几种特殊类型函数的积分

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例4 求积分
1
x
3
2
x2
dx. x
解：
1 dx
x3 2x2 x
x(
1 x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
例2
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln | x | 1 ln | x 1| C. x 1
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一、 有理函数的积分
(Integration of Rational Function)
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
P(x) Q( x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
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(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
(
t
2
Mt a
2
)n
dt
(
t
2
b a
2
)n
dt
第三节 例9
2(n
M 1)(t 2
a
2
)n1
b
1 (t 2 a2 )n dt.
结论： 有理函数的原函数都是初等函数.
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(2)
n 1,
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
x2
px q x
p2
2
q
p2 ,
4
令 x pt 2
并记
x2 px q t 2 a2 ,
Mx N Mt b,
其中
a2 q p2 , 4
b N Mp , 2
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例5 求积分
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx.
例3
解：
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
4 1 52 x
2 x 5 1 x2
1 5
dx
4
2x1
1
5 2
x
dx
5 1
x2
5dx
2 5
lnLeabharlann Baidu1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2
dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B A
(1
2C 0, C 1,
1 2x)(1
x2)
A 4, 5 4
5 1 2
B 2,C 5
2x
x
5 1 x2
1 5
1 5.
,
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5
5
5
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例6 求
解: 原式 x2 2x 3 dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例6, 并利用 第三节 例9 .
6
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例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
通分以后比较分子得：
1 (AC)x2 (B 2AC)x A
AC 0
B
2A
C
0
A
1,
B
1, C
1
A 1
1 x(x
1)2
1 x
(x
1 1)2
1 x
. 1
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我们也可以用赋值法来得到最简分式，比 如前面的例2，两端去分母后得到
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3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak xa
,
其中 A1 , A2 ,, Ak都是待定的常数.
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中
p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
x
x2
. 1
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2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
最简分式是下面两种形式的分式
A (x a)k
Ax B ( x2 px q)k ;
其中 A, B,a, p,q 都是待定的常数.
k为正整数，p2 4q 0
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1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
代入特殊的x值 : 令x 1 B 1;
令x 0 A 1;
令x 2 C 1;
1 x(x
1)2
1 x
(x
1 1)2
1 x
. 1
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例3
(1
1 2 x )(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是待定的常数(i 1,2,, k).
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为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，
同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系
数法
例1
x2
x3 5x
6
(x
x3 2)( x
3)
A x2
B x
, 3
A( x 3) B( x 2) ( A B)x (3A 2B)
( x 2)( x 3)
( x 2)( x 3)
A B (3A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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第四章
第四节 几种特殊类型函数的积分
（Integration of several kinds of Special Functions）
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数（见本节第一段）
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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注意：
有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
主要讨论（3）积分
1)
n 1,
Mx N
x2
px
dx q
M
ln( x2
px
q)
b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
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假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和.
例如，我们可将 x 3 x 1
x2 1
1
化为多项式与真分式之和