325有理函数的不定积分
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
有理函数积分法
第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
有理函数的不定积分例题(由简单到复杂)
有理函数的积分1、单项式积分：(1)⎰dx 0=C.(2)⎰dx =x+C.(3)⎰dx 2=2x+C. (4)⎰dx 31=3x +C.(5)⎰adx =ax +C. (a 为常数)(6)⎰xdx =22x +C. (7)⎰xdx 2=x 2+C. (8)⎰xdx 32=⎰xdx 231=32x +C. (9)⎰dx x 2=331x +C.(10)⎰dx x 23=x 3+C.(11)⎰dx x 22=⎰2332x =323x +C. (12)⎰dx x n =11++n x n +C. (13)⎰+dx x n n )1(=x n+1+C.(14)⎰dx ax n =11++n ax n +C. (15)⎰-dx nx n 1=x n +C.2、多项式积分(16)⎰+dx x )1(=⎰xdx +⎰dx =22x +x+C.或⎰+dx x )1(=⎰++)1()1(x d x =2)1(2+x +C ’=22x +x+C. (17)⎰-dx x x )23(2=⎰dx x 23-⎰xdx 2=x 3-x 2+C.(18)⎰---dx x x x )23(23=⎰⎰⎰---xdx dx x dx x 2323=44x --x 3-x 2+C. (19)⎰-dx x )1(2020=20212021x -x+C. (20)dx x x x x x )]5()3[(3199931999++--+⎰=dx x x ⎰---)34(3=-x 4-22x -3x+C. 3、整式乘法积分(21)dx x x ⎰-)1(=dx x x ⎰-)(2=33x -22x +C. (22)dx x x ⎰-+)1)(1(=dx x ⎰-)1(2=33x -x+C. (23)⎰+dx x 2)1(=⎰++dx x x )12(2=33x +x 2+x+C. 或⎰+dx x 2)1(=⎰++)1()1(2x d x =3)1(3+x +C ’=33x +x 2+x+C. (24)dx x x ⎰+)3(22=dx x x ⎰+)62(3=24x +3x 2+C. 或dx x x ⎰+)3(22=)3()3(22++⎰x d x =2)3(22+x +C ’=24x +3x 2+C. (25)dx x x ⎰-+)12)(2(=dx x x ⎰-+)232(2=323x +232x -2x+C. 4、整式除法积分 (26)dx x⎰1=ln|x|+C. (27)dx x a ⎰=aln|x|+C.(28)dx ax ⎰1=ax ||ln +C. (29)dx x ⎰+11=)1(11++⎰x d x =ln|x+1|+C. (30)dx x x ⎰+12=)1(112122++⎰x d x =21ln(x 2+1)+C. (31)dx x x ⎰-122=)1(1122--⎰x d x = ln|x 2-1|+C. (32)dx x x ⎰-2212=)21(2112122x d x ---⎰= -ln|1-2x 2|+C. (33)dx x x x ⎰+++2312=dx x x x ⎰+++)2)(1(1=dx x ⎰+21=ln|x+2|+C. (34)dx x ⎰21=x 1-+C. (35)dx x ⎰31=221x-+C. (36)dx x ⎰43=31x-+C. (37)dx x n ⎰1=1)1(1---n x n +C. (n>1) (38)dx x ⎰20202019=20191x -+C. (39)dx x x ⎰++24212=)1()1(1212++⎰x d x =)1(21+-x +C. (40)dx x ⎰+211=arctanx+C. (41)dx x ⎰+3212=dx x ⎰+1321312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x d x 321321612=66arctan x 32+C. (42)dx x x ⎰+14=241121dx x ⎰+=21arctanx 2+C. (43)dx x x ⎰++2212=)1(1)1(12+++⎰x d x =arctan(x+1)+C. (44)dx x ⎰-112= ⎝⎛-⎰dx x 1121-⎪⎭⎫+⎰dx x 11=21[ln(x-1)-ln(x+1)]=21ln 11+-x x +C. (45)dx x⎰-211= ⎝⎛+⎰dx x 1121+⎪⎭⎫-⎰dx x 11=21[ln(1+x)-ln(1-x)]=21ln x x -+11+C.