高等数学4.4几种特殊类型函数的积分

x

x
1

(x
1)2
dx
1
1
1


x
dx


x
dx 1



x
12
dx
ln x ln x 1 1 C x 1
二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限 次四则运算所构成的函数，其特点是分子分母都包含 三角函数的和差与乘积运算
由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式 表示，故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式
例4
求

x2
x 2 dx 2x 3
提示
x2
x2 2x 3

1 (2x 2 x2
2) 3 2x 3
1 x 2 3 1 2 x2 2x 3 x2 2x 3
解
x 2 dx x2 2x 3
=

1 2
2x 2 x2 2x 3
A B 1，2A 3B 3， 求得 A6，B5，
所以

x2
x
3 5x
6
dx


(
x
x 2)(
3 x

dx 3)



x
6
3

x
5
2
dx


x
6
3
dx


x
5
2
dx
6ln x 3 5ln x 2 C
分母是二次质因式的真分式的不定积分
,
dx

2 1 u2
du,
原式
(1

2u u)(1

u2
)
du
=
2u 1 (1
u2 u)(1

1 u2 u2 )
du

(1 u)2 (1 u2 ) (1 u)(1 u2 ) du
=
1 u 1 u2
du

1 du 1 u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln 1 u C 2
2
2
2
例5 求
1
x( x 1)2 dx
提示
1 x( x 1)2

1 x x x( x 1)2


x(
1 x 1)

(
x
1 1)2

1 x x x( x 1)

(x
1 1)2

1 x

1 x 1
(x
1 1)2
解

1 x( x 1)2
dx
1 1
1



3
x2

1 2x
3 dx
1 2x 2
1

2

x2

2x

3
dx

3
x2

2x

dx 3
1
2
d
( x2 2x 3) x2 2x 3

3
d(x 1)
x 12 ( 2)2
1 ln( x2 2x 3) 3 arctan x 1 C
因此
x2 2x 1 ( x 1)( x2 x 1)

2 x 1
x3 x2 x 1
例3 求

x3 x2 5x 6 dx
解设
x 3 A B (A B)x (2A 3B)，
(x 2)(x 3) x 3 x 2
(x 2)(x 3)
取 x 1 B 1，取 x 2 并将 A、B 值代入
C 1，所以
1
x x 12

1 x

x
1
12

1 x 1
例1
将
x(
1 x
1)2
分解为部分分式.
A、B、C 也可通过
A x


x
B
12

C x 1
通分后
A x

x
B
12

C x 1
A x 12 xB Cx x 1
其中m和n都是非负整数 a0,a1,a2,L ,an 及
b0,b1,b2,L ,bm 都是实数， 并且 a0 0,b0 0. 当nm时，称这有理函数为真分式；
当nm时，称这个有理函数为假分式．
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和 的形式．
例如
x4 x 1 x2 1
x4 x2 x2 1 x 2 x2 1
x ln sec x ln 1 tan x C

x x 12

1
x x 12
A x 12 xB Cx x 1 1
比较等式两端 x2, x 项系数和常数项求得.
例2 将
x2 2x 1 ( x 1)( x2 x 1)
分解为部分分式.
解设
x2 2x 1 ( x 1)( x2 x 1)
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第四章 不定积分
§4.4 几种特殊类型函数的积分 广东石油化工学院理学院数学系
一、有理函数的积分
有理函数是指由两个关于 x多项式函数商所表示的
函数，即具有如下形式的函数:
P n(x) Q m(x)

a 0 x n a 1 x n1L b 0 x m b1 x m1L
a n1 x a n ， b m1 x b m
2
2
2 1
tan 2
x

2
sec2 x
2

1 1

u2 u2
dx

1
2 u2
du，
2
变换后原积分变成了有理函数的积分
例6
求不定积分

1

sin x sin x
cos
x
dx.
解 由Hale Waihona Puke Baidu能置换公式 u tan x ，则 2
sin x 2u , 1 u2
cos
x

1 1

u2 u2
三角函数有理式积分变换:把sinx，cosx表成 tan x 2
的函数， 然后作变换 u tan x （称为万能置换） 2
sin x 2sin x cos x 22
2 tan x

2
sec2 x
2 tan x

2
1 2 tan2 x
2u 1 u2
cos x
cos2 x sin2 x

A x 1
Bx C x2 x 1
去分母，得 x2 2x 1 A(x2 x 1) (Bx C)(x 1) 令 x 1 得 A 2； 令 x 0 得 1 A C；
所以， C 3；
令 x 2，得 7 3A 2B C，所以， B 1.

x2
1
x2 x2 1
求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解， 则先因式分解,然后化成部分分式再积分.
1 例1 将 x( x 1)2 分解为部分分式.
解设
1
x x 12

A x

x
B
12

C x 1
A(x 1)2 Bx Cx(x 1) 1

代入特殊值来确定系数 A、B、C，取 x 0 A 1