2013届高考数学第一轮专项复习教案22.

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高考数学第一轮复习教案

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2013届高考数学第一轮数列专项复习教案1

一、选择题
1．已知 an＋1－an－ 3＝0，则数列 { an} 是( )
A ．递增数列
B．递减数列
C．常数项
D．不能确定
2．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )
A ． an＋ 1＝ an＋n，n∈N ＋
B ． an＝ an－ 1＋ n，n∈N＋， n≥2 C． an＋1＝ an＋ (n＋ 1)，n∈ N＋，n≥2 D． an＝ an－ 1＋ (n－ 1)， n∈ N＋，n≥2
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善
于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用
共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性 ( 离散型 ) ，由于它的定义域是 N＋或它的子集 {1,2 ，…， n} ，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高 ( 即 an>an － 1) ，则图像呈上升趋势，即数列递增，即 { an} 递增 ? an＋1>an 对任意的 n ( n∈N＋) 都成立．类似地，有 { an} 递减 ? an＋1<an对任意的 n( n∈N＋) 都成立．
－1 n＝2k－1 ，
an＝ 1 n＝2k ，
其中 k∈N＋.
1.2 数列的函数特性
课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列 { an} 的第 1 项或前几项已知，并且数列 { an} 的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项 )间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列可以看作是一个定义域为 ____________(或它的有限子集 {1,2,3 ，…，n}) 的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ________． 3．一般地，一个数列 { an} ，如果从 ________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从 ________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列 { an} 的各项 ________，那么这个数列叫做常数列．

2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用．【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。

（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为若d=0,则数列{a n }为若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。

2013届高考数学第一轮数列专项复习教案2

2.1 等差数列(一)课时目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d 表示． 2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的__________，并且A ＝________.3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝____________.4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为______数列；若公差d <0，则数列{a n }为________数列．一、选择题1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－32．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．524．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．66．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n}的通项公式是() A．a n＝2n－2 (n∈N＋) B．a n＝2n＋4 (n∈N＋) C．a n＝－2n＋12 (n∈N＋) D．a n＝－2n＋10 (n∈N＋) 二、填空题7．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项是__________．8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则d1d2的值为________．10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．三、解答题11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4a n－1(n≥2)，令b n＝1a n－2.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．能力提升13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N ＋时，有a n －1a n＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .§2 等差数列 2．1 等差数列(一)答案知识梳理1．等差公差 2等差中项 a ＋b2 3.a 1＋(n －1)d 4．递增递减作业设计1．C 2.B 3.D 4．C[⎩⎨⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13.]5．B [设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.] 6．D [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎨⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎨⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)×(－2)，得a n ＝－2n ＋10.] 7.38．a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1. 9.43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 10.83<d ≤3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎨⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3.11．解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎨⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎨⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N ＋)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N ＋.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2. ∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 13．B [由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．]14．(1)证明当n >1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a na n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5. (2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N ＋.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145. 令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．2.1 等差数列(二)课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m≠n )，则a m －a nm －n＝____.3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与a p ＋a q 之间的关系为______________．一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3C ．－33 D ．－3 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35 5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－826．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q2二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝_____________________________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝___________________________.10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为()A．18 B．9C．12 D．1514．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…，{b n}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？2．1等差数列(二)答案知识梳理1．d 2.d 3.a m＋a n＝a p＋a q作业设计1．C [由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.] 2．D [由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.]3．B [由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0， ∴m ＝8.]4．C [∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.]5．D [a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82.]6．B [∵d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q ＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.] 7．24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24. 8．1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35. ∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99. ∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1. 9.125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124.所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125.10.12解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12， ∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.11．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5. 又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2. 若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .13．D [设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3. 故a 4＝3＋4×3＝15.]14．解在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m3－1. ∵m 、n ∈N ＋，∴m ＝3k (k ∈N ＋)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．2.2 等差数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做____________________________．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝__________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝____________.3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为________．(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a nb n＝S 2n －1T 2n －1.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( ) A.12 B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－1二、填空题7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S nT n＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________． 9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五2．2 等差数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d 3．(1)d 2 作业设计1．C [S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.] 2．A [由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.]3．D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.] 4．B [数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.]5．B [因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.] 6．B [由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.]7．15解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.9．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10. 10．210解析方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m . 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 11．解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎨⎧n ＝5a 1＝3或⎩⎨⎧n ＝7，a 1＝－1.12．解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎨⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .13．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190. 当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]14．D [a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.]2.2 等差数列的前n 项和(二)课时目标 1.熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝______________. 3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组________ 确定；当a 1<0，d >0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有________值；当d <0时，S n 有________值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．64．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18 D.195．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.126．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题7．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2－n，(n∈N＋)，则通项a n＝________.8．在等差数列{a n}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和S n的最大值是________．9．在等差数列{a n}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.10．等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n 项和S n取到最小值，则k的值是________．三、解答题11．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.能力提升13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N ＋)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 1 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N ＋都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况能否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N ＋，结合二次函数图像的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．2．2 等差数列的前n 项和(二)答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.n (a 1＋a n )2na 1＋n (n －1)2d 3．(1)最大 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0 最小⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)最小最大作业设计1．D2．B [等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ， ∴λ＝－1.] 3．B[由a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.]4．A [方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d＝310.方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.]5．A [由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1.]6．C [由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5.] 7．2n －2 8．169解析方法一利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n2(n －1)×(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值． S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.方法三由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0，又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0，故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169. 9．10解析由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n2＝155，得n ＝10. 10．10或11解析方法一由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎨⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a 1·n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N ＋，故n ＝10或11时S n 取得最小值． 11．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．解由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12.解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N ＋)． (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎨⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).13．C[由a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ， ∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0. ∴na 1>S n >na n .]14．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

2013届高考数学第一轮精讲精练复习教案2

2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =y x =，y =；③y =，y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________；(3) 1()f x x =+的定义域为______________； (4) ()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =； (2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}．x x xxR {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠(2) 2()22f x x x =-+；值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈．值域是(2,3]．【范例解析】例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.求下列函数的定义域：①12y x =+- ②()f x = 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1）解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2）解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，20x ≥，∴01yy≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-+的值域为_____________．5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．(,0]-∞ (1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃第2课函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________．2.设函数1()1f x x =+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +． 3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．第67x - 64x +413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2，可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈时，1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g xＤ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式．解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，x2 14-则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即故．第3课函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数y =的递减区间是__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：(,1]-∞- (1,)+∞①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数； ③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数；（2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>，故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数．（2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++，又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数．同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0+>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】 1．已知函数1()21xf x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-．(0,1)5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++，120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．第4课函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④()x x f x e e -=-．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ） A .R x x y ∈-=,3 B .R x x y ∈=,sin C .R x x y ∈=, D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=；（2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x =+；（4）()(1f x x =-（5）2()11f x x x =+-+；（6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-++==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =．解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---．当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩．作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f > 2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___．4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，25而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1．若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．第5 课函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -= 123x y -=+；（2）2log y x = 2log ()y x =-2log (3)y x =-．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31x y =-；（2）2log (2)y x =-；（3）21xy x -=-．解：（1）将3x y =的图像向下平移1个单位，可得31x y =-的图像．图略；（2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-3.作出下列各个函数图像的示意图：x向右平移1个向上平移3个作关于y 轴对称的向右平移3个（1）12log ()y x =-；（2）1()2x y =-；（3）12log y x =；（4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2x y =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．4. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像．解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；xxx图3图4保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题．解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】B ）xxxx2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到．3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+；（2）21x y =-；（3）2log 21y x =-．第6课二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-．2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞． 3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．[1,2]（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值．分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ．故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43．点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g f ==，若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--，若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ．点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为（ B ） A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ．（1）求()g a 的表达式；（2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =，当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+；当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-；综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2；（2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-；当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴= 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =．综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =；当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小；（2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．（2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a b a b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）354)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．【范例解析】例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值．分析：先化简再求值．解：（1）由13a a -+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-．（2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+．点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg 9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+；（2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg 3lg 240136lg10lg 9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m=；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mnm mn++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值．分析：将a ，b 都用c 表示．解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=，得215c =．0c >，c ∴= 点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg 321a =，则lg 0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ．（1）求实数c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f ．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >的解集为58x ⎫⎪<<⎬⎪⎭．第8课幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【基础练习】1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）方程()0f x =没有负根．分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x x x x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x a x -=-+．又001x a <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根．点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x ，则（ A ） A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ．先向下平行移动1个单位4．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ CA ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根，求实数m 的取值范围．x4题解：由4220x x m ++-=得，219422(2)224x x x m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数．（2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a 的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞．【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ．则其中正确命题的序号是_____________．分析：注意定义域，真数大于零．解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立； ③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．例3.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln ；④ln 2.其中值最大的序号是___④___.2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.第6题7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值．解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值．故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>．（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明．解：（1）解：由 0x bx b +>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞．（2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数．（3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数；当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个．【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根．其中，正确的结论有___________．分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②．点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >．求证：（1）0a >且12-<<-ab；（2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换．证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证．（2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3ba-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a2．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ） A ．1 B ．2C ．3D ．43．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题： ①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；。