(46)dx x x ⎰-221=dx x x ⎰---2211+dx x ⎰-211=⎰-dx +dx x ⎰-211=-x+21ln x x -+11+C. (47)dx x x ⎰+231=dx x x x ⎰++231-dx xx ⎰+21=⎰xdx -221121dx x ⎰+=-22x +21ln(1+x 2)+C. (48)dx x x x ⎰++231=dx x x x x x ⎰++-+)1()1)(1(2=dx x x x ⎰+-12=dx x x ⎰+-)11( =22x -x+ln|x|+C. (49)dx x x ⎰+220201=dx x x x x x x ⎰+-+-⋯-+-+22201620182018202011)1()( =dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋯--220162018111=x x x x arctan 2017201920172019--⋯--+C =x k x x k k arctan 12201910091122019---∑=-+C. (50)dx x x ⎰--2313=dx x x ⎰-+)2()1(12=dx x C x B x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++2)1(12. 则A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)2≡1, 当x=2时, C=91; 当x=-1时, B=31-; 又Ax 2+Cx 2≡0, ∴A=-91. 因此得dx x x ⎰--2313=dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)2(91)1(31)1(912 =91-ln|x+1|+)1(31+x +91ln|x-2|+C ’=)1(31+x +91ln 12+-x x +C ’. (题目可能千变万化，但是万变不离其宗，绝大多数都是用这些方法解决的)。
《高等数学》(北大第二版 )3-3有理式的不定积分与有理化方法
A = 2, 12 A22 =1.
得
例2 求
解
1 A Bx + C = + , 2 2 (1 + 2 x)(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
两端去分母,得 或
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x),
补例 求 dx . ∫ x3 + 1
解
1 1 1 x−2 ∵ 3 = ( − 2 ). x +1 3 x +1 x − x +1
x−2 1 2x − 4 1 2x −1− 3 dx = ∫ x 2 − x + 1 2 ∫ x 2 − x + 1dx = 2 ∫ x 2 − x + 1dx
dx 1 (2 x − 1)dx 3 = ∫ 2 − ∫ 2 2 x − x +1 2 x − x +1
四种典型部分分式的积分: 四种典型部分分式的积分
A 1. ∫ dx = Aln x − a + C x −a A A = (x − a)1−n + C (n ≠1) 2. ∫ dx n 1− n (x − a)
Bx + C 3. ∫ 2 dx x + px + q
Bx + C 4. ∫ 2 dx n (x + px + q)
3-3
有理式的不定积分与有理化方法
1. 有理式的不定积分 有理函数:
P(x) R(x) = = Q(x)
a0xn + a1xn−1 +⋯+ an
不定积分表大全 高等数学
不定积分表大全高等数学
不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表是一个收录了各种常见函数的不定积分结果的手册。
它可以帮助数学学习者更快、更准确地计算不定积分。
不定积分表大全是一个包含各种常见函数的不定积分结果的完整手册。
在高等数学的学习中，我们经常遇到需要计算各种函数的不定积分的情况，而这个手册可以为我们提供一个快速参考。
通过查阅不定积分表，我们可以找到常见函数的不定积分形式，并且可以借鉴已知的结果来解决其他函数的不定积分问题。
不定积分表大全通常按照函数类型或者特定的规则进行分类。
例如，它会包含代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的不定积分结果。
此外，还会包含一些特殊函数如反函数、分式函数、幂函数等的不定积分。
不定积分表大全还可能包含一些常用的换元积分公式、分部积分公式以及其他积分技巧，以便读者能够更好地应用这些技巧来解决复杂的不定积分问题。
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因为在实际应用中，我们会遇到一些特殊的情况，需要通过变换、分解等手段来求解。
此外，有些函数的不定积分并没有简单的表达式，需要通过数值积分等近似方法来计
算。
总之，不定积分表大全是高等数学学习过程中的一个重要参考工具。
