2013届高考数学一轮复习阶段成果检测《解三角形4》
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4简单的三角恒等变换练习含解析
简单的三角恒等变换考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α：sin2α＝2sin αcos α.(2)公式C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)公式T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2α2，1＋cos α＝2cos2α2.(升幂公式)(2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22.(升幂公式)(3)sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，tan 2α＝1－cos2α1＋cos2α.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.( √ )(2)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ ) (4)存在实数α，使tan2α＝2tan α.( √ ) 教材改编题1．sin15°cos15°等于( ) A ．－14B.14C ．－12D.12答案 B解析 sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2．化简1＋cos4的结果是( )A ．sin2B ．－cos2 C.2cos2 D ．－2cos2答案 D解析 因为1＋cos4＝2cos 22， 又cos2<0，所以可得选项D 正确．3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α等于( )A ．－22B ．2C ．－13D ．－12答案 D解析 由tan(π＋2α)＝－43，得tan2α＝－43，又tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， 解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限角，所以tan α＝－12.题型一 三角函数式的化简例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( )A.1515B.55C.53D.153答案 A解析 方法一 因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.方法二 因为tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α， 解得sin α＝14.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝.答案 12cos2x解析 原式＝2cos 2x cos 2x －1＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 22x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x cos x 1＋sin x cos x·1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12cos 22x cos 2x －sin 2x ＝12cos2x . 教师备选1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. 2．已知0<θ<π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝.答案 －cos θ解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)21＋sin4＋2＋2cos4等于( ) A ．2cos2 B ．2sin2 C ．4sin2＋2cos2 D ．2sin2＋4cos2答案 B解析 21＋sin4＋2＋2cos4＝2sin 22＋2sin2cos2＋cos 22＋2＋22cos 22－1 ＝2sin2＋cos22＋4cos 22＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵π2<2<π， ∴cos2<0，∵sin2＋cos2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π4，0<2＋π4<π，∴sin2＋cos2>0，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.(2)化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( ) A.33B.233C. 3 D ．2答案 B解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1 ＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5° ＝11－2sin 215°＝1cos30°＝233. 题型二 三角函数式的求值 命题点1 给角求值例2 (1)sin40°(tan10°－3)等于( ) A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 sin40°·(tan10°－3)＝sin40°·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－3 ＝sin40°·sin10°－3cos10°cos10°＝sin40°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin10°－32cos10°cos10°＝sin40°·2cos60°·sin10°－sin60°·cos10°cos10°＝sin40°·2sin 10°－60°cos10°＝sin40°·－2sin50°cos10°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.(2)cos20°·cos40°·cos100°＝. 答案 －18解析 cos20°·cos40°·cos100° ＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.命题点2 给值求值 例3 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( )A.29 B ．－29C.79 D ．－79答案 C解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－29＝79.(2)(2022·长春质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6等于( ) A.23B.29C ．－19D ．－79 答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋3cos α＝13，∴sin αcosπ3－cos αsin π3＋3cos α＝13， ∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13， ∴12sin α＋32cos α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π2＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos2α＝，2α－β＝.答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos2α＝2cos 2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 教师备选 1.cos40°cos25°1－sin40°的值为( )A ．1B.3C.2D ．2 答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos25°cos20°－sin20°＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.2．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.7π6答案 C解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510， 解得sin A ＝55， 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255.由sin B ＝1010，且B 为钝角， 得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝－31010.所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)， 所以A ＋B ＝7π4.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝. 答案4－3310解析 由题意可得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin2θ＝－45， 即sin2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式， 可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin2θcos π3－cos2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310. 思维升华 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (2)给值(角)求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α等于( )A.15B.55C.33D.255 答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α， 解得sin α＝55. (2)(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12B.33C.22D.32 答案 D 解析 因为cos5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32.(3)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝13，则sin2x ＝. 答案 －13解析 ∵sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin2x 2＝13， ∴sin2x ＝－13.题型三 三角恒等变换的综合应用例5 (2022·河南中原名校联考)已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且f (α)＝65，求cos2α.解 (1)f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－ 3＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x － 3＝23cos 2x －2sin x cos x － 3 ＝3(1＋cos2x )－sin2x － 3 ＝3cos2x －sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，解得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且f (α)＝65，而f (α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝65， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝35， 因为0≤α≤π2，所以π6≤2α＋π6≤7π6，则π6≤2α＋π6≤π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45，则cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝35×32＋45×12 ＝33＋410. 教师备选 已知函数f (x )＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值．解 (1)由题意得f (x )＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －7π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，64，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22.(2)因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝1625－925＝725， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ＝－12(sin2θ－cos2θ)＝12(cos2θ－sin2θ) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫725＋2425 ＝3150. 思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练 3 (2022·云南曲靖一中质检)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2，2sin x2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2，3cos x 2，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最大值，并指出f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，f (β)＝65，求f⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．解 (1)f (x )＝cos 2x2－sin 2x 2＋23sin x 2cos x2＝cos x ＋3sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，得x ＝π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )的最大值为2，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π3＋2k π，k ∈Z . (2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝513，∵0<β<π2，∴π6<β＋π6<2π3，又f (β)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴π6<β＋π6<π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝6365， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12665. 