2013届高考数学第一轮专项复习教案25

第九章直线、平面、简单几何体●网络体系总览直线平面与简单几何体空间两条直线平面空间两个平面空间向量简单几何体空间向量及有关概念棱柱空间向量的运算及运算律棱锥空间向量的坐标运算多面体和正多面体空间直线与平面平行直线线在面内线面平行线面相交平行公理定义等角定理判定所成的角、距离判定定理性质定理判定(性质)定理判定(性质)定理直交斜交直交两平面间距离二面角及平面角斜交平行相交异面直线相交直线平面的概念、性质、表示、画法线面间距离三垂线定理,线面成角判定(性质)定理,点到面的距离球、●考点目标定位1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理.3.两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.4.点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离.5.空间向量及其加法、减法，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积.6.直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质，球的体积及表面积的计算.●复习方略指南1.立体几何不外乎两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等；另一类问题是空间量（空间角、距离、体积、侧面积）的计算，如线面角、二面角的求解.2.立体几何在高考中，选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题中可能会有难题.3.归纳总结，理线串点，从知识上可分为：（1）平面的基本性质；（2）两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；（3）三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，还要注意把空间向量贯彻、渗透其中，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用.4.抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化，并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量的求解.5.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果.9.1平面、空间两条直线●知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.●点击双基1.若a，b是异面直线，则只需具备的条件是A.a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行B.a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=l，a与b无公共点C.a∥直线c，b∩c=A，b与a不相交D.a⊥平面α，b是α的一条斜线答案：C2.如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条.答案：C3.（2004年北京朝阳区模拟题）如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是A.33 B.32 C.63 D.62 解析：取AC 的中点E ，连结DE 、BE ，则DE ∥SA ，∴∠BDE 就是BD 与SA 所成的角.设SA =a ，则BD =BE =23a ，DE =21a ，cos ∠BDE =DE BD BE DE BD ⋅-+2222=63. 答案：C4.如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么（1）哪些棱所在直线与直线BA 1成异面直线？______________________.（2）直线BA 1与CC 1所成角的大小为________.（3）直线BA 1与B 1C 所成角的大小为________.（4）异面直线BC 与AA 1的距离为________.（5）异面直线BA 1与CC 1的距离是________.答案：（1）D 1C 1、D 1D 、C 1C 、C 1B 1、DC 、AD（2）45°（3）60°（4）a （5）a5.（2002年全国）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是_____________.解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得FE 1∥BC 1，在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =o 120cos 222⋅⋅-+ED EF ED EF =3.在△EFE 1和△EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =1)2(2+=3，∴△E 1FD 是等边三角形，∠FE 1D =60°.而∠FE 1D 即为E 1D 与BC 1所成的角.答案：60°说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.●典例剖析【例1】如下图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点.证明：连结GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点，∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3，∴HF ∥AC .∴GE ∥HF .故G 、E 、F 、H 四点共面.又∵EF 与GH 不能平行，∴EF 与GH 相交，设交点为O .则O ∈面ABD ，O ∈面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD =BD .∴EF 、GH 、BD 交于一点. 评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角.（1）证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.（2）解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中，求得∠FEG =45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.特别提示①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，2π］. 【例3】长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C .（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.（1）解：BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段，故AB 与CC 1的距离为b .AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段，故AB 与A 1C 1的距离为c .过B 作BE ⊥B 1C ，垂足为E ，则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线，BE =C B BC BB 11⋅=22c b bc +，即AB 与B 1C 的距离为22c b bc+.（2）解法一：连结BD 交AC 于点O ，取DD 1的中点F ，连结OF 、AF ，则OF ∥D 1B ，∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.∵AO =222b a +，OF =21BD 1=2222c b a ++，AF =2422c b +， ∴在△AOF 中，cos ∠AOF =OF AO AF OF AO ⋅-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-. 解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG 、D 1G ，则AC ∥BG ，∴∠D 1BG （或其补角）为D 1B 与AC 所成的角.BD 1=222c b a ++，BG =22b a +，D 1G =224c a +，在△D 1BG 中，cos ∠D 1BG =BG B D G D BG B D ⋅-+1212212=－))((2222222c b a b a b a +++-，故所求的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.●闯关训练夯实基础1.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：若l 和m 中至少有一条与β相交，不妨设l ∩β=A ，则由于l α，∴A ∈α.而A ∈β，∴α与β相交.反之，若α∩β=a ，如果l 和m 都不与β相交，由于它们都不在平面β内，∴l ∥β且m ∥β.∴l ∥a 且m ∥a ，进而得到l ∥m ，与已知l 、m 是相交直线矛盾.因此l 和m 中至少有一条与β相交.答案：C2.（2004年天津，6）如下图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于A.510 B.515 C.54 D.32 解法一：取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H .在△FHD 1中， FD 1=25，FH =23，D 1H =22. 由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为515. 解法二：取BC 的中点G .连结GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角. 在△OEH 中，OE =23，HE =45，OH =45. 由余弦定理，可得cos ∠OEH =515. 答案：B3.如下图，四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD =2AB =2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于_____________.解析：取AD 的中点G ，连结EG 、FG ，易知EG =1，FG =21. 由EF ⊥AB 及GF ∥AB 知EF ⊥FG .在Rt △EFG 中，求得∠GEF =30°，即为EF 与CD 所成的角.答案：30°4.（2003年上海）在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于_____________.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的△ABC 与△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，CA ∥C 1A 1.求证：AA 1、BB 1、CC 1三线共点.证明：不妨设AB ≠A 1B 1，AA 1∩BB 1=S ，∵BC ∥B 1C 1，∴BB 1面BCC 1B 1，S ∈面BBC 1B 1.同理，S ∈面ACC 1A 1.∴S ∈CC 1，即AA 1、BB 1、CC 1三线共点于S .6.在三棱锥A —BCD 中，AD =BC =2a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF =3a ，求AD 与BC 所成的角.解：取AC 的中点M ，连结ME 、MF ，则ME ∥BC ，MF ∥AD ，所以∠EMF （或其补角）是直线AD 与BC 所成的角.在△EMF 中，ME =21BC =a ，MF =21AD =a ，EF =3a ，cos ∠EMF =222223aa a a -+=－21，∠EMF =120°，因此异面直线AD 与BC 所成的角为60°. 培养能力7.如下图，在三棱锥P —ABC 中，AB =AC ，PB =PC ，E 、F 分别是PC 和AB 上的点且PE ∶EC =AF ∶FB =3∶2.（1）求证：PA ⊥BC ；（2）设EF 与PA 、BC 所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°.证明：（1）取BC 的中点D ，连结AD 、PD .则BC ⊥平面ADP ，AP ⊂平面ADP ，（2）在AC 上取点G ，使AG ∶GC =3∶2，连结EG 、FG ，则EG ∥PA ，FG ∥BC ，从而∠EGF 为PA 与BC 所成的角，由（1）知∠EGF =90°，而∠GEF 、∠GFE 分别是EF 与PA 、EF 与BC 所成的角α、β，∴α+β=90°.8.如下图，设△ABC 和△A 1B 1C 1的三对对应顶点的连线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO =32.试求111C B A ABC S S ∆∆的值.解：依题意，因为AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO ，所以AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，BC ∥B 1C 1.由平移角定理得∠BAC =∠B 1A 1C 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以111C B A ABC S S ∆∆=（32）2=94. 说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新9.如下图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC =10，BD =6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN =7，求异面直线AC 与BD 所成的角.解：取BC 的中点E ，连结EN 、EM ，∴∠MEN 是异面直线AC 与BD 所成的角或其补角.在△EMN 中，EN =2BD =3，EM =2AC =5，MN =7，cos ∠MEN =－21，∴∠MEN =120°.∴异面直线AC 与BD 所成的角是60°.●思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.●教师下载中心首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判断、异面直线所成的角，其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤.拓展题例【例1】设异面直线a 与b 所成的角为50°，O 为空间一定点，试讨论，过点O 与a 、b 所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l 有且仅有几条?解：过点O 作a 1∥a ，b 1∥b ，则相交直线a 1、b 1确定一平面α.a 1与b 1夹角为50°或130°，设直线OA 与a 1、b 1均为θ角，作AB ⊥面α于点B ，BC ⊥a 1于点C ，BD ⊥b 1于点D ，记∠AOB =θ1，∠BOC =θ2（θ2=25°或65°），则有cos θ=cos θ1·cos θ2.因为0°≤θ1≤90°，所以0≤cos θ≤cos θ2.当θ2=25°时，由0≤cos θ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；当θ2=65°时，由0≤cos θ≤cos65°，得65°≤θ≤90°.故当θ<25°时，直线l 不存在；当θ=25°时，直线l 有且仅有1条；当25°<θ<65°时，直线l 有且仅有2条；当θ=65°时，直线l 有且仅有3条；当65°<θ<90°时，直线l 有且仅有4条；当θ=90°时，直线l 有且仅有1条.说明：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点O 与a 1、b 1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l 的条数.【例2】已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点（如下图），求证：（1）对角线AC 、BD 是异面直线；（2）直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.证明：（1）假设对角线AC 、BD 在同一平面α内，则A 、B 、C 、D 都在平面α内，这与ABCD 是空间四边形矛盾，∴AC 、BD 是异面直线.（2）∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH 21BD . 又F 、G 分别是BC 、DC 的三等分点，∴FG 32BD .∴EH ∥FG ，且EH ＜FG . ∴FE 与GH 相交.设交点为O ，又O 在GH 上，GH 在平面ADC 内，∴O 在平面ADC 内.同理，O 在平面ABC 内.从而O 在平面ADC 与平面ABC 的交线AC 上.。