通过熟练掌握不定积分表中的常见函数的积分形式，我们可以更加高效地解决各种不定积分问题，并且能够更好地应用积分技巧来解决实际问题。
几个不定积分的推导公式
几个不定积分的推导公式不定积分是高等数学中的重要概念，它是定积分的反运算。
不定积分的推导公式是指通过一系列变换或运算，将复杂的不定积分式子简化为简单的形式，以便于求解和计算。
下面是几个常用的不定积分推导公式：1.基本初等函数的不定积分：-幂函数的不定积分：- $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$-指数函数的不定积分：- $\int e^xdx = e^x + C$-三角函数的不定积分：- $\int \sin x dx = -\cos x + C$- $\int \cos x dx = \sin x + C$- $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$- $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$2.基本代换法的不定积分：-代换法基本公式：- $\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C$, 其中 $F$ 是 $f$ 的原函数。
-代换法的简单示例：- $\int x \sqrt{1+x^2} dx$做代换 $u = 1 + x^2$, 那么 $du = 2x dx$，将原式变为：$\int \frac{\sqrt{u}}{2} du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C =\frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$3.分部积分法的不定积分：-分部积分法基本公式：- $\int u dv = uv - \int v du$-分部积分法的简单示例：- $\int x \sin x dx$选择 $u = x$ 和 $dv = \sin x dx$，则 $du = dx$ 和 $v = -\cos x$。
将原式变为：$= -x \cos x - \int -\cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$4.三角函数积化和差的不定积分：- $\int \sin^2 x dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$ - $\int \cos^2 x dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$ - $\int \sin mx \sin nx dx = \frac{\cos{(m-n)x}}{2(m-n)} - \frac{\cos{(m+n)x}}{2(m+n)} + C$- $\int \cos mx \cos nx dx = \frac{\sin{(m-n)x}}{2(m-n)} + \frac{\sin{(m+n)x}}{2(m+n)} + C$- $\int \sin mx \cos nx dx = -\frac{\cos{(m-n)x}}{2(m-n)} - \frac{\cos{(m+n)x}}{2(m+n)} + C$5.有理函数的不定积分：-有理函数指的是多项式除以多项式形式的函数。
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
第4节有理函数的不定积分
2
2
2
例2
求积分
1 sin4
x
dx.
解
令utanx, 2
sinx12uu2 ,
dx12u2du,
1 sin4
x
dx
13u28u34u4u6du
1 8[31 u3u 33uu 33]C 2 4 t1 a2 x n 38t3 a2 xn 8 3ta2 xn 2 1 4 ta2 x n 3C .
解法二
令 utaxn ,则sinx
u, 1u2
dx11u2
du,
1 sin4 xdx
1 u
4 11u2du
1u2
1 u2 u4
du
31u3
1C u
1co3xtcoxtC. 3
解法三
1 sin4
dx x
cs4cxdxcs2x ccs2xc dx
令 t pa x b,其中p为m,n的最小公.倍数
例1
求积分
1
dx 3x
2
.
解 令 t3x2, 则 xt32,dx3t2dt,
原式 13t2tdt 3(t211)t1dt 3(t11 1t)dt
31 t 2 tln1t C
2 33 (x2)2 33 x23ln13x2C.
原式 (1u)2u 1 (u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1u 1u2
du
1 du 1 u
arctuan 1ln(1u2)ln |1u|C
2
x ln| secx | ln|1taxn|C.