课时精练1．已知tan α＝3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2等于( ) A ．－32B.35 C ．－35D.15答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α＝－2sin αcos α ＝－2sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×31＋32＝－35.2．(2022·安庆模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan θ＝2，则cos2θ等于( )A ．－23B.23C ．－13D.13答案 C解析 cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－13. 3．(2022·威海模拟)tan67.5°－1tan67.5°的值为( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 C解析 tan67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°cos67.5°－1sin67.5°cos67.5°＝sin67.5°cos67.5°－cos67.5°sin67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin67.5°cos67.5°＝－cos135°12sin135°＝2.4．(2022·黑龙江大庆中学模拟)若cos(30°－α)－sin α＝13，则sin(30°－2α)等于( ) A.13 B ．－13C.79D ．－79答案 D解析 由cos(30°－α)－sin α＝13，得32cos α－12sin α＝13， 即cos(30°＋α)＝13，所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α) ＝2cos 2(30°＋α)－1＝2×19－1＝－79.5．(多选)已知f (x )＝12(1＋cos2x )sin 2x (x ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π 答案 ABC解析 ∵f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos2x )＝14(1－cos 22x ) ＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )， ∴f (－x )＝18[1－cos4(－x )]＝18(1－cos4x )＝f (x )， T ＝2π4＝π2， f (x )的最大值为18×2＝14，故A ，B ，C 正确，D 错误．6．(多选)下列各式中，值为12的是( )A ．cos 2π12－sin 2π12B.tan22.5°1－tan 222.5°C ．2sin195°cos195°D.1＋cosπ62答案 BC 解析 cos2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12 ＝cosπ6＝32， 故A 错误；tan22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan22.5°1－tan 222.5 ＝12tan45°＝12，故B 正确； 2sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°cos15°＝sin30°＝12， 故C 正确；1＋cosπ62＝2＋34＝2＋32≠12， 故D 错误． 7．求值：3－tan12°2cos 212°－1sin12°＝.答案 8解析 原式＝3－sin12°cos12°cos24°sin12°＝3cos12°－sin12°cos24°sin12°cos12°＝2sin 60°－12°14sin48°＝2sin48°14sin48°＝8.8．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝.答案 －725解析 方法一 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.方法二 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35，∴12(1＋sin2α)＝925， ∴sin2α＝2×925－1＝－725.9．(2022·杭州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，求cos α的值．解 (1)因为f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1＋2sin5π6＝1＋1＝2. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝115，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43＋310. 10．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.连接BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于12？解 设∠PAB ＝α，连接PB .∵AB 是圆的直径，∴∠APB ＝90°. 又AB ＝1，∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.∵PC 是圆的切线，∴∠BPC ＝α. 又PC ＝1，∴S 四边形ABCP ＝S △APB ＋S △BPC ＝12PA ·PB ＋12PB ·PC ·sin α ＝12cos αsin α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14 ＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14，由已知，得24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴2α－π4＝π4，∴α＝π4，故当点P 位于AB 的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12.11．(2022·昆明一中模拟)已知m ＝2sin18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( )A ．－14B ．－12C.14D.12答案 B解析 因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4， 所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°， 因此1－2cos 2153°m n＝－cos306°2sin18°·2cos18°＝－cos54°2sin36°＝－sin36°2sin36°＝－12.12．(2022·杭州模拟)“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin2θ≥1＋32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由3cos 2θ－12sin2θ＝32cos2θ－12sin2θ＋32≥1＋32，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≥12，所以－π4＋k π≤θ≤π12＋k π(k ∈Z )， 因此“－π4≤θ≤π12”是“3cos 2θ－12sin2θ≥1＋32”的充分不必要条件． 13．在平面直角坐标系Oxy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2的值是．答案 －2425解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a .又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75，两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925，即1＋sin2α＝4925，∴sin2α＝2425.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α＝－2425.14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，且α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2.∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π， ∴－π<2α－β<0.∵tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1， ∴2α－β＝－3π4.15．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为． 答案 2解析 因为f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin2x (x >－1)与y ＝|ln(x ＋1)|(x >－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．16.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 如图，连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin2θ.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400m 2.此时AO ＝DO ＝102m.故当点A ，D 到圆心O 的距离为102m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400m 2.。
2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第4章-三角函数-4-解三角形(含答案解析)
第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1. (2013天津理6）在ABC △中，π,3,4AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠=（ ）. ABCD． 2. (2013湖南理3）在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B =A 则角等于（ ）. A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π33.(2013安徽12)设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，.若23sin 5sin b c a A B +==，，则角C = .4.（2013浙江理16）ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________.5.（2014 北京理 15）如图所示，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD .（1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.6.（2015广东）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．6.解析 解法一：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=，所以b c =，且23A B C π=π--=．又a =2222cos a b c bc A =+-，所以22232cos3b c bc π=+-．又b c =，解得21b =，所以1b =． 解法二：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=，D A23A B C π=π--=．又a =sin 1sin a Bb A==．故应填1.7.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：π2B A -=； （2）求sin sin A C +的取值范围. 7.解析（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==,所以sin cos B A =， 即πsin sin 2B A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又B 为钝角，因此π2A +∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，故π2B A =+，即π2B A -=.（2）由（1）知，()ππππ22022CA B A A ⎛⎫=-+=-+=-> ⎪⎝⎭，所以π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是πsin sin sin sin 2sin cos 22A CA A A A ⎛⎫+=+-=+= ⎪⎝⎭22sin sin 1A A -++2192sin 48A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为π04A <<,所以0sin 2A <<,因此2<21992sin 488A ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭…，由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 8.（2016全国甲理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4co s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．8.2113解析 解法一：由题可知3sin 5A =，12sin 13C =.由正弦定理sin sin a c A C =可得2013c =.由射影定理可得21cos cos 13b a Cc A =+=. 解法二：同解法一，可得2013c =.又()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665.由余弦定理可得2113b =.解法三：因为4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+=63sin cos +cos sin 65A C A C =.由正弦定理得sin sin b a B A =，解得2113b =．9.（2016江苏15）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长； （2）求πcos 6A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 9. 解析 （1）因为4cos 5B =，而()0,B ∈π，所以3sin 5B ==. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，故sin sin AC AB CB=6325=⨯= （2）因为()cos cossin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，所以cos 10A =-. 又()0,A ∈π，所以sin 10A ==，故π1cos sin 62220A A A ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 10.（2016浙江理16）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.10.解析 （1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是sin sin().B A B =-又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以 π()B A B =--或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由24a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =； 当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =． 11.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,ABC 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 11.解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 12.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）. A.2a b = B.2b a = C.2A B = D.2B A = 12.解析 因为sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A. 题型56 余弦定理的应用1. (2013重庆理20）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c +=. （1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值. 2.（2013山东理17）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a c +=，2b =，7cos 9B =. （1）求a ，c 的值； （2）求()sinA B -的值.3.（2014 江苏理 14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．4.（2014 天津理 12）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin B 3sin C =，则cos A 的值为_______.5.（2014 湖南理 18）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =.（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos 14BAD ∠=-，sin 6CBA ∠=，求BC 的长.6.（2015安徽）在ABC △中，3,6,4A AB AC π∠===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．6.解析 解法一：设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c，由余弦定理得(222222cos 6a b c bc BAC =+-∠=+-326cos 4π⨯⨯=1836+-()3690-=，所以a =sin sin b BACB a∠==10=，由题设知04B π<<，所以cos B10=． 在ABD △中，由正弦定理得()sin sin 2AB BAD B ==π-6sin 32sin cos cos B B B B==．解法二：如图所示，设AD BD x ==．由余弦定理得ABCD222BC AB AC =+-(222cos 6AB AC BAC ∠=+-326cos 4π⨯⨯=90，所以BC =在ABD △中，设ADB θ∠=，则ADC θ∠=π-，故222AB AD BD =+-2cos AD BD θ，即223622cos x x θ=- ① 222AC AD DC =+-()2cos AD DC θπ-，即()()22182cos xx x x θ=++ ②由式①，式②得x =，即ADDCBA7.（2015福建）若锐角ABC △的面积为，且5,8AB AC == ，则BC = ．7.解析 由已知得ABC △的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ==所以sin 2A =．又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=． 由余弦定理得222BC AB AC =+-2cos 49AB AC A =，所以7BC =． 8.（2015江苏）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值． 8.解析 （1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC=（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==.因为()0,C ∈π，故sin C ==，故sin 22sin cos C C C =⋅2==． 评注可不化简，有时候会利于下面的运算．9.（2015陕西）C AB △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()a =m 与()cos ,sin A B =n 平行．（1）求A ； （2）若a =2b =，求C AB △的面积．9.解析 （1）由//m n 可知，cos sin a A B=，由正弦定理，得sin cos sin A BA B==tan A =π3A ⇒=.(2)由余弦定理，得2222147cos 2222b c a c A ab c+-+-=⇒=⇒⨯3c =.所以11πsin 23sin 2232ABCS bc A ==⨯⨯⨯=△10.（2016天津理3）在ABC △中，若AB ，3BC =，120C ∠= ，则AC =（ ）.A.1B.2C.3D.410.A 解析 由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =.故选A.11.（2016全国丙理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （ ）.C.-D.-11. C 解析 如图所示.依题意，AB BC =，AC BC =. 在ABC △中，由余弦定理得DCBA222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅2222252BC BC BC BC +--==故选C.12.（2016北京理15）在ABC △中，222a c b +=. （1）求B ∠的大小；（2cos cos A C +的最大值.12. 解析 （1）由题设可得222ac b +-=.由余弦定理，可得222cos 222a c b B ac ac +-===.又0πB <∠<，所以π4B ∠=. （2）由（1）可得，3π4A C +=，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 再由()πA B C++=，得πcos cos()cos 4C A B A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，πcos cos 4A C A A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭cos 22A A A ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.由3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ,π44A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当且仅当ππ42A +=，即π4A =cos A C + 取到最大值，且最大值是1.题型57 判断三角形的形状1. (2013陕西理7） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △ 的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 题型58 解三角形的综合应用1. (2013陕西理9） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m ）的取值范围是（ ）. A.[]1520，B. []1225，40mC.[]1030，D. []2030， 2.（2014 江西理4）在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若()226c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）. A.3B.2C.2D. 3.（2014 新课标2理4）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC = ，则AC = （ ）.A.5B.C.2D. 14.（2014 重庆理 10）已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin2sinA ABC +-+=()1sin 2C A B --+，面积S 满足12S 剟，记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）. A.()8bc b c +> B. ()ab a b +> C. 612abc 剟 D. 1224abc 剟5.（2014 福建理 12）在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =则ABC △的面积等于 .6.（2014 广东理 12）在ABC △中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 7.（2014 山东理 12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r，当π6A =时，ABC △的面积为 .8.（2014 四川理 13）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈1.73≈）9.（2014 新课标1理16）已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为 .10.（2014 浙江理 17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练. 已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=，则tan θ的最大值 .PMCBA11.（2014 大纲理 17） ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已13cos 2cos tan 3a C c A A ==，.求B . 12.（2014 江苏理 18）如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 13.（2014 山东理 16）已知向量()(),cos2,sin2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求,m n 的值； （2）将()y fx =的图像向左平移()0πϕϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.14.（2014 浙江理 18）（本题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos .A B A A B B -（1）求角C 的大小；（2）若4sin ,5A =求ABC △的面积. 15. (2013福建理13）如图，在ABC △ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3=AD , 则BD 的长为 . 16．（2013湖北理17）在ABC △中，,,A B C 对应的边分别是 ,,a b c ．已知cos 23cos()1A B C -+=． (1) 求角A 的大小 (2) 若ABC △的面积S=b =5，求sin sin B C 的值．17．（2013江西理16） 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos C+(cos A-sin A )cos B =0．(1) 求角B 的大小；(2) 若1a c +=，求b 的取值范围．18．（2013四川理17） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． （1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．19. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在BBA处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C .（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 20. (2013全国新课标卷理17）ABC △在内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC △面积的最大值.21.（2015北京）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= . 21.解析 在ABC △中，sin 22sin cos sin sin A A A C C =，由正弦定理得sin sin A aC c=，由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=. 22.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.22.解析 在△ABC 中，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC=︒︒，即BC =，在Rt △BCD 中，因为30CBD ∠=︒，BC =所以tan 30CD BC ︒==CD =. 23.（2015全国1）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .23.解析 解法一：如图所示，75B C BAC ∠=∠=∠=，延长BA ，CD 交于点E ， 则可知BE CE =，且在ADE △中，105DAE ∠=，45ADE ∠=，30E ∠=． 