定积分的计算

§7.4 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
定理1 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则()()x a
G x f t dt =
⎰
在],[b a 上处处可导，且
()()()x a
d
G x f t dt f x dx
Φ=
=⎰，],[b a x ∈。

说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数。

因此，该定理也称之为微积分学基本定理。

且用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

定理2 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且
⎰
-=b
a
a F
b F dx x f )()()(
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==b a
b
a a F
b F x F dx x f )()()()(。

注：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如)(x f 只要在在],[b a 上可积即可。

例：计算下列定积分： 1）⎰b
a n
dx x （n 为整数）；
2）3
b a
dx x
⎰
（0<a<b ）；
3）0
cos xdx π
⎰。

二 定积分的换元积分法
定理3（定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，作代换()x t ϕ=。

其中()t ϕ在],[βα上有连续导数()'t ϕ，当t αβ≤≤时，()a t b ϕ≤≤且()(),a b ϕαϕβ==，则
⎰⎰
⎰=
'=
β
ε
β
α
ϕϕϕϕ)())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f b
a。

注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。

例：求dx x ⎰
-1
2
1。

例：求⎰20
2
cos sin π
tdt t 。

例：求dx x
x J ⎰
++=
1
2
1)1ln(。

三 定积分的分部积分法
定理4（定积分的分部积分法）若)(x u 、)(x v 为],[b a 上的连续可微函数，则 ⎰
⎰'-='b
a
b
a b
a dx x v x u x v x u dx x v x u )()()
()()()(，
或
⎰
⎰
-
=b
a
b
a b
a
x du x v x v x u x dv x u )()()
()()()(。

例：求31
ln e
x xdx ⎰。

例：求20
sin n
xdx π
⎰。

四 杂例
注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。

例：利用定积分求极限： )212
11
1(
lim n
n n n +
+++
+∞
→ 。

例：求lim
n n
→∞
例：设()f x 在[],a a -上连续，那么当()f x 是偶函数时，()()0
2a a
a
f x dx f x dx -=⎰⎰；
当()f x 是奇函数时，()0a a
f x dx -=⎰。