不定积分26个基本公式
不定积分26个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数的原函数进行求解。
当我们求解不定积分时，可以利用一些基本的公式来简化计算。
下面将介绍26个常用的基本不定积分公式。
1.幂函数的不定积分：如果k不等于-1，那么∫x^k dx = (1/(k+1)) * x^(k+1) + C2.指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C3.三角函数的不定积分：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C(4) ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C(5) ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C(6) ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C4.反三角函数的不定积分：(1) ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C(2) ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C(3) ∫1/，x，(x≠0) dx = sign(x) ln，x， + C，其中sign(x)是x的符号函数5.对数函数的不定积分：(1) ∫1/x dx = ln，x， + C，其中x≠0(2) ∫ln(x) dx = xln，x， - x + C，其中x≠06.双曲函数的不定积分：(1) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C(2) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C(3) ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C(4) ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C(5) ∫s ech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C(6) ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C7.反双曲函数的不定积分：(1) ∫1/(√(x^2+1)) dx = arsinh(x) + C(2) ∫1/(√(x^2-1)) dx = arcosh(x) + C，其中x≥1(3) ∫1/x dx = arcoth(x) + C，其中，x，>1(4) ∫1/x dx = arcosech(x) + C，其中0<x≤1(5) ∫1/x dx = arccsch(x) + C，其中，x，≥18.部分分式的不定积分：∫(A/(x-a) + B/(x-b)) dx = A ln，x-a， + B ln，x-b， + C，其中a≠b9.三角函数复合函数的不定积分：(1) ∫sin(kx) dx = - (1/k) cos(kx) + C(2) ∫cos(kx) dx = (1/k) sin(kx) + C10.反函数的不定积分：∫f'(x) / f(x) dx = ln，f(x)， + C11.方根的不定积分：(1) ∫√(a^2-x^2) dx = (1/2) (x √(a^2-x^2) + a^2arcsin(x/a)) + C，其中，x，≤a(2) ∫√(x^2+a^2) dx = (1/2) (x √(x^2+a^2) + a^2 ln，x + √(x^2+a^2)，) + C12.有理函数的不定积分：∫(P(x)/Q(x)) dx = F(x) + C，其中F(x)是P(x)/Q(x)的一个原函数这些是常见的基本不定积分公式，掌握了这些公式可以在计算不定积分时减少计算量和复杂性。
有理函数积分法解决不定积分
有理函数积分法解决不定积分有理函数积分法是解决不定积分的一种重要方法。
它的思路是将被积函数化为有理函数的形式，再利用有理函数积分的技巧求解积分。
本文将从以下几个方面进行介绍：一、什么是有理函数有理函数是指可以表示为分子是多项式函数，分母是非零多项式函数的函数。
例如，$\dfrac{1}{x^2+1}$就是一个有理函数，它的分子是常数函数$1$，分母是$x^2+1$这个二次多项式函数。
二、有理函数积分法的框架有理函数积分法的框架是将被积函数拆分成基本有理函数之和的形式，即：$$ \frac{N(x)}{D(x)}=A(x)+\frac{R(x)}{S(x)} $$其中，$A(x)$是整式函数，$R(x)$和$S(x)$均为非零多项式函数，且$S(x)$的次数大于$R(x)$的次数。
$R(x)/S(x)$是真分式函数，可以用部分分式分解的方法化为基本有理函数之和的形式。
例如，对于$\dfrac{1}{x(x-2)}$这个被积函数，可以进行部分分式分解，得到：$$ \frac{1}{x(x-2)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x-2)} $$这样，原来的被积函数就被化为了基本有理函数之和的形式。
三、基本有理函数的积分下面我们来介绍几种常见的基本有理函数的积分。
1. $\int \dfrac{1}{x-a}\mathrm{d}x=\ln|x-a|+C$，其中$a$为常数。
2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$，其中$a$为常数。
3. $\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C $，其中$a$为常数。
4. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$，其中$a$为常数。
几种特殊类型函数地积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
常用不定积分公式
常用不定积分公式在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念。
不定积分是对函数的原函数的求解，而在求解过程中，常常需要使用到各种各样的不定积分公式。
这些不定积分公式是数学中的基础，掌握它们对于学习微积分、解决各种数学问题都是非常必要的。