2013届高考数学第一轮专项复习教案33

7.6直线与圆的位置关系●知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d =21m+，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=21（m －1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6B.225 C.1D.5 解析：圆心到直线的距离为22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6.答案：A3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0D.x －3y +2=0 解法一：x 2+y 2－4x =0y =kx －k +3⇒x 2－4x +（kx －k +3）2=0. 该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k =33. ∴y －3=33（x －1），即x －3y +2=0. 解法二：∵点（1，3）在圆x 2+y 2－4x =0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为（2，0），∴1230--·k =－1. 解得k =33，∴切线方程为x －3y +2=0. 答案：D4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.解析：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2）， ∴由垂径定理得圆心在y =－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上，y =－3， 2x －y －7=0.∴圆心为（2，－3），半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5. ∴所求圆C 的方程为（x －2）2+（y +3）2=5. 答案：（x －2）2+（y +3）2=55.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k =－2●典例剖析【例1】已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ =－1，问题可解.解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0，得5y 2－20y +12+m =0.设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件y 1+y 2=4，y 1y 2=512m+.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3－2y 1，x 2=3－2y 2，∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2.∴m =3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－21，3），半径r =25.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.∴解得【例2】求经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组（x +3）2+y 2=13，x 2+（y +3）2=37由圆心在直线x －y －4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0，再由圆心在直线x －y －4=0上，定出参数λ，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0.展开、配方、整理，得（x +λ+13）2+（y +λλ+13）2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为（－λ+13，－λλ+13），代入方程x －y －4=0，得λ=－7. 故所求圆的方程为（x +21）2+（y +27）2=289.评述：圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，若圆C 1、C 2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1）+λ（x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2）=0（λ∈R 且λ≠－1）.它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程. 【例3】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0，x =3，x +y －4=0，y =1，即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21，∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］得圆上两∵m ∈得解析：数形结合法解. 答案：A2.（2003年春季北京）已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得22|00|b a c b a ++⋅+⋅=1，即c 2=a 2+b 2，∴由｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜构成的三角形为直角三角形.答案：B3.（2005年春季北京，11）若圆x 2+y 2+mx －41=0与直线y =－1相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为____________.解析：圆方程配方得（x +2m ）2+y 2=412+m ，圆心为（－2m，0）.由条件知－2m<0，即m >0.又圆与直线y =－1相切，则0－（－1）=412+m ，即m 2=3，∴m =3.答案：34.（2004年福建，13）直线x +2y =0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于____________.解析：由x 2+y 2－6x －2y －15=0，得（x －3）2+（y －1）2=25. 知圆心为（3，1），r =5.由点（3，1）到直线x +2y =0的距离d =5|23|+=5.可得21弦长为25，弦长为45. 答案：455.自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.解：圆（x －2）2＋（y －2）2＝1关于x 轴的对称方程是（x －2）2＋（y ＋2）2＝1. 设l 方程为y －3＝k （x ＋3），由于对称圆心（2，－2）到l 距离为圆的半径1，从而可得k 1＝－43，k 2＝－34．故所求l 的方程是3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.6.已知M （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=r 2（r >0）内异于圆心的一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心O （0，0）到直线x 0x +y 0y =r 2的距离为d =20202y x r +.∵P （x 0，y 0）在圆内，∴220y x +<r . 则有d >r ，故直线和圆相离. 培养能力7.方程ax 2+ay 2－4（a －1）x +4y =0表示圆，求a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）∵a ≠0时，方程为［x －a a )1(2-］2+（y +a 2）2=22)22(4a a a +-，由于a 2－2a +2＞0恒成立，∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆.（2）r 2=4·2222aa a +-=4［2(a 1－21)2+21］， ∴a =2时，r min 2=2.此时圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=2.8.（文）求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x +3y －26=0相切于（8，6）的圆的方程.解：设圆为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，依题意有方程组 3D －E =－36， 2D +4E －F =20， 8D +6E +F =－100. D =－11，E =3，F =－30.∴圆的方程为x 2+y 2－11x +3y －30=0.（理）已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，定点Q （4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程.解：（1）设PQ 中点M （x ，y ），则P （2x －4，2y ），代入圆的方程得（x －2）2+y 2=1.（2）设R （x ，y ），由||||RQ PR =||||OQ OP =21，设P （m ，n ），则有 m =243-x ，n =23y ，代入x 2+y 2=4中，得（x －34）2+y 2=916（y ≠0）. 探究创新9.已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.∴解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有||||PN PM =2，即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-，整理得x 2+y 2－6x +1=0. ①因为点N 到PM 的距离为1，|MN |=2，所以∠PMN =30°，直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y =±33（x +1）. ②将②代入①整理得x 2－4x +1=0.解得x 1=2+3，x 2=2－3.代入②得点P 的坐标为（2+3，1+3）或（2－3，－1+3）；（2+3，－1－3）或（2－3，1－3）.直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1. ●思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心教学点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例【例1】已知圆的方程为x 2+y 2+ax +2y +a 2=0，一定点为A （1，2），要使过定点A （1，2）作圆的切线有两条，求a 的取值范围.解：将圆的方程配方得（x +2a ）2+（y +1）2=4342a -，圆心C 的坐标为（－2a ，－1），半径r =4342a -，条件是4－3a 2＞0，过点A （1，2）所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，即22)12()21(+++a ＞4342a -.化简得a 2+a +9＞0.4－3a 2＞0， a 2+a +9＞0，由－332＜a ＜332， a ∈R .∴－332＜a ＜332.故a 的取值范围是（－332，332）.【例2】已知⊙O 方程为x 2+y 2=4，定点A （4，0），求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P （x ，y ），因为动圆过定点A ，所以|PA |即动圆半径. 当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |=|PA |+2；当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |=|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||=2.将此关系式坐标化，得|22y x +－22)4(y x +-|=2.化简可得（x －2）2－32y =1.解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系 ||OP |－|PA ||=2，即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（2，0），实半轴长a =1，半焦距c =2，虚半轴长b =22a c -=3，所以轨迹方程为（x －2）2－32y =1.解。

2013届高考数学(理)一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一高考函数与导数命题动向(人教A版)