在BEC △中，由正弦定理可得sin 756sin 30BC BE CE ===+所以由题意可得(DE ∈．在ADE △中，由正弦定理可得sin 45sin105DE AE ==)1DE ，所以(0,AE ∈．又因为AB BE AE=-， 所以AB的取值范围是．EDCBA（解法一图） （解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造BEC △，使得75B BCE ∠=∠=， 则30BEC ∠=，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得75BAD ∠=．若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 退化为A BC '△，且可在A BC '△中利用正弦定理求得2sin 306sin 75A B '==-C'A'EABCD若平移AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 退化为BEC '△，且可在BEC △中利用正弦定理求得BE=2sin 756sin 30=+ 又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E 之间，且不与点C与点E 重合，所以AB的取值范围是．24.（2015天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 . 24.解析 因为0πA <<，所以sin A ==，又1sin 28ABCS bc A ∆===24bc =， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得64b c ==，，由余弦定理得2222212cos 64264644ab c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.25.（2015全国2）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △是ADC △面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若1,AD DC ==2，求BD 和AC 的长. 25.分析 (1)用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；(2)由(1)的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解. 解析 (1)根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△， 1sin 2ADCS AC AD CAD =⋅∠△，ACD B又因为2ABDADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠所以得2AB AC =. 由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. (1) 由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为2DC =，所以BD =在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(1)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD =1AC =.26.（2015山东）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，. 若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求△ABC 面积的最大值.26.解析（1）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=sin 21sin 222x x --=1sin 22x -． 由22222k x k ππ-+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k ππ-+π+π剟，k ∈Z ； 由22222k x k π3π+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k π3π+π+π剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是,44k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；单调递减区间是44k k π3π⎡⎤+π,+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．（2）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得1sin 2A =，由题意知A为锐角，所以cos A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2212b c bc =+…，即2bc …且当b c =时等号成立，因此12sin 24bc A …．所以ABC △面积的最大值为24+．27.（2015四川）如图所示，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)求证：1cos tan2sin A AA-=； （2）若180A C ∠+∠=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =， 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. 27.分析（1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可. 由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D A =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .解析 （1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C ∠+∠=，得180C A ∠=-∠，180D B ∠=-∠. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++= ()()()()1cos 1801cos 1801cos 1cos sin sin sin 180sin 180A B A B A B A B ------+++=--22sin sin A B +.连接BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-， 在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-=++，则()()2222222265343cos 2265347AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===+⨯+⨯，DCA所以sin 7A ===. 连接AC ，同理可得()()2222222263541cos 22635419AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin 19B ==.所以tantan tan tan2222A B C D+++=22sin sin A B +==. 28.（2015浙江）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π4A =， 22b a -=122c . (1)求tan C 的值；(2)若ABC △的面积为3，求b 的值．28.（1）解析 解法一：由余弦定理222222cos a b c bc A b c =+-=+，又22221c a b =-，所以消去2a 2212c c -=，32c =，所以3sin B C =3π3sin 4C C ⎛⎫⇒=-⇒⎪⎝⎭2tan =C . 解法二: 由22221c a b =-及正弦定理得2221sin sin sin 2B A C -=，所以 C B 22sin 2121sin =-，23πcos 2sin cos 2sin 24B C C C ⎡⎤⎛⎫-==--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin cos C C =，所以2tan =C ． （2）由2tan =C 得55cos ,552sin ==C C.又π4A =，所以10103sin =B ．由正弦定理得，b c 322=，（或由（1）知）所以1sin 32ABC S bc A ==△，所以2bc ==3=b ．29.（2015重庆）在ABC △中，120B =，AB =，A 的角平分线AD =AC =_______.29.解析 如图所示，由正弦定理易得sin sin AB AD ADB B =∠,即sin ADB =∠，故sin 2ADB ∠=,即ADB π∠=4，在ABC △，知120,B ADB π∠=∠=4，即12BAD π∠=．由于AD 是BAC ∠的角平分线，故26BAC BAD π∠=∠=． 在ABC △中，120,30B BAC ∠=∠=，易得30ACB ∠=．在ABC △中，由正弦定理得ACB AB ABC AC ∠=∠sin sin ，即2sin 60sin 30AC =， 所以6=AC ．ACDB30.（2016上海理9）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．30 不妨设3a =，5b =，7c =，则2221cos 22a b c C ab +-==-，故sin2C=，因此2sin 3c R C ==．31.（2016全国乙理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c=ABC △的面积为2，求ABC △的周长． 31.解析 （1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.（2）由已知得，1sin 22ab C =.又3C π=，所以6ab =.由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=，故2213a b +=，从而2()25a b +=.所以ABC △的周长为5+.32.（2016山东理16）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+. （1）求证：2a b c +=；（2）求cos C 的最小值. 32.解析 （1）由题意知，sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为πA B C ++=，所以()()sinsin πsin A B C C +=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知2a b c +=，所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===311842b a a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭…，当且仅当a b =时，等号成立.故cos C 的最小值为12. 33.（2016四川理17）在ABC △中，角A ，B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）求证：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 33.解析（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>， 则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B Ck A k B k C+=，可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()sin sin πsin A B C C +=-=，所以sin sin sin .A B C =（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==.所以sin A =45=.由（1）得，sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin tan 4.cos BB B==34.（2016全国丙理21）设函数()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ； （3）证明2.f x A '（）…34.解析 （1）()()2sin21sin f x a x a x '=---.（2）当1a …时，()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+≤()()21320a a a f +-=-=.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211gt at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=，()132g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <…时，()g t 在()1,1-内无极值点， ()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由如图所示的图形可知，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a++=.综上可知，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩….（3）由（1）得()()2sin 21sin 21f x a x x a a α'=---+-….当105a <…时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '…； 综上所述有()2f x A '….35.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ35.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ=，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM=，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 36.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.36.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=.37.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.37.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =， 即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为338.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b 38.解析 （1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．39.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．39.解析 （1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =. （2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△40.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 40.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin CBDOBA?? 所以BDC △的面积为1sin 22BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πCBDBDC ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?．ODC BA。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第3单元-三角函数、解三角形(理科)