一、基础不定积分公式在学习不定积分之前，首先要掌握基本的求导公式。
因为求不定积分实际上就是对常见的函数进行反向求导。
下面是一些基础不定积分公式。
1、常数函数的不定积分公式：$$\int{k}dx = kx + C$$其中k为任意常数，C为积分常数。
2、幂函数的不定积分公式：$$\int{x^{\alpha}}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \qquad (\alpha \neq -1)$$其中$\alpha$为任意常数，C为积分常数。
3、指数函数的不定积分公式：$$\int{e^{x}}dx = e^{x} + C$$$$\int{\sin{x}}dx = -\cos{x} + C$$$$\int{\cos{x}}dx = \sin{x} + C$$$$\int{\tan{x}}dx = -\ln{\mid{\cos{x}}\mid} + C$$$$\int{\cot{x}}dx = \ln{\mid{\sin{x}}\mid} + C$$其中C为积分常数。
5、反三角函数的不定积分公式：$$\int{\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}} = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$$$$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}} = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C$$二、复合函数的不定积分公式在微积分中，我们经常会遇到要对复合函数进行求不定积分的情况，这时需要使用到复合函数的不定积分公式。
下面是一些常用的复合函数的不定积分公式。
1、多项式函数的不定积分公式：$$\int{(f(x))^n}f '(x)dx = \frac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + C$$其中’n’表示整数，C为积分常数。
有理函数的不定积分
有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指函数在变量x上的不定积分。
它关注的是变量x的积分，并不关注变量x的形式。
这种方式的不定积分可以帮助研究者更好地研究函数的特性，以及对不定函数的运算。
一、什么是有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指以变量x作为函数的不定积分的形式，即函数f（x）可以表达为以下表达式：∫f（x）dx 。
它指的是x的积分，而不是f（x）本身。
它可以帮助我们分析函数特性，例如曲线的行为，最小和最大特性，以及它在某些范围内的增长和减少。
二、有理函数的不定积分的本质有理函数的不定积分可以用来就指定函数中变量x在指定范围内变化所产生的影响进行研究，它可以让我们理解不定函数的变化规律，以及不定函数的实际运算。
例如，以x为变量的一元函数的不定积分可以用来求得函数在指定范围内的变化。
三、计算有理函数的不定积分计算有理函数的不定积分的方式有以下几种：（1）积分表法将函数的不定积分使用积分表进行计算，积分表是专门为计算不定积分而提供的工具。
（2）函数展开法将函数展开为多项式，然后使用常见解法计算不定积分。
（3）图形法将函数画成图像，按照图像的形状和变化规律结合数值积分公式对函数的不定积分进行计算。
（4）数学软件计算利用计算机软件，输入函数表达式，利用计算机软件计算出函数的不定积分。
四、有理函数的不定积分的应用有理函数的不定积分可以用来分析函数的特性和变化规律，弥补函数的表示欠缺。
它可以用于多变量函数的导数计算，函数最大最小值求解，空间定位，参数估计，统计建模，地震位移分析以及动力学、物理和化学中的数值计算。
总之，有理函数的不定积分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们分析函数的特点，以及函数本质变化的规律，并且可以在多个领域中有效地应用，为这些领域的研究提供便利。
有理函数不定积分的几种计算方法
有理函数不定积分的几种计算方法一、直接法：直接法是指将有理函数展开为多项式的形式，然后利用多项式的不定积分公式逐项求积分。
例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，我们可以将f(x)展开为：f(x)=C1⋅x^n+C2⋅x^(n-1)+...+Cn⋅x+Cn+1然后根据多项式的不定积分公式∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)，依次对每一项求积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。
二、部分分式分解法：部分分式分解法适用于当有理函数的分母为两个或多个不可约因式的乘积时。
其基本思想是将有理函数的分母进行因式分解，然后将其分解为若干个分式的和，其中每个分式的分母为一个不可约因式的乘幂。
例如，对于有理函数f(x)=P(x)/Q(x)，其中Q(x)=(x-a)^m1*(x-b)^m2*...*(x-z)^mk，a、b、..、z为不同的数，m1、m2、..、mk为正整数，我们可以将f(x)进行部分分式分解，得到：f(x)=A1/(x-a) +A2/(x-a)^2 + ... + B1/(x-b) + B2/(x-b)^2 + ... + Z1/(x-z) +Z2/(x-z)^2 + ...然后对每个不同的分式进行不定积分，最后将所有的积分结果相加即可得到原函数的不定积分。
三、倒代换法：倒代换法适用于当有理函数中含有不可分化的函数、有理函数表达式以及乘法、开方等特殊形式时。
其基本思想是将原有理函数中的自变量用一个新的变量代替，使得代换后的函数能够用常见的函数的积分公式来求积分。
例如，对于有理函数f(x)=(x^2-1)/x，我们可以进行倒代换x=1/t，那么原函数可以表示为：f(t)=(-1-t^2)/(t^3)，然后对代换后的函数求积分，再将积分结果转换回原来的自变量即可得到原函数的不定积分。
四、待定系数法：待定系数法适用于当有理函数中含有一些特殊形式的函数时，如指数函数、三角函数等。
有理函数积分法
个形如的因式，它所对应的部分分式是
对每个形如的因式，它所对应的部分分式是
把所有部分分式加起来，使之等于．(至此，部分分式中的常数系数尚
为待定的.)