2013届高考数学（理）一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一高考函数与导数命题动向高考命题分析函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．高考命题特点函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．高考动向透视函数的概念和性质函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．【示例1】►(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析法一 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选A.法二设x ＞0，则－x ＜0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.答案 A本题考查函数的奇偶性和函数的求值，解题思路有两个：一是利用奇函数的性质，直接通过f (1)＝－f (－1)计算；二是利用奇函数的性质，先求出x ＞0时f (x )的解析式，再计算f (1)．指数函数、对数函数、幂函数指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础，也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此高考对它的考查也会适当降低难度，但它仍是高考的热点内容，重点考查对数函数的图象和性质及其应用．【示例2】►(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b解析因为c＝5－log30.3＝5log3103，又log23.4＞log33.4＞log3103＞1＞log43.6＞0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a＞c＞b.故选C.答案 C本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较．一般是利用指数函数单调性进行比较．对数式的比较类似指数式的比较，也可以寻找中间量．函数的应用函数的应用历来是高考重视的考点，新课标高考更是把这个考点放到了一个重要的位置．相对于大纲的高考，新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加强，这主要体现在函数与方程方面，函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点，值得考生重视．【示例3】►(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．故选B.答案 B本小题考查对周期函数的理解与应用，考查三次方程根的求法、转化与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题的关键是将f(x)＝x3－x进行因式分解，结合周期函数的性质求出f(x)＝0在区间[0,6]上的根，然后将方程f(x)＝0的根转化为函数图象与x轴的交点问题．导数的概念及运算从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．【示例4】►已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x －y＝0，则点P的坐标为________．解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．答案(1,0)本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力．利用导数求函数的单调区间、极值、最值从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．【示例5】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a＋3b＋4＝0②由①②解得a＝2，b＝－4. 设切线l的方程为y＝3x＋m由原点到切线l的距离为10 10，则|m|32＋1＝1010，解得m＝±1.∵切线l不过第四象限∴m＝1，由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝2 3.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：在x＝23处取得极小值f⎝⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．突出以函数与导数为主的综合应用高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．【示例6】►(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋ax ln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．解 (1)由f (e)＝2得b ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x .从而f ′(x )＝a ln x .因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞1，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1；②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－2e ＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎨⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点；并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点．本题主要考查函数、导数等基础知识．考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．。

