第四章五节

§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切
1.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝ (C α＋β) sin(α－β)＝ (S α－β) sin(α＋β)＝ (S α＋β)
tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
(T α＋β)
前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠k π＋π
2，β≠k π
＋π2，k ∈Z ，且α＋β≠k π＋π2(T α＋β需满足)，α－β≠k π＋π
2(T α－β需满足)k ∈Z 时成立，否则是不成立的.当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T α±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解. 2.二倍角公式
sin 2α＝______________；
cos 2α＝________________＝____________＝______________； tan 2α＝______________.
3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如T α±β可变形为：
tan α±tan β＝______________________，
tan αtan β＝________________＝________________.
4.函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝______________或f (α)＝________________，其中φ可由a ，b 的值唯一确定.
1.化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝________________________________.
2.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β
的值为________.
3.函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________.
4.设sin(π4＋θ)＝1
3，则sin 2θ等于
( )
A.－7
9
B.－19
C.19
D.79 5.若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1
3，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为
( )
A.1
3
B.－13
C.79
D.－79
题型一 三角函数式的化简求值问题
例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2
－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；
(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°
－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°.
(1)化简：
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题
例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值.
(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6，x ∈R .
(1)求f ⎝⎛⎭⎫
5π4的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5，求cos(α＋β)的值. 题型三 三角变换的简单应用
例3 已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤
π12，π2，求f (x )的取值范围.
(2010·天津)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ).
(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π
2]上的最大值和最小值；
(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π
2]，求cos 2x 0的值.
6.构造辅助角逆用和角公式解题
试题：(12分)已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值.
§4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切
(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组
一、选择题
1.已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)等于
( )
A.－
5
3
B.－19
C.19
D.
53
2.(2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝1
4，则tan α的值等于
( )
A.2
2
B.3
3
C. 2
D. 3
3.(2011·浙江)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝3
3，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于
( )
A.
3
3
B.－
33
C.539
D.－
69
二、填空题
4.(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x
tan 2x 的值为____________.
5.函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是____________.
6.sin α＝35，cos β＝3
5，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝____________.
三、解答题
7.已知A 、B 均为钝角且sin A ＝
55，sin B ＝1010
，求A ＋B 的值. 8.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π
2上
的最大值与最小值.
B 组 专项能力提升题组
一、选择题
1.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π
4－α，则sin 2α等于
( )
A.1
2
B.－12
C.2
2
D.－
22
2.若将函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6 (A >0，ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到
的图象关于原点对称，则ω的值可能为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
3.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1
4，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于
( )
A.13
18
B.13
22
C.3
22
D.16
二、填空题
4.化简：sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝____________.
5.
3tan 12°－3
4cos 2
12°－2sin 12°
＝____________.
6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝12
13，α∈⎝⎛⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α
＝____________.
三、解答题
7.已知cos α＝17，cos(α－β)＝13
14，且0<β<α<π2，
(1)求tan 2α的值； (2)求β.
8.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋sin 2x .
(1)求函数f (x )的最大值；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－1
4，且C 为锐角，求sin A .。