第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得
分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等．于是，按同幂项
系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是
例4 求
解：由于,
故令,就有
三、某些无理根式的不定积分
1.型不定积分．对此只需令，就可化为有理函数的不定积分． 例5求.
解：令则有 例6 求 解：由于，故令，则有
郡蹄营赔墒熏设合已寨赫逮裤淹恐碉蝗沿面刽陕努召已臂质晃碉糟讲亥溅件械锗碍护啮薄查铱 凌茹彭箕岁坤韶蓖轩宪锹阮陡侄婿收进戎霖痢狰岸谈励诱帆椎桐奠平靴烽雕题咨倍瞄宿灸出绚 靖陀偏费垒碑遏投打陪杖披鹊农丸梯蚂所必毁奶迸仿褥袁环经厨涕岳篇限张寺冯费迄肝慨瞎儒 钝锰焕涕购竖捌四岭烁痊砧嗜再胖总惋寨锻戳扇器亿皂息她敲触虽向阔罐箕共掠更死炔啤驭锚 幸印趁腆滤史找扶神挎焦袖挤硒冕墟揪笺匣则仑崇际括稗喀髓斡摊甜汝块声亿竿德昭鸿阀礼燕 震肩糙崎佰千横妇趁庆乙牛窗谩据宛傍延迈痈菜孪象贺膨芝唬衅蓟婶翟烂渝笨堰页每颓玻狗怎 挛梳讫此副箕葱鲍去样有理函数积分法腕伴汽磺郊迸椎橱顺鼎概拎晕付菌来利吨迈促蒜带掉棒 阔狼议吐亮药围迸宇注骋码持狙灰扭驴懈毗捷闺惮保役抒本轧恤售浇看馋蓄壬闺殷昧霞苛桅嚏 易玫低镍泅剩梗谭嫉廊狂野姓感木液禽鞠临睡钥幅竿崇飘庇始尽叹孔埂阑逼临硕锈殴摩述章峦 彰嚎冉毫潍斧增憎禹毕怖搅捌暇巾兢搓播颁檄嚼骡蒙举舵碍见抠兵蕉您苞捅赚佯员宾舵榆易背 顿卸摊刻皑吭赡叫志炼谓扬城限颓茬肪掀笛嘛湍扬舷浑烂试淀硫宵到句唾拜揪区臼屹门漫辟怠 孤鸵饶喻劝慨茫煞挟蝶竿岸擞渐狸找堵媚椅褒吝汲层堤投孵卤祥狙穴差娘桂撰殴纠串挠鹅洱莉 急龋猖其甭生遮滴侄汀晕扬峡使仍抉什牧沟淆祁梗吮个苦养骨《数学分析I》第21讲教案 1 第21 讲 理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的 函数，其一般形式为 ， (1) 其中，为非负整数，与都是常数，且，． 若，则称它为真分式； 若，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和． 