6
理解 了解 掌握 理解 掌握
2011课标全国11 2011安徽9 2011山东6
2011浙江6 2011辽宁7 2011天津6 2011辽宁4
8
6
第三单元 │ 高考纵览
题 型 三角 函数 与 三角 恒等 变换 解三 角形
考点统计 任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度 和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求 解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦 定理加以解决，教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题 时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的 本质所在．
图16－1
第16讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题1 角的概念的推广 ) )
(1)小于90° 的角是锐角；(
(2)第一象限的角一定不是负角．(
[答案] (1)错
(2)错
[解析] (1)小于90° 的角也可以是零角或负角；(2)第 一象限的角可以是负角，如α＝－300° 就是第一象限的 角．
第16讲 │ 问题思考
第三单元 │ 高考纵览 高考纵览
题 型
三角 函数 与 三角 恒等 变换 解三 角形
考点统计
任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义
考查 频度
8
考查 要求
了解
考例展示
2011课标全国5 2011山东3
2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教B版课后练习+单元测试)(77份打包).阶段性测试题四三角函数
阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·青岛市期末)已知tan(α＋π4)＝3，则tan α的值为( )A.12 B ．－12C.14 D ．－14[答案] A[解析] 由tan(α＋π4)＝3得，tan α＋11－tan α＝3，∴tan α＝12.(理)(2011～2012·绥化市一模)若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] D[解析] ∵tan α＝3，∴sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.2．(2011～2012·吉林省延吉市质检)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135° [答案] B[解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，∴4332＝42sin B ， ∴sin B ＝22，∵AC <BC ，∴B <A ，∴B ＝45°. 3．(文)(2011～2012·山东苍山县期末)要得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，可将y ＝sin2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度[答案] B[解析] y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，故只须将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，∴选B.(理)(2011～2012·兰州一中期末)y ＝sin(2x ＋π3)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] C[解析] y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，向右平移π12个单位得y ＝sin2(x －π12＋π6)，∵当x ＝－π12时，sin2(x －π12＋π6)＝0，∴需向右平移π12个单位． 解法二：将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移φ个单位后，得y ＝sin[2(x －φ)＋π3]＝sin(2x ＋π3－2φ)，其图象关于点(－π12，0)对称，∴2×(－π12)＋π3－2φ＝k π，∴φ＝－k π2＋π12，∵k ∈Z ，∴k ＝0时，φ＝π12，故选C.4．(2011～2012·包头一中期末)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根[答案] C[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象知，两函数图象有且仅有两个交点．5．(文)(2011～2012·豫南九校联考)函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π，则a 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．±1[答案] D[解析]y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，T＝2π2|a|＝π|a|＝π，∴a＝±1.(理)(2011～2012·安徽六校教育研究会联考)函数y＝2－sin2x是()A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数[答案] D[解析]y＝2－sin2x＝2－1－cos2x2＝32＋12cos2x，周期T＝π为偶函数，∴选D.6．(2011～2012·浙江六校联考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则α等于()A．10°B．20°C．70°D．80°[答案] C[解析]tanα＝1＋cos40°sin40°＝2cos220°2sin20°cos20°＝cot20°＝tan70°，∵α为锐角，∴α＝70°.7．(2011～2012·河北衡水中学调研)函数y＝2cos2(x－π4)－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x ，∴周期为T ＝π，是奇函数．8．(2011～2012·深圳市一调)已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57 D ．1[答案] D[解析] 由条件得tan α＝2，tan β＝－13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝2＋(－13)1－2×(－13)＝1.9．(2011·浙江杭州月考)已知sin(x ＋π6)＝33，则sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝( )A.1＋33B.2＋33C.2－33D.6＋13[答案] B[解析] sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝sin[π－(5π6－x )]＋cos 2[π2－(π3－x )] ＝sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x ) ＝sin(π6＋x )＋1－sin 2(π6＋x )＝33＋1－(33)2＝2＋33. 10．(2011～2012·豫南九校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度 [答案] A [解析]T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 由最小值－1知A ＝1，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(π3，0)代入得sin(2π3＋φ)＝0，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，向右平移π6个单位长度，即可得g (x )＝sin2x 的图象．11．(2011～2012·青岛市期末)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3[答案] D[解析] ∵△EFG 为边长为2的正三角形，∴f (x )的周期为4，∴2πω＝4，∴ω＝π2，∵f (x )为奇函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝－A sin(π2x )，其最大值为A ＝3，∴f (x )＝－3sin π2x ，∴f (1)＝－ 3.12．(2011～2012·大庆铁人中学期末)在同一个坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )[答案] D[解析] 若a >1，则y ＝sin ax 的周期T ＝2πa <2π，排除A 、C ；若0<a <1，则y ＝sin ax 的周期T >2π，排除B ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2011～2012·佛山市质检)函数y ＝3sin x ＋sin(x ＋π2)的最小正周期是________．[答案] 2π[解析] y ＝3sin x ＋sin(x ＋π2)＝3sin x ＋cos x ＝2(32sin x ＋12cos x )＝2sin(x ＋π6)，故最小正周期为2π.14．(文)(2011～2012·浙江宁波市期末)若α∈(0，π2)，且cos 2α＋sin(π2＋2α)＝12，则tan α＝________.[答案] 1[解析] ∵sin(π2＋2α)＝cos2α＝2cos 2α－1，∴cos 2α＋2cos 2α－1＝12，∴cos 2α＝12，∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，∴cos α＝22，∴sin α＝22，∴tan α＝1.(理)(2011～2012·安徽东至县一模)cos42°·cos78°＋sin42°·cos168°＝________.[答案] －12[解析] cos42°cos78°＋sin42°cos168°＝cos42°cos78°－sin42°sin78°＝cos(42°＋78°)＝cos120°＝－12.15．(2011～2012·山东东营市期末)小明爸爸开车以80km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A 处望见电视塔P 在北偏东30°方向上，15分钟后到达B 处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B 时与电视塔P 的距离是________km.[答案] 10 2[解析] 由条件知AB ＝80×1560＝20，∠APB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BPsin30°＝20sin45°，∴BP ＝20sin30°sin45°＝102(km)．16．(文)(2011～2012·厦门市质检)函数f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x＋π3)，x ∈[0,2π)的单调递减区间是________． [答案] [π2，3π2][解析] f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)＝2sin[(x ＋π3)－π3]＝2sin x ，故在[0,2π)上的单调递减区间为[π2，3π2]．(理)(2011～2012·南通市调研)已知函数f (x )＝3sin x2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．[答案] 2π[解析] f (x )的周期T ＝4π，∵对任意实数x 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，∴f (x 1)是f (x )的最小值，f (x 2)是f (x )的最大值，因此|x 1－x 2|的最小值为半个周期即2π.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2011～2012·吉林延吉市质检)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[解析] (1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：18．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·滨州市沾化一中期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.若b ＋c ＝6，求a 的值． [解析] 由cos A 2＝255得，cos A ＝2cos 2A2－1＝35，由bc ＝5，且b ＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝5.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20， 故a ＝2 5.(理)(2011～2012·厦门市质检)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边．a ＝2，sin B2＝55，且△ABC 的面积为4.(1)求cos B 的值； (2)求边b 、c 的长． [解析] (1)∵sin B2＝55，∴cos B ＝1－2sin 2B2＝1－2×(55)2＝35. (2)由(1)cos B ＝35，在△ABC 中，0<B <π，∴sin B ＝45，又由已知S △ABC ＝4，且a ＝2， ∴12ac sin B ＝4，解得c ＝5， ∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17，∴b ＝17，c ＝5.19．