为动点，故可转化底边之比为“A ”字型线段比：∵BD =4，∴取E （-3,0）满足BE =2，过点E 作AB 平行线，与抛物线交点即为所求P 点，方法同上题．“8”字型同样可解，此处就不再啰嗦了．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：:::ABDACDSSBD CD BM CN ==．MNABCD还是以2019连云港中考题为例【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是． TA BCDP除了转化为“A ”字型线段比之外，亦可构造垂线之比分别过A 、P 向BD 边作垂线，垂足分别记为M 、N ，则TP PNAT AM=，考虑到AM 是定值，故只需PN 最大，比值即最大． MN T ABCD PMNT A BCDP如上右图所示，当PN 过点C 时，PN 取到最大值，即可求出本题的最大值．上述例子并不能代表作垂线的价值，在有些题目中，作垂线会是更优解．【2019营口中考】在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ．（1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．【分析】（1）设解析式为()()13y a x x =+-，去括号为223y ax ax a =--，即c =-3a ．（2）211=22S AO OC OC ⨯⨯=，过点D 作DM ⊥x 轴交x 轴于M 点，11322S OB DM DM =⨯⨯=若1223S S =，即322132DMOC =，29DM OC =，计算到这一步，接下来的问题便是如何将DM 与OC 联系起来？考虑对称的性质，记AD 与BC 交于点E ，E 为OD 中点且E 为垂足，过点E 作EN ⊥x 轴交x 轴于点N ．转化DM ：12EN DM =，故19EN OC =， 13BN =，83ON =，射影定理可求：EN∴9OC EN ==∴a =-如图，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b = ；（2）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【分析】（1）将A （-1,0）代入得：b =2；（2）2PQBQRBSS=转化为PQ =2QR ，但这里PQ 与QR 均不易表示，所以继续转化线段比．过P 点作PF ⊥x 轴，交BD 于E 点，交x 轴于F 点．PQ PE PR PF∴PF ：PE =6：5，设P 点坐标，分别表示PE 、PF ，根据比例即可求出P 点坐标．当P 点在y 轴左侧时，同理，过点P 作PM ⊥x 轴分别交x 轴、BD 延长线于M 、N 两点，此时PR ：PQ =1：2，PR PM =，PQ PN =1:2=，化简得：PN ：PM =5：2，设点P 坐标，分别表示PM 、PN ，代入比例计算可得点P 坐标．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得ADG∆的面积是BDG∆的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式()213y a x =-+，代点B （5,0），解得：316a =-，故抛物线解析式为()231316y x =--+．（2）当点G 在x 轴下方时，如图所示，记DG 与x 轴交点为M 点，化面积比为线段比：::ADGBDGSSAM BM =考虑AM =8，当AM ：BM =3：5时，M 点坐标为（0,0）又D 点坐标为（1,3），故直线DM 解析式为：y =3x ，与抛物线联立方程：23345316816x x x -++=，解得115x =-，21x =（舍）故第1个G 点坐标为（-15，-45）．当点G 在x 轴上方时，如图所示，此时△ADG 和△BDG 共底边DG ，但高并不易求，故可用铅垂法分别算两三角形面积．过点G 作x 轴的垂线分别交AD 、BD 的延长线于M 、N 两点，1422ADGS GM GM =⨯⨯=（A 、D 两点之间水平距离为4） 1422BDGSGN GN =⨯⨯=（B 、D 两点之间的水平距离为4） ∴:3:5ADGBDGSS=，即GM ：GN =3:5，设G 点坐标为23345,16816m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，AD 解析式为：3944y x =+，BD 解析式为：31544y x =-+，故M 、N 坐标分别为39,44m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、315,44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22334539339168164416816GM m m m m m ⎛⎫=-++-+=--+ ⎪⎝⎭ 2231533453915441681616816GN m m m m m ⎛⎫=-+--++=-+ ⎪⎝⎭223393168163915516816m m m m --+=-+，解得：m =0或1（舍）故第2个G 点坐标为450,16⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个计算量是不是有点大，所以，其实，可以，再转化一下：化底边之比为其他线段之比．记AD 、GD 、ND 与y 轴交点分别为P 、Q 、R ，则GM ：GN =QP ：QR放大DNGMP QR可求P 点坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，R 点坐标为150,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，当PQ ：PR =3：5时，Q 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭．接下来根据D 、Q 求G ：由D 、Q 坐标求直线DQ 解析式为：3451616y x =+，与抛物线联立方程：23345345168161616x x x -++=+，解得10x =，21x =（舍），故G 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭，巧了，本题G 、Q 重合．写在最后：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行．。

2022福建中考数学压轴题分析2：二次函数面积比的最值问题

2022福建中考数学压轴题分析2：二次函数面积比的最值问题本题是与二次函数有关的面积问题，特别是第（3）问，求面积比和的最大值，最终通过转化为线段的比来求。

这是近两年以来出现的比较多的问题。

一般就是考查两个共边三角形面积的比的最值，利用A字型或者X字型的相似转化为求线段的最值。

本题的难度明显比以往几年福建省中考数学的压轴题的难度降了不少。

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）本题考查待定系数法，把点A和B的坐标代入抛物线的解析式即可。

依题意，得，解得。

抛物线的解析式为。

（2）三角形OAB与三角形PAB具有公共边，如果△OAB的面积是△PAB面积的2倍，那么以AB为底的高，也具有倍半关系。

本题可以考虑的思路有比较多，最直接的莫过于分别表示出两个三角形的面积，建立等量关系即可。

当然，另一方面，根据面积比可以转化为求高的比，进而可以转化为线段PC与OC的长度之比，再适当转化一下，就可以求出点P的坐标了。

下面对第二种方法进行介绍。

先过点P作x轴的垂线，垂足为F，PF与AB交于点E。

延长AB 与y轴交于点G。

再分别过点P、O作AB的垂线，垂足分别为M、N。

设AB的解析式，代入点坐标可以得到AB的解析式为：。

设点的坐标为，则，．因为△OAB的面积为△PAB面积的2倍，则ON=2PM，再根据△OCN∽△PCM，可以得到OC=2PC。

然后根据△OGC∽△PEC，可以得到OC=2PE。

由直线AB的解析式可以得到点G的纵坐标为16/3，那么PE的长就是8/3。

然后根据PN=8/3，建立等量关系，解方程即可。

，解得，。

所以点的坐标为或。

接下来从另外的思路出发，取OA的中点M（2，0），连接BM，再过点B作OA的平行线与抛物线交于点P，过点P作AB的平行线交抛物线点P′。