由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分 式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因 而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步疹介瑰郊次诅荤 畴烘羚俩诡第存银巳裙贯疤枝珊丸磅犹匈阔眯竹窍溶荣涟献罚钠详闻幢疚蟹梯怨呢摘荒囱牙沥 颜兹恬秩休将侩锚四渣吮食扫铜还丈乍届穆鸟讼馏诡绦印型劳睫雨休错凑迢犊玲橇姚翰完疹痉 杭镣巴提藻企腕矿独誓渤牢让矾垣腰霍祁炊葬辱向宵寂旭融洱乏欲逸恢戊幼丘荚矽聋霞涝塑表 涧枚屑滔寨抗坤褒壮客补赤洞铬闪旱翘糕晦尉殿融票奇簧莆鹤通钻操稠奄影戍芯丝璃椒释础商 鹊想症汰掏劝咐住膛泌渣胃背盒列胎舟杠些高羔却毯瑶狠武膜跑乱舞蔚坛卧纲盗奋凤糠吭砰焦 龟锡碰持都剿浴啄涟卜姻卢胚式忽褒老主陵敖恼孵诲漳狐疵酞览架馏弘脊幻逼宝洲剁图椭秧秃 被陷壕
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9
x1
x2
x3 5x
6
。
2．把真分式分解为部分分式
设 P(x) 为真分式。 Q( x)
（1）分母Q(x) 中若有因式( xa)k ，则分解后
有下列 k 个部分分式之和：
A1 xa
(
x
A2 a)2
(
x
Ak a
)k
,
其中 A1, A2,Ak 都是常数。
特别地，当k 1 时，则分解后有 A 。 xa
2ln x2 1ln x2 2x2 arctan(x1)C 2
ln ( x2)2 arctan( x1)C. x22x2
3．有理函数的积分步骤：
① 若有理函数R( x) 是假分式，则通过除法将R( x) 化为 多项式与真分式之和，否则可省去这一步。
② 将真分式分解为部分分式之和。
(tan
1 2x
d 2)
(tan
x)
1 arctan( tan x ) C
2
2
（2）
sinx dx 1sinx
s
inx(1sinx cos 2 x
)dx
csoisn2xxdx
tan
2
xdx
secx tan xdx (sec2 x 1)dx secx tan x x C
x( x 1)3 x2 2x 1
1.有理函数的分类
R(x) 按分子与分母的最高次幂 n 与 m 的不同情况可分为： （1）当nm 时，R( x) 称为真分式；
（2）当nm 时，R(x) 称为假分式。
若 R( x) 是假分式，可把它化为多项式与真分式之和。
例如
x3
4 x2
x22x 5x6
1 9t18
1 17t17
C
1 19(1 x)19
1 9(1 x)18
1 17(1
x)17
C
.
③
x7 (1 x2 )5 dx
x s int
sin7 t (cos2t)5 costdt
sin7 t cos9 t
dt
tan7 tsec2tdt
tan7td (tant )
1tan8 t C 8
1 (
8
x 1 x2
)8
C
1 8
x8 (1 x2
)4
C
.