(本小题满分12分)(2011～2012·绥化市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的值；(2)已知函数f (x )＝2cos(2x －B )，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．[解析] (1)由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，得2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，得2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，又B 为三角形的内角，所以B ＝2π3. (2)∵B ＝2π3，∴f (x )＝2cos(2x －2π3)， ∴g (x )＝2cos[2(x ＋π12)－2π3]＝2cos(2x －π2)＝2sin2x ，由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．20．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝cos x ·1＋sin x1－sin x＋sin x ·1＋cos x1－cos x.(1)当x ∈(－π2，0)时，化简f (x )的解析式，并求f (－π4)的值；(2)当x ∈(π2，π)时，求函数f (x )的值域．[解析] f (x )＝cos x ·1＋sin x1－sin x＋sin x ·1＋cos x1－cos x＝cos x ·(1＋sin x )2cos 2x＋sin x ·(1＋cos x )2sin 2x＝cos x ·1＋sin x |cos x |＋sin x ·1＋cos x|sin x |.(1)当x ∈(－π2，0)时，f (x )＝cos x ·1＋sin x cos x ＋sin x ·1＋cos x－sin x ＝sin x －cos x ，故f (－π4)＝－ 2.(2)当x ∈(π2，π)时，|cos x |＝－cos x ，|sin x |＝sin x ，故f (x )＝cos x ·1＋sin x －cos x ＋sin x ·1＋cos xsin x＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，当x ∈(π2，π)时，x ＋π4∈(3π4，5π4)，所以－1≤cos(x ＋π4)<－22；函数f (x )的值域是[－2，－1)．(理)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求角β.[解析] (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 21．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·江西赣州市期末)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．[解析] (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1，∴f (x )的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，即sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，－π6<2C －π6<11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵m 与n 共线，∴sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝2a ， ①∵c ＝3，由余弦定理得，9＝a 2＋b 2－2ab cos π3， ②解方程组①②得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝23.(理)(2011～2012·青岛市期末)已知函数f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位后得到图象对应函数g (x )，设△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 、b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝32sin2x －12(cos 2x －sin 2x )－1＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1. f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，所以sin(2C －π6)＝1，因为2C －π6∈(－π6，11π6)，所以2C －π6＝π2，所以C ＝π3，由余弦定理知：a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，因为sin B ＝3sin A ，由正弦定理知：b ＝3a ， 解得a ＝1，b ＝3.(2)由条件知g (x )＝sin(2x ＋π6)－1，所以g (B )＝sin(2B ＋π6)－1＝0，所以sin(2B＋π6)＝1，因为2B＋π6∈(π6，13π6)，所以2B＋π6＝π2，即B＝π6，m＝(cos A，32)，n＝(1，sin A－33cos A)，于是m·n＝cos A＋32(sin A－33cos A)＝12cos A＋32sin A＝sin(A＋π6)，∵B＝π6，∴A∈(0，56π)，得A＋π6∈(π6，π)，∴sin(A＋π6)∈(0,1]，即m·n∈(0,1]．22．(本小题满分14分)(文)(2011～2012·吉林省延吉市质检)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求边AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．[解析](1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝162＋102－2·16·10cos C ①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos D＝142＋142－2·142cos C ②由①②得：142＋142－2·142cos C＝162＋102－2·16·10cos C∴cos C＝1 2，又∠C为三角形的内角，所以C＝60°，又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，∴AB＝14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S△ABD＝12AD·BD sin DS△ABC＝12AC·BC sin C因为AD·BD>AC·BC，所以S△ABD>S△ABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．即小李的设计符合要求．(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：(1)求棒长L 关于α的函数关系式L (α)； (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值． [解析] (1)如图，AB ＝2cos α，BC ＝2sin α，L (α)＝AC ＝AB ＋BC ＝2cos α＋2sin α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(2)L (α)＝2(cos α＋sin α)sin αcos α令t ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， ∵0<α<π4，∴t ∈(1，2]，则sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝t 2－12，∴L ＝22t t 2－1＝22t －1t ，当t ∈(1，2]时，t －1t 随着t 的增大而增大，所以t －1t ∈(0，22]，所以L ∈[4，＋∞)．所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4.[点评]L (α)的最小值，即通过此直角走廊的铁棒的最大长度，当α＝π4时，能通过走廊的铁棒最长．1．(2011～2012·平顶山、许昌新乡二调)设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[答案] C[解析] m ·n ＝3sin A cos B ＋3sin B cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin C ＝1－cos C ，∴sin(C ＋π6)＝12，∵0<C <π，∴C ＝2π3.2．(2011～2012·南通市调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且3aBC→＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a :b :c ＝________. [答案] 20:15:12[解析] ∵3aBC→＋4bCA →＋5cAB →＝0， ∴3aBC→＋4bCA →＋5c (AC →＋CB →)＝0， ∴(3a －5c )BC→＋(4b －5c )CA →＝0， ∵BC →与CA →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －5c ＝04b －5c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5c 3b ＝5c 4，∴a b ＝43＝2015，b c ＝54＝1512，∴a :b :c ＝20:15:12.3．(2011～2012·保定八校联合体联考)已知sin(α＋π4)＝13，则sin αcos α的值为( )A ．－718B ．－79C.718D.79[答案] A[解析] ∵sin(α＋π4)＝13，∴sin 2(α＋π4)＝19，∴1－cos (2α＋π2)2＝19，∴cos(2α＋π2)＝79，∴sin2α＝－79，∴sin αcos α＝－718.4．(2011～2012·辽宁本溪一中庄河高中联考)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，则向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为( )A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3[答案] B。
北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：解三角形
北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：解三角形一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1． 在△A BC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（）A ．无解B ．一解C ．二解D ．不能确定2．在△AB C 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos2B ＝( )A ．－12B ．12 C ．－1 D ．13． 在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知2222ab c ab +=-，则C =( )A ．2π B ．4π C ．23π D ．34π 4． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2=a ，b=2，sinB+cosB=2，则角A 的大小为 ( ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A ．33B ．36C ．63D ．666． 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1,3,ABC a b S ∆==则=（ ）A ．2 B ．3C ．32D ．27．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则m 的取值是（ ） A ．-1B ．1C ．-2D ．28． 若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆是 ( ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 10．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11． 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a2+c2-b23=ac,则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π12． 若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC ( ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13． 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，030B =，ABC ∆的面积为32，则b = 14．满足条件AB=2，AC=2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 ．15．在△ABC 中，已知BC=4,AC=3,且cos(A-B)=1718,则cosC=_______. 16．在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sinA ∶sinB ∶sinC ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是_______.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图：正在海上A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到 同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政 船甲70km 的C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙），此时B 、D 两处相距42km ，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．18．甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60o 方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？19．在△AB C 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C (1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．20．已知△ABC 的角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosC ＋12c ＝b. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围.21．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a += (1）求A cos 的值； (2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.22．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=．(1）求sin ABD ∠的值； (2）求BD 的长．。