2013届高考数学第一轮基础知识点复习教案1

第二编函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的有（写出一个你认为正确的即可）.答案 y =2x2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .(填序号).答案 ②③3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法正确的是（填序号）. ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 ②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同③B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同④B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案 ①③④4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则能表示y 是x 的函数的图象是（填序号）.答案 ②③ 5.已知f （x 1）=x 2+5x ,则f (x )= .答案 251x x +(x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解（1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3.例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx x g --（2）已知函数f (2x）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域.解（1,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即-3＜x ＜0或2＜x ＜ 3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤ 2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤ 4. 故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)，销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x), 5 整理得y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). 7（2则y -(1.2-1)×1 000＞0, 10分即-60x 2+20x +200-200＞0,即3x 2-x ＜0. 12分解得0＜x ＜31，适合0＜x ＜ 1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0＜x ＜31. 13答（1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31). 14例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值.解（1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t∴f （t ）=lg12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17，∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2.（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x).解（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G依题意，则有AH =2a ，AG =23a .（1）当M 位于点H 的左侧时,N ∈AB由于AM =x ，∠BAD =45°. ∴MN =x . ∴y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a ）.（2）当M 位于HG由于AM =x∴MN =2a ，BN =x -2a.∴y =S 直角梯形AMNB =2·21a ［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a ≤<（3）当M 位于点G由于AM =x ，MN =MD =2a -x . ∴y =S 梯形ABCD -S △MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x =t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f (t ),则函数y =f (t )的图象（如下图所示）大致是 (填序号).答案一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 . 答案 34.已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案（-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=2,则f (-3)= . 答案 6 7.已知函数f (x ),g (x)则f ［g (1)］的值为，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是. 答案 1 28.已知函数ϕ (x)=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16, ϕ (1)=8,则 ϕ(x )= .答案 3x +x5二、解答题 9.求函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域.解由,110010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、b ,有f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x ); （2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解（1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ①又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ②两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ), ∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1). 11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙o的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB，垂足为E ，连接BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2=AE ×AB ，即AE =R x 22，∴CD =AB -2AE =2R -Rx 2，所以y =2R +2x +（2R -Rx 2）,即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R xx ,解得0＜x ＜2R .所以y =-R x 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）. 12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50. 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050. 所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.§2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则下列对f (x )=0的根说法不正确的是（填序号）.有且只有一个 ②有2个至多有一个 ④没有根答案 ①②2. 已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的函数（用“增”、“减”填空）. 答案减3.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .答案［1，3］4.（2009·徐州六县一区联考）若函数f (x )是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0满足f (xy )=f (x )+f (y )，则不等式f (x +6)+f (x )＜2f (4)的解集为 . 答案（0，2）5.已知函数f (x )=x 2-2x +3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 . 答案［1，2］例1已知函数f (x )=a x+12+-x x (a ＞1).证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,12x x a-＞1且a1x ＞0,∴a ,0)1(12112>-=--x x x x x a a a 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f (x 2)-f (x 1)=a12x x a -+12121122+--+-x x x x ＞0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f (x )=a x+1-13+x (a ＞1), 求导数得f ′(x )=a xln a +2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a xln a ＞0,2)1(3+x ＞0,f ′(x )＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵a ＞1,∴y =a x为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y =a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 例2判断函数f (x )=12-x 在定义域上的单调性.解函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )= 12-x , 可分解成两个简单函数.f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数. 例3（1）y =4-223x x -+;(2)y =2x -x 21-;(3)y =x +x4;(4)y =4)2(122+-++x x . 解（1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2，当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］. （2）方法一令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∴y =1-t 2-t =-（t +)212+45.∵二次函数对称轴为t =-21,∴在［0，+∞）上y =-(t +)212+45故y max =-(0+)212+45=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二 ∵y =2x 与y=-x 21-均为定义域上的增函数，∴y =2x -x 21-是定义域为{x |x ≤21}上的增函数，故y max =2×212121⨯--=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］. (3)方法一函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值. ∴当x ＞0时,y =x +x 4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得. 当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二任取x 1,x 2,且x 1＜x 2, 因为f (x1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f (x )递减. 故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时，f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （4y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (14分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,并且当x ＞0时，f (x )＞1.（1）求证：f (x )是R（2）若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)＜3.解（1）设x1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞1. 2f (x2)-f (x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1＞0. 5分∴f （x 2）＞f (x 1).即f (x )是R 上的增函数. 7分（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5∴f （2）=3， 10分∴原不等式可化为f (3m 2-m -2)＜f (2),∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2-m -2＜2, 12分解得-1＜m ＜34,故解集为（-1, 34）. 14分1.讨论函数f （x ）=x +xa（a ＞0）的单调性.解方法一显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1＞x 2＞0,f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a）=(x 1-x 2)·（1-21x x a ）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a＞1, 则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f (x 1)＜f (x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数. 当x 1＞x 2≥a 时，0＜21x x a＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f (x 1)＞f (x 2), 故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数. 方法二由f ′（x ）=1-2x a =0可得x =±a当x ＞a 时或x ＜-a 时，f ′(x )＞0，∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数. 同理0＜x ＜a 或-a ＜x ＜0时，f ′（x ）＜0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 2.求函数y =21log （4x -x 2）的单调区间.解由4x -x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y = 21log t .∵t =4x -x 2=-（x -2）2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf （x ）=f （x +1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x -20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x +4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x解（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000） =-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ）.MP （x ）=P （x +1）-P （x ）=-20（x +1）2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P （x ）=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）.因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值. 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f (x )满足f ()21x x =f (x 1)-f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. （1）求f (1)（2）判断f (x（3）若f (3)=-1,解不等式f (|x |)＜-2.解（1）令x 1=x 2＞0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1, 由于当x ＞1时，f (x )＜0, 所以f )(21x x ＜0,即f (x 1)-f (x 2)＜0, 因此f (x 1)＜f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f (21x x )=f (x 1)-f (x 2)f ()39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. 由于函数f (x )在区间（0,+由f (|x |)＜f (9),得|x |＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x |x ＞9或x ＜-9}.一、填空题1.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是 .答案［23，4） 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是（填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根 ③没有实根 ④必有惟一的实根答案 ①③3.函数y =lg(x 2+2x +m )的值域是R ,则m 的取值范围是 . 答案 m ≤14.函数f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )=f (log a x ) (0＜a ＜1)的单调减区间是 . 答案［a ,1］5.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx a x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 .答案［71，31） 6.若函数f (x )=(m -1)x 2+mx +3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 .答案［0，+∞）7.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 .答案 (-)32,21 8.已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则-f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ,b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间（a ,b ）上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ,b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则)()(x g x f 在（a ,b )上是递增函数.其中命题正确的是（填序号）答案 ① 二、解答题9.已知f (x )在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,试解不等式f (x )+f (x -8)≤2. 解根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m +n )=f (m )+f (n ),且当x ＞0时有f (x )＞0. （1）求证：f (x )在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f (1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x -2)］＜2. （1）证明设x 2＞x 1,则x 2-x 1＞0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)＞0, ∴f (x 2)＞f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2). 又f ［log 2(x 2-x -2)］＜2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］＜f (2).∴log 2(x 2-x -2)＜2,于是⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2＜x ＜-1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集为{x |-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}. 11.已知f (x )=ax x-(x ≠a).（1）若a =-2,试证f (x )在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f (x )在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明任设x 1＜x 2＜-2,则f (x 1)-f (x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x xx∵(x 1+2）(x 2+2)＞0,x 1-x 2＜0,∴f (x 1)＜f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. （2）解任设1＜x 1＜x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a ＞0,x 2-x 1＞0,∴要使f (x 1)-f (x 2)＞0,只需(x 1-a )(x 2-a )＞0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1.12.已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-32.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性；（2）求f (x )在［-3，3］上的最值. 解（1）f (x )在R上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x ＞0时，f (x )＜0,∴f (x 2-x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数. （2）∵f (x )在R 上是减函数， ∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.§ 2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 .答案02.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 . 答案03.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1) f (b +2)(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空).答案＞4.已知f （x ）=122)12(+-+xx a 是奇函数，则实数a 的值为 .答案15.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a ＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+ g (0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例1判断下列函数的奇偶性.（1）f (x )=2211x x -⋅-;(2)f (x )=log2(x +12+x ) (x ∈R ); (3)f (x )=lg|x -2|.解（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f (-1)=0,∴f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f (x )的定义域为R ，又∵f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.方法二易知f (x )的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.（3）由|x -2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数. 例2已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ). (1)求证：f (x )（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f (1)=-21,试求f (x )在区间［-2，6］上的最值. （1）证明∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.∵f （x +y ）-f （x ）+f （y ），令y =-x,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ∴f (0)-f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（2）解方法一设x ,y ∈R +，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y∴f （x +y ）-f （x ）=f （y ）.x ∈R +，f （x ）＜0,∴f (x +y )-f (x )＜0,∴f (x +y )＜f (x ).∵x +y ＞x ,f (x )在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f (6)为最小值. ∵f (1)=-21,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1, f (6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二设x 1＜x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)-f (x 1)＜0.即f (x )在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（16分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ).（1）求证：f (x )（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ∵f （x +2）=-f （x∴f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2∴f （x ）是以4为周期的周期函数， 4（2）解当0≤x ≤1时，f (x )=21x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x . ∵f (x )是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7 故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 8又设1＜x ＜3,则-1＜x -2＜1,∴f (x -2)=21(x -2), 10分又∵f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x∴-f （x ）=21（x -2∴f （x ）=-21（x -2）（1＜x ＜3）. 11∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x12由f (x )=-21,解得x =-1. ∵f （x ）是以4为周期的周期函数. ∴f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z). 14令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051, 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ∴在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分1.（1）f （x ）=（x -2）xx -+22（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---xx（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x 解（1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数. （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f x x x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x ＜-1时，f （x ）=x +2，-x ＞1, ∴f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）. x ＞1时，f （x ）=-x +2-x ＜-1，f (-x )=x +2=f (x ). -1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y =f (x )的定义域为R ，且对任意a ,b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )，且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)=-3. (1)证明：函数y =f (x )是R（2）证明：函数y =f (x )（3）试求函数y =f (x )在［m ,n ］（m ,n ∈Z ）上的值域.（1）证明设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)＜f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.（2）证明 ∵f （a +b ）=f （a ）+f （b ）恒成立，∴可令a =-b =x ,则有f （x ）+f （-x ）=f （0又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.从而∀x ∈R ，f （x ）+f （-x ）=0∴f （-x ）=-f （x ）.故y =f (x )是奇函数. （3）解由于y =f (x )是R∴y =f （x ）在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)=…=nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,∴f (1)=-1,∴f (m )=-m , f (n )=-n . ∴函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f （x 1+x 2） =f （x 1）·f （x 2），且f (1)=a ＞0. （1）求f (21)及f (41) （2）证明：f （x（3）记an =f (2n +)21n，求a n . （1）解 ∵对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2∴f （x ）=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］.∴f （1）=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .∵f (1)=a ＞0, ∴f (.)41(,)214121a f a ==（2）证明 ∵y =f （x ）的图象关于直线x =1∴f （x ）=f （1+1-x ），即f （x ）=f （2-x ），x ∈R .又由f （x ）是偶函数知，f （-x ）=f （x ），x ∈R∴f （-x ）=f （2-x ），x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f （x ）=f （x +2），x ∈R .这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解由（1）知f （x ）≥0，x ∈［0，1］.∵f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n n f nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21n f n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=∵f （x ）的一个周期是2，∴a n =f (2n +n 21)=f (n21),∴a n =a n 21.一、填空题1.f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的条件.答案充分不必要2.设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a = . 答案 -13.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 .答案 24.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（填序号）. ①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x . 答案5.(2009· 徐州六县一区联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= . 答案 -16.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为 .答案 f(x)=x (|x |-2)7.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .答案 48.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +4二、解答题9.已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f (x )=f (x +1)+f (x -1)恒成立. (1)求证：f (x )是周期函数. (2)已知f (3)=2，求f (2 004).（1）证明 ∵f (x )=f (x +1)+f (x -1),∴f (x +1)=f (x )-f (x -1),则f (x +2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x ∴f (x +3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ∴f (x +6)=f []).()3(3)3(x f x f x =+-=++ ∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f (2 004)=f (334×6)=f (0)=-f (3)=-2.10.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解 ∵f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f （x ）=x lg （2+x ），即f （x ）=-x lg （2+x ）（x ＞0）.∴f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ). 11.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .(1)试判断f (x )的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数. （2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43,∵a ≤21,故函数f (x )在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f (x )在（-∞，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43,∵a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+∞)上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1. 12.设函数f (x )在（-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0. （1）试判断函数y =f （x )的奇偶性；（2）试求方程f (x )=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论. 解（1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f （x )是非奇非偶函数. （2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.§2.4指数与指数函数基础自测1. 已知a ＜41，则化简42)14(-a 的结果是 . 答案 a 41-2.设指数函数f (x )=a x(a ＞0且a ≠1)，则下列等式正确的有（填序号）. ①f (x +y )=f (x )·f (y ) ②f (xy )n=f n(x )·f n(y ) ③f (x -y )=)()(y f x f ④f (nx )=f n(x )答案 ①③④3.函数f (x )=a x-b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有（填序号）.①a ＞1,b ＜0 ②a ＞1,b ＞0 ③0＜a ＜1,b ＞0 ④0＜a ＜1,b ＜0 答案①②③4.关于函数f (x )=2x-2-x(x ∈R )①f (x )的值域为R②f (x )是R③对任意x ∈R ,有f (-x )+f (x )=0成立.其中正确结论的序号是 .答案 ①②③5.已知集合M ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=-+Z x x N x ,4221|,1,11，则M N= .答案 {}1-例1已知a =91,b =9.求：（1）;315383327a a a a ⋅÷--（2）111)(---+ab b a .解（1）原式=3127⨯a .3123⨯-a÷［a21)38(⨯-·21315⨯a= 2167-a )2534(+--=a 21-.∵a =91，∴原式=3. （2）方法一化去负指数后解..11)(11b a abab b a ab b a ab ba+=+=+=+--∵a =,9,91=b ∴a +b =.982方法二利用运算性质解. .11)(11111111111a b a b b a b b a a ab b a +=+=+=+-----------∵a =,9,91=b ∴a +b =.982例2函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则f (b x) f (c x).(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空)答案例3（1）f (x )=3452+-x x;(2)g (x )=-(5)21(4)41++x x .解（1）依题意x 2-5x +4≥0, 解得x ≥4或x ≤1,∴f （x ）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u =,49)25(4522--=+-x x x ∵x ∈（-∞，1］∪［4，+∴u ≥0，即452+-x x ≥0，而f (x )=3452+-x x ≥30=1,∴函数f (x )的值域是［1，+∞）.∵u =49)25(2--x ,∴当x ∈（-∞，1］时，u当x ∈［4，+∞）时，u 是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可f （x ）=3452+-x x 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故f （x ）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g (x )=-(,5)21(4)21(5)21(4)412++-=++x x xx∴函数的定义域为R ，令t =()21x (t ＞0),∴g (t )=-t 2+4t +5=-(t -2)2+9,∵t ＞0,∴g (t )=-(t -2)2+9≤9,等号成立条件是t =2,即g (x )≤9,等号成立条件是(x )21=2，即x =-1，∴g （x ）的值域是（-∞，9］.由g (t )=-(t -2)2+9 (t ＞0),而t =(x )21是减函数，∴要求g (x )的增区间实际上是求g (t )求g (x )的减区间实际上是求g (t )的增区间. ∵g （t ）在（0，2］上递增，在［2，+由0＜t =(x )21≤2,可得x ≥-1,t =(x )21≥2,可得x ≤-1.∴g （x ）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1故g (x )的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 例4（14分）设a ＞0,f (x )=x x aa ee +是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）求证：f (x )在（0，+∞）上是增函数.（1）解 ∵f （x ）是R 上的偶函数，∴f （-x ）=f （x ）， 2分∴,e e ee x x x x a a a a +=+--∴（a -)e 1e )(1x x a -=0对一切x 均成立， 4分∴a -a1=0，而a ＞0,∴a =1. 6分（2）证明在（0，+∞)上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2, 8分则f (x 1)-f (x 2)=1e x +1e 1x -2e x -2e 1x=)e e (12x x - ().1e 121-+x x10分∵x 1＜x 2,∴,e e 21x x <有.0e e 12>-xx∵x 1＞0,x 2＞0,∴x 1+x 2＞0,∴21e x x +＞1, 12分21e 1x x +-1＜0.∴f (x 1)-f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2),故f (x )在（0,+∞）上是增函数. 14分1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a解（1）原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a b a b a b a b a（2）原式=-)(45)4(25233136121332361------÷-=⋅÷b a b a b a b a.4514545232321ab abab b a -=⋅-=⋅-=--2.已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b ;④b ＜a ＜0;⑤a =b.其中不可能成立的有（填序号）.答案③④3.求下列函数的单调递增区间：（1）y =(226)21x x -+;(2)y =262--x x .解（1）函数的定义域为R . 令u =6+x -2x 2,则y =(u )21.∵二次函数u =6+x -2x 2的对称轴为x =41, 在区间［41，+∞）上，u =6+x -2x 2是减函数，又函数y =()21u是减函数，∴函数y =(226)21x x -+在［41，+∞）上是增函数.故y =(226)21x x -+的单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u =x 2-x -6,则y =2u, ∵二次函数u =x 2-x -6的对称轴是x =21, 在区间［21，+∞）上u =x 2-x -6是增函数. 又函数y =2u为增函数，∴函数y =262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数. 故函数y =262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）. 4.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )=142+xx.（1）求f （x )在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f (x )在（0，1）上是减函数.（1）解当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1). ∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=-f （-x ）=-.142142+-=+--x x x x .由f (0)=f (-0)=-f (0)，且f (1)=-f (-1)=-f (-1+2)=-f (1),得f (0)=f (1)=f (-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f （x ）={}⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xx xx (2)证明当x ∈(0,1)时，f (x )=.142+xx设0＜x 1＜x 2＜1,则f (x 1)-f (x 2)=,)14)(14()12)(22(1421422211222111++--=+-++x x x x x x x x x x∵0＜x 1＜x 2＜1,∴22x -12x ＞0，212x x + -1＞0,∴f (x 1)-f (x 2)＞0,即f (x 1)＞f (x 2),故f (x )在（0，1）上单调递减.一、填空题1.2311213,)32(,-的大小顺序为 .答案 213121)32(3-<< 2.若a ＜0,则2a ,,)21(a (0.2)a的大小顺序为 . 答案 (0.2)a＞a )21(＞2a3.若函数y =4x-3·2x+3的定义域为集合A ，值域为［1，7］，集合B =（-∞，0］∪［1，2］，则集合A 与集合B 的关系为 . 答案 A =B4.若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x在区间［1，2］上都是减函数，则a 的取值范围是 .答案（0，1］5.(2009·常州二中期中)当函数f (x )=2-|x -1|-m 的图象与x 轴有公共点时，实数m 的取值范围是 .答案（0，1］6.当x ＞0时，函数f (x )=(a 2-1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是 .答案 a ＞2或a ＜-27.若函数f (x )=a x-1 (a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a 等于 .答案 38.函数y =a x（a ＞0,且a ≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a 的值是 . 答案21或23二、解答题9.要使函数y =1+2x+4xa 在x ∈（-∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.解由题意得1+2x+4xa ＞0在x ∈（-∞,1］上恒成立，即a ＞-xx 421+在x ∈（-∞，1］上恒成立.又∵-xx 421+=-(,4121)21()21()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x∵x (],1,-∞∈∴(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21)21x .令t =(.,21,41)21()(,)212⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈++-=t t t f x 则则f (t )在［21,+∞）上为减函数，f (t )≤f ()21=-(,4341)21212-=++即f (t )∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,.∵a ＞f (t ),∴a ∈（-43，+∞）. 10.已知函数f (x )=(.)211213x x +-（1）求f (x )的定义域；（2）讨论f (x )的奇偶性；（3）证明：f (x )＞0.（1）解由2x-1≠0⇒x ≠0,∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).（2）解 f (x )=(3)21121x +- 可化为f (x )=,)12(2123x x x -⋅+ 则f (-x )=).()12(212)()12(21233x f x x xx xx =-⋅+=--⋅+--∴f (x )=（)21121+-x x 3是偶函数. （3）证明当x ＞0时，2x＞1,x 3＞0. ∴（)21121+-x x 3＞0. ∵f (x )为偶函数，∴当x ＜0时，f (x )=f (-x )＞0. 综上可得f (x )＞0. 11.已知函数f (x )=12-a a （a x -a -x） (a ＞0，且a ≠1).(1)判断f (x )的单调性；（2）验证性质f (-x )=-f (x ),当x ∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f (1-m )+f (1-m 2)＜0的实数m 的范围.解（1）设x 1＜x 2,x 1-x 2＜0,1+211x x a+＞0.若a ＞1,则21x x a a <,12-a a ＞0,所以f (x 1)-f (x 2)=)11)((121212x x x x a a a a a ++--＜0，即f (x 1)＜f (x 2),f (x )在（-∞,+∞）上为增函数；同理，若0＜a ＜1，则21x x a a >,12-a a ＜0, f (x 1)-f (x 2)=)(1212x x a a a a --(1+211x x a+)＜0,即f (x 1)＜f (x 2),f (x )在（-∞,+∞）上为增函数. 综上，f (x )在R 上为增函数. （2）f (x )=),(12x x a a a a ---则f (-x )=)(1x x a a a a ---,。

