5Mathematica求不定积分与函数作图

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§4 Mathematica 求不定积分与函数作图

4.1 求不定积分

1 用Mathematica 求不定积分有两种方式

(1) 用命令Integrate[f,x] （*其中x 为积分变量*）

(2) 直接用工具栏输入不定积分⎰f(x)dx 。

例4.1 计算不定积分⎰+dx x x 2411

。

解 方法一：

⎰+=dx x x In 2411

:]1[

231)3231(]1[x x x

Out ++-

= 方法二： ),11

(Integrate :]2[24x x x In +=

231)3231(]2[x x x

Out ++-= 2 除了指定的积分变量之外，其它所有符号都被作为常数处理

例4.2 计算不定积分dx c bx ax )(2++⎰。

解 ⎰++=dx c x b x a In )**(:]3[2

3

2]3[2

2ax bx cx Out ++= 3 积分变量不一定是单个的符号变量，也可以是一个函数，在例5.4.3中，积分变量是x sin 。

例4.3 计算不定积分⎰x d x sin )log(sin 2。

解 ⎰=][S i n ]][S i n [L o g :]4[2x d x In

][Sin ]][Sin [Log ][Sin 2]4[2x x x Out +-=

356 4 Integrate 命令也能在复数平面上进行积分运算

例4.4 计算不定积分⎰dx e Ix x )sinh(。

解 ⎰=dx x x I In ][Exp *]*[Sinh :]5[

=]5[Out i ])[Sin 2

1][Cos 21(x e x e x x +-

5 Integrate 命令在处理积分运算时会做两个假设。第一个假设已经在例4.2中提到，即Mathematica 假设除了积分变量之外其它符号都被作为常数处理。第二个假设是Mathematica 求得的积分结果是一个通式(generic form)，积分结果可能在某些点不成立，这时Mathematica 会告诉⎰)()(x d x f 的标准结果，并且假设这一结果在哪些点不成立。

例4.5 计算不定积分⎰dx x n 。

解 dx x In n ⎰=:]6[ n

x Out n

+=+1]6[1 // 假设n ≠-1. 6 如果积分结果是（或部分是）数学物理特殊函数，结果以特殊函数的形式输出。

例4.6 计算不定积分dx e x x

n ⎰。

解 ]],[Exp ^[Integrate :]7[x x n x In = ),1()1(]7[11x n x Out n n -+Γ--=+--

7 如果无法积分，Mathematica 会保留积分的原式，若原式中含有常数系数，Mathematica 会把常数系数提到积分之外，保留积不出来的表达式。

例4.7 计算不定积分⎰++dx hx x a )sec log()4(。

解 ⎰++=dx x x a In ]][Sech [Log )4(:]8[

⎰++=dx x x a Out ]][Sech [Log )4(]8[

注意：Mathematica 不会在积分结果后面加上积分常数（integration constant ）。因此，应注意不定积分的结果还应有一个积分常数C 。

357 4.2 二维绘图

1 作图原理

计算机在画函数图形时所用的基本方法类似于描点法。机器首先对所给的区间里的一定数量的点 （通常取区间的均分点）计算函数值，并画出这些点))(,(x f x ,然后依x 的大小从小到大所对应的点用直线段连接成一条直线 （实际上是一条折线），就把它作为函数在观察区内的图形。

2 基本绘图命令Plot

(1) Mathematica 最基本的作图命令是Plot ，其使用方法如表5-4-1所示 表4-1 基本绘图命令Plot 的使用方法

其中可选项可以有，也可以没有。如果没有，Plot 就会按照系统默认的方式作图。

例4.8 用Plot 命令画出)2,2(,tan ππ-∈=x x y 当时的图形。

解 }]2,2,{],[Tan [Plot :]1[Pi Pi x x In -=

Out [1]=-Graphics-

输出图形如图5-4-1所示

图4-1

例4.9 将函数,2sin ,sin x y x y

==当)2,2(ππ-∈x 时的图形画在一张图

上。

解}]

Pi

:]2[Pi

Plot

[{

x

=

In-

x

Sin

x

,

2

2,

{

]},

],

Sin

2[

[

Out[2]=-Graphics-

输出图形如图4-2所示

图4-2

(2)Plot命令表达式中的可选项是对画图的细节提出的各种要求和设置，每个选项都有一个确定的名字和选项值以“选项名→选项值”的形式放在Plot命令的最后位置，一次可设置多个选项，以逗号相隔依次排列。常用的Plot命令可选项见表4-2

表4-2 Plot命令常用的可选项

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例 4.10 将函数!

5!3)(,!3)(,)(5

32310x x x x f x x x f x x f +-=-==和x y sin =的图形画在一张图上。

解

}]"","{"AxesLabel ,Automatic o AspectRati },,0,{},,,],[Sin [{Plot ;

120/5^6/3^;6/3^;:]3[210210y x Pi x f f f x x x x f x x f x f In →→+-=-===Out [3]=-Graphics-

输出图形如图4-3所示

图4-3 例4.11 作出函数x y cot =在)2,2(ππ-∈x 内的图形，指定作图范围、坐标轴的纵横比例和坐标的标记。

解

In[4]:= Plot[Cot[x],{x,-2Pi,2Pi},PlotRange →{-6,6},AspectRatio →Automatic,