2013届最新3年高考数学(理)试题分类汇编：专题11 解三角形 PDF版含答案
C．１２０°
D．１５０°
１３������ (２０１２������湖北������理１１)设 △ABC 的 内 角 A、B、C 所 对 的 边
分别是a,b,c．若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角 C＝ ．
１４������ (２０１２������重庆������理１３)设 △ABC 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分
A．(０,６＋ ２)
(第 １８ 题 )
１９．(２０１１������上海������理６)在相 距 ２ 千 米 的 A、B 两 点 处 测 量 目 标 点C,若∠CAB＝７５°,∠CBA＝６０°,则 A、C 两点之间的距离为 千米．
２０．(２０１１������ 全 国 新 课 标 ������ 理 １６)在 △ABC 中,B＝６０̊,AC＝
(第 ５ 题 )
A．３３
B．６３
C．３６
D．６６
６．(２０１１������重庆������理６)若△ABC 的 内 角A、B、C 所 对 的 边a,
b,c满足(a＋b)２－c２＝４,且 C＝６０°,则ab的值为( )．
A．４３
B．８－４ ３
别
为a,b,c,且
cosA＝
３ ５
,cosB＝１５３,b＝３,则c＝
C．３３
D．３４
１０������ (２０１０������湖北������理３)在 △ABC 中,a＝１５,b＝１０,A＝６０°,
则cosB 等于( )������
点,BD＝ １２DC,∠ADB＝１２０°,AD＝２,若 △ADC 的 面 积 为 ３－ ３,则 ∠BAC＝ ．
２４������ (２０１０������北京������理１０)在 △ABC 中,若b＝１,c＝ ３,∠C＝
高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
2013届高考数学一轮复习课时检测 第三章 第七节 解三角形应用举例 理
2
15 解析：轴截面如图，则光源高度 h＝ ＝5 3(m)． tan60°
答案：5 3 π 8．在△ABC 中，BC＝1，∠B＝ ，当△ABC 的面积等于 3时，tan C＝________. 3 1 解析：S△ABC＝ acsin B＝ 3，∴c＝4. 2 由余弦定理：b ＝a ＋c －2accos B＝13， ∴cos C＝
AB
AC
由正弦定理得： ＝ ， sin∠ACB sin∠BAC 15 6＋ 2 解得 BC＝ 米． 2 由勾股定理可得 BD＝ BC ＋CD ＝15 5＋ 3米， 综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为 30 米，15 5＋ 3米． 12．某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮 船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处， 并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时， 试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解：1)设小艇与轮船在 B 处相遇，相遇时小艇航行的距离为 S 海 里，如图所示． 在△AOB 中，A＝90°－30°＝60°
1
BS
AB
sin 30°＝3 2. sin 45°
AB
角为 120°，轮船 A 的航行速度是 25 海里/小时，轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时，下午 2 时两船之间的距离是( A．35 海里 C．35 3 海里 ) B．35 2 海里 D．70 海里
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
2013年高考总复习数学理精练：第四章三角函数、解三角形单元检测(附答案)(答案含详解)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)且cosα＝－，则m的值为()．
14．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的 仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为__________m.
15．对于函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，h(x)＝x＋，有如下四个命题：
①f(x)－g(x)的最大值为；
(1)求cosB的值；
(2)若 ＝2，b＝2，求a和c.
20．(13分)设函数f(x)＝sin－2cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．
21．(14分)在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位
C．向左平移π个单位D．向右平移π个单位
5．函数y＝sin在区间的简图是()．
6．(2011福建三明模拟)把函数y＝sin(ωx ＋φ)的图像向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是()．
A．1，B．1，－C．2，D．2，－
7．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(φ＞0)，则下列命题错误的是()．
高考总复习一轮数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 第4节 三角恒等变换
3.sin α±cos α= 2sin(α± ).
4
4.函数 y=asin ωx±bcos ωx 的最大值是 2 + 2 ,最小值是- 2 + 2 ,最小正
2
周期为 .
|ω|
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
π 7π
π 7π
D,x∈(4 , 12)时,2x∈(2 , 6 ),f(x)不单调,故 D 错误.故选 C.
研考点
精准突破
考点一
三角函数式的化简
2 18°×(3 2 9°- 2 9°-1)
例 1(1)(2024·重庆模拟)式子
化简的结果为
6°+ 3 6°
1
A.
B.1
C. 3 或- 3
2
D. 3
解析 因为 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,
所以 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,所以
tan+tan
tan(α+β)=
1-tantan
= 3.
因为 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,
1. 1- =
2sin2 .(
× )
2.y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × )
3.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆用得来的.(
θ
4.tan2
=
θ
1+ θ
=
1- θ
高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形4.1任意角
课时作业16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、填空题1．设角θ的终边经过点P (5t,12t )(t ＜0)，则sin θ＋cos θ的值为__________．2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝__________.3．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是__________．4．若α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第__________象限角．5．若α是第四象限角，则π－α在第________象限．6．已知点A ，B 是半径为2的圆O 上的两点，∠AOB ＝2 rad ，则劣弧的长度是__________．7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋c os α＋45tan α＝________.8．(2012江苏连云港模拟)若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的集合是________．9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.二、解答题10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．11．(2013届江苏宿迁月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．12．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？参考答案一、填空题1．－1713解析：r ＝OP ＝(5t )2＋(12t )2＝－13t .∴sin θ＝y r ＝12t －13t ＝－1213，cos θ＝x r ＝5t －13t ＝－513，∴sin θ＋cos θ＝－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－1713.2.35 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0， ∴r ＝OP ＝(－3cos θ)2＋(4cos θ)2＝－5cos θ，∴cos α＝x r ＝－3cos θ－5cos θ＝35.3．{－1,3} 解析：若x 是第一象限角，则y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x＝3.同理，若x是第二、三、四象限角，则y ＝－1，－1，－1.4．三 解析：设α＝2k π＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫k ∈Z ，π2<β<π，∴α2＝k π＋β2，k π＋π4＜α2＜k π＋π2，∴α2是第一或第三象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，知cos α2＜0，∴α2是第三象限角．5．三 解析：π－α＝－α＋π，若α是第四象限的角，则－α是第一象限的角，再逆时针旋转180°，得π－α是第三象限角．6．47．－25或－45解析：取直线3x ＋4y ＝0上的点P 1(4，－3)，则|OP 1|＝5，则sin α＝－35，cos α＝45，ta n α＝－34， 故sin α＋cos α＋45ta n α＝－35＋45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－25.取直线3x ＋4y ＝0上的点P 2(－4,3)，则sin α＝35，cos α＝－45，ta n α＝－34.故sin α＋cos α＋45ta n α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，sin α＋cos α＋45ta n α的值为－25或－45.8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π－π6，k ∈Z 解析：由对称性知，角β的终边与－π6的终边相同，故角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π－π6，k ∈Z. 9．－8 解析：根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三或第四象限，又因为点P的横坐标为正数，断定该角为第四象限角，故y ＜0，由sin θ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.二、解答题10．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255， 因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55. 因此ta n α＝7，ta n β＝12.所以ta n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)ta n(α＋2β)＝ta n[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由ta n(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.11．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15， ta n α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25， ta n β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋ta n α·ta n β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.12．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得214,2210,R R R θθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.∵8＞2π，舍去，∴θ＝12.(2)∵扇形的周长为40，∴θR ＋2R ＝40， S ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.。
山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练解三角形(含解析)