2013届高考数学第一轮例题专项复习教案7

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( ) A ．[－π3，π3] B ．[k π－π3，k π＋π3]，k ∈Z C ．[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z D ．R 解析：由题意得cos x ≥12， ∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 答案：C2．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A ．－2，2πB ．－2,2πC ．－2，πD ．－2，π解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 答案：A3．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x 解析：因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x .答案：D4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]．答案：A5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B.[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D.[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)． ∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．答案：C6．若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2B.12 C ．3 D.13解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合．答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案：328．设函数y ＝sin(π2x ＋π3)，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：29．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由图象及性质可知②④正确．答案：②④三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧ 3sin2x ＝m ，λ＝m －cos2x .∴λ＝3sin2x －cos2x . 若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝33. ∵0<x <π，∴0<2x <2π.∴2x ＝π6，或2x ＝7π6. ∴x ＝π12，7π12. (2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －12cos2x ) ＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π6) ＝2sin(2x －π6)， ∴函数的最小正周期为T ＝π.即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z. ∴f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z. 11．已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2为偶函数，求θ的值．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋23·1－cos2x 2－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，解得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z. (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3，根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值．即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1，∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，∴θ＝5π12. 12．已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域，并写出f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)由于π4是函数y ＝f (x )的零点，即x ＝π4是方程f (x )＝0的解，从而f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，则f (x )＝2sin(2x －π4)－1，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]，则sin(2x －π4)∈[－22，1]，则－1≤2sin(2x －π4)≤ 2，－2≤ 2sin(2x －π4)－1≤2－1， ∴值域为[－2，2－1]．当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋38π时，f (x )有最大值，又x ∈[0，π2]，故k ＝0时，x ＝38π， f (x )有最大值2－1.。

