2018年高考数学 专题33 球的“内切”、“外切”的解题技巧黄金解题模板

专题33 球的“内切”、“外切”的解题技巧
【高考地位】
球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．
【方法点评】
类型一球的内切问题
使用情景：有关球的内切问题
解题模板：第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步得出结论.
例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
【答案】（1）R=；（2）当
43
3-
=
=r
R时，体积之和有最小值．
【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可．
【变式演练1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
315．
【答案】球取出后，圆锥内水平面高为r
【解析】
3
又球圆锥水V V V -=，则3333
4391
r r x πππ-=，解得r x 315=． 答：球取出后，圆锥内水平面高为r 315．
【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．
考点：空间几何体的体积；
【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． 【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3
434-==ππR V 球．
∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：263
3232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==
ππR V 球． 【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R 2，四个球心构成一个棱长为R 2的正四面体，可以计算正四面体的高为
R R 362236=⨯，从而上面球离开桌面的高度为R R 3
622+． 考点：空间几何体的球体积和表面积.
【变式演练3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【答案】3622+．
5
考点：空间几何体的球体积和表面积.
【变式演练4】已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 .
【答案】3
【解析】
试题分析：由已知，可将三棱锥S ABC -放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC 距离最大的点应该在过球心且和面ABC
垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则
2r =则到面ABC
距离的最大值为222)333
r ==（. 考点：三棱锥的外接球
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2
求解．
类型二 球的外接问题
使用情景：有关球的外切问题
解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步 得出结论.
例 2. 已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形， AD ⊥平面ABC ， 26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）
A. 48π
B.
C. 24π
D. 16π
【答案】A
R OA ====
所求球的表面积为： (2
24448S R πππ===。

故选A 。

点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。

解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）
A ．24316π
B ．8116π
C ．814π
D ．274π
【答案】
A
考点：球的表面积和体积.
【变式演练5】已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
6
B.
6
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1
=
2
3
=，
∴
1
OO==
∴高SD=2OO1
，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC
∴
1
36
S ABC
V
-
==
三棱锥
．
7
【变式演练6】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上， SA ⊥平面ABC ， SA =， 1AB =， 2AC =， 3BAC π∠=
，则球O 的表面积为__________．
【答案】16π
点睛：本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质，球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征，正确应用球的性质是解答的关键.
【变式演练6】在三棱锥A BCD -中， ABC ∆与BCD ∆都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. 60π C. D.
【答案】
D
【高考再现】
1. 【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．πB．3π
4
C．
π
2
D．
π
4
【答案】B
9
2. 【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92
π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，
外接球直径为34427923,πππ3382R V R ===
=⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
3. .【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】36π
4.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
【答案】14π.
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2
====
24π14π.
R S R
【考点】球的表面积
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求
11
解.
【反馈练习】
１．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________． 【答案】
128
3
π
考点：圆锥与球．
２．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为
323
π
的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（ ）
A ．23-
B ．2
3
C ．
【答案】B 【解析】
试题分析：由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体8个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为4，由于长方体底面为边长为2的正方形，故侧面的对角线为
32，由余弦定理可知，直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为
3
2
3232281212=⨯⨯-+.
考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．
【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
３．【2018河省衡水第一中学模拟】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
1
3
A. 11π
B. 12π
C. 13π
D. 14π 【答案】A
PD =APD ∆
的外接圆半径0
22sin135
2
PD
R ND =='=
= ，
2ND =
， 11,22
MN MN ON === ， MN ⊥平面PAD ，则MN ND ⊥
，则球的半径2R OD ====
，外接球的表面积为2
4112S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
，选A.
4. 【2018湖南湘东五校联考】已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
1
5
6. 【2018四川省大教育联盟】如图， ABCD 是边长为2的正方形，点E ， F 分别为边BC ， CD 的中点，将ABE ， ECF ， FDA 分别沿AE ， EF ， FA 折起，使B ， C ， D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
B. 6π
C. D. 12π 【答案】B
7. 【2018黑龙江牡丹江第一高级中学模拟】如图， 11,AA BB 均垂直于平面ABC 和平面
111111,90A B C BAC A B C ∠=∠=， 111AC AB A A BC ====111ABC A
B C -的外接球的表面积为( )
A. 2π
B. 4π
C. 6π
D. 8π 【答案】C
【解析】
由题意，多面体111ABC A B C -的正方体，切去两个角， ∴多面体111ABC A B C -的外接球的
直径为
=，半径为
∴多面体111ABC A B C -的外接球的表面积为2
2446R πππ=⋅=⎝⎭
，故选C.
8. 【2018湖北四校联考】已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离
17
为1
2R 02,120AB AC BAC ==∠=，则球0的表面积为( ) A. 169π B. 163π C. 649π D. 643
π
【答案】
D
9.【2018山西榆社中学模拟】如图，在四棱锥E ABCD -中， EC ⊥底面ABCD ， //EF EC ，底面ABCD 为矩形， G 为线段AB 的中点， CG DG ⊥， 2CD =， DF CE =， BE 与底面ABCD 所成角为45︒，则四棱锥E ABCD -与三棱锥F CDG -的公共部分的体积为_____________．
【答案】
2
9
10. 【2018甘肃天水第一中学模拟】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D - 的棱1BB 和11B C 的中点，则MN 和1CD 所成角的大小是_________．
【答案】060
【解析】因为MN ∥1BC ， 1CD ∥1A B ,所以11A BC ∠就是MN 和1CD 所成角，而11A BC ∆是等边三角形，所以1160A BC ∠=︒.故填60︒.
11.【2018湖南衡阳第八中学模拟】已知三棱锥P ABC -，在底面ABC ∆中， 60A ∠=︒， BC =
，
PA ⊥面ABC ， PA =______.
1
9
【答案】16。