解三角形1、（2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( )． A.π3 B.π4 C.π6 D.π12解析：在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝______. 解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5. 所以sin C ＝c ·sin Bb＝42×225＝45. 3、在△ABC 中，a ＝23，c ＝22，A ＝60°，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．45°或135° D ．60°解析：由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C ，解得：sin C ＝22，又c ＜a ，所以C ＜60°，所以C ＝45°. 答案：B4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30° B．60° C．120° D．150°解析：∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 答案：A5、(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.6、(2013·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12 bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21， 故a ＝21.又由正弦定理，得sin B sin C ＝ba sin A ·c asin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 7、（2013·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3(6分) (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝429， (7分) 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223.(9分) 因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13. (10分)因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.(12分)8、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 9．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝( )． A ．30° B．45° C．60° D．120°解析 由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案 A10．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )．A.32B. 3 C ．2 3 D ．2 解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 解析 由正弦定理b sinB ＝csin C 及已知条件得c ＝22，又sin A ＝sin(B ＋C )＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.答案 B12．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解析 由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2A ＝sin A ，又0＜A ＜π，si n A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.答案 A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，可得2sin A ＝2sinπ4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6. 答案π614．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝csin C，得sin B ＝b sin Cc ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)． 答案15415．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.16．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin 2A ，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5. 17．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值． 解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ， 得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13.(2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|·cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.①又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.18．在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为( )．A ．1 B. 3 C ．2 D. 2解析 由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1.答案 A19．已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )．A.72 B ．－72 C ．－12 D.12解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A－cos A ＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72.答案 A20．(2013·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sinC ，则角B 为( )． A.π6 B.π3 C.23π D.56π 解析 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B ＝π6.答案 A21．若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段( )． A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形解析 设能构成三角形的最大边为a ＝7，所对角为A ，则cos A ＝32＋52－722×3×5＝－12＜0，故A 为钝角，即构成的三角形为钝角三角形． 答案 C22．(2013·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝( )．A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，∴a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 中，得c ＝73b .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案 B23．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )． A.2525 B.255C.2525或255D.55或2525 解析 α，β都是锐角， 当cos α＝55时，sin α＝255. 因为cos α＝55＜12，所以α＞60°.又sin(α＋β)＝35＜32，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角． 又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案 A24．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5.答案 D25．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )．A.1010 B.105 C.31010 D.55解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos B ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，得sin ∠BAC ＝BC ·sin∠ABCAC＝3×sinπ45＝3×225＝31010.答案 C26．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，则cos 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－18，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2. ∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－378.答案 －37827．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 解析 由△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，可得B ＝60°.又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3. 答案328．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析 因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B＝3sin2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案3429．f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ .解析 f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 130．(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sinA )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.故b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 31．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋3b sin A ＝c . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即 3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝33，故A ＝π6. (2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，①又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，②由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.。
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一、选择题（题型注释）
1．
在△ABC中，若＝2sin B，则角A为( )
A. 30°或60°
B.45°或60°
C.120°或60°
D.30°或150°
【答案】
D
【解析】
二、解答题（题型注释）
2．
设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.
【答案】
（1）；（2）.
【解析】（1）由已知条件bn=2-2Sn；当n=1时先求出，再利用
,,得到是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）求出，是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．
（1）由，令，则，又，所以
当时，由，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，于是
（2）数列为等差数列，公差,可得
从而，
.
3．
已知
（Ⅰ）求函数的单调增区间
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，求
的面积.
【答案】
（Ⅰ）的单调递增区间是[]（）；
(Ⅱ) S△ABC=
【解析】(I)先借助三角恒等变换公式把f(x)进行化简为
,然后再利用正弦函数的单调增区间来求出f(x)的单调增区间.
(II)在(I)的基础上,利用,可求出A角,再利用
求出,从而利用公式求出面积.
（Ⅰ）因为==
==
所以函数的单调递增区间是[]（）
(Ⅱ)因为=，所以,又，所以，从而
在中，∵∴1=b2+c2-2bccosA,即1=4-3bc.故bc=1（10分）
从而S△ABC=
4．
a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程(a＞c＞b)的两根之差的平方
等于4，△ABC的面积S＝10，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a、的
值.
【答案】
(1) C＝60°.(2) ＝8，＝5.
【解析】(1) 设，为方程的两根,
因为(－)2＝(＋)2－4,利用韦达定理可得,
从而借助,可得,∴C＝60°.
(2)由S＝＝10，∴＝40,再由,
从而可求a+b,然后再与ab=40解方程组可求出a,b的值.
(1)设，为方程的两根，
则1＋＝，·＝－，
∴(－)2＝(＋)2－4＝＋＝4.∴
又＝，∴C＝60°.
(2)由S＝＝10，∴＝40①
由余弦定理：，即
即∴②，由①②得：＝8，＝5.
5．
在中，∠、∠、∠的对边分别为、、，已知，．
(1)求的值；
(2)求的面积的最大值；
(3)若，求的最小值.
【答案】
(1) (2) (3)
【解析】本试题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用以及三角形面积公式和向量的数量积性质的综合运用。
（1
（2）由余弦定理得，代入及
得
由得，所以
从而
当时取到等号.
综上，的最大值为
（3）易得，运用模长的求解的公式平方得到。
解（1）
（2）由余弦定理得，代入及
得
由得，所以
从而
当时取到等号.
综上，的最大值为
（3）易得
所以
即当时取到等号
综上，的最小值为
6．
在中，角的对边分别为，且，，.求
的面积。
【答案】
【解析】本试题主要是考查了三角形的面积公式的运用。
根据余弦定理和正弦面积公式得到。
注意解的唯一性的运用。
三、填空题（题型注释）
7．
已知且对任何，都有：
①，②，给出以下三个结论：
(1)；(2)；(3)，其中正确的是________．
【答案】
（1）、（2）、（3）
【解析】解：因为根据已知条件可得递推关系式，然后利用关系式可知，进行赋值，那么命题1，，2,3都成立
8．
两等差数列、的前项和的比，则的值是 .
【答案】
【解析】解：两等差数列、的前项和的比，则
9．
数列中，则.
【答案】
46
【解析】解：因为数列中，则=46
10．
在中，若角,,则的面积是____________.
【答案】
【解析】解：因为中，若角,,则的面积。