2013届高考数学第一轮例题专项复习教案12

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α等于( )A.35B.45C.34D.43答案：B2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522 m解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案：A3． E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627 B.23 C.33D.34解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECFcos ∠ECF＝1－45245＝34.答案：D4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10，或h ＝－5(舍)．答案：C6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时)．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________ m.解析：轴截面如图，则光源高度h ＝15tan60°＝53(m)．答案：5 38．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin30°＝233h sin45°，故h ＝30.答案：309．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为________米．解析：如图，设BD ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x cos60°， ∴x 2－10x －96＝0， ∴(x －16)(x ＋6)＝0， ∴x ＝16或x ＝－6(舍)．答案：16三、解答题(共3小题，满分35分)10．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理得，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114. 11．以40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1 000米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．解：如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处．由题知，BD ＝1 000米，AC ＝2千米，∵∠BCD ＝30°， ∴BC ＝3千米，设AB ＝x 千米，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x 2－2×2x cos60°＝(3)2， ∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为1120＝20 km/h.12．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∴∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OPsin ∠PCO＝CPsin θ，∴2sin120°＝CPsin θ，所以CP ＝43sin θ.又OC－θ＝2sin120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ·OC sin120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ(32cos θ－12sin θ)＝23[cos(2θ－60°)－12]，θ∈(0°，60°)．所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33.。

高三数学第一轮复习教案

集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为
A A；
②空集是任何集合的子集，记为
A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 A B ，同时 B A ，那么 A = B. 如果 A B， B C，那么 A C .
[ 注 ] ：① Z= { 整数 } （√） Z ={ 全体整数 } （3）
②已知集合 S 中 A的补集是一个有限集，则集合则 CsA= {0} ）
命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式： p 或 q( 记作“ p∨ q” ) ； p 且 q( 记作“ p∧ q” ) ；非 p( 记
作“┑ q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（ 1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（ 2）“ p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（ 3）“ p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真．
高考数学总复习教案及知识点
第一章 - 集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
（ 1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之
.
（ 2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之
.
第三讲，简易逻辑及命题

高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案-人教版高三全册数学教案

第二节函数的单调性与最值教学目标：知识与技能：理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义；会运用函数的图象理解和研究图象的性质过程与方法：会画初等函数的图象，能利用图象的单调性研究函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。

教学重点：函数的单调性，最大（小）值教学难点：利用图象的单调性研究函数教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D ⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,都有:(1)f(x)在区间D 上是增函数⇔f(x1)<f(x2)(2)f(x)在区间D 上是减函数⇔f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M ∈R,① 对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M （或f(x)≥M ）② 存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M 是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______. (2)试讨论函数 x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1） (-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则 ∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a ＞0时,f(x1)-f(x2)＞0. ()2ax f x ,x 1=-()()12122212ax ax f x f x x 1x 1-=---()()()21122212a x x x x 1x 1(x 1)-+=--21122212(x x )(x x 1)0.(x 1)(x 1)-+--＞即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a ＞0时,f ′(x)<0;当a ＜0时,f ′(x)>0.∴当a ＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为在t ∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x ∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数的单调递减区间为(-1,+∞). 【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x ∈R), 则f(x)的值域是( ) (A)［］∪(1,+∞) (B)［0,+∞) (C)［ ) (D)［］∪(2,+∞) 【变式训练】用定义法判断函数.【解析】由x2-1≥0得x ≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. ()()()()()2222222a x 12ax a x 1f x x 1x 1---+'==--()()12f x log x 1,=+12y log t =()12f x log (x 1)=+()()()()()g x x 4,x g x ,f x g x x,x g x ,⎧++⎪=⎨-≥⎪⎩＜9,04-9,4+∞9,04-y =()()12f x f x -=22x x x x -+==0,+>(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域. 【变式训练】(1)函数在区间［a,b ］上的最大值是1,最小值是31 ，则a+b=________.【解析】易知f(x)在［a,b ］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·某某模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[21 ,2]都成立,则实数a 的取值X 围是. (2)已知满足对任意x1≠x2,都有成立，那么a 的取值X 围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规X 解答】(1)因为f(x)为R 上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a ≤1-x 3 在[ 21 ,2]上恒成立, 令g(x)=1- x 3 ,则由于g(x)在[ 21 ,2]上为增函数, 所以g(x)min=g( 21 )=1- =-5, 所以a ≤-5,即a ∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5] 2)∵对任意x1≠x2,都有成立,∴函数f(x)是R 上的增函数.答案：【小结】 ()1f x x 1=-()()1f a 1,1,a 1111f b ,.3b 13⎧⎧==⎪⎪⎪-∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩即a 2,a b 6.b 4,=⎧∴∴+=⎨=⎩()()x 2a x 1x 1f x a x 1⎧-+⎪=⎨≥⎪⎩，＜，，，()()1212f x f x 0x x --＞312()()1212f x f x 0x x --＞()12a 0,a 1,a 2a 11,⎧∴-⎪⎨⎪≥-⨯+⎩＞＞3a 2.2∴≤＜“f ”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f ”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.对于分段函数的单调性,不仅要注意每一段上的单调性,还应注意端点处函数值的大小关系.【变式训练】已知函数若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()22x 4x,x 0,f x 4x x ,x 0,⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()()()2222x 4x x 24,x 0,C.f x 4x x x 24,x 0,⎧+=+-≥⎪=⎨-=--+<⎪⎩。

2013届高考数学第一轮专项复习教案18

13.2导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基1.函数y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.答案：C2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足A.a<0且b=0B.a>0且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：B3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F'（x）=4x3－8x，令F'（x）>0，得－2<x<0或x>2，∴F（x）在（－2，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内f'（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间.剖析：由已知x =1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f （x ）上，得方程组解之可得a 、b .解：f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =－21. 此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）.当f '（x ）>0时，x >1或x <－31，当f '（x ）<0时，－31<x <1.∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】（2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）3+98. 由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3.评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）.【例3】（2004年全国，21）若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.∴5≤a ≤7.∴a 的取值范围为［5，7］.评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是A.0B.1C.2D.3解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3.答案：D2.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0，∴f （x ）在［1，2］上单调递增.∴f （x ）≥f （1）=7.∴f （x ）=0在［1，2］上无根.答案：D3.函数f （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，f '（x ）≥0.答案：［－1，0］和［2，+∞)4.若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________. 解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0.答案：b >05.设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间. 解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增.3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a . f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a . ∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减. 6.设f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］. （2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7.∴m >7.培养能力7.已知函数f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3.又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.8.已知函数f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.（1）求y =f （x ）的解析式；（2）求y =f （x ）的单调递增区间.解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c∴c =1，a =25，b =－29， f （x ）=25x 4－29x 2+1. （2）∵f '（x ）=10x 3－9x ，由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10103，+∞），则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10103，+∞）. 9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，∴2a >3x 2，即a >23x 2. ∵x ∈（0，1]，∴23x 2∈（0，23]. ∴a >23.当a =23时也成立.∴a ≥23. 探究创新10.有点难度哟！证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）.当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立.∴f （x ）在（0，1）上单调递减.∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根.●思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.●教师下载中心教学点睛1.可导函数f （x ）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点.2.求可导函数f （x ）的极值的步骤如下：（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.3.求可导函数f （x ）的最值的方法：（1）求f （x ）在给定区间内的极值；（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解：f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立.∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩⎨⎧<->.0124,0a a ∴a >31.当a =31时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增.∴a ≥31.【例2】求证：x >1时，2x 3>x 2+1.证明：令f （x ）=2x 3－x 2－1，则f '（x ）=6x 2－2x =2x （3x －1）.当x >1时，f '（x ）>0恒成立.∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增.又∵f （1）=0，∴f （x ）在（1，+∞）上恒大于零，即当x >1时，2x 3>x 2+1.。

