2013届高考数学第一轮复习教案9.

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第36讲空间向量及其应用
一．课标要求：
（1）空间向量及其运算
①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量；
②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三．要点精讲
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、
速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率
加法交换率：
加法结合率：
数乘分配率：
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

平行于记作∥。

注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的
充要条件是存在实数使＝
注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。

⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量。

⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
①
其中向量叫做直线l的方向向量。

在l上取，则①式可化为②
当时，点P是线段AB的中点，则③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。

⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。

注意：向量∥与直线a∥的联系
与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使
④
或对空间任一定点O，有⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。

①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得
⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一
个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组，使 6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作，
，则角∠AOB 叫做向量与的夹角，记作
说明：⑴规定0≤≤,因而=
； ⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥； A B O （
3A B O （1O A B （2
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的
起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的
夹角不同，
图（3）中∠AOB =
， 图（4）中∠AOB =
, 从而有==. （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。

即=， 向量:
（4）性质与运算率 ⑴。

⑴
⑵⊥
=0 ⑵= ⑶
⑶
四．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质 例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（ ）
A B
O （4A B l
①②①③②③①②③
解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关
系一定共线”；所以①错误。

②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。

例2．下列命题正确的是（）
若与共线，与共线，则与共线；
向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量。

答案C。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。

像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。

题型2：空间向量的基本运算
例3．如图：在平行六面体
中，为与的交
点。

若，，，则下
列向量中与相等的向量是（）
解析：显然；
答案为A。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。

用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例4．已知：且不共面.若∥,求的值.
解：∥,,且即
又不共面,
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标
例5．（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，
b2，b3），它们平行的充要条件是（）
A.：||=：||
B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0
D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）
A. －3或1
B.3或－1
C. －3
D.1
（3）下列各组向量共面的是（）
A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A点拨：由题知或；
（3）A点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。

例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C （－3，0，4）。

设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，
=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，
∴和的夹角为－。

(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k －10=0。

则k=－或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。

（+）(k－
2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。

题型4：数量积
例7．设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）=②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（）
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；
④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真.
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

例8．（1）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－
）·=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)
与向量=(1，1，1)的夹角都等于。

(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。

（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。

另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。

(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，
x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴<，>=。

评述：本题考查向量数量积的运算法则。

题型5：空间向量的应用
例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：
++≤4。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，
F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，
则||=4，||=.
∵·≤||·||，
∴·=++≤||·||=4.
当==时，即a=b=c=时，取“=”号。

（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。

点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。

本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。

空间向量的数量积对应做功问题。

例10．如图,直三棱柱中,求证:
证明：
同理
又
设为中点,则
又
点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。

五．思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。

如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos<a，b>在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：
1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

2．向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。

本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。

因此，掌握双基、精通课本是本章关键。