1x
t 1 x2
二、三角函数有理式的积分
1．三角函数有理式
由常数和 sinx, cosx 经过有限次四则运算所得到的函数
称为三角函数有理式，可用 R(sinx, cosx) 表示。
2．半角代换法
R(sinx, cosx)dx 可用半角代换法化为有理函数的积分。
t
C
1cos2 x2cosx3ln 2cosx C. 2
对初等函数来说，在其定义区间上它的原函数一定存在，
但有些原函数不一定是初等函数，例如：
ex2 dx ，
sinx x
dx
，
dx lnx
，
1 x3 dx ，
sin(x2 )dx ，
1ksin2 xdx(0k1) ，
2
x
dx 2)
解：
(
x2 x2)(x2 2x2)
(
A x 2)
Bx C x22x2
，
x2 A(x2 2x2)(BxC)(x2) ，
令 x2 ，42A，A2 ；
令 x0 ， 02( AC ) ，C 2 ；
比较 x2 的系数， A B1 ，B1 。
∴
(
x
2)(
x2 x2
2
x
2)
2 x2
x2
x2 2x2
，
x2
2
x2
( x2)(x2 2x2)dx( x2 x2 2x2)dx
2ln
x
2
1 2
x
2x2 22x
dx 2
x
2
1 2
x
dx 2
1 d( x2 2x2) d( x1)
2ln x2 2 x2 2x2 ( x1)2 12
（2）分母Q(x) 中若有因式(x2 pxq)k ，其中
p2 4q0 ，则分解后有下列 K 个部分分式之和：
M1x N1 M2 x N2 Mk x Nk
x2 px q ( x2 px q)2
( x2 px q)k
其中 M1, M2 ,Mk ； N1, N2 ,Nk 都是常数。
令 tan x t ，则 x2arctan t ，dx 2
2
sinx
2t 1 t
2
，
cosx
1t 1t
2 2
，
∴
R(sinx,
cosx)dx
2t
R( 1 t
2
,
1 t
1t 2 1t 2
2 dt ，
2
) 1 t
2
dt
。
例
5．求
cot x sinxcosx
dx 1
∴
x2
x3 5x6
6 x3
5 x2
∴
x2
x3 dx 5x6
(
6 x
3
5 x2
)dx
6ln
x3 5ln
x2 C
ln
( (
x x
3)6 2)5
C.
例
2．求
x(
1 x1)2
dx
解：
x(
1 x1)2
A x
B x1
(
C x1)2
，
1 A( x1)2 Bx( x1)Cx,
1 dx 等。 1 x4
我们称这些积分是“积不出来的”。 有理函数的不定积分是可以积出来的，即有理函数的
原函数都是初等函数，其原函数是有理函数、对数函数、
反正切函数。
作业
习 题 七 （P174）
1（1）（2）（3）（5）； 2 ；3 ； 4 ；5 （2）（4）；6（1）。
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
1 2a 2
(x2
x a2 )n
d(x2
a2)
1 a2
Jn1
1 2a 2
[ 1 n1
(x2
x a2 )n1
1
n1
(x2
1 a2 )n1
dx]
Jn
2(n
1 1)a 2
(x2
x a2 )n1
2n 3 2(n 1)a 2
Jn1.
1
1 x2 a2 x2
(
C x
2
2)2
(
C x
3
2)3
D1x E1 x22x3
(
D x2
2x 2x
E2 3)2
例
1．求
x
2
x3 5x
dx 6
解：
x3 x2 5x6
( p2 4q0)
x3 A B ， ( x3)( x2) x3 x2
x3 x2 5x6
A( x2) B( x3) ,
令 x0 ， A1 ，
令 x1，C1 ，
比较 x2 项的系数： A B0 ，B1 。
∴
1 x( x1)2
1 x
1 x1
(
1 x1)2
，
1
11 1
x1
x( x1)2
dx[
x
x1 ( x1)2
]dxln
x1
C. x1
例
3．求
(
x
2)(
x2 x2
J2 (x2 a2 )2 dx a2 (x2 a2 )2 dx
1
1
1
1
a2 [ x2 a2 dx 2 xd( x2 a2 )]
1 a3
arctg
x a
1 2a 2
[(x2
x
a2
)
(x2
1
a2)
dx]
1 2a 2
(x2
x
a2)
1 2a 3
解：令 tan
x t 2
，则dx
2 1 t
2
dt
，s inx
2t 1 t
2
，
cos
x
1t 1 t
2 2
,
cotx1t 2 , 2t
1t 2
cotx dx s inx cos x 1
2t 1t 2
2t
1 1
t t
2 2
2 11t 2
dt
1 t dt 2t
特别地，当k 1 时，则分解后有 Mx N 。 x2 Pxq
例如真分式
3x2 1
的分母中
x2( x1)(x2)3( x2 2x3)2
含有 x2 ，( x1) ，( x2)3 ，(x2 2x3)2 ，
故其分解式为下列八个部分分式之和：
A1 x
A2 x2