2013届高考数学第一轮专项复习教案3

*第十三章导数●网络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim→∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）.4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4 解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3s 时的瞬时速度为 A.6 B.18C.54 D.81解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 答案：C4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5. ∴c =4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ， ∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca .又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ），f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）.代入原式中得值为0. 答案：0 ●典例剖析【例1】（1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］B.［0，a21］ C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］（2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y =3x －4B.y =－3x +2 C.y =－4x +3 D.y =4x －5 （3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______. （4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］， ∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+ab 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］， ∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a21］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2.∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0（4）2x －y +4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少? 剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54. 评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k =x y （x 0≠1）. 由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f '（x 0）=3x 02－6x 0+2. ∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2. 整理得2x 02－3x 0=0. 解得x 0=23（∵x 0≠0）. 这时，y 0=－83，k =－41. 因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）. 评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.解：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）. 设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练夯实基础1.函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是 A.x 2－x +1 B.（x +1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1 解析：∵f （x ）=x 3+1，∴f '（x ）=3x 2.答案：C2.曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x +y +3=0，则 A.f '（x 0）>0 B.f '（x 0）<0 C.f '（x 0）=0D.f '（x 0）不存在解析：由题知f '（x 0）=－3. 答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________. 解析：f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310. 答案：310 4.曲线y =2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________.解析：点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0. 答案：4x +y +1=05.已知曲线y =x 2－1与y =3－x 3在x =x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案：3616.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）；当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）. ∴α∈［0，2π）∪［43π，π）. 培养能力7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求：（1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2， ∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值. 解：设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1.（1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上， ∴y =3×1+1=4，即P （1，4）. 又P （1，4）也在y =x 3－a 上， ∴4=13－a .∴a =－3. （2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）. 又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上， ∴－2=（－1）3－a .∴a =1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y =x 2+bx +c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y =2x 在x =2处相切. 解：y '=2x +b ，k =y ′|x =2=4+b =2，∴b =－2.又当x =2时，y =22+（－2）×2+c =c ，代入y =2x ，得c =4. 探究创新10.有点难度哟！曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程. 解：y '=3x 2+6x +6=3（x +1）2+3，∴x =－1时，切线最小斜率为3，此时，y =（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y +14=3（x +1），即3x －y －11=0. ●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心教学点睛 1.f '（x 0）=0lim→x xx f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0limx x →00)()(x x x f x f -- =0lim →h h x f h x f )()(00-+=0lim→h hh x f x f )()(00--2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s （t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标.解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式 Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。

高考数学第一轮复习教案——导数

高考复习——导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2 熟记基本导数公式, 掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大( 小) 值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。

掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻( 或某一位置) 的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1) △x 是自变量 x 在 x 处的增量 ( 或改变量 ) ．(2) 导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△ x →0 时，y x 有极限，那么函数y=f(x)在点 x 处可导或可微，才能得到f (x) 在点 x 0 处的导数．(3) 如果函数 y=f(x) 在点 x 处可导，那么函数 y=f(x) 在点 x 0 处连续 ( 由连续函数定义可知 ) ．反之不一定成立．例如函数 y=|x| 在点 x=0 处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1) 求函数的增量 yf (x 0x) f (x 0 )；(2) 求平均变化率y f (x 0 x) f ( x 0 )xx； (3) 取极限，得导数fy'(x。

2013届高考数学第一轮复习教案22

2013年普通高考数学科一轮复习精品教案第9讲空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2013年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式棱长。

2．旋转体的面积和体积公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

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9.4两个平面平行●知识梳理1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.●点击双基1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有A.1种B.2种C.3种D.4种解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.答案：C3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是A.α、β都平行于直线a、bB.α内有三个不共线点到β的距离相等C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.答案：D4.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）答案：①④⑤⑥●典例剖析【例1】设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N 分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC 为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME 是△BAC的中位线，故ME∥AC，MEα，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE平面α，CFα，∴NE∥α.又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN平面MNE，∴MN∥平面α.【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1.证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.故它们的对应边平行且相等.∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1.同理，AD⊥CD.∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC.同理，DD1⊥平面ACD.∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD.∴A、B、C、D四点共面.∴ABCD为正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.故ABCD—A1B1C1D1是正方体.易知A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACD1.同理，BC1∥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.证法二：证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上.连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，由三垂线定理知B1D⊥A1C1，同理可证B1D⊥BA1，∴B1D⊥平面A1BC1.同理可证，B1D⊥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）AP⊥MN；（2）平面MNP∥平面A1BD.证明：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN.（2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.●闯关训练夯实基础1.（2003年上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β答案：D2.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=３4，则CS=_____________.解析：如图（1），由α∥β可知BD∥AC，∴=，即=，∴SC=68.如图（2），由α∥β知AC∥BD，∴==，即=.∴SC=.答案：68或3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值.其中正确命题的序号是_____________.解析：对于命题①，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.答案：①③④4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD 的公垂线段.（1）求证：MN∥α；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.（1）证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连结CB′、DB′，设E为B′D的中点，连结NE、CE，则NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′，∴MC NE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.∴MN∥CE.又CEα，MNα，∴MN∥α.（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==，∴CE==，即线段MN的长为.5.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1∥平面C1DB；（2）求证：A1C⊥平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.（1）证明：∵D1B1∥DB，∴D1B1∥平面C1DB.同理，AB1∥平面C1DB.又D1B1∩AB1=B1，∴平面AD1B1∥平面C1DB.（2）证明：∵A1C1⊥D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，∴A1C1⊥D1B1.同理，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1.∴A1C⊥平面AD1B1.（3）解：设A1C∩平面AB1D1=M，A1C∩平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心.则M∈AO1，N∈C1O，且AO1∥C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.培养能力6.如下图，直线a∥直线b，a平面α，b平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a与b所确定的平面不与γ垂直.如果a、b不是γ的垂线，则必有α∥β.证明：令α∩γ=直线a′，β∩γ=直线b′.分别过a、b上任一点在α内、β内作a′、b′的垂线m、n.根据两平面垂直的性质定理，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.∵a不垂直于γ，m⊥γ，且a、m在α内，∴a与m必是相交直线.又b与n在β内，且有a∥b，m∥n，∴a ∥β，m∥β.∴α∥β.点评：根据a∥b，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.（1）求证：=；（2）设AF交β于M，AC DF，α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当的值是多少时，△BEM的面积最大?（1）证明：连结BM、EM、BE.∵β∥γ，平面ACF分别交β、γ于BM、CF，∴BM∥CF.∴=.同理，=.∴=.（2）解：由（1）知BM∥CF，∴==.同理，=.∴S=CF·AD（1－）sin∠BME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量，sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令h′∶h=x.只要考查函数y=x（1－x）的最值即可，显然当x=，即=时，y=－x2+x有最大值.∴当=，即β在α、γ两平面的中间时，S最大.8.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；（2）求异面直线BE与MN之间的距离.（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB.又AM∥DF，∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，∴平面AMN∥平面EFDB.（2）解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H.∵DB⊥平面A1ACC1，∴DB⊥OH.而MN∥DB，∴OH⊥MN.则OH⊥平面AMN.∵A1P=a，AP=a，设∠A1AP=θ，则cosθ==，∴OH=AO·sinθ=a·a=a.∴异面直线BE与MN的距离是a.探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB 为东西方向，BC为南北方向.∠CBD=α，∠ACB=β，∠EAC=γ，∠AED=90°－γ，影长AD=x为未知量.但x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC=θ为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在△ADE中，=，即=.①在△ACD中，CD=x sinθ，AC=x cosθ.在△ABC中，BC=AC cos β=x cosθcosβ.在△BCD中，tanα==.②由①推得x=.③由②推得tanθ=tanαcosβ，即θ=arctan（tanαcosβ）.代入③，即得树在坡面上的影长.●思悟小结证明两平面平行的方法：（1）利用定义证；（2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.●教师下载中心教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.拓展题例【例1】下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β，aα，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β=l.答案：D【例2】在四棱锥P—ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN∥平面P AD；（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小.（1）证明：取CD的中点E，连结ME、NE.∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.于是NE∥平面P AD，ME∥平面P AD.∴平面MNE∥平面P AD，MN平面MNE.∴MN∥平面P AD.（2）解：设MA=MB=a，BC=b，则MC=.∵N是PC的中点，MN⊥平面PCD，∴MN⊥PC.于是MP=MC=.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AM，P A==b.于是PD=b，EN是△PDC的中位线，EN=PD=b.∵ME⊥CD，MN⊥平面PCD，∴EN⊥CD，∠MEN即为二面角P—CD—B的平面角.设为α，于是cosα==，α=45°，即二面角P—CD—B 的大小为45°.。